直线与圆的位置关九年级数学上学期期末考试真题汇编（苏科版）

专题06直线与圆的位置关系

一.选择题（共4小题）

1.（2021秋•苏州期末）己知。。的直径为10c%,圆心。到直线/的距离为5cm,则直线/

与O。的位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.相交或相切

【分析】求出圆。的半径，把半径和圆。到直线A8的距离（相交：d<r；相切：d=r；

相离：d>r）比较即可.

【解答】解：Y。。的直径为IOCTm

GO的半径为5cm,

∙.∙圆心。到直线AB的距离为5cm,

：.5=5,

.∙.。0与直线4B的位置关系是相切.

故选:B.

【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，熟练掌握直线与圆

的位置关系的性质是解此题的关键.

2.（2021秋•邢江区期末）如图，AB是。O的直径，点。在AB的延长线上，DC切。。于

点C,若NA=20°,则/。等于（）

D

A.20oB.30oC.50oD.40°

【分析】连接OC,由。C切。。于点C得NoC£）=90°,由OA=OC得NoCA=/A,

则/COD=/Oc4+∕A=2NA,可求出/COD的度数，再根据直角三角形的两个锐角互

余求出/O的度数即可.

【解答】解：如图，连接。C,

切。。于点C,

：,CDIOC,

；./08=90°,

∙.∙A8是OO的直径，

二点。在AB上，

：.OA=OC,

.∙.N0C4=∕A,

VZA=20o,

NCW=/OcA+∕A=2∕A=2X20°=40°,

ΛZD=90o-NCO£)=90°-40°=50o,

故选：C.

【点评】此题重点考查圆的切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互

余等知识，连接OC构造直角三角形是解题的关键.

3.（2021秋•阜宁县期末）如图，48是。。的直径，雨切。。于点A,Po交。。于点C,

连接BC.若NB=20°,则/P等于（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

【分析】先由08=0C,/8=20°,可求得NPOA的度数，又由AB是。。的直径，PA

切。。于点A,即可得出结论.

【解答】解：'：OC=OB,

：.ZBCO=ZB=20o.

NAOC=40°

YAB是。。的直径，出切。。于点A,

：.OAVPA,

即NBAO=90°,

ΛZP=90o-NAOC=50°

故选：D.

【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质.注意掌握数形结合思想的应用是

解答本题的关键.

4.（2021秋•玄武区期末）如图，PM,PN是。O的切线，B,C是切点，A,。是。。上的

点，若NP=44°,ZMBA=30o,则/。的度数为（)

M

B

A

N

A.98oB.96°C.82oD.78°

【分析】连接OB,OC,根据切线的性质得到PA=PB,NPBO=NMBo=NPCo=90°,

求得/PBC=NPC8=,(180°-44°)=68°,NABO=90°-30°=60°,根据圆

内接四边形的性质即可得到结论.

【解答】解：连接08,OC,

,：PM,PN是。。的切线，

.'.PB=PC,NPBO=NMBO=NPCo=90°,

VZP=44o,ZMfiA=30°,

1

：.4PBC=匕PCB=W(180o-44o)=68o,ZABO=Wo-30°=60°,

ΛZOfiC=90o-NPBC=90°-68°=22°,

NABC=NABO+NC5O=22°+60°=82°,

ΛZD=98o,

故选：A.

【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握

切线的性质是解题的关键.

二.填空题（共4小题）

5.（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，P是。。外一点，PB、PC是。O的两条切线，切点

分别为B、C,若/尸为48°.点A在。。上（不与B、C重合）,则NBAC=66或114°.

B

C

【分析】连接08、0C,分点4在优弧BC上、点4在劣弧BC上两种情况，根据切线的

性质定理、圆周角定理解答即可.

【解答】解：连接。6、0C,

.,.OBLPB,OCVPC,

.∙.N3OC=180°-ZP=132°,

当点A在优弧BC上时，NBAC=*N8OC=66°,

当点A'在劣弧BC上时，ZBA/C=180°-66°=114°,

.∙.NBAC的度数为66°或114°,

故答案为：66或114.

【点评】本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.

6.（2021秋•启东市期末）如图，AB为Oo的直径，点C为。O上的一点，过点C作Θ0

的切线，交直径AB的延长线于点D；若∕A=23°,则/。的度数是44°.

