2024届高考物理第一轮复习重难点练习：第二章 强化三　动态平衡问题　平衡中的临界、极值问题

I例11（多选）如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A,A

的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球8,已知4物体的半径为球8的半径的3

倍，球B所受的重力为G,整个装置处于静止状态.设墙壁对B的支持力为B，A对8的支

持力为F2,若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则Q、&的变化情况分别是（）

A.Fi减小B.Fi增大

C.巳增大D.反减小

答案AD

解析以球B为研究对象，受力分析如图所示，可得出Q=Gtan仇尸2=会当,当A向右移

动少许后，。减小，则Fi减小，B减小，故A、D正确.

I例2】（多选）如图所示，在倾角为a的斜面上，放一质量为，〃的小球，小球和斜面及挡板间

均无摩擦，当挡板绕。点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中（）

A.斜面对球的支持力逐渐增大

B.斜面对球的支持力逐渐减小

C.挡板对小球的弹力先减小后增大

D.挡板对小球的弹力先增大后减小

答案BC

解析对小球受力分析知，小球受到重力机g、斜面的支持力尸NI和挡板的弹力产N2,如图，

当挡板绕。点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，小球所受的合力为零，根据平衡条件得

知，乐1和尸N2的合力与重力，"g大小相等、方向相反，作出小球在三个不同位置力的受力分

析图，由图看出，斜面对小球的支持力FNI逐渐减小，挡板对小球的弹力FN2先减小后增大，

当An和八2垂直时，弹力FN2最小，故选项B、C正确，A、D错误.

「Z2

mg

考向2“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题

1.一力恒定（如重力），其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平

行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边比值相

等.

基本矢量图，如图所示

基本关系式：詈等等

I例3】（2023•宁夏银川一中检测）如图所示，质量分布均匀的细棒中心为O点，O,为光滑较

链，。2为光滑定滑轮，且。2在Oi正上方，细绳跨过。2与。连接，水平外力尸作用于细绳

的一端.用FN表示较链对杆的作用力，现在水平外力尸作用下，。从胃缓慢减小到0的过程

中，下列说法正确的是（）

A.F逐渐变小，FN大小不变

B.尸逐渐变小，尺逐渐变大

C.尸先变小再变大，FN逐渐变小

D.尸先变小再变大，心逐渐变大

答案A

G尸zF

解析受力分析如图所示，力三角形与几何三角形（△。2。0|）相似，则有不万;=瑞=市

因为。2。|、。0|长度不变，故尸N大小不变，。。2长度变短，故尸变小，故A正确，B、C、

D错误.

2.一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利

用两力夹角不变，结合正弦定理列式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不

同位置判断各力的大小变化.

基本矢量图，如图所示

【例4】（多选）如图，柔软轻绳ON的一端。固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另

7T

一端N.初始时，0M竖直且MN被拉直，与MN之间的夹角为a（a＞］）.现将重物向右上

方缓慢拉起，并保持夹角a不变.在。M由竖直被拉到水平的过程中（）

A.上的张力逐渐增大

B.上的张力先增大后减小

C.上的张力逐渐增大

D.上的张力先增大后减小

答案AD

解析以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg,0M绳上拉力巳、上拉力Fi,由题

意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，Q、凡的夹角不变，在尸2转至水平的

过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，上的张力Q逐渐增大，0M上的张力

22先增大后减小，所以A、D正确，B、C错误.

方法点拨

一力恒定，另外两力方向均变化时常采用的方法有相似三角形、正弦定理或利用两力夹角不

变作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化.

考向3“活结”的动态分析

如图所示，“活结”两端绳子拉力相等，因结点所受水平分力相等，Frsin仇=FTsin%，故仇

"仇'根据几何关系可知,sin。=备=£若两杆间距离d不变,则上下移动绳子结

点，6不变，若两杆距离”减小，则。减小，2Ficos（9=njg,FT=2黑g也减小.

