2023-2024学年上海市长宁区九年级上学期期末考数学试卷含详解

2023学年第一学期初三数学教学质量调研试卷

（考试时间：100分钟满分：150分）

考生注意：

1.本试卷含三个大题，共25题.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草

稿纸、本调研卷上答题一律无效

2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主

要步骤

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题

号的选项上用25铅笔正确填涂】

1.在Rt^ABC中，ZC=90°,如果/A=a，BC=a,那么AC等于（）

aa

A.a-tancifB.a•cotcifC.--------D.--------

sinacosa

2.下列关于抛物线丁=2炉+%一3的描述正确的是（）

A.该抛物线是上升的B.该抛物线是下降的

C.在对称轴的左侧该抛物线是上升的D.在对称轴的右侧该抛物线是上升的

3.已知点C在线段A3上，且满足那么下列式子成立的是（）

AAC君-1„AC75-1小BCV5-1「BC3-75

BC2AB2AB2AC2

4.已知。为非零向量，且匕=—3a，那么下列说法错误的是（）

A.a=-；bB.1可=3同C.A+3a=0D.b//a

5.如果点D、E分别在AABC的两边AB、AC±,下列条件中可以推出DE〃BC的是（）

AD2CE_2AD_2DE2

A.---==—B.——-f———

BD3AE3AB3BC3

AB3EC1AB_4AE4

C.----——D.——一,—=——

AD2AD3EC3

6.已知在.ABC与A'B'C中，点、D、。’分别在边3C、BC上,（点。不与点3、C重合，点。C不与点

B'、C重合）.如果△ADC与△ADC'相似，点4。分别对应点A、D',那么添加下列条件可以证明&A6C

与，A'3'C'相似是（）

①AD,AD'分别是一A5C与/AB'C的角平分线；

②AO、AO'分别是,ABC与,AB'C的中线；

③AD.AD'分别是「ABC与；AB'C的高.

A.①②B.②③C.①③D.①②③

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答

案】

7.如果5x=3y（x,y均不为零），那么x:（x+y）的值是.

8.式子2cos300-tan45°的值是.

9.已知线段a=3cm,b=4cm,那么线段a、b的比例中项等于cm.

10.若两个相似三角形的周长比为2：3,则它们的面积比是.

11.如图，AB//CD//EF,如果AC:CE=2:3,6分=10,那么线段。尸的长是

12.二次函数/（x）=G：2+bx+c图像上部分点的坐标满足下表：那么〃_5）=

X-3-2-101

“X)-3-2-3-6-11

13.已知向量q与单位向量e方向相反，且卜|=3,那么°=（用向量e的式子表示）

14.已知一条斜坡的长度为13米，高度为5米，那么该斜坡的坡度为.

15.如图，在ABC中，AD是上的高，且5c=5,AD=3,矩形的顶点尸、G在边BC上，顶点

E、H分别在边AB和AC上，如果EH=2EF，那么EH=.

16.如图，在_A3C中，/B4C=90°,点G是JL5C的重心，联结G4、GC,如果AC=3,AG=j,那么

ZGCA的余切值为.

A

BC

17.我们把顶角互补两个等腰三角形叫做友好三角形.在_ABC中，A3=AC=10,点。、E都在边上,

AD=AE=5,如果ABC与VADE是友好三角形，那么的长为.

18.如图，在矩形A3CD中，AD=8,AB=4,AC是对角线，点p在边5C上，联结OP,将△0PC沿着直线

OP翻折，点。的对应点。恰好落在ZvlDC内，那么线段班的取值范围是.

三、解答题(本大题共7题，满分78分)【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】

19.已矢口抛物线y=2尤2+4x+l.

(1)用配方法把y=2尤2+以+1化为y=a(x+〃z)2+左的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐

标；

(2)如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点(1,4),求平移后的抛物线的顶点坐标.

20.在平行四边形A3CD中，点E是的中点，BE、AC相交于点尸.

(1)设AB=a,AD=Z?,试用以。表示EF；

(2)先化简，再求作：(2a+b)—|(2a+b)(直接作在图中).

21.如图，在四边形A3CD中，ZBAD=9Q°,ACLBC,DE±AC,垂足为点E,AC=4,DE=3.

A

(1)求值；

(2)3D交AC于点尸，如果tan/8AC=工，求。下的长.

2

22.小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示.