【分析】连接OC,由直径所对的圆周角是直角且AB是。。的直径得NACB=90°,由

C。与OO相切于点C得/OCD=90°,根据同角的余角相等可得/3CO=Noc4=/A

=23°,可求得NACO的度数，再根据三角形内角和定理求出NO的度数.

【解答】解：如图，连接OC,

是。。的直径，

ΛZACB=90°,

,：CD与。。相切于点C,

：.CDLOC,

ΛZOCD=90Q,

ΛZBCD+ZOCB=90u,NoCA+NOCB=90°,

.".ZBCD=ZOCA,

：OA=OC,

：.ZOCA=ZA=23a,

：.ZBCD=23°,

.,.ZACD=ZACB+ZBCD=900+23°=H3o,

.∙.ZD=180o-ZA-ZACD=∖SO°-23o-113o=44o,

故答案为：44°.

【点评】此题考查圆的切线的性质定理、圆周角定理、同角的余角相等、三角形内角和

定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

7.（2021秋•海陵区校级期末）如图，四边形ABC。是平行四边形，的外接圆。。与

Co相切，CB的延长线交。。于E点,连接AE,若NDAE=100°,则GCDB=40°.

【分析】连接。。交AB于F,根据切线的性质得到∕0CC=9（Γ,平行四边形的性质得

至IJAB〃CC,AD^BC,可得NOf8=90°,则OOJMB,根据垂径定理得4O=8D,可

得出BD=BC,由圆内接四边形的对角互补得NO8E=80°,根据三角形外角的性质即

可求解.

【解答】解：连接。。交AB于凡

；。。与CQ相切，

NODC=90°,

∙.∙四边形ABCD是平行四边形,

.∖AB∕∕CD,AD=BC,

,N力F8=90°,

.∖OD±AB,

由垂径定理得AO=8D,

：.BD=BC,

YNDAE=100°，

.∙.NOBE=180°-IOO0=80°,

，/COB=∕C=40°.

故答案为：40.

【点评】本题考查切线的性质、平行四边形的性质、圆的有关性质等知识，添加辅助线

是解题的关键.

8.（2021秋•漂阳市期末）如图，AB是半圆O的弦，DE是直径,过点B的切线BC与。O

相切于点8,与OE的延长线交于点C,连接BD,若四边形0A8C为平行四边形，则N

BDC的度数为22.5。.

DOEC

【分析】根据切线的性质得到NOBC=90",再根据平行四边形的性质得到OA=BC,

则。8=8。，所以4OBC为等腰直角三角形，从而得到NBoC=45°,然后根据圆周角

定理得到NJBoC的度数.

【解答】解：・.・。8为。。的切线，

JOBLCB,

.∖ZOBC=90o,

•・・四边形QABC为平行四边形,

IOA=BC,

而OA=O5,

OB=BCf

为等腰直角三角形，

.∙.N8OC=45°,

1

：・NBDC=专NBoC=22.5°・

故答案为：22.5°.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了平行四边

形的性质和圆周角定理.

三.解答题(共4小题)

9.(2021秋•无锡期末)如图，AB是。。的直径，AN、AC是。。的弦，P为AB延长线上

一点，AN、PC的延长线相交于点M,且AM_LPM,ZPCB^ZPAC.

(1)试判断直线PC与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若AB=I0,ZP=30°,求MN的长.

A

【分析】(1)连结OC,则OA=OC,根据等腰三角形的性质得到NfiAC=NACO.求得

ZPCfi=ZACO.根据圆周角定理得到NACB=90°,求得OCJ_PC.根据切线的判定定

理即可得到结论.

(2)根据直角三角形的性质得到NCOP=60°.解直角三角形即可得到结论.

【解答】解：(1)直线PC与。。相切.

理由：连结。C,贝IJoA=OC,

ZPAC=ZACO.

"."ZPCB^ZPAC,

.".ZPCB=ZACO.

：.NOCP=ZOCB+ZPCB^ZOCB+ZACO=ZACB.

为。。的直径，

.,.ZACB=QOo,

.∙.NOCP=90°,

即OC_LPC.

∙.∙OC为半径，

.∙.直线PC与。O相切.

(2)∖∙∕P=30°,∕OCP=90°,

ΛZCOP=60°.

VAB=IO,

.,.AN=5,

,MN=∣.

