2023年中考九年级数学第一轮复习三角形动点问题练习

2023年中考九年级数学第一轮复习三角形动点问题专项练习

一、综合题

1.如图，已知:ZkABC中，AB=AC,ZBAC=90o,分别过B,C向经过点A的直线EF作垂线，垂足

为E,E

(1)当EF与斜边BC不相交时，请证明EF=BE+CF(如图1)；

(2)如图2,当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，证明:EF=BE-CF;

(3)如图3,当EF与斜边BC这样相交时，猜想EF、BE、CF之间的关系，不必证明.

2.如图，AABC中，NACB=90。，AB=IOcm,8C=6cm,若点P从点A出发以每秒ICm的速度沿折线

A-C-B-A运动，设运动时间为♦秒(/>0).

(1)若点P在AC上，且满足∕¾=P8时，求出此时f的值；

(2)若点尸恰好在/BAC的角平分线上(但不与A点重合)，求f的值.

3.已知：如图①，ΔABC^∆ADE,ZBAC=ZDAE=90o,AB=6,AC=8,点D在线段BC上运

动.

(1)当ADLBC时(如图②)，求证：四边形ADCE为矩形；

(2)当D为BC的中点时(如图③)，求CE的长；

(3)当点D从点B运动到点C时，设P为线段DE的中点，求在点D的运动过程中，点P经过的

路径长(直接写出结论).

4.教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.请根据教材中的分析.

(1)结合图①，写出“线段的垂直平分线质定理”完整的证明过程.

(2)定理应用：

如图②，在小ABC^,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于N,交AC于M.连接MB,若AB=8cm,

ΔMBC的周长是14cm.

①求BC的长；

②点P是直线MN上一动点，在运动的过程中，由P,B,C构成的APBC的周长是否存在最小值?

若存在，标出点P的位置，并求APBC的周长最小值；若不存在，说明理由.

5.如图，在AABC中，点。为边AC上的一个动点，过点。作直线MN//BC,设MN交∆BCA

的外角平分线CF于点F,交∆ACB的角平分线CE于E.

M.O

(1)求证：EO=FO；

(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论；

6.如图，ΔABC中，NC=90。，AC=3cm,BC=4cm,动点P从点B出发以2cm/s的速

度向点C移动，同时动点Q从点C出发以lcm∕s的速度向点A移动，设它们的运动时间为ts.

(1)t为何值时，ΔCPQ的面积等于ΔABC面积的ɪ；

(2)运动几秒时，ΔCPQ与ΔABC相似？

(3)在运动过程中，PQ的长度能否为Icm?试说明理由

7.如图，已知A,B两点的坐标分别为71(18,0),B(8,6),点P,Q同时出发分别作匀速运动，其

中点P从点A出发沿AO向终点O运动，速度为每秒3个单位长度，点Q从点O出发沿OB运动，速

度为每秒2个单位长度，当这两个点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，设P,Q运动时间

为t秒.

(2)若以O,P,Q为顶点的三角形与AABO相似，求此时t的值；

(3)是否存在t,使得AOPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出运动时间t；若不存在，请说

明理由.

8.如图,在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为（0,6）、（一8,0）、

（一3,0）,AB=IO,将ΔABC沿着射线AC翻折，点B落到y轴上点D处.

（1）求点D的坐标；

（2）动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿着线段BO向终点。运动，运动时间为

t秒，请用含有t的式子表示APCA的面积，并直接写出t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，动点M以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿着线段AO向终点。

运动，动点N以每秒α个单位长度的速度从点O出发沿着%轴正方向运动，点P、M、N同

时出发；点M停止时，点P、N也停止运动，当ΔDOP=ΔMON时，求α的值.

9.如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边AABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A,点Q从顶

点B同时出发，且它们的速度都为lcm∕s.