测量方法：如图2,人眼在尸点观察所测物体最高点C,量角器零刻度线上A3两点均在视线PC上，将铅锤悬

挂在量角器中心点0.当铅锤静止时，测得视线PC与铅垂线0D所夹的角为戊，且此时的仰角为夕.

实践操作：如图3,小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼所的高度.他先站在水平地面的点〃

处，视线为GE,此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60°；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点R

处，视线为QE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45°.

问题解决:

(1)请用含a的代数式表示仰角夕;

(2)如果GH、QR、所在同一平面内，小明的眼晴到水平地面的距离为1.6米，求大楼ER的高度.(结果保

留根号)

23.如图，在中，点。,E分别是5CAD的中点，且AD=AC，连接CE并延长交A3于点尸.

(1)证明：_ABCs二ECD；

(2)证明：BF=AEF.

24.已知抛物线y=gx2+bx+c与X轴交于A、3两点(点A在点B的左侧)，与>轴交于点C,直线y=-x—6

(1)求抛物线的表达式;

(2)点p在线段AC下方的抛物线上，过点P作的平行线交线段AC于点。，交》轴于点E.

①如果C、尸两点关于抛物线的对称轴对称，联结。/，当DFLCF时，求NPDF的正切值；

②如果尸D:DE=3:5,求点尸的坐标.

1A

25.已知&ABC中，ZABC=2ZC,5G平分/ABC,AB=8,AG=—，点。，E分别是边5C,AC±

3

的点(点。不与点3,C重合)，且NADE=NA3C,AD,BG相交于点R.

图1备用图备用图

(1)求5C的长;

(2)如图1,如果BF=2CE,求3/：GF的值;

(3)如果VADE是以AD为腰的等腰三角形，求6D长.

2023学年第一学期初三数学教学质量调研试卷

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题

号的选项上用25铅笔正确填涂】

1.在Rt^ABC中，ZC=90°,如果/那么AC等于（）

aa

A.a-tancrB.a•cotcifC.D.---------

sinacosa

【答案】B

【分析】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力.

画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.

【详解】解：cot«=——，

BC

AC=BC-cot«=a-cota,

故选：B.

4V,

2.下列关于抛物线y=2炉+x-3的描述正确的是（）

A.该抛物线是上升的B.该抛物线是下降的

C.在对称轴的左侧该抛物线是上升的D.在对称轴的右侧该抛物线是上升的

【答案】D

【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可

以判断各个选项中的说法是否正确.

【详解】解：•.•抛物线y=2/+无一3,

：.a=2>0,在对称轴左侧，该抛物线下降，在对称轴右侧上升，故选项A、B、C均错误，不符合题意，选项D

正确，符合题意；

故选：D.

3.已知点。在线段A5上，且满足4。2=3。./皿，那么下列式子成立的是（）

人ACA/5-1dAC45-1°BC石-1「BC3-75

BC2AB2AB2AC2

【答案】B

【分析】本题考查黄金分割、解一元二次方程，把A5当作已知数求出AC,求出6C,再分别求出各个比值，根

据结果判断即可.

详解】解：令AC=x,AB=a(a>0),则BC=a—x,

AC2=3C-AB可变形为f=(a-x)-a,

整理，得无之+公-々2=0,

A=«2-4xlx(-〃2)=5々2>0,

-a±-a±小a

解得x=

22

边长为正数,

(A/5-1)4Z

•—a+a

-％=----a-x-a---------

2222

即BC—AB,

AC_K.AB

75-11+V5

,故A选项错误;

BC~3-75:3-亚一2

---AD

2

括-I4D「

AC异1,故B选项正确;

AB~AB2

1

3-乖AB

BC=^A、3—6,故C选项错误;

AB~AB2

3—^/5

-3-石_布-1痂n

――-―/=--------―/=——--,故D选项错厌;

ACV5-1„V5-12

------A4n

2

故选B.

4.已知a为非零向量，且匕=—3a，那么下列说法错误的是（

17B.忖=3同

A.a——bC.b+3a=0D、b"a

3

【答案】C

【分析】本题考查了实数与向量相乘，向量的相关定义，根据其运算法则进行计算即可求解.

【详解】解：Aa为非零向量，且b=—3a，二。=一；万，正确，故本选项不符合题意;

B.Ta为非零向量，且匕=—3〃，・・・忖=3同,正确，故本选项不符合题意;

C.为非零向量，且b=-3a，，人+3a=0，原说法错误，故本选项符合题意;

D.为非零向量，且b=-3a，，b〃a，故本选项不符合题意;

故选：C.