【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，直角三角形的性质，解题

的关键：熟练掌握圆的切线的判定方法.

10.（2021秋•崇川区期末）如图，AB为。。的直径，PQ切0。于E,ACLPQTC,交。。

于D

（1）求证4E平分NBAC；

（2）若OA=5,EC=4,求A。的长.

【分析】（1）连接。区根据切线的性质得到OELPQ,根据平行线的性质得到/OEA=

NEAC,根据等腰三角形的性质得到NOEA=NOAE,等量代换证明结论；

（2）过点。作OFJ_AC于立根据勾股定理求出4凡根据垂径定理解答即可.

【解答】（I）证明：连接。E,

：PQ切G）O于E,

OELPQ,

'JACLPQ,

：.OE//AC,

：.AOEA=AEAC,

'：OA=OE,

：.ZOEA=ZOAE,

：./OAE=ZEAC,即AE平分/8AC；

（2）解：过点0作。尸_LAC于F,

则AD^FD=^AD,

'JOEVPQ,AC±PQ,0F±AC,

四边形OECF为矩形，

：.OF=EC=A,

在R∕∆AOFφ,AF=y∣OA2-OF2=√52-42=3,

【点评】本题考查的是切线的性质、垂径定理、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于

经过切点的半径是解题的关键.

11.（2021秋•祁江区期末）如图，在RfZ∖ABC中，NC=90°,点。在AB上，以AD为直

径的。。与BC相交于点E,与AC相交于点尸，AE平分NBAe

（1）求证：8C是。。的切线；

（2）若∕E4B=30°,OD=5,求图中阴影部分的周长.

【分析】（1）根据角平分线的定义得到/CAE=NEA。，根据等腰三角形的性质得到N

EAD=/OEA根据平行线的性质得到NOEB=∕C=90°,于是得到结论；

（2）根据勾股定理得到BE,根据图形的面积即可得到结论.

【解答】（1）证明：如图，连接OR

平分NBAC,

：.ZCAE=ΛEAD,

'.'OA=OE,

：.AEAD=ZOEA,

：.ZOEA^ZCAE

.∖OE∕∕AC,

NOEB=∕C=90°,

.∖OE±BC,

:OE是半径，

.∙.8C是。。的切线；

(2)解：∙.∙NE4B=30°,

ΛZEOD=60o,

.∖ZOEB=90o,

ΛZB=3O°,

.,.08=20E=200=10,

：.BD=5,

：.BE=yj0B2-OE2=√102-52=5√3,

・Piirnr60TΓX55π

••弧CE=Fδ­=τ∙

：.C阴影=BQ+BE+弧DE=5+5√3+∣τr.

【点评】本题考查「切线的判定和性质，扇形的面积的计算，勾股定理，正确地作出辅

助线是解题的关键.

12.(2021秋•金湖县期末)如图，四边形04EC是平行四边形，以。为圆心，OC为半径

的圆交CE于。，延长CO交。。于8,连接A£＞、AB,A8是。。的切线.

(1)求证：AO是。。的切线.

(2)若。。的半径为4,AB=S,求平行四边形OAEC的面积.

【分析】(1)要证明A。是。。的切线，只要求出NOD4=90°即可，所以只要证明△

AOB^∕∖AOD即可解答；

(2)根据已知可求出AABO的面积,从而求出AAOO的面积,最后利用平行四边形OAEC

的面积=2S.。。即可解答.

【解答】(1)证明：连接。C,

B

Ki

E

VAB与。。相切于点B,

ΛZOBA=90o,

Y四边形OAEC是平行四边形，

J.AO//EC,

：.ZAOD=ZODC,ZAOB=ZOCDf

•；OD=OC,

：.ZODC=ΛOCD,

・・・ZAOB=ZAOD,

又A=OA,OD=OB1

：.∕∖AOB^∕∖AOD(SAS),

：.ZOBA=ZODA,

.∖ZODA=90a,

・・・。。是OO的半径，

・・・AD为。。的切线；

(2)解：V0B=41AB=S,

：.SMBO=^AB∙OB=ɪx4X8=16,

•・•∆AOB^∆AOD,

•∙SAAOD—16,

平行四边形OAEC的面积=2SMOD=32.

【点评】本题考查了切线的判定与性质，平行四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握切

线的判定与性质是解题的关键.

