七年级数学期末复习《动角问题》专项训练

七年级数学期末复习《动角问题》专项训练

1.如图I,已知乙4BC=50。，有一个三角板与乙48c共用一个顶点8,其中NEB。

=45°.

(1)若BO平分NA8C,求NE8C的度数;

(2)如图2,将三角板绕着点B顺时针旋转a度(0。＜0(＜90。)，当AB1BD时，求NEBC

的度数.

2.已知NAOB=60。，0M平分NAOC,ON平分NBOC,求:

(1)如图1,OC为NAOB内部任意一条射线，求NMON=；

(2)如图2,当0C旋转到NAOB的外部时，/MON的度数会发生变化吗？请说明原

因；

(3)如图3,当0C旋转到/AOB(NBOCC120。)的外部且射线0C在的下方时，

0M平分/AOC,射线ON在NBOC内部，NNOC错误!未找到引用源。ZBOC,求NC。例

错误!未找到引用源。NBON的值？

3.将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点0.

(1)如图1,若/40。=35。，求/BOC的度数.

(2)若三角板AOB保持不动，将三角板CO。的边0。与边。4重合，然后将其绕点0

旋转.试猜想在旋转过程中，NAOC与/8。£＞有何数量关系？请说明理由.

1

4.新定义问题

如图①，已知N40B,在NAOB内部画射线0C,得到三个角，分别为N40C、NBOC、

ZAOB.若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线0C为NAOB的“幸运

线(本题中所研究的角都是大于0。而小于180。的角.)

【阅读理解】

(1)角的平分线这个角的“幸运线”；(填“是”或“不是”)

【初步应用】

(2)如图①，乙4。8=45。，射线OC为NAOB的“幸运线”，则NAOC的度数为:

【解决问题】

(3)如图②，已知408=60。，射线OM从0A出发，以每秒20。的速度绕。点逆时针

旋转，同时，射线ON从。8出发，以每秒15。的速度绕。点逆时针旋转，设运动的时间

为，秒(0</<9).若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边

的角的“幸运线”，求出所有可能的f值.

5.已知如图1,N4OB=40。.

2

(2)如图2,ZAOC=20°,0M为/AOB内部的一条直线，ON是/例0C四等分线，

且3NCON=ZNOM,求4ZAON+ZCOM的值；

(3)如图3,/AOC=20。，射线绕着。点从0B开始以5度/秒的速度逆时针旋转

一周至。8结束，在旋转过程中，设运动的时间为3ON是NMOC四等分线，且3NCON

=ZNOM,当f在某个范围内4NAON+NBOM会为定值，请直接写出定值，并指出对应

f的范围(本题中的角均为大于0。且小于180。的角).

6.如图1,ZAOB=40°,ZCOD=60°,OM、ON分别为乙408和的角平分线.

(1)若/MON=70。，贝IJ/BOC=°；

(2)如图2,/C。。从第(1)问中的位置出发，绕点。逆时针以每秒4。的速度旋转；

当OC与OA重合时，/CO。立即反向绕点。顺时针以每秒6。的速度旋转，直到OC与

OA互为反向延长线时停止运动.整个运动过程中，/COO的大小不变，OC旋转后的对

应射线记为OC',0。旋转后的对应射线记为。。，NB。。的角平分线记为。V,ZAOD'

的角平分线记为OP.设运动时间为，秒.

①当OC平分NBOM时，求出对应的t的值：

②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|/BOP-的值不变？若存

在，请直接写出这个定值及其对应的/的取值范围(包含运动的起止时间)；若不存在，

请说明理由.

（图1）（图2）

7.如图1,点O为直线AB上一点，过点。作射线OC,使NAOC：NBOC=1：2,AMON

的一边在射线OB上，另一边ON在直线A8的下方，且/MON=90。.

3

(1)如图1,求NCON的度数；

(2)将图1中的NMON绕点O以每秒6。的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程

中，如图2,若直线ON恰好平分锐角/AOC,求NMCW所运动的时间f值；

(3)在(2)的条件下，当NAOC与NNOC互余时，求出NBOC与NMOC之间的数量

8.如图，两个形状、大小完全相同的含有30。、60。的三角板如图①放置，以、PB与直线

MN重合,且三角板巩C,三角板尸8。均可以绕点尸逆时针旋转.