5.如果点D、E分另IJ在AABC的两边AB、AC上，1二列条件中可以推出DE〃:BC的是（)

AD2CE2AD2DE2

A.-----=一，,----二—B.-----=­，------=-

BD3AE3AB3BC3

AB3EC1AB4AE4

C.-----=一,----=——D.-----=­，------=-

AD2AE2AD3EC3

【答案】C

AF）AFABAC

【分析】根据各个选项的条件只要能推出一=——或——二——，即可得出△ADEs/^ABC,推出NADE=NB,

ABACADAE

根据平行线的判定推出即可.

详解】解:

BD3AE3

?DF2

B、根据白土=*和——=_,不能推出DE〃:BC,故本选项错误;

AB3BC3

EC1

C、•'---=—,

AE2

.AC3

••一，

AE2

..AB_3

•AD"2)

.ABAC

"AD~AE

VZA=ZA,

/.AABC^AADE,

.-.ZADE=ZB,

：.DE//BC,故本选项正确;

AR4AP4

D、根据——=一和一=—，不能推出DE〃:BC,故本选项错误；

AD3EC3

故选C.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，解题的关键是推出AABCS/^ADE.

6.已知在.ABC与A'B'C中，点。、。’分别在边5GBC上,（点。不与点3、C重合，点。C不与点

B\。'重合）.如果△ADC与△AD'C'相似，点4。分别对应点A、D',那么添加下列条件可以证明

与，A'8'C'相似的是（）

①AD.AD'分别是，ABC与,AB'C的角平分线；

②AD.AD'分别是一ABC与‘AB'C的中线；

③AD.AD'分别是.ABC与/AB'C的高.

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【答案】A

【分析】本题考查添加条件证明三角形相似,根据AADC与△ADC相似,可得ZC=ZC,ZDAC=ZD'AC,

scDC

再根据相似三角形的判定方法逐项判断即可.

ACD'C

【详解】解：AADC与△ADC'相似，点4。分别对应点A、D',

ACDC

ZC=NC',ADAC=ZD'AC,——=------,

A'CD'C

①A£>、A£>'分别是与/AB'C的角平分线时：ZBAC=2ZDAC,ZB'AC=2ZD'AC,

■■■ZBAC^ZBAC'，

又NC=NC,

.._ABC^AB'C；故①正确；

②AD、AD分别是，ABC与‘AB'C'的中线时，BC=2DC,B'C=2D'C,

BCDC

~B；C~D'C'

ACBC

A'C~BV'

又，NC=NC',

..ABC^AB'C；故②正确;

③AO、A£>'分别是,ABC与‘A'B'C的高时，现有条件不足以证明,ABCs。AB'C,故③错误；

综上可知，添加①或②时，可以证明一ABC与A'3'C'相似

故选A.

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答

案】

7.如果5x=3y（x,y均不为零），那么x:（%+y）的值是.

3

【答案】

【分析】本题考查的是比例的基本性质，令x=3a,则y=5。,然后化简整理即可求得.令1=3a,贝Uy=5a，,

x:(x+y)=3：(3+5)=3:8,即可作答.

【详解】解：根据题意，可令x=3〃，贝1Jy=5〃，

因止匕，x:(x+y)=3a：(3Q+5〃)=3Q8Q=3：8.

3

故答案为：—.

8

8.式子2cos300-tan45°的值是.

【答案】6—1##—1+g

【分析】直接将特殊角的三角函数值代入计算即可解答.

【详解】解：2cos30。—tan45°=2x3—1=0—1.

2

故答案为：V3-1.

【点睛】本题主要考查了三角函数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值成为解答本题的关键.

9.已知线段a=3cm,b=4cm,那么线段a、b的比例中项等于cm.

【答案】2G

【详解】试卷分析：根据线段的比例中项的定义列式计算即可得解.

•线段a=3cm,b=4cm,

，线段a、b的比例中项二43x4=2百cm.

故答案为2君.

考点：比例线段.

10.若两个相似三角形的周长比为2：3,则它们的面积比是.

【答案】4:9

【详解】解：：两个相似三角形的周长比为2：3,

•••这两个相似三角形的相似比为2：3,

.••它们的面积比是4：9.

