2023年高考数学理一轮复习教学案第6章6-2等差数列

6.2等差数列

【考试要求】

1.理解等差数列的概念.

2.掌握等差数列的通项公式与前〃项和公式.

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.

4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.

【知识梳理】

1.等差数列的有关概念

(1)等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列

就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示，定义表达式为a“一a-=d(常

数)(启2,〃GN).

(2)等差中项

若三个数小48成等差数列，则力叫做a与。的等差中项，且有力=-5一.

2.等差数列的有关公式

(1)通项公式：a,=a+(〃-1)&

(2)前〃项和公式：Sn=naΛ~——"或S=^~~.

3,等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：&=&+(〃一0)d(〃,加WN').

(2)若｛&｝为等差数列，且A+∕=∕zz+4(k7,∕ibΛ∈Nβ),则

(3)若｛a｝是等差数列，公差为d,则a,热+w,a*+2z，…(女，SWN*)是公差为®_的等差数列.

(4)数列£,SLSIB,…也是等差数列.

⑸S2n-I=(2/7—1)aπ.

(6)等差数列｛a｝的前n项和为S,,等差数列.

【常用结论】

1.己知数列｛&｝的通项公式是a,=p〃+q(其中p,q为常数),则数列｛&｝一定是等差数列，且公

差为P-

2.在等差数列｛&｝中，a>0,水0,则S存在最大值；若aKO,d>0,则S存在最小值.

3.等差数列｛a,J的单调性：当/0时，EJ是递增数列；当水0时，｛&｝是递减数列；当d=0时，

｛4｝是常数列.

4.数列｛4｝是等差数列=S,=44+物(46为常数).这里公差d=24

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“义”）

（1）等差数列｛4｝的单调性是由公差d决定的.（√）

（2）若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.（X）

（3）数列｛4｝为等差数列的充要条件是对任意〃CN,,都有2a小=%+a,+2.（√）

（4）已知数列｛aj的通项公式是a,=pc+<7（其中p,g为常数），则数列｛a｝一定是等差数

列.（√）

【教材题改编】

1.己知等差数列｛a“｝中，az=3,前5项和S=I0,则数列｛&｝的公差为（）

5

A.-1B.--

C.12D.—4

答案A

解析设等差数列｛4｝的公差为d,

∙.∙W=5a=10,

•∙ʤ=@2+"=2,

又・・,切=3,Λ√=-l.

2.在等差数列｛a｝中，若4+&+a+a+/=450,则d=.

答案90

3.己知｛4｝是等差数列，其前〃项和为S”若全=2,且W=30,则W=______.

答案126

dι+2d=2,

解析由已知可得•

2⅛+5√=10,

a=-10,

解得

d=6.

・・£)=9句90÷36×6=126.

题型一等差数列基本量的运算

例1⑴（2022・包头模拟）已知等差数列｛&｝中，S为其前〃项和，$=24,W=99,则&等于（）

A.13B.14C.15D.16

答案C

_[Sι=24,PIal+6d=24,

解析“w=99,"Na+36d=99,

fa=3,

解得彳则e=&+6d=15.

〔d=2.

（2）记S为等差数列｛&｝的前/?项和.已知S=O,勒=5,则下列结论正确的有.（填序

号)

®a2+a=O；(2)an=2/7—5；

③S=4)；@d=—2.

答案①@③

二4Xa+&

解析Sc=-----------------=0,

♦♦句+国=4+@3=0,Φ正确；

a=a+4d=5,(*)

囱+国=团+aι+3d=0,(**)

[d=2

联立(*)(**)得《f

QI=-3,

an=—3+(Z?—1)×2=2/7—5,

②正确，④错误；

S=-3〃+^~~—×2=n-4nf③正确.

【备选】

1.己知等差数列｛4｝的前〃项和为S,若戊=5,S=24,则4等于()

A.-5B.—7

C.-9D.-11

答案B

解析Vaι=5,S=24,

向+2d=5,4国+64=24,

解得a=9,d=—2,

=-

•∙3n11^2/7,

Λa⅛=11—2×9=-7.

2.已知EJ是公差不为零的等差数列，且a,+a∣0=⅛,,则团+一+…+.=

aɪo

F上27

答案7

解析,∙*cl｝-Fc?io=c⅛,

Λa∖+aι+9d=a↑+8c∕f即团=一",

9X8

•∙d∖A~4+…+愚=W=9a+~yd=27d,

.句+/+…+「27

句o=a+9d=8d,

思维升华（1）等差数列的通项公式及前〃项和公式共涉及五个量a,n,d,a”S,知道其中三

个就能求出另外两个（简称“知三求二”）.