然逡机打题Q

—.选择题（共4小题）

1.（2022秋•建湖县期中）如图，点O是aABC的内心，也是aDBC的外心.若NA=84°,

则/D的度数（)

D

A.42oB.66oC.76oD.82o

【分析】连接OB,OC,根据点O是aABC的内心，∕A=84°,可得NBe)C=90°+∣ZA

=132°,再根据点O也是aDBC的外心，和圆周角定理即可解决问题.

【解答】解：如图，连接OB,OC,

D

A

•・・点0是4ABC的内心，ZA=84o,

/.OB,OC是NABC,NACB的平分线，

11

.∙.ZOBC=ɪZABC,ZOCB=ɪZACB,

11

ΛZBOC=180o-ZOBC-ZOCB=180o-ʌ(ZABC+ZACB)=180o-ʌ(lɛθ0-

ZA)=90°A=I32。,

：点。也是aDBC的外心，

1

,ND=/BoC=66。，

则ND的度数为66°.

故选：B.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解

决本题的关键是掌握内心与外心的区别.

2.(2022秋•江阴市期中)如图，直线CD与。。相切于点C,AC、AB是。O的两条弦，

且CD〃AB,若。O的半径为5,AB=6,则弦AC的长为()

B

A.3√5B.3√3C.3√2D.3√10

【分析1连接OC、OA,CO的延长线交AB于E点，先根据切线的性质得到OCLCD,

则利用平行线的性质得到CE_LAB,再根据垂径定理得到AE=BE=3,然后利用勾股定

理先计算出OE,再计算AC的长.

【解答】解：如图，连接OC、OA,CO的延长线交AB于E点，

丁直线CD与。O相切于点C,

ΛOC±CD,

：CD〃AB,

ΛCElAB,

/.AE=BE=∣AB=3,

在RtZ∖0AE中，根据勾股定理得：

OE=>JOA2-AE2=√52-32=4,

ΛCE=OC+OE=5+4=9,

在RtZ∖ACE中，根据勾股定理得：

AC=∖∕AE2+CE2=√32+92=3√10.

故选：D.

【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理和勾股定理，解决本题的关键是掌握圆的切

线垂直于经过切点的半径.

3.（2022秋•惠山区校级期中）如图，点0是矩形ABCD对角线BD上的一点，经过

点C,且与AB边相切于点E,若AB=4,BC=5,则。。的半径长为（）

【分析】连接OC、OE,作OF_LBC于点F,设。O的半径为r,先证明四边形BEOF是

矩形，则BF=OE=OC=r,CF=5-r,再证明AEBOsAiABD,推导出OF=EB=/,

4

即可根据勾股定理列方程(V)2+(5-r)2=r2,解方程求出符合题意的r值即可.

【解答】解：连接OC、OE,作OF，BC于点F,则NOFC=NOFB=90°,

∙.∙G)0与AB边相切于点E,

ΛAB±AB,

；四边形ABCD是矩形，AB=4,BC=5,

.∙.NEBF=90°,DA=BC=5,

设。O的半径为r,

；NOEB=NEBF=NOFB=90°,

四边形BEOF是矩形，

ΛBF=OE=OC=r,

.∙.CF=5-r,

TNBEO=NA=90°,NEBO=NABD,

Λ∆EBO^∆ABD,

.EBOE

ABDA

・

..EɪzŋB=A-BOCEτ?=4ʒr.

4

JOF=EB=/

VOF2+CF2=OC2,

(匕)2+(5-r)2=r2,

5

整理得16r2-250r+625=0,

二解得r=券或r=学（不符合题意，舍去）,

二。。的半径长为g,

故选：B.

【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质、

勾股定理、一元二次方程的解法等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

4.（2022秋•兴化市月考）如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,AB±BC,。。是四边形

ABCD的内切圆，CD,BC分别切。。于F,E两点，若AD=3,BC=6,则EF的长是

)

C.∣√97D.∣√97

【分析】作DGJ_BC于点G,连接OC、OE,根据切线长定理可得CE=CF,C)C平分/

ECF,DF=DH,所以OC垂直平分EF,令OC、EF相交于点M,则EM=FM,设圆半

径为R,则DG=2R,CG=3,CD=6-R÷3-R,根据勾股定理可求出R,再利用面积

公式求出EM即可求得EF.