故答案为：4：9.

考点：相似三角形性质.

11.如图，AB//CD//EF,如果4。：。石=2:3,3/=10,那么线段的长是

AB

ETF\~

【答案】6

【分析】根据平行线分线段成比例定理结合比例解答即可.

【详解】解：；AB〃CD〃EF,AC:CE^2:3,

.BDAC_2

"DF~CE~3

•：BF=10

3

DF=lOx—=6.

5

故答案为6.

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活应用平行线分线段成比例定理列出比例式是解答本题的关键.

12.二次函数/（力=加+/ZX+C图像上部分点的坐标满足下表：那么/（-5）=.

-3-2-101

"%)-3-2-3—6-11

【答案】-11

【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.也考查了抛物线的

对称性.利用表中数据确定抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性求解.

【详解】解：利用表中数据得抛物线的对称轴为直线x=-2,

所以x=—5和x=l时的函数值相等，

即当x=—5时，y的值为一H.

故答案为：—11.

13.已知向量q与单位向量"方向相反，且卜1=3,那么「=（用向量"的式子表示）

【答案】-3e

【分析】此题考查了平面向量的知识，由向量q与单位向量e方向相反，且同=3,根据单位向量与相反向量的知

识，即可求得答案.

【详解】解：•••向量a与单位向量2方向相反，且:/|=3,

a=—3e-

故答案为：一3e-

14.己知一条斜坡的长度为13米，高度为5米，那么该斜坡的坡度为.

【答案】1:2.4

【分析】本题考查坡度，先利用勾勾股定理求出水平距离，然后利用公式计算是解题的关键.

【详解】解：如图，AB=13,AE=5,

BE=y/AB2-AE2=A/132-52=12，

；•斜坡的坡度为i=AE:6E=5:12=1:2.4,

故答案为：1:2.4.

15.如图，在一ABC中，A£>是上的高，且3C=5,A£>=3,矩形EEGH的顶点/、G在边上，顶点

E、〃分别在边AB和AC上，如果石H=2石/，那么石"=.

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，通过四边形EPGH为矩形推出E"BC,因此

与两个三角形相似，将A"视为，AEH的高，可得出AM:=:6C,再将数据代入计算是

本题的关键.

【详解】解：设AD与EH交于点M.

BDGC

•.•四边形跳是矩形,

EHBC,

：.AEH^,ABC,

：AM和AD分另°是,AEH和-ABC的高,

AM:AD=EH:BC,DM=EF,

：.AM^AD-DM^AD-EF=3-EF,

•/EH=2EF,

3-EF2EF

代入可得:

35

解得EF=S，

.J5_30

1111

30

故答案为：—.

16.如图，在一ABC中，/B4c=90°,点G是，RC的重心，联结G4、GC,如果AC=3,AG=~,那么

3

ZGCA的余切值为

【答案】I

3

【分析】延长CG交A5于F过G作GDLAC于G,直线。G交于E,证明VOCEsyACB,得

*=隼，同理可得“=色2=空=红，即有匹=生，根据G为.ABC的重心，AC=3,得

DE=2,设tanZACG=%,根据勾股定理列式计算AG=^AD1+DG2=+1=|可得答案.

【详解】解：过G作GD_LAC于G,延长Cb交A3于点尸，如图:

A

•：GD±AC,ZBAC=90°,

；.DE〃AB，ZCDE=ZBAC=90°,

■：ZDCE=ZACB,

：..DCG^ACF,

.CDDGCG

'*AC-AF-CF(

：G为4ABe的重心，

.CDDGCG2

"AC-AF-CF-3'

•/AC=3,

：.CD=2,AD=1,

：.DG=VAG2-AD2=-,

3

4

则在直角三角形COG中，,DG32,

CD23

故答案为：—

3

【点睛】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，难度较大，综合性

较强，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形.

17.我们把顶角互补的两个等腰三角形叫做友好三角形.在中，AB=AC=10,点£)、E都在边上,

AD=AE=5,如果ABC与VADE是友好三角形，那么的长为

【答案】875

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似

三角形解决问题，学会利用参数构建方程.如图，过过点A作AF13。于点E证明推出

A]~)APJ~)F51

---===—=—,设DF=EF=x,这AF=2x,3尸=4x,构建方程求解.

