第1章开关理论基础 - 副本

数字逻辑与数字系统兰建平电气与信息工程学院TEL:633136E-Mail:ljp_1984@126.com主要内容1、开关理论2、组合逻辑3、时序逻辑4、存储逻辑5、可编程逻辑辅助工具：1、EWB——ElectronicsWorkbench电子设计工作平台或虚拟电子实验室。2、MAXPLUSII,QUARTUSII,ISE——EDA设计工具。6、数字系统原理工具课时安排总学时(64学时)=理论教学(46学时)+实验教学(18学时)理论教学1、开关理论基础——6学时2、组合逻辑——8学时3、时序逻辑——10学时4、存储逻辑——6学时5、可编程逻辑——12学时6、数字系统——4学时实验教学（3学时×6=18学时）学习过程中应注意的问题数字电子部分逻辑代数是分析和设计数字电路的重要工具，应熟练掌握；重点掌握各种常用的数字逻辑电路的逻辑功能、外部特性及典型应用。对其内部电路结构和工作原理不必过于深究；掌握基本的分析方法；VHDL编程部分VHDL是一门高级语言；强数据类型、数据对象；基本语句：顺序语句、并行语句用软件来设计硬件。本课程的实践性很强，应注重习题、练习、实验和课程设计等实践性环节参考教材白中英.数字逻辑与数字系统(第五版).科学出版社白中英.数字逻辑与数字系统解题指南(第四版)

.科学出版社沈建国.数字逻辑与数字系统基础.高等教育出版社王永军.数字逻辑与数字系统设计.高等教育出版社马义忠.数字逻辑与数字系统.高等教育出版社第1章开关理论基础1.1二进制系统1.2数制与码制

1.3逻辑函数及其描述工具

1.4布尔代数1.5卡诺图1.6数字集成电路本章要求掌握各进制之间的相互转换，掌握BCD码的基本概念，了解循环码的概念。掌握基本逻辑函数及布尔代数的基本表达，逻辑函数的基本定律和基本运算规律，逻辑代数的各种表达方法；利用逻辑函数和卡诺图对函数化简的方法。1.1二进制系统1.1.1连续量和离散量1、连续量：通常称作模拟量：连续性。如大多数物理量，如温度、压力、流量、液面等。1.1二进制系统2、离散量：又称数字量：离散性，按时间点采样。数字量具有精度高、传输高效、易存储、易处理等优点。1.1二进制系统1.1.2开关量1、开关量的定义二进制系统指可用高电平和低电平两种状态表示的系统。二状态系统（二进制系统）的两个数字状态1和0称为开关量，亦称比特。2、码的定义数字状态1和0的组合称为码。用于表示数字1和0的电平称为逻辑电平。1.1二进制系统数字电路的逻辑电平范围TTL电路逻辑0：0～0.8V逻辑1：2～5VCMOS电路逻辑0：0～0.8V逻辑1：2～3.3V1.1二进制系统1.1.3数字波形1、理想的脉冲波形1.1二进制系统2、非理想状态下的脉冲波形1.2数值与码制数制：是指多位数码中每一位的构成方法及低位向相邻高位的进位规则。基数：每种进位计数制中允许使用的数码总数。1.2.1进位计数制1、十进制计数制由0、1…9十个数码组成，进位规则是逢十进一，计数基数为10，其按权展开式例如：1.2.1进位计数制2、二进制计数制由0、1两个数码组成，进位规则是逢二进一，计数基数为2，其按权展开式为：例如：3、八进制计数制由0、1…7八个数码组成，进位规则是逢八进一，计数基数为8，其按权展开式为：例如：1.2.1进位计数制4、十六进制计数制由0、1…9、A、B…F十六个数码组成，进位规则是逢十六进一，计数基数为16，其按权展开式为：例如：1.2.2进位计数制的相互转换1、二进制转换成十进制的方法：将二进制数按权展开后，按十进制数相加。例如：2、八进制转换成十进制的方法：将八进制数按权展开后，按十进制数相加。例如：3、十六进制转换成十进制的方法：将十六进制数按权展开后，按十进制数相加。例如：1.2.2进位计数制的相互转换4、十进制转换成二进制的方法：整数部分除以2，取余数，读数顺序从下往上；小数部分乘以2，取整数，读数顺序从上至下。例如：1.2.2进位计数制的相互转换5、八进制转换成二进制的方法：以小数点为分界，将每位八进制数分别用相应的三位二进制数取代。例如：6、十六进制转换成二进制的方法：以小数点为分界，将每位十六进制数分别用相应的四位二进制数取代。例如：

