数学化归思想方法1-5

化归思想方法(一)化归是解决问题的一种最根本的思想方法。数学大师波利亚说：解决问题需要不断地变换，需要一再变化它，重新表达它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止，……。波利亚精辟地表达了化归思想方法的重要性。实际上，我们常常是把将要解决的陌生问题通过化归，变为一个比拟熟悉的问题来解决，因为这样可以充分调动和运用我们已有的知识、经验和方法应用于问题的解决，也常常将一个复杂问题化归为一个或几个简单的问题来解决，或将抽象的问题化归为具体的问题来解决，等等，这就是化归的思想方法。从这个角度上来看，我们在解决数学问题所采用的各种数学思想方法，实质上都是数学模式之间化归的一种手段，数形结合思想表达了数与形的相互转化，函数与方程思想表达了函数、方程、不等式的相互转化，分类讨论那么表达了局部与整体的相互转化。因此，化归的思想方法已渗透到整个教学内容及解题过程中，它也是历届高考的重点考查对象。对考生的要求也越来越高，理应引起充分重视。【要点回忆】1、函数与方程、不等式的化归；2、函数与数列的化归；3、向量、复数和三角的化归；4、向量与几何的化归；5、平面与立体图形的化归；6、变量与常量间的化归；7、数与形的化归；8、实际问题和数学模型的化归；9、命题间的化归，如根据原命题与逆否问题的等价性转化；10．将复杂的问题、陌生的问题，通过等价变形化归为简单的问题、熟悉的问题、根本量问题。【能力要求】1、运算能力与等价转化能力；2、知识间的联想类比能力(包括结构、关系、因果等)；3、数形结合的能力；4、能根据实际问题中的数量关系建立相应的函数关系的数学建模能力；5、探索能力、分析问题和解决问题能力。一、换元法是一种常用的化归策略1、常用换元法换元法是化归思想方法中较为常用且很重要的解题方法，其实质是借助数学对象的互化(主要是形态的变化)，使条件和结论的联系由暗到明，从而到达解决问题的目的。运用换元法时要熟练掌握一些常用换元方式，如三角代换、根式代换、向量代换、特殊数列替换等。在换元的过程中，要时刻注意到引进的新“元”的范围的取定，因为问题的错误往往就是新引进的“元”范围不正确而导致的。我们通过几个例子加以说明。【例1】(换元要简捷)的最大、最小值。分析：实际上上述两次换元，可以改良为一次换元，设即可。可见，怎样换元使问题的解决更为简捷，这就需要在换元前做一些深入的分析，即换元需要有优化意识。【例2】(奇妙的换元法)，且，求证：。分析：设，那么，点评：换元方法恰当，能收到神奇的效果。【例3】〔换元、设待定系数证明不等式〕设非负，且，求证：。分析：〔1〕设〔是对称地位，必有一个小于等于〕，那么，，。〔2〕设，那么。化归思想方法(二)二、有着广泛应用的三角换元法中学数学中，不少最值、值域问题，不等式、方程的解，求数列的通项公式、求和等问题，都可以通过联想其具有相似特征的三角公式，运用三角换元法加以解决。【例1】(联想公式进行换元)解不等式。分析：设。【例2】给定正整数，对于满足的所有等差数列，试求的最大值。分析：设，那么，即，时，。【例3】设，，求证：。分析：，，且设，，，，【例4】(联想两角的和与差公式进行换元)，且，求证。分析：设，那么求证的左边【例5】(联想半角公式进行换元)数列满足，求证：是单调数列。分析：，，，且，是单调数列。【例6】(联想万能置换公式进行换元)解不等式。分析：设，【例7】求的值域；分析：令【例8】(联想公式进行换元)数列中，，，求。分析：，。问题2：，求证：。分析：令，那么【例9】数列满足，求的值。分析：令，那么，又。【例10】(联想公式进行换元)解方程组；分析：，令，那么【例11】(波兰数学竞赛题)求的值域。分析：设。故有。【例12】(联想公式进行换元)，求的取值范围。分析：令，。化归思想方法(三)三、设对偶式，搭桥铺路，化难为易借助对偶原理，我们首先观察、分析式子，设出式子或命题的对偶形式，再对互为对偶的两个式子进行运算，得出对解决问题起重要作用的信息，从而到达最终解决问题的目的。【例1】，求证：。分析：记，，那么【例2】求的值。分析：设，，那么；；。同样以下问题均可以设对偶式求解(当然也可以用计算器求解)：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕【例3】。分析：，利用平方和为1，可求出m的值。【例4】。分析：那么M+N=…=。又N。【例5】。分析：设利用均值不等式，有M+N。【例6】。分析：，N=利用均值不等式，有。又N，故结论成立。【例7】求和。分析：设，。利用组合数性质，有M=N。又M+N=，故原式=。【例8】求证。分析：设M=，N=。又M的对应因数分别小于N的对应因数，故M<N，所以，即结论成立。【例9】求证分析：设M=，N=。由假分数的性质，可知，M>N>P(三者对应项分别大)，且，即结论成立。化归思想方法(四)四、把方程、不等式化为函数问题，另辟蹊径，曲径通幽某些方程、不等式问题，我们可以通过构造函数，并利用函数性质加以解决，能收到化难为易的奇效。【例1】求方程的解。分析：记，那么有，且在上递增。。【例2】解不等式。分析：，令，那么在上递增。故原不等式可化为。【例3】求的值。分析：设，那么该函数既是奇函数，又是R上的增函数。由题知…化归思想方法(五)五、化数为形，以形助数一些结构看似非常复杂，或运用代数方法化简的过程繁琐的数学问题，通过构造几何图形并借助几何意义解决，能收到事半功倍的效果。其中构造几何图形的关键是：第一步分析代数式子的特征，联想它与什么几何图形的性质特征相似；第二步翻译代数式子的几何意义；第三步运用数形结合方法解决问题。【例1】求的最值。分析：，那么，且。这里可看作直线在x轴上的截距，故结合几何意义，可求出最值。【例2】，求证：。分析：与余弦定理极为相似，故联想余弦定理解决，并构造如以下图形：那么同理，