(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a和公差d.

跟踪训练1⑴记S,为等差数列｛4｝的前〃项和.若的+&=24,W=48,则下列选项正确的是

ʌ.a=-2B.a↑=2

C.d=3D.d=-3

答案A

a⅛+a=2aι+7d=24,

解析因为，

E=6a+15d=48,

⅛——2,

(2)(2020•全国H)记S,为等差数列｛a,J的前"项和.若a尸一2,⅛+⅛=2,则S。=_____.

答案25

解析设等差数列｛&｝的公差为4

则a2+ai=2aι+6d=2.

因为&=-2,所以d=L

所以So=IoX(-2)+-J-X1=25.

题型二等差数列的判定与证明

例2(2021•全国甲卷)已知数列｛&｝的各项均为正数，记S为EJ的前n项和，从下面①②③中

选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列｛a,J是等差数列；②数列｛｛2｝是等差数列；③&=3&.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

解①③=②.

已知｛a｝是等差数列,⅛=3⅛.

设数列｛&｝的公差为d,

则a2=3a∣=aI+d,得d=2a∣,

所以$=.a∣+-~ʒ-—(/=Λ2a∣.

因为数列｛&｝的各项均为正数，

所以=/NW,

所以在二一小“=(〃+1),一近(常数)，所以数列J是等差数列.

①②=③.

已知｛a｝是等差数列，｛√W｝是等差数列.

设数列｛a｝的公差为d,

因为数歹Ij｛4｝是等差数列，所以数列｛小,｝的通项公式是关于〃的一次函数，则以一省=0,即d

=2a∣,所以a=m+d=3a∣.

②③=①.

已知数列｛、「,｝是等差数列，⅛=3al,

所以S=H],S=a∣+d2=4句.

设数列｛返｝的公差为&d>0,

则邓2—小ι=y∣^LVI=d,得a=",

所<3ι+(/7—1)d=nd,

所以S尸应A

所以a“=S—S-ι=z∕d-(〃-l)2<∕=2o⅛-d(〃N2),是关于〃的一次函数，且d=才满足上式，

所以数列｛4｝是等差数列.

【真题改编】

已知数列｛4｝中，a=l,前〃项和为S,且满足〃S+L("+1)S-|〃2—5=0,证明：数歹Ej是

等差数列，并求｛&｝的通项公式.

33

解因为〃S+ɪ-(Λ+1)Sf,--n--^n=0,

3

所以nSn+ι-(n+l)Sn=-∏(n+l),

广广IS+ιS3S

所以=T=7?τ=aι=l,

刀+1/?21

所以数列是以1为首项，T为公差的等差数列，

—S3O...-1

n22

ɜ1

所以s=5〃2一万〃，

当∕7≥2时，

&SnSn-I

321「3

=2n~2n~2Ll1

=3/7—2,

当〃=1时，上式也成立，

所以3〃=3〃-2.

【备选】

(2022•烟台模拟)已知在数列｛4｝中,aι=l,art=2an-l+l(∕7≥2,∕7∈N*),IB⅛=log2(aw÷l).

⑴判断｛4｝是否为等差数列，并说明理由；

(2)求数列｛a,｝的通项公式.

解(1)｛4｝是等差数列，理由如下：

⅛=log2(aι+l)=log22=l,

当∕7⅛2时，bn-bn-∖=Iog2(a„+1)—log2(¾-ι÷1)

,a+1,2an-ι+2

=10g2Σ^+T=10g2lΣ+Γ=1'

・・・｛4｝是以1为首项，1为公差的等差数列.

(2)由(1)知，bn=l+(n-l)×1=Λ,

.∖an+1=2'=2",

n

.∖a,t=2-l.

思维升华判断数列｛a｝是等差数列的常用方法

(1)定义法：对任意&+I-a是同一常数.

(2)等差中项法：对任意〃22,Λ≡N*,满足2a=d+ι+a-ι.

(3)通项公式法：对任意∕7∈N',都满足a=m+g(□g为常数).

(4)前〃项和公式法：对任意力∈N',都满足S=出/+物(48为常数).

跟踪训练2已知数列｛a｝满足51=1,且〃&+L(n+i)an=2n+2zλ

⑴求如生；

(2)证明数列是等差数列，并求｛&｝的通项公式.