ABFBAF102

【详解】解：如图，过点A作于点孔

A

：.DF=EF,BF=FC,ZBAF=ZCAF,ZDAF=ZEAF,

•：ZBAC+ZDAE=18Q°,

：.2ZBAF+2ZDAF=180°,

：.ZBAF+ZDAF=90°,

,：ZBAF+ZB=90°,

/.ZDAF=ZB，

:ZAFD=ZAFB=90°,

:•_FA£D_FBA,

.ADAFDF5_1

"AB~FB~AF^10~2,

设。产=所=%，这AF=2x,BF=4x,

,•*AB2=AF2+BF2，

.,JO?=（2x）2+（4x）2,

x=V5（负根已经舍去），

BC=2BF=8x=86

故答案为：8A/5.

18.如图，在矩形A3CD中，">=8,人8=4,4。是对角线，点尸在边5。上，联结OP,将△0PC沿着直线

OP翻折，点。的对应点。恰好落在八位?。内，那么线段严的取值范围是.

【分析】本题考查矩形的折叠问题，相似三角形的判定和性质等，计算出点。恰好落在A。边上，以及点。恰好落

在AC边上时5F的值，即可得出线段6P的取值范围.

【详解】解：当点。的对应点。恰好落在A。边上时，如图:

AQD

由折叠的性质知CD=Q。，CP=QP,ZPQD=ZPCD=90°,

又矩形ABCD中，ZADC=90°,

，四边形QDCP是正方形，

CP=CD=AB=4,

BP=BC-CP=AD-CP=8-4=4；

当点C的对应点Q恰好落在AC边上时，如图，

由折叠的性质知尸

ZPDC+ZACD=90°,

又.矩形ABCD中，ZADC=90°,

ZCAD+ZACD=90°,

■■ZPDC=ZCAD,

又*ZPCD=ZCDA=90°,

PDCs：.CAD,

PCCDPC4

——=——，即Bn——=-,

CDAD48

.PC=2,

BP=BC—PC=8—2=6,

■■■线段BP的取值范围是4<BP<6.

故答案为：4<BP<6.

三、解答题(本大题共7题，满分78分)【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】

19.已知抛物线y=2f+4x+l.

(1)用配方法把y=2f+4x+l化为y=a(x+m)2+左的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐

标;

(2)如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点(1,4),求平移后的抛物线的顶点坐标.

【答案】(1)该抛物线的开口向上，对称轴是直线x=-1,顶点坐标为(T,T)

(2)(-1,-4)

【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数

的性质是解题的关键.

(1)利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

(2)设平移后的抛物线解析式为y=2(x+l)2—1+左，代入点(1,4),求得上的值即可求解.

【小问1详解】

解：y=2x2+4x+l

=2(X2+2X+1)-2+1

=2(X+1)2-1,

...该抛物线的开口向上，对称轴是直线x=—1,顶点坐标为

【小问2详解】

设平移后的抛物线解析式为y=2(x+l)2-1+k,

•••新的抛物线经过点(L4),

•••4=2x22—1+左，

解得％=_3,

平移后的抛物线解析式为y=2(x+-4,

••・平移后的抛物线的顶点坐标是(-L-4).

20.在平行四边形ABCZ)中，点£是4。的中点，BE、AC相交于点尸.

(1)设AB=a,AD=b,试用a、b表不EF；

(2)先化简，再求作：(2〃+b)—3(2]+人)(直接作在图中).

【答案】(1)—a—b

36

(2)—d----b,见详解

2

【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理和平面向量，

(1)根据题意得和=进一步得到一二—,则EF=T704+45,代入向量即可.

BCFB312)

(2)化解得—。一；6,将对应线段代入得到—(AB+AE),过点E作EG〃A3,则AE=BG，

—d—b=GA,连接G4即可.

2

【小问1详解】

解：•..四边形A3CD为平行四边形，

AD//BC,BC=AD,

：.AFEsCFB,

AEEF

则nl---=----,

BCFB

:点E是AD的中点，

AE=-AD,

2

则EF」FB,

2

：.EFEA+AB\=--DA+AB\,

233、>3^2)

'：AB=a,AD=b,

...EsF=—|——b+a=—1t/——1,b.

