第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 单元作业 2023-2024学年数学沪科版八年级上册

第13章三角形中的边角关系、命题与证明自我评估(建议用时:120分钟分值:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)1.如图,一个三角形只剩下一个角,这个三角形为()A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.以上都有可能2.下列各图中,正确画出边上的高的是()A BC D3.如图,CM是△ABC的中线,△BCM的周长比△ACM的周长大3cm,BC=8cm,则AC的长为()A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm4.下列长度的三条线段,不能组成三角形的是()A.3,7,5 B.4,8,5C.5,12,7 D.7,13,85.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶2∶1,则△ABC的形状是()A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.无法确定6.如图,在△ABC中,∠B=32°,将△ABC沿直线m翻折,点B落在点D的位置,则∠1-∠2的度数是()A.32° B.45° C.60° D.64°7.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高线,CE是一条角平分线,且AD与CE相交于点P.已知∠APE=55°,∠AEP=80°,则∠B为()A.35° B.45° C.55° D.65°8.下列选项中,可以用来证明命题“若a>b,则1a<1b”是假命题的反例是A.a=2,b=1 B.a=2,b=-1C.a=-2,b=1 D.a=-2,b=-19.定理:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.如图,∠ACD是△ABC的外角.求证:∠ACD=∠A+∠B.证法1:如图.∵∠A+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理),又∵∠ACD+∠ACB=180°(平角定义),∴∠ACD+∠ACB=∠A+∠B+∠ACB(等量代换),∴∠ACD=∠A+∠B(等式性质).证法2:如图.∵∠A=76°,∠B=59°,且∠ACD=135°(量角器测量所得),又∵135°=76°+59°(计算所得),∴∠ACD=∠A+∠B(等量代换).下列说法正确的是()A.证法1还需证明其他形状的三角形,该定理的证明才完整B.证法1用严谨的推理证明了该定理C.证法2用特殊到一般法证明了该定理D.证法2只要测量够一百个三角形进行验证,就能证明该定理10.如图,∠ABC=∠ACB,BD,CD分别平分△ABC的内角∠ABC,外角∠ACP,BE平分∠MBC交DC的延长线于点E.有下列结论:①∠MAN=2∠BDE;②∠BDE+∠BED=90°;③∠ABC=∠BEC;④∠BEC=90°-12∠BAC,其中正确的结论有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…,那么…”的形式:

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12.在△ABC中,∠C=90°,如果∠A比∠B小24°,则∠A=°.

13.如图,直线AB∥CD,∠B=70°,∠D=30°,则∠E的度数是.

14.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD中点,过点E作垂线交BC于点F,已知BC=10,△ABD的面积为12,则EF的长为.

三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.写出下列命题的逆命题,并指出其真假.(1)如果a,b都是偶数,那么a+b是偶数.(2)两个锐角的和是钝角.(3)直角三角形的两个锐角互余.16.已知三角形的两条边长为4和6,第三条边长x最小.(1)求x的取值范围.(2)当x为何值时,组成三角形的周长最大?最大值是多少?四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.在锐角△ABC中,∠BAC=50°,将∠α的顶点P放置在BC边上,使∠α的两边分别与边AB,AC交于点E,F(点E不与点B重合,点F不与点C重合).设∠BEP=x,∠CFP=y.(1)【发现】若∠α=40°,①如图1,当点F与点A重合,x=60°时,y=°;

②如图2,当点E,F均不与点A重合时,x+y=°.

(2)【探究】判断x,y和∠α之间满足怎样的数量关系?并写出你的理由.18.如图,点C在射线BE上,∠ABE的平分线与∠ACE的平分线交于点A1.(1)若∠A=60°,求∠A1的度数.(2)若∠A=α,求∠A1的度数.(3)在(2)的条件下,作∠A1BE,∠A1CE的平分线交于点A2;作∠A2BE,∠A2CE的平分线交于点A3,…,依此类推,则∠A2,∠A3,…,∠An分别为多少度?五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.如图,EF∥GH,Rt△ABC的两个顶点A,B分别在直线GH,EF上,∠C=90°,AC交EF于点D,若BD平分∠ABC,∠BAH=32°,求∠BAC的度数.20.如图,B,C,E三点在同一直线上,A,F,E三点在同一直线上,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:AD∥BE.六、(本题满分12分)21.互动学生课堂上,某小组同学对一个课题展开了探究.小亮:如图,D是三角形ABC内一点,连接BD,CD,试探究∠BDC与∠A、∠1、∠2之间的关系.小明:可以用三角形内角和定理去解决.小丽:用外角的相关结论也能解决.(1)请你在横线上补全小明的探究过程:∵∠BDC+∠DBC+∠BCD=180°(),

∴∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD(等式性质).∵∠A+∠1++∠DBC+∠BCD=180°,

∴∠A+∠1+∠2=180°--∠BCD,

∴∠BDC=∠A+∠1+∠2().

(2)请你按照小丽的思路完成探究过程.七、(本题满分12分)22.如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E.(1)若∠B=35°,∠E=25°,求∠BAC的度数.(2)求证:∠BAC=∠B+2∠E.八、(本题满分14分)23.(1)阅读并填空:如图1,BD,CD分别是△ABC的内角∠ABC,∠ACB的平分线.试说明∠D=90°+12∠A的理由解:∵BD平分∠ABC(已知),∴∠1=(角平分线定义).