解⑴由题意可得a2—2团=4,

则&=2千+4,

又国=1,所以色=6.

由2a—32=12,得22=12+3a,

所以∕=15∙

/、I—,/gIIa“+1-〃+1a

(2)由已知得-------ʒ---------n=2,

n/?+1

即黑V—更=2,

n-∖-1n

所以数列榭是首项为个=1，公差为d=2的等差数列，

则”=1+2(〃-1)=2/7—1,

n

所以Q∏-λtrι—n.

题型三等差数列的性质

命题点1等差数列项的性质

例3⑴已知数列｛&｝满足2a=区-1+&+1(〃22),包+劭+/=12,向+色+悬=9,则为+国等于

A.6B.7

C.8D.9

答案B

解析因为2a=a_+a+1,

所以｛4｝是等差数列，

由等差数列性质可得&+&+a=3&=12,

a1+4+曲=3&=9,

所以a+a=3+4=7.

(2)(2022•崇左模拟)已知等差数列｛4｝的前〃项和为S,且a+a+曲+曲+a=150,则S等于

()

A.225B.250

C.270D.300

答案C

解析等差数列｛劣｝的前"项和为S,

且a+a1+龙+&；+e=1501

••・勿+&+呆+&+&=5次=150,

解得a5=30,

9,、

•・S=5(za+3o)=9^5=270.

命题点2等差数列前〃项和的性质

例4⑴已知等差数列EJ的前〃项和为S”若SO=I0,£。=60,则SO等于()

Λ.HOB.150

C.210D.280

答案D

解析因为等差数列｛a｝的前〃项和为S,

所以So,So-S。，Wo-S。，S。一S)也成等差数列.

故(WQ—So)+Sιo=2(WO-SIQ),

所以Wo=150.

又因为(SO—So)+(So—So)=2(So—So),

所以So=280.

⑵等差数列｛a,,｝,｛⅛,)的前〃项和分别为S,,却若对任意正整数〃都有弓=衿1,则芳厂+E7

In3〃一2Z⅛十氏Ibι~vth

的值为_______.

小自29

口案上

a”+8_2<⅜_&

ATILLa”+.戊

解析⅛+⅛l0⅛+fe2&=2bT^

.金Sχ8-∣S52X15-129

・N=&X8T="^=3X15—2=7,

o-I-95c

延伸探究将本例(2)部分条件改为若与m=*则T=_______.

∆l÷a7/9

.,,.5

答z案γ

y%+a2&a5

解ZtZJ析τ+r^=τrτ

9句+曲

2.

,,⅞~9A+Z⅜

2

9aaɔ5

=蕨=W=7，

【备选】

1,若等差数列｛4｝的前15项和S∣5=30,则2余一/一己。+外等于()

A.2B.3C.4D.5

答案A

15

解析VSi5=30,.*.-y(aι÷aι5)=30,

・・向+国5=4,

∙∙.2a=4,∙'∙a=2.

••22-M-a∣(∣+HH=<3]+3f>一呆-功。+S14=3.∖—dlθ+<3j∙t=国。+3n-^句o=2⅛=2.

2.已知S是等差数列｛&｝的前〃项和，若a=一2020,τ⅛-τ⅛=6,则S侬等于()

乙U4U乙UJLzi

A.2023B.-2023

C.4046D.-4046

答案C

解析•••昂为等差数列，设公差为d'，

,∣S020SoM八”_.„,

则rl2020—2014=6"=6,..d=1.

C

首项为亍=—2020,

∙'∙Ξ⅛⅛=-2020+(2023-1)×1=2,

，W嫄=2023X2=4046.

思维升华(1)项的性质:在等差数列｛4｝中,若/n+h=p+q(m,nfp,g∈N'),则&+&=&十

（2）和的性质：在等差数列｛a｝中，S为其前〃项和，则

①S√=刀+=•••=，（2+&+]）•

②W〃-1=（2n—1）an>

③依次〃项和成等差数列，即S,SLSz5一斗，…成等差数列.