3(2J36

【小问2详解】

331

(2a+b)—](2a+/7)=2〃+b—3d——Z?——d—―/?,

,/AB=a,AD=b,

-a--b=-AB--AD=-AB-AE=-(AB+AE],

22VJ

过点E作EG〃A3,则AE=BG，

：.-a-^b=-(AB+AE^=-^AB+=-AG=GA,如图，G4即为所求.

21.如图，在四边形A3CD中，440=90°,AC±BC,DE±AC,垂足为点E,AC=4,DE=3.

(2)3D交AC于点尸，如果tan/BAC=,，求。下的长.

2

【答案】(1)3:4

(2)CF=1

【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、解直角三角形：

(1)根据ZBAD=9Q°,AC±BC,DELAC,得ZAED=ZACB=90°,ZEAD=ZABC,证明

AAED^ABCA,结合相似三角形的性质，得AD：AB的值；

(2)根据相似三角形的性质且tan/R4C=g,得BC=2,AE=1.5,再证明上6cbs二。跖，列式代数计算，

即可作答.

【小问1详解】

解：VZBAD=9Q°,ACLBC,DELAC

ZAED=ZACB=90°,ABAC+ZDAE=90°=ZBAC+ZABC

：.ZEAD=ZABC,

：.AAED^ABCA

则AD:AB=OE:AC=3:4

【小问2详解】

解：如图：

A

,：AAED^ABCA,tw^BAC=-

2

.BC_1BC

ABAC=ZADE,

,*AC-2^2

BC=2,

AEAEi

tanNADE=---

ED2

得AE=1.5,

：.EC=AC-AE=4-1.5=2.5,

VAC±BC,DELAC,

/.ZBCF=ZDEF=90°,

■:ZBFC=ZDFE,

：.BCFs.DEF,

即BC-CF

即-----

DE~EF

•2一CF

"3^2.5-CF

解得CR=1.

22.小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示.

测量方法：如图2,人眼在尸点观察所测物体最高点C,量角器零刻度线上A3两点均在视线PC上，将铅锤悬

挂在量角器的中心点。.当铅锤静止时，测得视线PC与铅垂线0D所夹的角为a,且此时的仰角为少.

实践操作：如图3,小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼所的高度.他先站在水平地面的点”

处，视线为GE,此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60°；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点R

处，视线为QE,此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45°.

问题解决：

(1)请用含戊的代数式表示仰角夕；

(2)如果G"、QR、在同一平面内，小明的眼晴到水平地面的距离为1.6米，求大楼所的高度.(结果保

留根号)

【答案】(1)，=9。°—。

(2)(5百+6.6)米

【分析】本题考查了解直角三角形-仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线

是解题的关键.

(1)延长0。交PK于L根据题意可得：OLLPK,从而可得：ZOLP=90°,然后利用直角三角形的两个

锐角互余进行计算，即可解答；

(2)延长GQ交所于点根据题意可得：GM±EF,GH=QR=MF=16米,GQ=HR=10米,然后

设石M=x米，分别在Rt_EGM和Rt.中，利用锐角三角函数的定义求出GM和的长，从而列出关

于x的方程，进行计算即可解答.

【小问1详解】

解：如图：延长0D交PK于L

由题意得：OL±PK,

NO"=90°,

NPOD=cc,

：.ZOPL=90°-APOD=90°—a,

.•.，=90°—。；

【小问2详解】

解：延长GQ交所于点

E

图3

由题意得：GM±EF,GH=QR=MF=1.6m,GQ=HR=10m,

设=x米，

在Rt-£GM中，ZGEM=60°,

GM=EM-tan60°=瓜（米），

在EQM中，ZQEM=45°,

QM=EM-tan^50=x（米），

•：GM-QM=GQ,

V3x-x=10

解得：x=5百+5

EM=[6+5)米，

石/=9+9=5』+5+1.6=36+6.6)米，

大楼EF的高度为(573+6.6)米.

23.如图，在一ABC中，点。,后分别是3CAD的中点，且AD=AC，连接CE并延长交A3于点尸.

(1)证明：,ABC^.ECD；

(2)证明：BF=4EF.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质：

(1)根据等边对等角可得N田C=NACB,再证这组夹角的两边成比例即可;

Hnor)ipgApi

(2)作。H〃CF交AB于点H,可证-BHDs,AFE^AHD,推出-=—=-，进而

BFCrCDCZrlL)AL)2

可得FC=4即,再根据ABCs二DC£得出NEBCu/FCB,推出CF=5尸，等量代换可证5尸=4EF.