(1)连接AQ、CP交于点M,则在P、Q运动的过程中，NCMQ变化吗？若变化，则说明理由，

若不变，则求出它的度数；

(2)请求出何时APBQ是直角三角形？

10.如图，在直角三角形△力BC中，NB=90。，AB=12cm,BC=16cm,点P从A开始沿AB边向点

B以2cτn∕s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm∕s的速度移动.P,Q分别从A,B同

时出发，当一个动点到达终点则另一动点也随之停止运动.设运动时间为t(s),则

(1)求t为何值时，APBQ为等腰三角形？

(2)是否存在某一时刻t,使点Q在线段4C的垂直平分线上？

11.已知：如图所示，在XABC中，/8=90。，AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始沿

AB边向点B以lcm∕s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm∕s的速度移动.当P、

Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动.

Q

（1）如果P,Q分别从A,B同时出发，那么几秒后，XPBQ的面积等于4cm2?

（2）如果P,Q分别从A,B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于2√IUcm?

（3）APQB的面积能否等于7cm2?请说明理由.

12.如图，在44BC中，AB=AC,E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接AE,将线段AE绕

点A逆时针旋转与NBAC相等的角度，得到线段AF,连接EF.点M和点N分别是边BC,EF的中点.

E(M)EMG

图1图3

（1）【问题发现】如图1,若NBAC=60。，当点E是BC边的中点时-，器=________,直线BE与MN

相交所成的锐角的度数为度.

（2）【解决问题】如图2,若4BZC=60。，当点E是BC边上任意一点时（不与B、C重合），上述

两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

⑶【拓展探究】如图3,若NBAC=90。，AB=6,CG=WCB,在E点运动的过程中，直接写出

GN的最小值.

13.如图，在RABC中，Z.C=90o,AC=8cm,BC=6cm,AB=IOcm.若动点P从点C开

始，按CTATBTC的路径运动，且速度为每秒2cm.设运动的时间为t秒.

（1）当t为何值时，CP把&ABC的周长分成相等的两部分?

（2）当t为何值时，CP把△力BC的面积分成相等的两部分？

(3)当t为何值时，ABCP的面积为12cr∏2?

14.如图，在RtAABC中，ZC=90o,AC=20cm,BC=15cm.现有动点P从点A出发，沿AC

向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动.如果点P的速度是4cm∕s,点Q

的速度是2cm∕s,它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.设运动的时间为ts,

(1)用含t的代数式表示Rt∆CPQ的面积S；

(2)当t=3秒时，这时P、Q两点之间的距离是多少？

(3)当t为多少秒时,S=ɪSAABC?

15.如图，已知AABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、

BC方向匀速移动，它们的速度都是ICm/s,当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动

时间为t(s),则

(1)BP=cm,BQ=cm.(用含t的代数式表示)

(2)当t为何值时，4PBQ是直角三角形？

16.如图，在RrAABC中，ZC=90o,AC=l()cm,8C=8cm.点M从点C出发，以2cm∕s的速度沿

CA向点A匀速运动，点N从点8出发，以lcm∕s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时,

另一点也随即停止运动.

(1)经过几秒后，△MCN的面积等于aABC面积的I?

(2)经过几秒，AMCN与AABC相似？

答案

1.【答案】(1)证明：∙.∙BEɪEA,CF±AF.,.ZBAC=ZBEA=ZCFE=90o,ZEAB+ZCAF=90o,ZEBA

+ZEAB=90o

.∙.ZCAF=ZEBA,

在4ABE和BCAF中,

ZBEA=ZAFC,ZEBA=ZFAC,AB=AC,

」.△BEA之ZXAFC中，ΛEA=FC,BE=AF,

ΛEF=EA+AF=BE十CE

(2)证明:..∙BEJ_EA,CFLAF,.