跟踪训练3⑴（2021•北京）｛a,,｝和伉｝是两个等差数列，其中与（1≤Z5）为常值，若a=288,

余=96,A=I92,则2%等于（）

A.64B.128C.256D.512

答案B

解析由己知条件可得佟=告，

b∖Z⅜

ri&打96X192

则⅛=一=64,

288

⅛+⅛192+64

因此，bi=5

⑵（2022•吕梁模拟）已知$为等差数列｛&｝的前〃项和，满足ai=3a,,a2=3⅛-l,则数列的

前10项和为（）

55

A.—B.55

65

C.—D.65

答案C

a+2d=33],

解析设等差数列｛4｝的公差为4则1,C

aId=3a-1,

所以a=1,d=1,

/7—1n〃+1

所以S=τ~

Sn-∖-1

所以•n

n2

m]Sr+1Sn〃+1+1〃+11

所以汗TG=F---------F=?

所以是以1为首项，/为公差的等差数列，

WfSL/*=A.10×10-1165

数列匕I的前10项和Tio=IO+-------------------×-=-

Iʃ*J乙乙乙

课时精练

1.（2022•信阳模拟）在等差数列｛a∙｝中，若a+a,=30,a,=11,贝∣J｛aj的公差为（）

A.12B.2C.-3D.3

答案B

解析设公差为%因为a+a=2<¾=30,

所以8=15,从而d=~J"^=2.

2.（2022•莆田模拟）已知等差数列｛a｝满足力+α+斑+科尸⑵则2功一加的值为（）

A.-3B.3C.-12D.12

答案B

解析由等差中项的性质可得，

ʤ+a+a+dn=4a=I2,

解得a=3,

•&+国1=24，

••24一且1=d?=3.

3.（2022・铁岭模拟）中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：今有十等人，每等一人,

宫赐金以等次差降之（等差数列），上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入，得金三斤，持出;

中间三人未到者，亦依等次更给.则第一等人（得金最多者）得金斤数是（）

3737

A——R——

2627

C5256

C—I）—

3939

答案A

解析由题设知在等差数列｛为｝中，

句+4+己3=4,&+备+&）+dlθ=3∙

所以3国+3d=4,4a,+30√=3,

37

解得句=酝.

4.（2022•山东省实验中学模拟）已知等差数列｛a｝的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319,

所有偶数项之和为290,则该数列的中间项为（）

A.28B.29

C.30D.31

答案B

解析设等差数列｛4｝共有24+1项，

则5奇=句+“3+曲+…+&〃+1,

S偶=/+&+&；+…+题”

该数列的中间项为a+“

又S奇—S偶=@+(&-生)+(a-&)+…+(‰+ι-‰)=ai+d+d+∙∙∙+d=a↑+nd=an+↑,

所以a,+∣=Si⅛—SIR=319—290=29.

5.等差数列｛&｝的公差为4前〃项和为S,当首项a和d变化时，团+备+可,是一个定值，则

下列各数也为定值的是（）

ʌ.Si1B.3∖2C.Si5D.4516

答案C

解析由等差中项的性质可得a+as+a∣3=3a为定值，则a为定值，

Sk土*2=15备为定值，

但S,=-'''-团）=8（a+½）不是定值.

6'在等差数列⑸中，若高<7,且它的前〃项和S，有最大值,则使“。成立的正整数〃的最

大值是（）

ʌ.15B.16C.17D.14

答案C

解析Y等差数列｛&｝的前〃项和有最大值,

等差数列｛&｝为递减数列，

x-<-ι,

由

♦♦为>0,国0<0,

且&0<0,

18a1+且8/、

又$8=2=9(&)+aɪɑ)<0,

17a+a?

7=O=17a⅛>0,

・•・使S>0成立的正整数〃的最大值是17.

7.（2019•北京）设等差数列｛4｝的前〃项和为S.若4=-3,S=-IO,则会=—

答案0

解析设等差数列｛2｝的公差为d,

J4=-3,

*IaS=-IO,

[aι÷<√=-3,

即

l5aι+10√=-10,

I«31=—4,

∙*∙I∙'∙a=a+4d—0.

[d=l,

8.（2022・新乡模拟）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群,

是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一.一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势

凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1,3,3,5,5,7,…，该数

列从第5项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为_______.

答案51

解析设该数列为｛a｝,依题意可知，½,备，…成等差数列，且公差为2,备=5,

设塔群共有"层，则1+3+3+5+5(/7-4)+2X2=108,

解得A=I2(n=-8舍去).

故最下面三层的塔数之和为&o+ai+a】2=3ai=3X(5+2X6)=51.

21

9.(2021•全国乙卷)记S为数列｛d｝的前〃项和，6〃为数列⑸的前〃项积，已知τ^+τ~=2.