1.2.2进位计数制的相互转换7、十进制转换成八进制的方法：整数部分除以8，取余数，读数顺序从下往上；小数部分乘以8，取整数，读数顺序从上至下。例如：1.2.2进位计数制的相互转换8、十进制转换成十六进制的方法：整数部分除以16，取余数，读数顺序从下往上；小数部分乘以16，取整数，读数顺序从上至下。例如：9、二进制转换成十六进制的方法：以小数点为分界，整数部分向左、小数部分向右，每4位为一位，不足4位的补0，然后将每个四位二进制数都用相应的一位十六进制数取代。例如：1.2.3二进制编码1、三个术语数码：代表一个确切的数字，如二进制数，八进制数等。

代码：特定的二进制数码组，是不同信号的代号，不一定有数的意义。

编码：n位二进制数可以组合成2n个不同的信息，给每个信息规定一个具体码组，这种过程叫编码。数字系统中常用的编码有两类，一类是二进制编码，另一类是二—十进制编码。1.2.3二进制编码2、二进制编码自然码：有权码，每位代码都有固定权值，结构形式与二进制数完全相同。循环码：无权码，每位代码无固定权值，任何相邻的两个码组中，仅有一位代码不同(码距为1)。循环码又叫单位距离码1.2.3二进制编码两种4位二进制编码十进制数自然二

进制码循环二

进制码

十进制数自然二

进制码循环二

进制码0000000008100011001000100019100111012001000111010101111300110010111011111040100011012110010105010101111311011011601100101141110100170111010015111110001.2.3二进制编码3、二-十进制码BCD码：用二进制代码对十进制数进行编码，它既具有二进制码的形式(四位二进制码)，又有十进制数的特点(每四位二进制码是一位十进制数)。常用BCD码有：8421码：编码值与ASCII码字符0到9的的低4位码相同，易于实现人机联系。余3码：是在8421码的基础上，把每个代码都加0011码而形成的。优点是执行十进制数相加时，能正确地产生进位信号，还方便进行减法运算。格雷码：循环码中的一种，任何两个相邻的代码只有一个二进制位的状态不同，有利于抗干扰。1.2.3二进制编码常用BCD码十进制数8421码余3码格雷码00000001100001000101000001200100101001130011011000104010001110110501011000111060110100110107011110101000810001011110091001110011011.3逻辑函数及其描述工具1.3.1逻辑函数的基本概念1、

数字电路的特点数字电路是一种开关电路。开关的两种状态为“开通”与“关断”，常用晶体管的“导通”与“截止”来实现，并用“0”与“1”来表示；数字电路的输入量和输出量的高低电平也可以用0”与“1”来表示；