(1)试说明：NDPC=90。；

(2)如图②，若三角板保持不动，三角板附C绕点P逆时针旋转旋转一定角度，

尸尸平分NAPD,PE平分NCPD,求NEPF；

(3)如图③，在图①基础上，若三角板抬C开始绕点P逆时针旋转，转速为5。/秒，同

时三角板绕点尸逆时针旋转，转速为1。/秒，(当转到与PM重合时，两三角板

都停止转动)，在旋转过程中，PC、PB、三条射线中，当其中一条射线平分另两条射

线的夹角时，请求出旋转的时间.

9.已知408,过顶点O作射线OP,若NBOP错误!未找到引用源。ZAOP,则称射线

OP为NA08的“好线”，因此N4O8的“好线”有两条，如图I,射线。P”OP2都是乙4OB

的“好线”.

(1)已知射线OP是NAOB的“好线”，且NBOP=30。，求/A08的度数.

(2)如图2,O是直线MN上的一点，OB,OA分别是NMOP和/PON的平分线，已

4

知NMOB=30。，请通过计算说明射线0P是NAOB的一条“好线”.

(3)如图3,已知NMON=120。，NNOB=40。.射线OP和。4分别从0M和。8同时

出发，绕点0按顺时针方向旋转，。尸的速度为每秒12。，的速度为每秒4。，当射线

。尸旋转到ON上时，两条射线同时停止.在旋转过程中，射线。尸能否成为/AOB的“好

线若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间.

(1)如图1,如果0A,0c重合，且。力在NAOB的内部，求NM0N的度数；

(2)如图2,固定NAOB,将图1中的NC。。绕点。顺时针旋转”。(0〈把90).

①NMON与旋转度数"。有怎样的数量关系？说明理由；

②当〃为多少时，NMON为直角?

(3)如果N40B的位置和大小不变，NCO。的边0。的位置不变，改变NC。。的大小;

将图1中的OC绕着。点顺时针旋转(0〈机W100),如图③，请直接写出NMON与旋

转度数〃式之间的数量关系：.

11.以直线A8上一点O为端点作射线OC,使/8OC=40。，将一个直角三角板的直角顶点

放在。处，即/£>OE=90。.

(1)如图1,若直角三角板QOE的一边OE放在射线0A上，则NCOQ=；

(2)如图2,将直角三角板OOE绕点。顺时针转动到某个位置，若OE恰好平分/AOC,

则NCO£>=；

(3)将直角三角板。OE绕点。顺时针转动(0。与重合时为停止)的过程中，恰

好有NC。。错误!未找到引用源。ZAOE,求此时N8。。的度数.

5

c

图1图2

12.如图，点0为直线AB上一点，ZAOC=90°,在直线AB上方有射线OM、ON分别从

0A和0C开始绕点0顺时针旋转，旋转过程中始终保持/A0M=2/C0M0Q平分

ZAON.

(1)如图1,证明：ON平分NMOB；

(2)如图2,在旋转过程中，当NCON=2/MOQ时，求/CON的度数；

(3)如图3,在旋转过程中，NAOM是锐角，射线在NMON内部，NMOC=30。，

OP平分NMON,ZMOQ：ZPOD=m,NNOB：NQOC=〃，在AB下方有射线OT,ZAOT

=90°-(相+〃)°,ZBOT+ZMOQ=WO0,求乙4。用的度数

图1图2图3备用图

13.点。为直线/上一点，射线04、0B均与直线/重合，如图1所示，过点。作射线0C

和射线。力，使得/BOC=100。，NCOO=90。，作NAOC的平分线。例.

(1)求乙40C与/M。。的度数；

(2)作射线0尸，使得/BOP+NAOM=90。，请在图2中画出图形，并求出NCOP的度

数；

(3)如图3,将射线。8从图1位置开始，绕点0以每秒5。的速度逆时针旋转一周，作

/COD的平分线0M当/MON=20。时，求旋转的时间.

6

图1图2

C

图3备用图

14.(2020秋•广安期末)已知，O是直线AB上一点，NDOC=90。，OE平分NBOC.

(1)如图1,若NAOC=40。，则NQOE的度数为；若/AOC=a,则NQOE

的度数为(用含有a的式子表示).

(2)将图1中的/OOC绕顶点。按顺时针方向旋转至图2的位置，试探究/OOE与

NAOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由.

(3)将图1中的NOOC绕顶点。按逆时针方向旋转至图3的位置，其他条件不变，若

NAOC=a,则NOOE的度数为(用含有a的式子表示)，并说明理由.

15.(2020秋•南充期末)如图，把直角三角尺C。。的直角顶点O放在直线A8上，作射线

OE平分NA。。.