⑴证明：数列｛4｝是等差数列；

⑵求｛4｝的通项公式.

(1)证明因为儿是数列｛S｝的前〃项积，

所以∕7⅛2时，Sn=,,

Un-｝

代入卷+：=2可得，牛^L+:=2,

>D11DnD,,

整理可得2Aτ+l=24,

即Zv-4τ=g("22).

2IqR

又w+τ=i^=2,所以b\=B，

S∖DiD∖2

故｛4｝是以力为首项，二为公差的等差数列.

(2)解由(1)可知，4=岑，

则各展=2,所以S=陪，

S11n-↑~2/?+1

3

当a=1时，国=S=2*

当"22时，

CC/?+2/?+11

3∏-5∏-ɔ/r-ɪ=Γ-Γ=—；^«.

n-∖-1nn/?+1

rɜ

亍〃=i,

故a=<

n1

77≥2.

nn+1

10.在数列｛4｝中，a=8,a∣=2,且满足a+2-2a7+i+a〃=0(〃eM).

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵设Tn=Iall+I员IT-----V∖an∖,求北.

解(l)fʤ—2a〃+1+&=0,

・♦3n+2-SzH-1=3n+1—2，

.∙.数列｛&｝是等差数列，设其公差为一，

∙.∙&=8,a=2,

Λan=aɪ+(/?—1)d=10—2Z7,∕7∈N∖

⑵设数列｛a｝的前〃项和为S,则由(1)可得,

,n/7-1*

S=8〃+——-——X(z-2)=9∕7-√9,∕7∈N.

由⑴知a7=10—2〃，令区=0,得〃=5,

，当〃>5时，&<0,

则TL=IaI+1员I+…+I十

二句+色+…+悬―(戊+&+•♦•+a)

=W—(S—W)=2S-Stt

=2×(9×5-25)-(9〃-〃2)=√-9Λ+40;

当时，为20,

则T11=Iall+I殳IT-----HaJ

=句+愚+…+&=9〃­，

9〃一/∕,77≤5,77∈N∖

Tn=

7?2—9Λ+40,A26,∕7∈N∖

11.设等差数列｛4｝的前〃项和为S”若Sf=-2,S=O,S+ι=3,则加等于（)

A.3B.4C.5D.6

答案C

解析Y数列｛4｝为等差数列，且前〃项和为S,

.∙.数歹MW1也为等差数列.

in—1mr~1m

解得w=5,经检验为原方程的解.

12.（2022•济宁模拟）设等差数列｛&｝的前〃项和是S,,已知S,>0,SK0,则下列选项不正确的

是（）

A.a>0,cKO

B.aτ+a⅛>O

C.S,与S均为S的最大值

D.aβ<0

答案C

解析因为SQO,

,,,C14×a+a∣

所cr以xS,=------------------1---

=7（aι+a"）=7（a+a.）>0,

即ar+a⅛>O,

因为5l5<0,

所以Ss=—=i5a<0,

所以备<0,所以金〉0,

所以等差数列｛&｝的前7项为正数，从第8项开始为负数，

则a>0,（KO,S为S的最大值.

13.（2020•新高考全国I）将数列｛2P-1｝⅛｛3τ∕-2）的公共项从小到大排列得到数列｛a∙｝,则｛aj

的前〃项和为.

答案3ιf-2n

解析方法一（观察归纳法）

数列｛2〃-1｝的各项为1,3,5,7,9,11,13,•••；

数列｛3〃-2｝的各项为1,4,7,10,13,….

观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13,…，是首项为1,公差为6的等差数列，

则&=l+6（〃-1）=6〃-5.

工…行〒…八na+an1+6〃一5

故前〃项和为Sn=-------l-----n---=--------------------

=3//—2/?.

方法二（引入参变量法）

令A=2〃-1,金=3/-2,bn=cα,

贝I」2〃-1=3勿一2,即3R=2A+1,R必为奇数.

令m=2t-∖,则〃=31—2（Z=I,2,3,…）.

Sz=Z⅛r-2~c¾z-ι=6f-5,即a=6〃-5.

以下同方法一∙

14.(2022•东莞东方明珠学校模拟)已知等差数列｛a｝的首项⅛=1,公差为d,前〃项和为S,,.

若SWS恒成立，则公差d的取值范围是.

田G「11^

答案一〒一耳

解析根据等差数列｛&｝的前n项和S,满足S忘S恒成立，

可知⅛≥0且a9≤0,

所以1+740