高考数学一轮复习训练第9章第4讲直线与圆圆与圆的位置关系

第九章第4讲[A级基础达标]1．(2020年大庆月考)过点P(3,4)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则|AB|＝()A．5－eq\r(3) B．5－eq\r(2)C．eq\f(2\r(21),5) D．eq\f(4\r(21),5)【答案】D2．(2020年新课标Ⅰ)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A．1 B．2C．3 D．4【答案】B3．已知直线l：(2m＋1)x＋(m－1)y－1－5m＝0，m为任意实数，则直线l被圆x2＋y2＝A．[0,6] B．[eq\r(5)，6]C．[3,6] D．[4,6]【答案】D4．(2019年重庆期末)若圆C1：(x－m)2＋(y－1)2＝10(m＞0)始终平分圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝2的周长，则直线3x＋4y＋3＝0被圆C1所截得的弦长为()A．2eq\r(5) B．2eq\r(6)C．2eq\r(2) D．2eq\r(3)【答案】B5．(2019年滁州期末)如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝1(a＞0)上总存在点到原点的距离为3，则实数a的取值范围为()A．[eq\r(2)，2] B．[eq\r(2)，2eq\r(2)]C．[1，eq\r(2)] D．[1,2eq\r(2)]【答案】B【解析】根据题意，到原点的距离为3的轨迹方程为x2＋y2＝9，若圆(x－a)2＋(y－a)2＝1(a＞0)上总存在点到原点的距离为3，则圆(x－a)2＋(y－a)2＝1与圆x2＋y2＝9有交点，则有3－1≤eq\r(a2＋a2)≤3＋1，解得eq\r(2)≤a≤2eq\r(2)，即a的取值范围为[eq\r(2)，2eq\r(2)]．6．(2019年宜昌期中)两圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－1＝0与x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－2＝0的公共弦长的最大值为________【答案】2【解析】将两圆方程相减得公共弦所在直线方程为(2a－2b)x＋(2a－2b)y＋2a2－2b2＋1＝0，将x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－1＝0化为标准方程(x＋a)2＋(y＋a)2＝1，其圆心为(－ad＝eq\f(|2a－2b－a×2＋2a2－2b2＋1|,2\r(2)|a－b|)＝eq\f(|1－2a－b2|,2\r(2)|a－b|)，所以公共弦长为2eq\r(1－d2)＝2eq\r(1－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1－2a－b2,2\r(2)|a－b|)))2)＝2eq\r(1－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a－b2,2)＋\f(1,8a－b2)－\f(1,2))))≤2eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(\f(1,16))－\f(1,2))))＝2.7．已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．【答案】0或6【解析】由x2＋y2＋2x－4y－4＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆C的圆心坐标为C(－1，2)，半径为3，由AC⊥BC，可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形，故可得圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为eq\f(3\r(2),2)，由点到直线的距离公式可得eq\f(|－1－2＋a|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，解得a＝0或a＝6.8．(2020年江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0))，A，B是圆C：x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝36上的两个动点，满足PA＝PB，则△PAB的面积的最大值是________．【答案】10eq\r(5)【解析】如图，作PC所在直径EF，交AB于点D，因为PA＝PB，CA＝CB＝R＝6，所以PC⊥AB，EF为垂径．