高中数学北师大版练习第七章2第2课时互斥事件的概率

第2课时互斥事件的概率水平11．若A与B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).()2．若A与B为互斥事件，则P(A)＝1－P(B).()3．若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B).()4．若事件A，B，C互斥，则P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C).()5．若P(A)＋P(B)≠P(A∪B)，则事件A与事件B不互斥．()【解析】1.√.2．提示：×.因为P(A∪B)不一定等于1.3．√.4．√.5．√.·题组一“有放回”与“无放回”抽取问题1．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母按字母顺序恰好是相邻的概率为()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,10) D．eq\f(7,10)【解析】选B.试验的样本空间Ω＝{AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE}，共有10个样本点，其中事件“这2张卡片上的字母按字母顺序恰好是相邻的”包含4个样本点，故所求的概率为eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).2．一个盒子里装有完全相同的10个小球，分别标上1，2，3，…，10这十个数字，随机抽取2个小球，如果小球是有放回地抽取，则2个小球上的数字为相邻整数的概率为________．【解析】如果小球是有放回地抽取，按抽取顺序记录结果为(x，y)，那么x有10种可能，y也有10种可能．故共有样本点10×10＝100个，由于盒子里的10个小球完全相同，因此可认为这100个样本点出现的可能性相等，从而可以用古典概型的概率公式计算概率．设事件A表示“2个小球上的数字为相邻整数”，则A＝{(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)，(2，1)，(3，2)，(4，3)，(5，4)，(6，5)，(7，6)，(8，7)，(9，8)，(10，9)}共有18个样本点，所以P(A)＝eq\f(18,100)＝eq\f(9,50).答案：eq\f(9,50)3．一个盒子里装有完全相同的10个小球，分别标上1，2，3，…，10这十个数字，随机抽取2个小球，如果小球是无放回地抽取，则2个小球上的数字为相邻整数的概率为________．【解析】如果小球是无放回地抽取，按抽取顺序记录结果为(x，y)，那么x有10种可能，y有9种可能，故共有样本点10×9＝90个，由于盒子里的10个小球完全相同，因此可认为这90个样本点出现的可能性相等，从而可以用古典概型的概率公式计算概率．设事件B表示“2个小球上的数字为相邻整数”，则B＝{(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)，(2，1)，(3，2)，(4，3)，(5，4)，(6，5)，(7，6)，(8，7)，(9，8)，(10，9)}共有18个样本点，所以P(B)＝eq\f(18,90)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)·题组二利用概率的基本性质求概率1．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级品)的概率为()A．0.95B．0.97C．0.92D．0.08【解析】选C.记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是()A．0.42 B．0.28C．0.3 D．0.7【解析】选C.因为摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，所以摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3.3．甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0.2，没有平局，那么乙获胜的概率为()A．0.2 B．0.8C．0.4 D．0.1【解析】选B.乙获胜的概率为1－0.2＝0.8.4．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是________．【解析】“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A、B、C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.答案：0.105．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为eq\f(3,7)，乙夺得冠军的概率为eq\f(1,4)，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．【解析】由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为eq\f(3,7)＋eq\f(1,4)＝eq\f(19,28).答案：eq\f(19,28)6．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为eq\f(1,2)和eq\f(1,3).假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，甲、乙两球都不落入盒子的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(1,3)，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为eq\f(2,3).答案：eq\f(1,6)eq\f(2,3)7．某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品．从这批产品中随机抽取一件产品检测，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为________.【解析】设抽到一等品、二等品、三等品的事件分别为A，B，C.则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（A）＋P（B）＝0.86，,P（B）＋P（C）＝0.35，,P（A）＋P（B）＋P（C）＝1，))解得P(B)＝0.21.