I例5】如图所示，在竖直放置的穹形支架上，一根长度不变且不可伸长的轻绳通过轻质光滑

滑轮悬挂一重物G.现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向C

点靠近（C点与A点等高）.则在此过程中绳中拉力（）

A.先变大后不变B.先变大后变小

C.先变小后不变D.先变小后变大

答案A

解析对滑轮受力分析如图甲所示，由于跨过滑轮的绳子拉力一定相等，即由几何

关系易知绳子拉力方向与竖直方向夹角相等，设为仇可知

2cos

如图乙所示，设绳长为乙，由几何关系得sinO=*Z

其中d为两端点间的水平距离，由3点向C点移动过程中，d先变大后不变，因此。先变大

后不变，由①式可知绳中拉力先变大后不变，故A正确.

题型二平衡中的临界、极值问题

1.临界问题

当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”

或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等.临界问题常见的种

类：

(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力.

(2)绳子恰好绷紧，拉力F=0.

(3)刚好离开接触面，支持力?N=0.

2.极值问题

平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题.

3.解题方法

(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界

条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极

端，即极大和极小.

(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出

函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值).

(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平

行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值.

1151]61如图所示，物体的质量为巾=5kg,两根轻细绳4B和4c的一端固定于竖直墙上，另

一端系于物体上(NBAC=0=60。)，在物体上另施加一个方向与水平线也成。角的拉力F,若

要使两绳都能伸直，求拉力厂的大小范围.(g取10m/s2)

答案挈NWFW号小N

解析设AB绳的拉力为Fi,4c绳的拉力为尸2,对物体受力分析，由平衡条件有

FeosO—F2—Ficos3=0,

FsinJ+Rsin0—mg=0,

可得F=3_R

若要使两绳都能伸直，则有FiHO,F2^0,

则F的最大值Fmax=(禽N,

产的最小值K面=湍合=郛N,

即拉力F的大小范围为5个"NWF4/5N.

I例7】如图所示，质量加=5.2kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力尸作用下，

向右以。o=2.Om/s的速度做匀速直线运动.己知金属块与地面间的动摩擦因数〃=0.2,g=

10m/s2.求所需拉力厂的最小值.

答案2，^N

解析设拉力与水平方向夹角为。，根据平衡条件有Fcos(9=〃(mg-Fsin0),整理得cos6+

・〃〃欢]

〃sin8n=F;+〃2sin(a+0)=管/其中sina=当3=^—a时F最小故所需拉

W+涓'

力户的最小值尸min==2^26N.

课时精练

过基础落实练

1.如图所示，在水平放置的木棒上的M、N两点，系着一根不可伸长的柔软轻绳，绳上套有

一光滑小金属环.现将木棒绕其左端逆时针缓慢转动一个小角度，则关于轻绳对M、N两点

的拉力B的变化情况，下列判断正确的是()

A.A和尸2都变大B.Fi变大，尸2变小

c.C和尸2都变小D.Q变小，尸2变大

答案c

解析由于是一根不可伸长的柔软轻绳，所以绳子的拉力大小相等.木棒绕其左端逆时针缓

慢转动一个小角度后，绳子之间的夹角变小，绳对小金属环的合力大小等于小金属环的重力

大小，保持不变，所以绳子上的拉力变小，选项C正确，A、B、D错误.

2.（2023・山东烟台市高三模拟）如图所示，用一个质量不计的网兜把足球挂在光滑竖直墙壁上

的A点，足球与墙壁的接触点为B.若只增大悬绳的长度，足球始终保持静止状态，关于悬绳

对球的拉力F和墙壁对球的支持力FN，下列说法正确的是（）

A.尸和心都增大B.尸增大，尺减小

C.尸减小，尺增大D.F和入的合力不变

答案D

解析对球受力分析，由平衡条件得悬绳对球的拉力满足Feos6=/wg,墙壁对球的支持力满

足tan所以当增大悬绳的长度时，夹角，减小，则由几何关系知cos0增大，tan，减

mg

小，所以尸和FN都减小，故A、B、C错误；因为足球始终保持静止状态，所以尸和心的

合力始终与,"g等大反向，故D正确.