要使面积S△PAB最大，则P、D位于C两侧，并设CD＝x，计算可知PC＝1，故PD＝1＋x，AB＝2BD＝2eq\r(36－x2)，故S△PAB＝eq\f(1,2)AB·PD＝(1＋x)eq\r(36－x2)，令x＝6cosθ，S△PAB＝(1＋x)·eq\r(36－x2)＝(1＋6cosθ)·6sinθ＝6sinθ＋18sin2θ，0<θ≤eq\f(π,2)，记函数f(θ)＝6sinθ＋18sin2θ，则f′(θ)＝6cosθ＋36cos2θ＝6(12cos2θ＋cosθ－6)，令f′(θ)＝6(12cos2θ＋cosθ－6)＝0，解得cosθ＝eq\f(2,3)或cosθ＝－eq\f(3,4)<0(舍去)．显然，当0≤cosθ<eq\f(2,3)时，f′(θ)<0，f(θ)单调递减；当eq\f(2,3)<cosθ<1时，f′(θ)>0，f(θ)单调递增．结合cosθ在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))递减，故cosθ＝eq\f(2,3)时f(θ)最大，此时sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\f(\r(5),3)，故f(θ)max＝6×eq\f(\r(5),3)＋36×eq\f(\r(5),3)×eq\f(2,3)＝10eq\r(5)，即△PAB的面积的最大值是10eq\r(5).9．已知圆C经过点A(2，－1)和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．(1)求圆C的方程；(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．解：(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)则eq\r(a－22＋－2a＋12)＝eq\f(|a－2a－1|,\r(2)).化简得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.所以C(1，－2)半径r＝|AC|＝eq\r(1－22＋－2＋12)＝eq\r(2).所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得eq\f(|k＋2|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝－eq\f(3,4)，所以直线l的方程为y＝－eq\f(3,4)x.综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.[B级能力提升]10．(2020年六安月考)已知在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x－m)2＋(y－m－6)2＝2与圆C2：(x＋1)2＋(y－2)2＝1交于A，B两点，若|OA|＝|OB|，则实数m的值为()A．1 B．2C．－1 D．－2【答案】D【解析】圆C1：(x－m)2＋(y－m－6)2＝2的圆心为C1(m，m＋6)，圆C2：(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心为C2(－1,2)，若|OA|＝|OB|，由连心线垂直平分公共弦可得O在两圆的圆心的连线上，可得kC1C2＝kOC2，即eq\f(m＋6－2,m＋1)＝eq\f(2,－1)，解得m＝－2.11．(多选)(2020年葫芦岛模拟)若P是圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任一点，则点P到直线y＝kx－1的距离的值可以为()A．4 B．6C．3eq\r(2)＋1 D．8【答案】ABC【解析】直线y＝kx－1恒过定点A(0，－1)点，当直线与AC垂直时，点P到直线y＝kx－1距离最大等于AC＋r，圆心坐标为(－3,3)，所以点P到直线的最大距离为eq\r(－32＋3＋12)＋1＝6；当直线与圆有交点时最小为0，所以点P到直线y＝kx－1的距离的范围为[0,6]．12．已知圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0和圆C2：x2＋y2＋2by－4＋b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，令t＝a＋b，则t的取值范围是________．【答案】[－5eq\r(2)，5eq\r(2)]【解析】由x2＋y2－2ax＋a2－9＝0，得(x－a)2＋y2＝9，由x2＋y2＋2by－4＋b2＝0，得x2＋(y＋b)2＝4.依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和，则eq\r(a2＋－b2)＝3＋2＝5，即a2＋b2＝25，所以点(a，b)满足圆a2＋b2＝25的方程，于是t＝a＋b可以看作直线l：a＋b－t＝0，则直线l与圆a2＋b2＝25有交点，即有eq\f(|t|,\r(2))≤5，从而得－5eq\r(2)≤t≤5eq\r(2).13．