输入量和输出量之间的关系是一种因果关系，它可以用逻辑函数来描述。1.3.1逻辑函数的基本概念2、逻辑函数的定义设输入逻辑变量为A1，A2，…，An，输出逻辑变量为F，当A1，A2，…，An的取值确定后，F的值就被唯一的确定下来，则称F是A1，A2，…，An的逻辑函数，记为注意：逻辑变量和逻辑函数的取值只可能是0或1，没有其他中间值。1.3.2逻辑函数的描述工具逻辑函数的描述工具很多，但常用的方法如下：布尔代数法：按一定逻辑规律进行运算的代数。与普通代数不同，布尔代数中的变量是二元值的逻辑变量。真值表法：采用一种表格来表示逻辑函数的运算关系，其中输入部分列出输入逻辑变量的所有可能组合，输出部分给出相应的输出逻辑变量值。逻辑图法：采用规定的图形符号，来构成逻辑函数运算关系的网络图形。1.3.2逻辑函数的描述工具卡诺图法：卡诺图是一种几何图形，可以用来表示和简化逻辑函数表达式。波形图法：一种表示输入输出变量动态变化的图形，反映了函数值随时间变化的规律。硬件设计语言法：是采用计算机高级语言来描述逻辑函数并进行逻辑设计的一种方法，它应用于可编程逻辑器件中。目前采用最广泛的硬件设计语言有VHDL、Verilog等。1.3.3基本逻辑运算1、与运算(逻辑乘)以三变量为例，布尔表达式为F=ABC此式说明：当逻辑变量A、B、C同时为1时，逻辑函数输出F才为1。其他情况下，F均为0。工程应用中与运算用与门电路来实现。逻辑符号如下所示：1.3.3基本逻辑运算与运算真值表如下ABCF0

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11.3.3基本逻辑运算与运算波形图如下：VHDL描述：F<=AandBandC1.3.3基本逻辑运算2、或运算以三变量为例，布尔代数表达式为：F=A+B+C此式说明：当逻辑变量A、B、C中任何一个为1时，逻辑函数F输出等于1。工程应用中，或运算用或门电路来实现。逻辑符符号如下所示：1.3.3基本逻辑运算或运算真值表如下ABCF0

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11.3.3基本逻辑运算或运算波形图如下：VHDL描述：F<=AorBorC1.3.3基本逻辑运算3、非运算布尔代数表达式为：

此式说明：输出变量是输入变量的相反状态。

工程应用中，非运算用非门电路(反相器)来实现。逻辑符号和真值表如下：VHDL描述：F<=notAAF1.3.3基本逻辑运算4、与非、或非运算与非运算是先与运算后非运算的组合。或非运算是先或运算后非运算的组合。F=not(AandB)F=not(AorB)1.3.3基本逻辑运算5、异或、同或运算异或运算：同或运算F<=AxorBF<=not(A

xorB)⊙⊙1.3.3基本逻辑运算6、与或非运算：是“先与后或再非”三种运算的组合。F<=not(AandBorCandD)1.3.3基本逻辑运算基本运算1.3.3基本逻辑运算复合运算1.3.3基本逻辑运算两种标准a1.3.4正逻辑、负逻辑、三态门正逻辑：把门电路的输入、输出电压的高电平赋值为逻辑“１”，低电平赋值为逻辑“０”(反之为负逻辑)三态门：输出有三种状态：

逻辑１、逻辑０、高阻抗。使能端有效时，输出状态取决于输入状态。使能端无效时，输出端呈现高阻抗状态（与后面的连接电路断开）。1.3.4正逻辑、负逻辑、三态门正逻辑与负逻辑的关系正逻辑负逻辑或与与或与非或非或非与非异或同或同或异或1.4布尔代数如何判断两个逻辑函数相等?设有两个函数F1=f1(A1,A2,…,An)，F2=f2(A1,A2,…,An)，如果对应于A1,A2,…An的任何一组取值(2n组)，F1和F2的值都相等（或者F1和F2有相同的真值表），则称F1=F2。若两个逻辑函数相等，则它们的真值表一定相同；反之，若两个函数的真值表完全相同，则这两个函数一定相等。例：证明等式：1.4.1布尔代数的基本定律1.4.1布尔代数的基本定律试证明：证明：互补律A+A=1分配律A(B+C)=AB+AC0-1律A+1=11.4.2布尔代数运算的基本规则1、代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。例：已知等式，用函数Y=AC代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：推广：理论依据：任何一个逻辑函数也和任何一个逻辑变量一样，只有逻辑0和逻辑1两种取值。因此，可将逻辑函数作为一个逻辑变量对待。1.4.2布尔代数运算的基本规则2、反演规则：对任何一个逻辑表达式Y作反演变换，可得Y