3.如图所示，轻绳PQ能承受的最大张力为80N,现用它悬挂一质量为4kg的物体，然后在

轻绳的中点。施加一水平向左的力F,使中点。缓慢向左移动，已知重力加速度g=10m/s2,

则当轻绳断裂瞬间，绳的尸。段与竖直方向的夹角为（）

〃〃/〃//〃〃/

P

F

--------0

।|g

A.30°B.45°

C.53°D.60°

答案D

解析设当轻绳断裂瞬间，绳的尸。段与竖直方向的夹角为仇由平衡条件可得8$。=警=

*Tm

40N1

而而=菱，解得6=60。，D正确.

4.（2023•广东汕尾市高三月考）新疆是我国最大的产棉区，在新疆超出70%棉田都是通过机械

自动化采收，自动采棉机能够在采摘棉花的同时将棉花打包成圆柱形棉包，通过采棉机后侧

可以旋转的支架平稳将其放下，放下棉包的过程可以简化为如图所示模型，质量为，〃的棉包

放在“V”型挡板上,两板间夹角为120。固定不变，“V”型挡板可绕P轴在竖直面内转动.初

始时BP板水平，在使BP板逆时针缓慢转动60。的过程中，忽略“V”型挡板对棉包的摩擦

力，下列说法正确的是（）

B

A.B尸板水平时，棉包受到两个力的作用

B.当BP板转过60。，AP板水平时，棉包受到三个力的作用

C.当BP板转过30。时，棉包对AP板和BP板的作用力大小不相等

D.在转动过程中棉包对BP板的压力不变

答案A

解析BP板水平时或AP板水平时棉包都只受到重力和支持力两个力作用，故A正确，B错

误；当BP板转过30。时，两板与水平方向夹角相等，由对称性知，棉包对AP板和BP板的

作用力大小相等，故C错误；在转动过程中棉包对8P板的压力减小，故D错误.

5.（多选）（2023•湖南岳阳市十四中高三检测）如图所示，水平面和竖直面构成的垂直墙角处有一

个截面为半圆的光滑柱体，用细线拉住的小球静止靠在半圆柱体的P点（P点靠近底端）.通

过细线将小球从P点缓慢向上拉至半圆柱体的最高点，细线方向始终保持与半圆相切.此过

程中（）

A.细线对小球的拉力逐渐减小

B.圆柱体对小球的支持力逐渐减小

C.水平地面对圆柱体的支持力逐渐减小

D.圆柱体对竖直墙面的压力先增大后减小

答案AD

解析对小球进行受力分析，如图所示

根据平衡条件有Fm=mgcos9,Fj—mgsin0,当细线将小球从P点缓慢向上拉至半圆柱体的

最高点过程中，J逐渐减小，则细线对小球的拉力FT逐渐减小，圆柱体对小球的支持力FNI

逐渐增大，A正确，B错误；

对圆柱体与小球整体分析，如图所示，根据平衡条件有FN3=FTCOSe=；，〃gsin2。，Frsin。+

Fm={M+tri）g,当细线将小球从P点缓慢向上拉至半圆柱体的最高点过程中，。在0〜刍范围

内变化，6逐渐减小，故5N2逐渐增大，尺3先增大后减小，C错误、D正确.

6.（2023•宁夏六盘山高级中学模拟）如图所示，某健身者右手拉着抓把沿图示位置B水平缓慢

移动到位置A,不计绳子质量，忽略绳子和重物与所有构件间的摩擦，A、B、重物共面，则

重物上升过程中（）

A.绳子的拉力逐渐增大

B.该健身者所受合力逐渐减小

C.该健身者对地面的压力逐渐减小

D.该健身者对地面的摩擦力逐渐增大

答案D

解析由题意可知，重物和健身者一直处于动态平衡状态，由平衡条件可知，健身者所受合

力等于零，绳上的拉力大小不变，其大小等于重物的重力机g,A、B错误；对健身者受力分

析，如图所示，由平衡条件可知，在竖直方向，则有Frsin6+FN=Mg,又有Fr=，"g,可得

FN=Mg-"?gsin6,在水平方向，则有Ficos0=F（,当从8水平缓慢移到A时，6角逐渐变

小，地面对健身者的支持力逐渐变大，地面对健身者的摩擦力逐渐变大，由牛顿第三定律可

知，健身者对地面的压力逐渐增大，健身者对地面的摩擦力逐渐增大，C错误，D正确.