(1)若/8。£>=42。，求/AOE的度数；

(2)设N80£>=x,请用x表示/COE的大小；

(3)如果直角三角尺C。。绕点O转动，当顶点C转动到直线AB下方时，探索NBOO

与NCOE的数量关系.

7

E■D

AOB

16.(2020秋•临河区期末)点O直线AB上一点，过点O作射线OC,使得NBOC=65。,

将一直角三角板的直角顶点放在点O处.

(2)如图2,将三角板MON绕点。逆时针旋转一定角度，此时OC是的平分线,

求NBON和/CON的度数；

(3)将三角板MON绕点。逆时针旋转至图3时，NNOC错误!未找到引用源。ZAOM,

求NNO3的度数.

17.(2021春•济阳区期中)以直线上一点O为端点作射线OC,使N8OC=40。，将一

个直角角板的直角顶点放在。处，即NDOE=90。.

(1)如图1,若直角三角板。OE的一边OE放在射线0A上，则/COQ=；

(2)如图2,将直角三角板。OE绕点。顺时针转动到某个位置，

①若OE恰好平分/AOC,则NCOO=；

②若。。在/BOC内部，请直接写出与NCOE有怎样的数量关系；

(3)将直角三角板。OE绕点。顺时针转动(。。与08重合时为停止)的过程中，恰

好有/COQ错误!未找到引用源。ZAOE,求此时N3O。的度数.

18.(2021•碑林区校级开学)如图1,点O为直线AB上一点，过点O作射线OC,使/BOC

=120°,将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线OB上，另一边ON

在直线AB的下方.

8

(1)将图1中的三角板绕点。逆时针旋转至图2,使一边0M在NBOC的内部，且恰

好平分/BOC,问：直线ON是否平分NAOC?请直接写出结论：直线ON(平

分或不平分)ZAOC.

(2)将图1中的三角板绕点。按每秒6。的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程

中，第，秒时，直线。N恰好平分锐角N4OC,则f的值为.(直接写出结果)

(3)将图1中的三角板绕点。顺时针旋转，请探究，当ON始终在NAOC的内部时(如

图3),与/NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举

例说明.

图1图2图3

19.(2020秋•天心区期末)已知长方形纸片ABCZ),E、F分别是A。、A8上的一点，点/

在射线8c上、连接EF,FI,将NA沿E尸所在的直线对折，点A落在点，处，沿

F/所在的直线对折，点8落在点G处.

(1)如图1,当HF与GF重合时，则NEF/=°；

(2)如图2,当重叠角NHFG=30。时，求NEF/的度数；

(3)如图3,当NGFI=a,时，/GF/绕点尸进行逆时针旋转，且NGF7总

有一条边在NEF”内，P尸是NG”的角平分线，。尸是NE/7的角平分线，旋转过程中

求出NPFQ的度数(用含a,0的式子表示).

Q

图1图2图3

20.(2020秋•洪山区期末)将一副直角三角板ABC,ADE,按如图1叠加放置，其中B与E

重合，NBAC=45°,ZBAD=30°.

9

(1)如图1,点尸在直线AC上，且位于点4的左侧，求的度数；

(2)将三角板AQE从图1位置开始绕A点顺时针旋转，并记AM,AN分别为NBAE,

NCA。的角平分线.

①当三角板4DE旋转至如图2的位置时，求/M4N的度数.

②若三角板AOE的旋转速度为每秒5。，且转动到ND4C=180。时停止，运动时间记为r

(单位：秒)，试根据不同的，的值，求NMAN的大小(直接写出结论).

D

图1图2备用图1备用图2

21.(2020秋•喀喇沁旗期末)如图1,点O为直线AB上一点，过点O作射线OC,使NBOC

=120。，将一直角三角板的直角顶点放在点。处，一边OM在射线08上，另一边ON

在直线AB的下方.

(1)将图1中的三角板绕点。逆时针旋转至图2,使点N在。C的反向延长线上，请直

接写出图中NMO8的度数；

(2)将图1中的三角板绕点。顺时针旋转至图3,使一边OM在/8OC的内部，且恰

好平分NBOC,求NCON的度数；

(3)将图1中的三角尺绕点。顺时针旋转至图4,使ON在NAOC内部，请探究NAOM

与/NOC之间的数量关系，并说明理由.

图1图2图3图4

22.(2020秋•宝安区期末)我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的

射线，叫做这个角的平分线.类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这

个角分成度数为1：2的两个角的射线，叫做这个角的三分线：从一个角的顶点出发把这

个角分成度数为1：3的两个角的射线，叫做这个角的四分线…

10

显然，一个角的三分线、四分线都有两条.