【解答】解：连接0C,与EF相交于点M,作DGLBC于点G,连接OE,设AD与圆

VADZ/BC,AB±BC,DG±BC,

二四边形ABGD是矩形，

.∙.BG=AD=3,CG=BC-BG=6-3=3,

；点E、F、H是切点，

ΛDF=DH,CF=CE,Oe平分NECF,

...△ECF是等腰三角形，OC是EF的垂直平分线,

二EM=FM,

设圆0半径为R,则BE=R,DG=2R,

ΛCE=CF=6-R,DF=DH=3-R,

VDG2+CG2=CD2,

.,.(2R)2+32=[(3-R)+(6-R)]2,

解得：R=2,

.∙.CE=6-2=4,

二OC=y∣0E2+CE2=√22+42=2√5,

'∙∙SΔOEC=^0E-CE=-EM,

.,,OECE2×44√5

∙∙cEllM=bR=廿

：.EF=2EM=2x警=誓

故选：A.

【点评】本题考查了切线长定理，充分利用切线长定理求解相关线段长度是解题关键.

二.填空题（共4小题）

5.（2021秋•鼓楼区校级期末）Z∖ABC中，AB=AC=13,BC=24,点I是AABC的内心，

点O是aABC的外心，则Ol=14.3.

【分析】设BC边的中点为D,连接AD,根据等腰三角形的性质得到ADj_BC,ZDAB

=ZCAD,得到内心I和外心O都在直线AD上，根据勾股定理得到AD=5,设AABC

的内切圆半径为r,外接圆半径为R,则K）=Dl+OD,根据勾股定理列方程得到R=16.9,

求得OD=Il.9,根据三角形的面积公式得到r=2.4,于是得到结论.

【解答】解：设BC边的中点为D,连接AD,

VAB=AC=13,

ΛAD±BC,ZDAB=ZCAD,

,/点0为AABC的外心，点I为aABC的内心，

内心I和外心0都在直线AD上，

VAB=AC=13,BC=24,

.∙.BD=CD=12,

.∙.AD=‹AB2-BD2=5,

设AABC的内切圆半径为r,外接圆半径为R,则Io=Dl+0D,

连接0B,在RtZiODB中，OD=R-5,OB=R,DB=12,

由勾股定理得(R-5)2+122=R2,

ΛR=16.9,

ΛOD=AO-AD=16.9-5=11.9,

11

VSΔABC=^BC∙AD=^(AB+BC+AC)∙r,

.BCAD24x5_12

•"=AB+BC+AC=13+24+13=^5^=2,4>

Λr=DI=2.4,

ΛIO=DI+OD=2.4+11.9=14.3.

故答案为：14.3.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面

积的计算，正确作出辅助线是解题的关键.

6.（2022∙盐城）如图，AB、AC是。O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D,若N

BAD=35o,则NC=35°.

【分析】连接AO并延长交。O于点E,连接BE,根据切线的性质可得NOAD=90°,

从而求出NBAE=55°,然后利用直径所对的圆周角是直角可得∕ABE=90°,从而利

用直角三角形的两个锐角互余可求出NE的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等，即

可解答.

【解答】解：连接OA并延长交。O于点E,连接BE,

：AD与。O相切于点A,

ΛZOAD=90°,

YNBAD=35°,

ΛZBAE=ZOAD-ZBAD=55o,

；AE是OO的直径，

ΛZABE=90o,

.∙.NE=90°-NBAE=35°,

ΛZC=ZE=350,

故答案为：35.

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适

当的辅助线是解题的关键.

7.如图，在扇形AOB中，/AOB=90°,0A=2,点C是弧AB上一点，CDlOB,垂足

为D,点P是△€)CD的内心，连接AP,则AP的最小值为-√Σ.

【分析】根据三角形内切圆的性质证明∕OPC=135°,连接PB,然后证明aCOPgA

BOP(SAS),可得NOPC=NoPB=I35°,作AOPB的外接圆，圆心为O',连接0'

O,0,B,根据圆周角定理可得/00'B=90°,得O'O=VL连接O'A交圆0'

于点P',此时AP,的最小，过点0'作O'ElAO的延长线于点E,证明△()'OE

是等腰直角三角形，然后根据勾股定理即可解决问题.