答案：0.21易错点一搞错题中所研究的对象有1号、2号、3号三个信箱和A，B，C，D四封信，若4封信可以任意投入信箱，投完为止，其中A信恰好投入1号或2号信箱的概率是________．【解析】由于每封信可以任意投入信箱，对于A信，投入各个信箱的可能性是相等的，一共有3种不同的结果．投入1号信箱或2号信箱有2种结果，故A信恰好投入1号或2号信箱的概率为eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)【易错误区】应该考虑A信投入各个信箱的概率，而错解考虑成了4封信投入某一信箱的概率．易错点二忽略概率加法公式的应用前提致错掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率都是eq\f(1,6)，记事件A为“出现奇数点”，事件B为“向上的点数超过3”，则P(A∪B)＝________.【解析】满足条件为出现1，3，5与出现4，5，6的和事件．共5种可能，故为eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)【易错误区】概率加法公式使用的前提是事件互斥，本题“出现奇数点”和“向上的点数超过3”存在同时发生的子事件．水平1、2限时30分钟分值50分战报得分______一、选择题(每小题5分，共25分)1．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋eq\x\to(B)发生的概率为()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(5,6)【解析】选C.掷一个质地均匀的骰子的试验有6种可能结果，依题意P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，所以P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，因为eq\x\to(B)表示“出现5点或6点”的事件，所以事件A与eq\x\to(B)互斥，从而P(A＋eq\x\to(B))＝P(A)＋P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).2.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从4个阴数中随机抽取2个数，则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是()A．eq\f(1,2)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,3)【解析】选D.阴数中随机抽取2个数，共有6种取法，其中满足题意的取法有两种：4，6和2，8，所以能使这2个数与居中阳数之和等于15的概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).3．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为()A．eq\f(1,10)B．eq\f(1,5)C．eq\f(3,10)D．eq\f(2,5)【解析】选C.将5张奖票不放回地依次取出共有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＝120(种)不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝36(种)取法，所以P＝eq\f(36,120)＝eq\f(3,10).4．(多选题)某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能地随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则()A．P1·P2＝eq\f(1,6)B．P1＝P2＝eq\f(1,2)C．P1＋P2＝eq\f(5,6)D．P1＞P2【解析】选ACD.三辆车的出车顺序可能为123，132，213，231，312，321，共6种．方案一坐到“3号”车可能为132，213，231，共3种，所以P1＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)；方案二坐到“3号”车可能为312，321，共2种，所以P2＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).所以P1＞P2，P1·P2＝eq\f(1,6)，P1＋P2＝eq\f(5,6)，故选A，C，D.5．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若a＝b或a＝b－1，就称甲、乙“心有灵犀”，现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为()A．eq\f(7,36)B．eq\f(1,4)C．eq\f(11,36)D．eq\f(5,12)【解析】选C.由于甲、乙各记一个数，则基本事件总数为6×6＝36个，而满足a＝b或a＝b－1的共有(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，共11个．所以概率P＝eq\f(11,36).二、填空题(每小题5分，共15分)6．从1－9这9个数字中任取一个数字a，满足log2a2≥4的概率为________．【解析】由log2a2≥4得a2≥16，解得a≥4或a≤－4，则符合题意的a是4，5，6，7，8，9，共有6种情况，而所有情况有9种，故所求概率为eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)7．甲、乙两间医院各有3名医生报名参加研讨会，其中甲医院有2男1女，乙医院有1男2女，若从甲医院和乙医院报名的医生中各任选1名，则选出的2名医生性别不相同的概率是________．【解析】记甲医院2男1女为A，B，0；乙医院1男2女为C，1，2，从甲医院和乙医院报名的医生中各任选1名：(A，C)，(A，1)，(A，2)，(B，C)，(B，1)，(B，2)，(0，B)，(0，1)，(0.2)共有9种，所以选出的2名医生性别不相同有(A，1)，(A，2)，(B，1)，(B，2)，(0，B)，共5种，选出的2名医生性别不相同的概率P＝eq\f(5,9).答案：eq\f(5,9)8．2021年广东新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率为________．【解析】由题意，从政治、地理、化学、生物中四选二，共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝6(种)方法，所以他们选课相同的概率为