ZBAC=ZBEA=ZCFE=90o,ZEAB+ZCAF=90o,ZABE+ZEAB=90°,NCAF=NABE,

在AABE和AACF中，NEBA=NFAC,NBEA=NCFA,AB=AC,

Λ∆BEA^ΔAFCΛEA=FC1BE=AF,

VEF=AF+AE,AEF=BE-CE

(3)解：EF=CF-BE,理由是:∙.∙BELEA,CF±AFZBAC=ZBEA=ZCFA=90o

ZEAB+ZCAF=90o,ZABE+ZEAB=90o.

NCAF=NABE,在△ABE和^ACF中，

ZEBA=ZFAC,NBEA=NCFA,AB=AC,

二ΔBEA^ΔAFC,ΛEA=FC,BE=CEEF=EA-AF,

,EF=CF-BE.

2.【答案】(1)解：作AB的垂直平分线交AB于D,交AC于P,连接PB,如图所示,

由垂直平分线的性质可知PA=PB,此时P点满足题意，

在Rt∆ABC中，AC=y∣AB2-BC2=√102-62=8cm,

由题意PA=tcm,PC=(8—t)cm,

在RtΔPBC中，PC2+BC2=PB2，

即(8-t)2+62=t2，解得t=,

(2)解：作NCAB的平分线AP,过P作PD_LAB于D点，如图所示

TAP平分NCAB,PC±AC,PD±AB,

ΛPC=PD

在Rt∆ACP和Rt∆ADP中,

(AP=AP

[PC=PD

：.RtLACP=Rt△ADP(HL)

/.AD=AC=8cm

BD=AB-AD=10-8=2cm

由题意PD=PC=(t-8)cm,则PB=6--8)=(14-t)cm,

在Rt∆ABD中，PD2+BD2=PB2

即(-8)2+22=(14-t)2

解得t=等

3.【答案】(1)证明：VADlBC,ZDAE=90o,

ΛZADB=ZADC=ZDAE=90°,

ΛAE/7CD,

V△ABC^ΔADE,

.∙.ZAED=ZACB,

VAD=DA,

Λ∆ADC^∆DAE,

JAE=DC,

・・・四边形ADCE为平行四边形，

VZADC=90o,

.∙.平行四边形ADCE为矩形

(2)解：VZBAC=90o,AB=6,AC=8,

ΛBC=10,

YD为BC的中点，

AD=BD=∣BC=5,

V∆ABC^∆ADE,

.AB_AC

"AD~AE'

VZBAC=ZDAE=90o,

ΛZBAD=ZCAE,

Λ∆ABD^∆ACE,

.AB_BD

''AC~CE，

(3)解：如图，设BC中点为M,CE的中点为Q,连接MQ,当点D在点B时，M即为DE的中点,

当点D与点C重合时，DE的中点即为CE的中点,此时MQ的长即为点P经过的路径长，

4868

即

万==

--炉

AB=6,AC=8,C8

B、A、E共线，.∙∙BE=AB+AE=挈,ΛMQ=∣BE=

25

ɪ，

即点P经过的路径长为孕.

4.【答案】(1)证明：'：MN1AB,

.∖∆ACP=∆BCP=90°f

在^ACP-⅛ΔBCP中，

AC=BC

∆ACP=乙BCP,

.PC=PC

・•・△ACPdBCP,

ΛPA=PB;

(2)解：①TMN垂直平分AB.

ΛMB=MA,

又・・，△MBC的周长是14cm,

∙'∙AC+BC=14cm,

∙.∙AC=AB=8cm,

ΛBC=6cm.

②如图，

当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，

VMN垂直平分AB.

ΛPB=PA,

ΛPB+CP=PA+PC>AC,

.∙.当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，为AC的长

Λ∆PBC的周长最小值是8+6=14cm.