的反函数（或称补函数）。反演变换：“﹒”→“﹢”“﹢”→“﹒”“0”→“1”“1”→“0”，原变量→反变量反变量→原变量注意：两个不变1、变换时要保持原式中的运算顺序(先与后或)不变；2、不在“单个”变量上面的“非”号应保持不变。1.4.2布尔代数运算的基本规则对偶式：对任何一个逻辑表达式Y作对偶变换，可得到Y的对偶式Y*。对偶变换：“﹒”→“﹢”“﹢”→“﹒”“0”→“1”“1”→“0”注意：1、变换时要保持原式中的运算顺序(先与后或)不变；2、对偶式没有变量的变换。1.4.2布尔代数运算的基本规则3、对偶规则：如果两个逻辑函数P=G，则P*=G*。互为对偶式1.4.3用布尔代数简化逻辑函数简化的意义例：用非门和与非门实现逻辑函数解：方法一：直接将表达式变换成与非－与非式方法二：将该函数化简并作变换：两次求反反演律方法二化简后的逻辑函数更简单。意义在于：逻辑函数越简单，实现所需元件越少，成本越低，故障越少。1.4.3用布尔代数简化逻辑函数相同功能的逻辑函数的多种表达式形式与-或表达式与非-与非表达式或-与非表达式或非-或表达式或-与表达式或非-或非表达式与-或非表达式与非-与表达式可以看出：逻辑函数有很多种表达式形式，但形式最简洁的是与或表达式，因而也是最常用的。1.4.3用布尔代数简化逻辑函数为什么简化为最简的与或表达式？逻辑问题中与-或表达式比较常见；与-或表达式容易和其他形式的表达式相互转换；目前采用的可编程逻辑器件多使用与-或阵列。什么样的逻辑函数为最简？逻辑函数中与项数最少；每个与项中变量数最少。简化方法：公式法：利用布尔代数的基本定律和恒等式。卡诺图法：见下一节。1.4.3用布尔代数简化逻辑函数1、并项法：利用公式或进行化简，通过合并公因子，消去变量。例：1.4.3用布尔代数简化逻辑函数2、吸收法：利用公式A+AB=A进行化简，消去多余项。例：例：1.4.3用布尔代数简化逻辑函数3、消去法：利用公式进行化简，消去多余项。例：例：1.4.3用布尔代数简化逻辑函数4、配项法：当不能直接利用基本定律和公式化简时，可在适当的项配上进行化简。例：A+AB=A注意：答案都正确!最简结果的形式是一样的，都为三个与项，每个与项都为两个变量。表达式不唯一！1.5卡诺图公式法化简评价：特点：目前尚无一套完整的公式化简方法，能否以最快的速度进行化简，与我们的经验和对公式掌握及运用的熟练程度有关。优点：变量个数不受限制。缺点：结果是否最简有时不易判断。有无一套完整的化简方法，进行快速准确的化简呢？有。与公式化简法优缺点正好互补的卡诺图化简法，它是一套完整的方法，只要按照相应的方法就能以最快的速度得到最简结果。但当变量个数超过4时人工进行卡诺图化简较困难。1.5.1卡诺图的结构与特点1、逻辑函数的最小项表达式(1)最小项：是这样一个乘积项(与项)：包含全部输入变量；每个变量以原变量或反变量的形式出现且仅出现一次。例：三变量最小项真值表推广：一个变量仅有原变量和反变量两种形式，因此N个变量共有2N个最小项。1.5.1卡诺图的结构与特点最小项的性质①对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而变量取其余各组值时，该最小项均为0；②任意两个不同的最小项之积恒为0；③变量全部最小项之和恒为1。1.5.1卡诺图的结构与特点最小项的另一种表示方法最小项也可用“mi”表示，下标“i”即最小项的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进制数，就是该最小项的编号。例：三变量最小项的编号表1.5.1卡诺图的结构与特点最小项表达式：任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或表达式。而且这种形式是唯一的，就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。例：1.5.1卡诺图的结构与特点2、卡诺图的结构卡诺图是代表逻辑函数的所有最小项的小方块相邻原则排列而成的方块图。