【解答】解：VCD±OB,

.'.ZODC=90°,

.*.ZCOD+ZDCO=90o,

：点P是△€>CD的内心，

.∙.PO,PC分别平分/COD,ZDCO,

1

ΛZPOC÷ZPCO=ʌ(ZCOD÷ZDCO)=45°,

ΛZOPC=135°,

如图，连接PB,

⅛∆COP和aBOP中，

(OC=OB

\乙PoC=乙POB,

(OP=OP

：.∆COP^∆BOP(SAS),

ΛZOPC=ZOPB=135°,

如图，作AOPB的外接圆，圆心为O',

连接O'O,O'B,

/.ZOO,B=90o,

V0B=0A=2,

.∙.0,O=ɪθe=√2,

连接O'A交圆0'于点P',

此时AP'的最小，

.∙.0'O=O,P,=√2,

过点。'作O'ELAo的延长线于点E,

.∙.O,E∕7BO,

.∙.NEO''O=ZO,OB=45

,△O'OE是等腰直角三角形，

ΛOE=O,E=%’0=1,

在RtAAEO'中，AE=Ao+OE=2+1=3,根据勾股定理得:

AO,=√ΛF2+O1E2=√32+I2=√10,

.∙.AP'=A0,-0,P'=√10-√2.

/.AP的最小值为√IU-√L

故答案为：VlO—V2.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解

决本题的关键是掌握内心与外心定义.

8.（2020秋•崇川区月考）已知。。是正方形ABCD的内切圆，AB=4,点P是。O上一动

点，则AP+孕DP的最小值为一

【分析】如图，连OA,OP,OD,在OD上取一点E,使OE=&，连PE,AE.得到

OP2=OE-OD,进而求解.

【解答】如图，连0A,OP,OD,在OD上取一点E,使OE=√L连PE,AE.

VOP2=22=4,OE∙OD=√2∙√2=4,

ΛOP2=OE∙OD,

ZPOE=ZDOP,

Λ∆POE^∆DOP,

.PEOE√2

"PD~OP~21

ΛPE=2yPD,

.,.AP+学PD=AP+PEWAE,

AE=J(2√2)2+(√2)2=√Tθ,

即AP+孝DP的最小值为√m.

故答案为：VTo.

【点评】本题考查了圆的综合运用，熟练运用相似三角形的性质，构建APOESADOP

是解题的关键.

三.解答题（共4小题）

9.（2022秋•涟水县期中）如图，在等腰aABC中，AB=AC,以AB为直径的。O与BC

交于点D,DElAC,垂足为E,ED的延长线与AB的延长线交于点F.

（1）求证：EF是。。的切线；

（2）若的半径为三，BD=2,求CE的长.

2

【分析】（1）连接OD,只需证EF_LOD即可；（2）连接AD,由aCDEs^CAD,即可

求解.

(1)证明：连接OD,

VAB=AC,

.∙.ZABC=ZACB,

VOB=OD,

ΛZABC=ZODB,

ΛZACB=ZODB,

ΛOD/7AC,

β.∙DE±AC,

ΛDE±OD

即EF±OD,

YOD是。O的半径，

JEF是。O的切线；

(2)解：连接AD,

YAB是。O直径，

.∖AD±BC,

VDElAC,

ΛZADC=ZDEC,

VZC=ZC,

Λ∆CDE^ΔCAD,

ΛCD:CA=CE:CD,

；AB=AC,

ΛDC=DB=2,

：AC=AB=5,

Λ2:5=CE：2,

ΛCE=^.

【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理的推论，等腰三角形性质及应用，关键是掌

握并能熟练应用这些知识点.

10.(2022秋•常州期中)如图，。。是aABC的外接圆，ZABC=45o,延长BC到D,

连接AD,使AD〃OC.AB交OC于E.

(1)求证：AD与。O相切；

(2)若AE=2√^,CE=2.求OO的半径.

【分析】(1)连接OA,要证明切线，只需证明0A_LAD,根据AD〃0C,只需得到OA

XOC,根据圆周角定理即可证明；

(2)设。0的半径为R,则OA=R,OE=R-2,AE=2√5,在Rt△€)AE中根据勾股

定理可计算出R=4.

VZABC=45o,

ΛZAOC=2ZABC=90o,

.∖OA±OC;

又：AD〃OC,

ΛOA±AD,

；0A是半径，

.∙.AD是