5.【答案】（1）解：VMNΛzBC,

ΛZOEC=ZECB,

YCE平分NACB,

ΛZACE=ZBCE,

ΛZOCE=ZOEC,

ΛOC=OE,

同理OC=OF,

ΛOE=OF;

(2)解：当点0运动到AC中点即AO=CO时，四边形AECF是矩形，理由如下:

由(1)知，OE=OF,

•••AO=CO,

ʌ四边形AECF是平行四边形，

•••CE是Z.BCA的角平分线，CF是∆ACD的角平分线，

.∙.∆OCE+∆OCF=90°,

即乙ECF=90°,

•••四边形AECF是矩形.

6.【答案】(1)解：经过t秒后，PC=4-2t,CQ=t,由题意知，0<t<2,

当ΔCPQ的面积等于ΔABC面积的ɪ时，

11

=-X-X3X4

即ɪ×(4-2t)t82

解得：t1=l,t2=；，满足题意，

所以经过掾或J秒后，当ΔCPQ的面积等于ΔABC面积的⅛时；

ZZo

(2)解：设经过t秒后两三角形相似，

①若RtΔABC〜RtΔQPC,则强=第，即擀=ɪ,解之得t=帛；

DCrL⅜4--Ztɔ

②若RtΔABC〜RtΔPQC,则提=第，即,=早，解之得t=笔；

又0<t<2,满足题意，

所以要使ΔCPQ与ΔCBA相似，运动的时间为I秒或Il秒；

(3)解：•••NC=90。,若PQ=I,

则(4-2t)2+t2=l,

.∙.St2-16t+15=0

Vb2-2ac=256-300=-44<0

所以此方程无实数解，PQ的长度不能为Icm.

7.【答案】(1)解：由题意得：

O≤3t≤18

O≤2t≤IO

解得：0≤t≤5

(2)解：设从出发起，运动了t秒，以O,P,Q为顶点的三角形与XABo相似

AP=3t,OQ=2t,：.OP=18-3t

分两种情况讨论：

①如果APoQSAAOB,则需=黑，...竺萨=啜，解得t=萼

UAUDIOIU11

②如果XPOQSZiBOA,则需=器，∙∙∙ɪ¾“=∙⅛，解得t=嚼

UDUAIUIOɔ/

故当t=得或t=带时，以O,P,Q为顶点的三角形与ΔABO相似

⑶解：当t=学或t=当或t=券时，△OPQ为等腰三角形.提示：当△OPQ为等腰三角

形时，分三种情况：

①如果OP=OQ,那么18-3t=2t,解得：t=当

②如果PO=PQ,如图，过点P作PF1OQ于F,贝IJOF=FQ=^OQ=2t=t

•••在RtAOPF中，乙。"=90°,.∙.OF=OP∙cos∆POF=(18-3t)×⅛=ɪ(18-3t),ʌt=

4

ʒ(18—3t)9

解得：t=笔

③如果QO=QP,如图，过点Q作QGIoP于F,

则OG=GP=1OP=*(18-3t)=9一尹

•••在RtZkOQG中,∆OGQ=90o,.∙.OG=OQ∙cos∆QOG=2t×ɪ=∣t,

∙,∙9—11=t，解得：t=

综上所述：当t=善或"乌或"翳时，AOPQ为等腰三角形.

8.【答案】（1）解：YAD是由AB折叠得到

AAD=AB=IO,

・®0,-4);

(2)解：BP=C,当0≤tV50'J∙,

Vβ(-8,0),C(-3,0),

：.0B=8,OC=3,

11

∙∙SZJAC0=2OA∙OC=2×6×3=9,

OP=OB-BP=8-t,

11

•∙S44p0=2OA∙OP=2x6(8—t)=24—3t,

∙∙S*PC4=S4i4po-S^ACO=24—3t—9=15—3t，

当5Vt≤8时，

SAPCA=S2Mco—S/Apo=9-(24—3t)=3t-15,

综上所述，APCA的面积是S=15-3t,0≤tV5,或S=3t-15,5<t≤8.