【小问1详解】

证明：AD=AC，

ZADC=ZACD>即NEDC=NACB，

又点£>,E分别是3CAD的中点，

DC=-CB,ED=-AD=-AC,

222

,DCED\

"CB-AC-2'

.ACED

'*CB-DC'

_ABCS_ECD；

【小问2详解】

证明：如图，作。/〃C尸交A5于点〃，

ZBHD=ZBFC,ZBDH=ZBCF；ZAFE=ZAHD,ZAEF=ZADH,

BHDsBFC,AFES,AHD,

又点£>,E分别是3cA。的中点，

,HD_BD_1FE_AE_1

FCBC~2'HD-A。-2'

FC=2HD,HD=2FE,

：.FC=4EF,

由(1)得:ABC^,ECD,

•.ZABC=ZECD,即NFBCuNPCB,

.CF=BF,

BF=4EF.

24.已知抛物线丁=；必+法+。与X轴交于A、3两点(点A在点B的左侧)，与>轴交于点C,直线y=-x—6

经过点A与点C.

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P在线段AC下方的抛物线上，过点P作的平行线交线段AC于点O,交>轴于点E.

①如果C、尸两点关于抛物线的对称轴对称，联结小，当DFLCF时，求NPD厂的正切值；

②如果尸D:DE=3:5,求点尸的坐标.

【答案】（1）y=-x2+2x-6

2

（2）①g②,3，?]

【分析】（1）先由一次函数求出A（-6,0）,C（-6,0）,再运用待定系数法求二次函数解析式，即可作答.

（2）①依题意，得。F_LCF,PEBC,ZPDF=ZACB,根据角的等量代换，即NPDF=NOCB,先求出

点B的坐标.ZPDF的正切值等于tanZOCB=-=-=-；

OC63

②先表达出d〜一6，°一斤+/'）一>一6P>~P2+2p-6j,EN=-p~--p,

I2)84

EM=-3。再根据相似三角形的性质与判定，列式化简计算，即可作答.

【小问1详解】

解：•••直线y=-x—6经过点A与点C

则当尤=0,y=—6；y=0,x=-6

：.A（-6,0）,C（-6,0）

c=-6,

0=18—6b+c,

c=-6

解得

b=2

【小问2详解】

解：①如图：

VA（-6,0）,C（-6,0）,且C、尸两点关于抛物线y=gx?+2x—6的对称轴对称,

贝|]xF=-4

DF//y轴

则NEDC=NOC4

过点P作BC的平行线交线段AC于点。，交y轴于点E.

PEBC,ZPDF=ZACB

则ZPDF=ZOCB

1,

•：y=-x12+2x-6x轴交于A、3两点(点A在点B的左侧),

1,/

0——x+2x—6

2

•=X=-6,x=2

：.8(2,0)

；ZPDF=ZOCB

则ZPDF的正切值等于tanZOCB=-=-=-；

OC63

②设+—BC的解析式为y=g+〃

.,.把C(0,—6),6(2,0)代入y=mx+〃

〃=—6

得

0=2m+n

n=-6

解得《

m=3

:过点P作平行线交线段AC于点。，交y轴于点E

设PE的解析式为y=3尤+6

把P]pXp1+2p-()\\^Ky=3x+b

1

得b=-p9-p-6

2

，,

y=c3x+—1p~-p-6

1

令x=0,y=-p9'-p-6

即E10?—p~-p—6

y=-x-6

当《12

y=3x+-p-p-6

121

解得X=—-P+—P

84

111

则把尤=一-p2+%p代入y=3x+]p_9_p_6

121,

得丫=一——P-6

.84

：.D\--p2+-p,-p2--p-6

\8484

:过点P作轴，过点。作。NJ_y轴,

EDNjEPM

.EN_DE

'EM~EP

•/PD;DE=3:5

：.EN：EM=5R

D^-^p2+^pXp2-^p-6^,P^p,^p2+2p-6^

：.EN=^p2-p-6-^p2-^p-6^=^p2-^p,EM=^p2-p-6-[^p2+2p-6^=-3p

33

：.-p2--p：-3p=5：8

解得Pi=。，Pi=-3

..•点P在线段AC下方的抛物线上，

Pi=O(舍去)

p——3.

1,

把p=-3代入y=—p"+2p-6

1cc-92415

y=—x9—2x3—6=--------二—

222