2023-2024学年安徽省马鞍山市高一年级下册期中素质模拟测试数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年安徽省马鞍山市高一下册期中素质模拟测试数学

模拟试题

一、单选题

1.已知z=（2+i）i,其中i为虚数单位，则在复平面内z的共辗复数对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【正确答案】C

【分析】利用共加复数的定义即可判定.

【详解】因为z=2i+i2=-I+2i，所以』=-l-2i，所以Z对应的点（一1，-2）位于第三

象限.

故选：C

2.已知加，〃为直线，夕为平面，若加〃a,〃ua,则帆与”的位置关系是（）

A.平行B.相交或异面C.异面D.平行或异面

【正确答案】D

【分析】利用线面平行的定义及直线的位置关系即得.

【详解】因为〃

所以直线加与平面a没有公共点，又"ua,

所以〃?与〃没有公共点，即，〃与〃的位置关系是平行或异面.

故选:D.

3.在△48C中，内角4,B,。所对的边分别是a,h,c.已知力=45。，a=6,b=3&,则8

的大小为（）

A.30°B.60°

C.30。或150°D.60°或120°

【正确答案】A

【分析】先由正弦定理求出sinB=},可得8=30。或8=150。，再由a>6,得/>8,从而可求

出8=30°.

【详解】由正弦定理得一二a

sinZ?sinA

即3近=6）

sinBsin45°

解得sinB=g,

又8为三角形内角，所以8=30。或8=150。,

又因为a>b,所以即8=30。.

故选：A.

—2—1—

4.在Z8C中，阮=痂,且/。=1/8+丁。，贝1」义=()

A.2B.3C.jD.~

【正确答案】B

【分析】利用向量线性运算化简己知等式可整理得到3瓶=就，由此可得结果.

【详解】•.•诟=|而+:%=|(赤+碉+g(亚+反)=赤+|丽+：反，

21||—.

-'-y5£)=-Z)C=-5C--5Z),;.3BD-BC<即2=3.

故选：B.

5.如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为。的正方形O'/'8'C',则原平

面图形的周长和面积分别为()

【正确答案】B

【分析】由直观图还原出原图，在原图中找出对应线段长度进而求出周长和面积.

【详解】由直观图可得原图形，

，OA=BC=a,OB=2缶，NBOA=90°,

，/8=OC=3a,原图形的周长为8a,

S=a-2\[2a=2y/2a2•

故选：B

6.已知力R=（5,2）作用于一物体，使物体从点4（7,3）处移动到点8（2,6）处，则力尸对物

体所做的功为（）

A.9B.-9C.21D.-21

【正确答案】C

【分析】根据向量数量积的几何意义，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.

【详解】由题意,物体从点力（-1,3）处移动到点8（2,6）处，可得小（3,3）,

因为力斤=（5,2）,所以力尸对物体所做的功为71）=5x3+2x3=21.

故选：C.

7.已知。是△NBC外接圆的圆心、若|刘卜3,|万4=7,贝IJ丽.2=（）

A.10B.20C.-20D.-10

【正确答案】C

【分析】BdCA=Bd（BA-BC）,后结合图形及向量投影可得答案.

【详解】Bd-CA=^d（BA-~BC）,设8c中点为O,8/中点E,因。是A48C外接圆的圆

心，则前在瓦j方向上的投影向量为屉，前在前方向上的投影向量为丽，

则访,=而怎=g网、，...=4.而=（园:学

_._.949

故50。=二一一-=-20.

22

8.在4BC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,已知(sin4+sin3)(a-b)=sinC(b+c),

若角力的内角平分线4。的长为3,则6的最小值为()

A.12B.24C.27D.36

【正确答案】A

【分析】先利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理可求得A,再利用等面积法结合基本不

等式即可得解.

［详解】因为(sin4+sin8)("b)=sin+c),

所以(4+6)("6)=c(6+c),即+A，

b2+c2-a21

所以cosN=

2bc~~~2

又因力£(0,兀)，所以力=胃，

由S/Be=S/8D+S48，得立bc=^^-b+^^-c,

444

所以3:+巳3=1,

bc

贝！Jb+c=(6+c)=12,

当且仅当一=七，即Z)=c=6时，取等号,

cb

所以b+c的最小值为12.

故选:A.