(3)解：ΛCΔDOP=ΔM0N,

：.OP=ON,OM=OD,

由题意可知：BP=t,AM=2t,ON=at,OD=4

,OP=OB—BP=8—t,OM=AO-AM=6-2t,

Λ6—2t=4,解得t=l,8—t=at,解得α=7,

ʌɑ的值是7.

9.【答案】(1)解：不变，ZCMQ=60o.

,.,ΔABC是等边三角形，

，等边三角形中，AB=AC,ZB=ZCAP=60o

又•••点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为ɪem/s.

ΛAP=BQ,

Λ∆ABQ^∆CAP(SAS),

ΛZBAQ=ZACP,

NCMQ=∕ACP+NCAM=NBAQ+NCAM=ZBAC=60。；

(2)解：设时间为t秒，贝IJAP=BQ=tcm,PB=(4-t)cm,

当NPQB=90°时，

VZB=60o,

ΛPB=2BQ,即4-t=2t,t=g,

当∕BPQ=90。时，

VZB=60o,

ΛBQ=2BP,得t=2(4-t),t=1,

.∙.当第I秒或第I秒时，△PBQ为直角三角形.

10•【答案】(1)解：由题意得，AP=2t,BQ=4t,

则BP=12-23

当APBQ为等腰三角形时，只有BP=BQ,

Λ12-2t=43解得，t=2；

(2)解：当点Q在线段AC的垂直平分线上时，QC=Q/,

设BQ=X,则J12?+N=16-X，

解得，％=3.5,即BQ=3.5,

.∙.t=竽="秒).

11.【答案】(1)解：设经过X秒以后，APBQ面积为4cm2(0<%≤3.5),

此时AP=xcτn,BP=(5-x)cm,BQ=2xcm,

由;BP∙BQ=4,得;(5-x)x2x=4，

整理得：X2-5x+4=O,

解得：X=I或％=4(舍)，

答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；

(2)解：设经过t秒后，PQ的长度等于2√TUcm

由PQ2=BP2+BQ2,

即40=(5-t)2+(2t)2，

解得：t=3或-1(舍),

；.3秒后，PQ的长度为2√TUcm;

(3)解：假设经过t秒后，APBQ的面积等于7cm2,

即BPX竿=7,(5-t)Xy=7.

整理得：t2-5t+7=O,

由于b2-4αc=25-28=-3<O,

则原方程没有实数根，

ΛΔPQB的面积不能等于7cτ∏2.

12.【答案】⑴岑;30°

(2)解：上述两个结论均成立；

连接AM、AN

BΛ/

VAB=AC,NBAC=60°

Λ∆ABC为等边三角形

•；M是BC中点，

ΛAM±BC,即∕BMA=90°

在直角AABM中，ZB=60o,

.∙.NBAM=30°,AM√3

SinB=AB=T'

同理可得NEAN=30。，SinAEF=空=卑，

AE2

ΛZMAN=ZBAE,AN_AM_43

近=松=T

Λ∆MANSaBAE,

二怨=3，NAMN=NABE=60。，

BE2

,ZNMC=ZAMC-ZAMN=90o-60o=30o,

综合得：嘤=圣,直线BE和MN相交所成的锐角的度数为30。；

BE2

(3)解：GN最小值=1.

13.【答案】(1)解：在XABC中，

∙.∙AC=8cm,BC=6cm,AB=IOcm,

.∙.ΔABC的周长为8+6+10=24(cm),

.∙.当CP把△力BC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时.

CA+AP=BP+BC=12cm

运动速度为每秒2cm,

ʌ2t=12,

解得t—6

故当t为6时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分

(2)解：：当点P在AB中点时，CP把XABC的面积分成相等的两部分，止匕时AP=^AB=5Cm

：.AC+AP=8+5=13(cm),

・•・2t=13/

解得t=6.5,

故当t为6.5时∙，CP把XABC的面积分成相等的两部分.

(3)解：分两种情况：

当点P在AC上时，

v