例如：如图1,若/BOC=2NAO8,则。8是/AOC的一条三分线；若NA0C=2NC0Q,

则0。是NAOC的另一条三分线.

(1)如图2,0B是/A0C的三分线，ZBOOZAOB,若/AOC=60。，则2408

(2)如图3,ZDOF=\20°,0E是N。。尸的四分线，ZD0E>AEOF,过点。作射线

0G,当0G刚好为/OOE的三分线时，求NGOF的度数；

(3)如图4,2400=120。，射线08、0C是的两条四分线，将/80C绕点0

沿顺时针方向旋转a。(0WaW180),在旋转的过程中，若射线08、0C,0。中恰好有一

条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出a的值.

23.(2020秋•饶平县校级期末)如图1,直线48上任取一点0,过点。作射线。C(点C

在直线AB上方)，且/B0C=2NA0C,以0为顶点作NMON=90。，点M在射线0B

上，点N在直线A8下方，点£>是射线0N反向延长线上的一点.

(1)求/C0。的度数；

(2)如图2,将NM0N绕点。逆时针旋转a度(0。<(1<180。)，若三条射线0。、0C、

0A,当其中一条射线与另外两条射线所夹角的度数之比为1：2时;求/80N的度数.

11

cp、D

24.(2020秋•锦江区校级期末)平面内一定点A在直线C。的上方，点O为直线CO上一

动点，作射线OA,OE,0A',当点0在直线上运动时，始终保持/COE=90。，ZAOE

=ZA'OE,将射线0A绕点。顺时针旋转75。得到射线0B.

(1)如图1,当点。运动到使点A在射线OE的左侧时，若08平分N4OE,求乙4OE

的度数；

(2)当点O运动到使点A在射线OE的左侧时，且NA0C=4N408时，求NAOE的

度数；

(3)当点O运动到某一时刻时，满足N4OB=120。，求出此时NBOE的度数.

(1)如图1,当NA。。错误!未找到引用源。NAOB时，求NDOE；

(2)如图2,若0。在NAOB内部运动，且。产是N4OO的角平分线时，求NAOE-NDOF

的值；

(3)在(1)的条件下，若射线。尸从0E出发绕。点以每秒10。的速度逆时针旋转，射

12

线0Q从。。出发绕。点以每秒6。的速度顺时针旋转，若射线OP、0Q同时开始旋转/

秒（0</<23.5）后得到NCOP错误!未找到引用源。ZAOQ,求f的值.

26.（2020秋•西山区期末）如图为两个特殊三角板AOB和三角板COO,NA=45。，ND=

60。，O为直角顶点，两直角顶点重合，A,O,。在同一直线上，OB,OC重合，OM平

分NCOD,ON平分NA08.

（1）ZMON=度；

（2）若三角板AOB与三角板COD位置如图（2）所示，满足N8OC=20。，求/MON

的的度数；

（3）在图（1）的情形下，三角板AOB固定不动，若三角板COD绕着。点旋转（旋转

角度小于45。），ZBOC=a,求/MON的度数（用含a的式子表示）.

27.（2020秋•高新区期末）已知乙408=90。，ZCOD=60°,按如图1所示摆放，将。4、

OC边重合在直线MN上，OB、边在直线MN的两侧:

（1）保持NAOB不动，将NCO。绕点。旋转至如图2所示的位置，则

®ZAOC+ZBOD^；

②N80C-ZAOD=.

（2）若NCOD按每分钟5。的速度绕点。逆时针方向旋转，NAOB按每分钟2。的速度也

绕点。逆时针方向旋转,OC旋转到射线ON上时都停止运动,设旋转，分钟，计算NMOC

-ZAOD（用f的代数式表示）.

13

（3）保持乙408不动，将NC。。绕点。逆时针方向旋转〃。（"V360）,若射线0E平分

ZA0C,射线0F平分NB。。，求NEOF的大小.

28.（2020秋•罗湖区校级期末）如图，直线EF与MN相交于点。，/MOE=30。，将一直

角三角尺的直角顶点与。重合，直角边04与MN重合，08在NNOE内部.操作：将

三角尺绕点。以每秒3。的速度沿顺时针方向旋转一周，设运动时间为t（5）.

（1）当,为何值时，直角边0B恰好平分NN0E?此时0A是否平分NM0E?请说明理

由；

（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点0以每秒9。的速度顺时针