二、多选题

9.已知向量2,B满足团=1,出|=2,|,+B|=JL则下列结论中正确的是()

A.a-b=-2B.a.L(a+b)

C.\a-h\=y/lD.3与否的夹角为。

【正确答案】BC

【分析】先利用平面向量的数量积运算得到小B=-l,即可得到小伍+很）的值，再利用平面

向量的数量积运算得到|万-百，最后求解cos<2>>，即可判断选项.

【详解】m+B『=a2+23石+/=1+2筋5+4=3,

:・a•B=-1，

：.a（a+b）=a2+ab=O,

：.al(a+b),

\a-b\=>/a2-2a-h+b2>

a-b

cos<5,ft>=

2

：.G与B的夹角为《~，

故BC正确.

故选：BC.

10.在48C中，如下判断正确的是（）

A.若sin2/=sin28,则Z8C为等腰三角形B.若4>8,则sin/>sin8

C.若N2C为锐角三角形，则sin/>cos8D.若sin/>sin8,则4>B

【正确答案】BCD

【分析】选项A.由题意可得24=28或2/+28="，从而可判断;选项B.若4>8,则。>6,

由正弦定理可判断:选项C.若N8C为锐角三角形，则4+8>三，即所以W>/>W-8>0,

222

由正弦函数的单调性可判断：选项D.在/8C中，若sin4>sin8,由正弦定理可得

T-?>-T,从而可判断.

2R2R

【详解】选项A.在ABC^,若sin2/=sin28,则2N=2B或24+28=乃

rr

所以4=8或/+8=g,所以/8C为等腰或直角三角形.故A不正确.

2

选项B.在48C中，若4>6,则。>6,

由正弦定理可得2Hsin/>27?sin5,BPsin/>sin8,故B正确.

选项C.若/8C为锐角三角形，则4+

所以工>/>生-8>0,所以sinZ>sin(W-B|=COS8，故C正确.

22<2J

选项D.在/8C中，若sin/>sin8,由正弦定理可得会>金，

即a>b,所以/>B,故D正确.

故选：BCD

11.如图，4。为圆锥SO底面圆O的直径，点8是圆。上异于4。的动点，SO=OC=\,

则下列结论正确的是()

A.圆锥SO的侧面积为2©r

三棱锥S-/8C体积的最大值为:

B.

7171

的取值范围是

C.4,7

D.若AB=BC,尸为线段力8上的动点，则M+b的最小值为JJ+1

【正确答案】BD

【分析】利用公式和侧面展开图可判断AD的正误，求出N8C面积的最大值后可求体积的

最大值，故可判断B的正误，过S作垂足为E,利用解直角三角形可求sin/MB

的范围，从而可判断C的正误.

【详解】因为SO=OC=1,故，SC=6，故侧面积为乃xlx>/I=岳，故A错误.

而/82+8。2=/c2=4>2ABXBC,BPABxBC<2,

当且仅当AB=BC=g时等号成立，

故N8C面积的最大值为1,故三棱锥S-Z8C体积的最大值为;xlxl=g,故B正确.

如图，过S作SE1/8,垂足为E,

SESEF)

则sinNSZ8=/=&,而14SE<近，故券4sinNS45<1,

当且仅当C0重合时等号成立.，而/S"为锐角,故

故C错误.

当Z5=8C时，AB=BC=e，

此时△"8为等边三角形，/8C为等腰直角三角形，

将△S/8、N8C沿N8展开至同一个平面，得到如图所示的平面图形,

连接SC,其中N48C=90。，

贝1JSC?=2+2—2x0xV2=4+2/3,

故sc=Vi+i,而W+FC2SC=6+I，当且仅当S,F,C三点共线时等号成立,

故D正确.

故选：BD.

12.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且

重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为

欧拉线定理.已知N8C的外心为。，垂心为，，重心为G,且/8=2,AC=3,则下列

说法正确的是()

___________5

A.AH-BC=OB.AGBC=~-

c.Jd~BC^-D.OH=OA+OB+OC

2

【正确答案】ACD

【分析】设。是8c中点，由，为垂心，得AHLBC,判断A,利用诟=g(9+配)，

OD±BC,计算数量积判断B,同时可判断C,由重心性质得/H=20。，然后由向量的

线性运算判断D.