(一题两空)(2020年山西模拟)倾斜角是45°，且过点(1,4)的直线l交圆C：x2＋y2－2y－3＝0于A，B两点，则直线l的一般式方程为____________，|AB|＝________.【答案】x－y＋3＝02eq\r(2)【解析】直线l的斜率k＝tan45°＝1，又直线l过点(1,4)，所以直线l的方程为y－4＝1×(x－1)，化为一般方程，即x－y＋3＝0.化圆C：x2＋y2－2y－3＝0为x2＋(y－1)2＝4，则圆心坐标为C(0,1)，半径为2.圆心C(0,1)到直线x－y＋3＝0的距离d＝eq\f(|－1＋3|,\r(2))＝eq\r(2).所以|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(4－2)＝2eq\r(2).14．(2020年扬州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋F＝0，且圆C被直线x－y＋3＋eq\r(2)＝0截得的弦长为2.(1)求圆C的标准方程；(2)若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等，求切线l的方程；(3)若圆D：(x－a)2＋(y－1)2＝2上存在点P，由点P向圆C引一条切线，切点为M，且满足PM＝eq\r(2)PO，求实数a的取值范围．解：(1)由题意得C：x2＋y2＋2x－4y＋F＝0，即(x＋1)2＋(y－2)2＝5－F＞0，所以F<5，所以C(－1,2)，r2＝5－F.圆心C(－1,2)到直线x－y＋3＋eq\r(2)＝0的距离d＝eq\f(|－1－2＋3＋\r(2)|,\r(2))＝1.因为弦长为2，所以5－F＝12＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2)))2，所以F＝3.所以圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2.(2)因为直线l在x轴和y轴上的截距相等，①若直线l过原点，则假设直线l的方程为y＝kx，即kx－y＝0.因为直线l与圆C相切，所以d＝eq\f(|－k－2|,\r(1＋k2))＝eq\r(2).所以k2－4k－2＝0，所以k＝2±eq\r(6).所以直线l的方程为y＝(2＋eq\r(6))x或y＝(2－eq\r(6))x.②若直线l不过原点，切线l在x轴和y轴上的截距相等，则假设直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，即x＋y－a＝0.因为直线l与圆C相切，所以d＝eq\f(|1－a|,\r(2))＝eq\r(2)，所以|1－a|＝2，所以a＝3或a＝－1.所以直线l的方程为x＋y－3＝0或x＋y＋1＝0.综上可得，直线l的方程为y＝(2＋eq\r(6))x或y＝(2－eq\r(6))x或x＋y－3＝0或x＋y＋1＝0.(3)设P(x，y)，由PM＝eq\r(2)PO，可得PM2＝2PO2.因为PM与C相切，且M为切点，所以PM2＝PC2－r2.所以2PO2＝PC2－2.所以2(x2＋y2)＝(x＋1)2＋(y－2)2－2.所以x2＋y2－2x＋4y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝8.因为P又在圆(x－a)2＋(y－1)2＝2上，所以两圆有公共点．所以eq\r(2)≤eq\r(1－a2＋－2－12)≤3eq\r(2).又eq\r(1－a2＋－2－12)＝eq\r(1－a2＋9)＞eq\r(2)恒成立，所以eq\r(1－a2＋9)≤3eq\r(2).所以(a－1)2≤9，所以－2≤a≤4.[C级创新突破]15．(2020年金牛区校级期末)如图，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.过点A任作一条直线与圆O：x2＋y2＝1相交于M，N两点，eq\f(|NB|,|NA|)＋eq\f(|MA|,|MB|)的值为()A．2 B．3C．2eq\r(2) D．eq\r(2)－1【答案】C【解析】因为圆C与x轴相切于点T(1,0)，所以圆心的横坐标x＝1，取AB的中点E.因为|AB|＝eq\r(2)，所以|BE|＝1，则|BC|＝eq\r(2)，即圆的半径r＝|BC|＝eq\r(2).所以圆心C(1，eq\r(2))．所以E(0，eq\r(2))．又因为|AB|＝2，且E为AB中点，所以A(0，eq\r(2)－1)，B(0，eq\r(2)＋1)．因为M，N在圆O：x2＋y2＝1上，所以可设M(cosα，sinα)，N(cosβ，sinβ)，所以|NA|＝eq\r(cosβ－02＋[sinβ－\r(2)－1]2)＝eq\r(2\r(2)－1\r(2)－sinβ)，|NB|＝eq\r(cosβ－02＋[sinβ－\r(2)＋1]2)＝eq\r(2\r(2)＋1\r(2)－sinβ).所以eq\f(|NB