N变量的卡诺图有2N个小方块（最小项）。相邻原则：几何相邻必须逻辑相邻。几何相邻：一是相邻——紧挨的；二是相对——任一行或一列的两头；三是相重——对折起来后位置相重。逻辑相邻：两个最小项，只有一个变量互为反变量，其余的都相同。1.5.1卡诺图的结构与特点画卡诺图方法：将所有逻辑变量分成纵、横两组，且每一组变量取值组合按循环码排列。即相邻两组之间只有一个变量取值不同。例：两个变量的4种取值应按00→01→11→10排列。注意：按循环码排列，要求头尾两组的取值也是相邻的。1.5.1卡诺图的结构与特点1.5.1卡诺图的结构与特点3、卡诺图相邻项合并由于卡诺图两个相邻最小项中，只有一个变量取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相邻最小项，利用公式A+A=1，AB＋AB＝A，可以消去一个或多个变量，从而使逻辑函数得到简化。消去变量原则：相同部分保留，不同部分消去。合并相邻最小项，可消去变量。合并两个最小项，可消去一个变量；合并四个最小项，可消去两个变量；合并八个最小项，可消去三个变量。合并2N个最小项，可消去N个变量。1.5.1卡诺图的结构与特点两个最小项合并1.5.1卡诺图的结构与特点四个最小项合并1.5.1卡诺图的结构与特点八个最小项合并1.5.2用卡诺图简化逻辑函数1、用卡诺图简化逻辑函数的规则和步骤基本步骤：①画出逻辑函数的卡诺图；②正确圈画(合并)相邻最小项（公因圈），写出每个公因圈对应的与项(保留相同变量，相异变量合并消去)；③将每个公因圈所表示的与项逻辑加，写出最简与-或表达式。关键：能否正确圈画公因圈。1.5.2用卡诺图简化逻辑函数正确圈画公因圈的规则①最大公因圈必须按2、4、8、2N的规律来圈画取值为“1”的相邻最小项；②公因圈中必须被“1”填满；③所有公因圈必须覆盖所有含“1”的最小项；④每个公因圈中至少有一个最小项没有被其它公因圈圈画过，即每个取值为1的相邻最小项至少必须圈一次，但可以圈多次；⑤公因圈的个数要最少（与项就少），并要尽可能大（消去的变量就越多）；⑥最后剩下孤立的“1”单独圈画。1.5.2用卡诺图简化逻辑函数例：用卡诺图化简逻辑函数

Y(A、B、C、D)=∑m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11)。++Y=1.5.2用卡诺图简化逻辑函数例：化简图示逻辑函数。多余1.5.2用卡诺图简化逻辑函数例：化简图示逻辑函数。ABCD000111100011110101111101111011111.5.2用卡诺图简化逻辑函数特点：“1”多“0”少方法：圈“0”，结果是或-与表达式。CDAB000111100011110101111101111011111.5.2用卡诺图简化逻辑函数2、逻辑函数未用最小项表示的简化(1)从真值表画卡诺图根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每一个小方块的值（0或1）即可。例：已知Y的真值表，要求画Y的卡诺图。ABCY000000110101011010011010110011111.5.2用卡诺图简化逻辑函数(2)从与-或表达式画卡诺图把每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的的公因子）所对应的小方块都填上1，剩下的填0。例：已知，画卡诺图。1111111注意：同一个方块中只有一个“1”，去掉多余“1”00000000001.5.2用卡诺图简化逻辑函数(3)从一般形式表达式画卡诺图方法：先将表达式变换为与-或表达式或最小项表达式，则可画出卡诺图。1.5.2用卡诺图简化逻辑函数3、具有无关项的化简无关项：函数可以随意取值（可以为0，也可以为1）或不会出现的变量取值所对应的最小项称为约束项，也叫做随意项或约束项。化简方法：方法同前