【详解】，为垂心，AHA.BC,所以而.芯=0，A正确；

设。是8c中点，则4G,。共线，OD1BC,

AGBC=-ADBC=-x-{AB+AC)\AC-AB)=^\AC-AB)=-x(32-22)=-,B

由B的推导过程得I万分e=(7万+50)•肥=7万•沅=而.8e=g,C正确；

AJ4AC；

由4H//OD得—=—=2,所以/”=2。£),

ODGD

所以丽-方=石=2历=怎+方，即丽=a+方+反，D正确

故选：ACD.

三、填空题

13.已知复数z满足3+z-i=z+i,则同等于

【正确答案】亚

【分析】根据给定条件，求出复数z,再利用复数模的意义计算作答.

【详解】依题意，z(l-i)=3-i,即z=盘=心；弋；+:二与=2+i,

1-1(1-1)(1+1)2

所以目=由了=百.

故逐

14.已知正方体488-48/。。/的棱长为2,M、N分别为BB八4B的中点，则三棱锥Z-NM。/

的体积为______________

【正确答案】1

【分析】利用/加皿=^Di-AMN计算即可.

【详解】

因为正方体Z8CD-48/C/。/的棱长为2,M、N分别为88人的中点

所以匕-"皿=；x；xlxlx2=；

在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些.

15.在△/8C中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,S表示△/8C的面积，若

〃cosB+bcos4=csinC,S=—(b12+c2-a2),则N8=

4

【正确答案】3

4

【详解】试题分析：•••cos/J+c、J：.S=-hcsinA=-(h2+c2-a2),

2bc24

1171

—ftcsinA=—x26ccosA,tanJ=1,A=—.*.*QCOSB+bcos/=csinC,

244

sin(/4+B)=sin2C,/.sinC=1,C=-y,:.B=?.

解三角形.

TT

【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得tan""可得"K再用正弦定

理把acos8+6cosN=csinC中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得

C=90。，最后根据三角形内角和，进而求得8.

7T

16.如图，单位向量了丽的夹角为万，点C在以0为圆心，1为半径的弧上运动,

则文•瓦的最小值为.

【正确答案】1-72

【分析】建立平面直角坐标系，设出C（cose,sin。），0G0,1,利用平面向量数量积公式,

结合辅助角公式得到.•瓦=l-&sin（e+£|,结合共,求出最小值.

【详解】以O为坐标原点，分别以。民。/为x，y轴，建立空间直角坐标系，

TT

则8（1,0）,力（0,1）,设C（cos8,sin。），Be0,-,

故CACB-(-cos6』一sin9)•(1-cos0-sin0)=cos20-cos0-sin0+sin20

=1-cos。-sin。=

TT

因为。€0,-,所以。+各

故当。+^=W，£时;0•而取得最小值，最小值为1-JL

424

故1-收

四、解答题

17.已知复数2=制+（2+儿i为虚数单位.

⑴求|z|和

(2)若复数Z是关于X的方程x2+机X+〃=0的一个根，求实数，"，〃的值.

【正确答案】(l)|z|=J5,z=2-i.

(2)m--4,n=5

【分析】(1)根据复数的乘除运算规则计算;

(2)将z代入方程，根据复数等于0的意义求解.

【详解】⑴•."=咨件+(2+产=:R+4+4i7=5(-1-%3+4=2+i

1+21(1+21)(1-21)5

.•.恸=也2+7=亚,z=2-i;

(2)：复数z是关于x的方程/+加x+”=0的一个根，

，(2+ip+〃z(2+i)+〃=0,

I.3+4i+2m+mi+〃=0,(3+2m+n)+(m+4)i=0,

[3+2加+〃=0

[%z+4=0解得〃？二一4,〃=5；

综上，|z|=V^,z=2-i,〃?=-4,〃=5.

18.已知：£、否是同一平面内的两个向量，其中£=(1,2),^=(1,1)

(1)若々与£+45的夹角为锐角，求实数几的取值范围；

(2)求Z+B在々上投影向量.

【正确答案】(l)[-g,0)3(0,+oo)；

-,、|2+1+2(/1+2)>0

【分析】⑴求出,+助=彳+1,彳+2,再解不等式组，.工,「即得解;

'J4+2-2(/1+1)工0

(2)求出(@+3)石=8,\a\=y[5,再代入投影向量的公式即得解.