同理,∠2=.

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠1+∠2+∠D=180°(),

∴∠D=(等式性质).

即∠D=90°+12∠(2)探究,请直接写出结果,并任选一种情况说明理由:(i)如图2,BD,CD分别是△ABC的两个外角∠EBC,∠FCB的平分线.试探究与之间的等量关系.答:∠D与∠A之间的等量关系是.

(ii)如图3,BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线.试探究∠D与∠A之间的等量关系.答:∠D与∠A之间的等量关系是.

参考答案1.B2.D3.C4.C5.C6.D7.B8.B9.B10.D【解析】∵BD,CD分别平分△ABC的内角∠ABC,外角∠ACP,∴∠ABD=∠CBD,∠ACD=∠PCD,∴2∠PCD=2∠CBD+∠MAN,∠PCD=∠CBD+∠BDE,由以上两式得∠MAN=2∠BDE,故①正确;∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC,∴∠DBE=∠DBC+∠EBC=12∠ABC+12∠MBC=12×∴∠BDE+∠BED=90°,故②正确;∵∠ABC=∠ACB,∴∠CBM=∠NCB.∵BE平分∠MBC,DE平分∠BCN,∴∠EBC=∠ECB,∴∠BEC=180°-2∠CBE.又∵∠ABC=180°-2∠CBE,∴∠ABC=∠BEC,故③正确;∵∠BEC=180°-12(∠MBC+∠NCB)=180°-12(∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC)=180°-12(180°+∴∠BEC=90°-12∠BAC,故④正确11.如果两条直线都与同一条直线平行,那么这两条直线互相平行12.3313.40°14.2.415.【解析】(1)逆命题:如果a+b是偶数,那么a,b都是偶数.这是假命题.(2)逆命题:如果两个角的和是钝角,那么这两个角是锐角.这是假命题.(3)逆命题:如果一个三角形的两个锐角互余,那么这个三角形是直角三角形.这是真命题.16.【解析】(1)由题意得2<x<10.∵x为最小,∴x的取值范围是2<x≤4.(2)当x=4时,三角形的周长最大.三角形周长的最大值是4+6+4=14.17.【解析】(1)30;90.(2)x+y=50°+∠α.理由:在△BEP中,∠B+∠BEP+∠BPE=180°①,在△PFC中,∠C+∠CFP+∠CPF=180°②,由①+②,得∠B+∠C+∠CPF+∠BPE+∠BEP+∠CFP=360°,即130°+180°-∠α+x+y=360°,∴x+y=50°+∠α.18.【解析】(1)∵∠ACE=∠A+∠ABC,∠ABE的平分线和∠ACE的平分线交于点A1,∴∠A1BC=12∠ABC,∠A1CE=12∠∴∠A1CE=12∠ACE=12(∠A+∠ABC)=12∠ABC+又∵∠A1CE=∠A1+∠A1BC=∠A1+12∠ABC∴∠A1=12∠A=30°(2)∠A1=12(3)∠A2=14α,∠A3=18α,∠An=19.【解析】∵∠BAH=32°,EF∥GH,∴∠DBA=∠BAH=32°.∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠DBA=32°,即∠ABC=64°.∵∠C=90°,∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-64°=26°.20.【解析】证明:∵AB∥CD(已知),∴∠4=∠BAF(两直线平行,同位角相等).∵∠3=∠4(已知),∴∠3=∠BAF(等量代换).∵∠1=∠2(已知),∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF(等式的性质),即∠BAF=∠CAD,∴∠3=∠CAD(等量代换),∴AD∥BE(内错角相等,两直线平行).21.【解析】(1)∵∠BDC+∠DBC+∠BCD=180°(三角形内角和定理),

∴∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD(等式性质).∵∠A+∠1+∠2+∠DBC+∠BCD=180°,

∴∠A+∠1+∠2=180°-∠DBC-∠BCD,

∴∠BDC=∠A+∠1+∠2(等量代换).

(2)如图,延长BD交AC于点E.由三角形的外角性质可知,∠BEC=∠A+∠1,∠BDC=∠BEC+∠2,∴∠BDC=∠A+∠1+∠2.22.【解析】(1)∵∠B=35°,∠E=25°,∴∠ECD=∠B+∠E=60°.∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠ECD=60°,∴∠BAC=∠ACE+∠E=85°.(2)证明:∵CE平分∠ACD,∴∠ECD=∠ACE.∵∠BAC=∠E+∠ACE,∴∠BAC=∠E+∠ECD.∵∠ECD=∠B+∠E,∴∠BAC=∠E+∠B+∠E,∴∠BAC=2∠E+∠B.23.【解析】(1)∵BD平分∠ABC(已知),∴∠1=

12∠ABC(角平分线定义)同理,∠2=

12∠ACB∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠1+∠2+∠D=180°(三角形的内角和等于180°),∴∠D=180°-12(∠ABC+∠ACB)(等式性质)即∠D=90°+12∠(2)(i)∠D与∠A之间的等量关系是∠D=90°-12∠理由:∵BD,CD分别是△ABC的两个外角∠EBC,∠FCB的平分线,∴∠EBD=∠DBC,∠BCD=∠DCF.∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°,∴∠A+∠ABC+∠ACB=180°.