【详解】(1)­.•a=(l,2),6=(l,l),.-.a+Afe=(A+l,2+2),

又与1+方的夹角为锐角，・•高•()+茄)>0且1与不+如不平行,

/1+1+2（4+2）>0

2+2-2（2+1）^0，

解得2>——且4w0,

・・・实数4的取值范围是（-*。］口（0,+8）.

（2）由题得2+B=（2,3）,（5+fe）a=2+6=8,同=炉工7=6

;.G+b在。上的投影向量为^---1—a=彳〃=7,-T,

|5|25155）

19.已知向量〃=（JJsinx,l）,B=（cosx,-l）.

（1）若Z//B，求tan若的值;

JT

（2）若/（x）=0+孙彼，当X€0,-时，求函数/*）的最大值；

【正确答案】（1）-73;（2）

【分析】（1）由2/4，化简得tanx=-更，结合正切的倍角公式，即可求解;

⑵根据题意得到/(x)=sin(2x+?)+g,结合三角函数的图象与性质，即可求解.

【详解】⑴由题意，向量a=(VJsinx,l),B=(cosx,-l),

因为Z〃B，可得lxcosx=-1x(6sinx),整理得cosx=-V3sinx，HPtanx=--

3

c2tanxfr

所以tan2x=------=-v3.

l-tan~x

(2)因为f(x)=(a+b)b,

_、i八TTf_7T7t7

因为不£0,—,所以2工+二£,

_2」6[_66_

当2x+g=f,即》=/时，函数取最大值为1+?=：.

62622

7T37r

20.如图，在平面四边形/BCD中，ZBCD=-,AB=1,ZABC=—.

c

⑴当8C=及，co=V7时，求的面积;

⑵当4DC=C，]。=2时，求C0S4CD.

6

【正确答案】⑴上后;

4

(2)cosZ/lCZ)=—.

3

【分析】(1)利用余弦定理求出/C,cosNACB,再利用诱导公式、三角形面积公式计算

作答.

(2)在18C和中用正弦定理求出4C,再借助同角公式求解作答.

【详解】(1)当8c=0时，在N8C中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC,

即NC2=3_2/COS¥=5,解得4C=有，8s4C8=/0+叱一/"二亚

42ACBC10

因为N8CZ)=g,贝!]sin4c£>=cos4c8=^^，又CO=近，

210

所以/CO的面积是SQ=L/C-COsin4cT>=L氐历也=工行.

22104

....34

4BACHnABsmnz

(2)在48C中，由正弦定理得即AC=4=>2

sinZACBsinZABC

sinZACB2cosAACD

AC目n4。sin—i

在力CD中，由正弦定理得，即如=6=1

sinZ.ACDsinZ.ADC

sinZACDsinZACD

整理得sin4C£>=0cosN4C£>，而

sin2ZACD+cos2ZACD=l,/力8为锐角，

所以cosN/CD=—.

3

21.如图所示，在正三棱柱中，AB=2,/4=1,点。是48的中点.

A

(1)求点3到平面以。。的距离；

(2)求异面直线ZG和8/C所成角的余弦值.

【正确答案】(1)也

2

1

⑵S

【分析】(1)利用等体积法转化即可；

(2)先将异面直线通过平行转化于同一面，再利用余弦定理解角即可.

【详解】(1)因为△Z8C正三角形，。为Z8的中点，AB=2,则80=1,CD=B

又85/JL底面NBC,BBI=AA!=\,则BiD=J幽+BD，=6,

BiC=y^BB^+BC1=Vl2+22=V5,

则CD2+BQ2=(0&'/=5=302,所以co_L8/D

所以S=-CDB,D=-x-j3x42=—,S=-CD-BD=-xy/3x\=—.

BKren222RCD222

设点B到平面BiCD的距离为cl,

由七/8=G-BS,得二SRCD，d=：SBCD,BB[,HP-1xx(/=-J-xx1>

333232

所以d=正，即点8到平面8/CD的距离为也.

22

(2)连结B。，交.BiC于点、M,连结MD,则〃为BG的中点，

又。为月8的中点，则所以NCA/Q或其补角即为异面直线和8/C所成角,

因为正三棱柱Z8C-4氏G中，CGJ_/C,CG=1,AC=2,所以4。=石,

所以MD=在，又CD=拒,CM^-B,C=—,

22