应能力综合练

7.（2023•云南昆明市检测）如图所示，两质量均为机的小球心伙均可看成质点）固定在轻杆两

端，用两条与轻杆等长的细线悬挂在。点，整个系统静止时，细线和轻杆构成正三角形，用

力F缓慢拉动小球从保持两细线绷紧，最终使连接。球的细线竖直，重力加速度大小为g,

则连接〃球的细线竖直时，力尸的最小值是（）

C.mg

答案B

解析末状态时，左边小球〃在最低点，细线。4处于竖直方向，小球“处于平衡状态，合

外力沿水平方向的分量为零，则此时轻杆上的弹力为零，故右侧小球b受到重力、细线0。

的拉力和力尸作用处于平衡状态，如图所示，由几何关系可知，当拉力/方向与Ob垂直时

拉力F最小，可得最小拉力FminMwjgsin60。=勺，〃g,选项B正确，A、C、D错误.

8.如图所示为一简易起重装置，AC是上端带有滑轮的固定支架，3C为质量不计的轻杆，杆

的一端C用钱链固定在支架上，另一端8悬挂一个质量为根的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A

连接在卷扬机上.开始时，杆BC与AC的夹角ZBCA>90°,现使/8C4缓慢变小，直至UN8CA

=30。（不计一切阻力）.在此过程中，杆BC所产生的弹力（）

A.大小不变B.逐渐增大

C.先增大后减小D.先减小后增大

答案A

解析以结点8为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡条件知，F、

FN的合力尸金与G大小相等、方向相反.

尸sFFN

根据二角形相似得4了=K，叉F*=G,

Z1C/\DDC

护"一世＜、P_BC

仔F~ACG,FN-ACG

NBCA缓慢变小的过程中，AB变小，而AC、BC不变，则F变小，FN不变，故杆8c所产

生的弹力大小不变，故选A.

9.（2023•河北邯郸市模拟）如图所示，置于水平地面的木板上安装有竖直杆，在杆上A、8两点

间安装长为2d的轻绳，两竖直杆间距为d.A、B两点间的高度差为争现有带光滑轻质钩子、

质量为加的物体钩住轻绳且处于平衡状态，重力加速度为g.下列说法正确的是（）

A.开始平衡时轻绳的张力大小为mg

B.开始平衡时轻绳的张力大小为普吆

C.若将绳子的A端沿竖直杆上移，绳子拉力将变大

D.若将木板绕水平轴CD缓慢向纸面外旋转，轻绳的张力先增大后减小

答案B

=

解析设结点左侧绳长为1\,结点右侧绳长为h,有Zicos仇+/2cos02df由水平方向受力

平衡，有FTCOS9|=FTCOS优，有COSa=COS。2=8=3，竖直方向受力平衡，有21而仇=

mg,解得R="等，A错误，B正确；将绳子的A端沿竖直杆上移或将木板绕水平轴CD

缓慢向纸面外旋转，由A、B中分析可知，由于A、B两点的水平间距不变，左右两部分与

水平方向夹角不变，所以绳子拉力大小不变，C、D错误.

10.（2023-河北唐山市模拟）北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米棒，某粮

仓由于玉米棒装的不匀称而发生倾斜现象，为避免倾倒，在左侧用木棍支撑，如图所示.若

支撑点距水平地面的高度为小m,木棍与水平地面间的动摩擦因数为坐，木棍重力不计，

粮仓对木棍的作用力沿木棍方向，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使木棍下端不发生侧滑,

则木棍的长度最大为（）

A.1.5mB.小m

C.2mD.2小m

答案c

解析设木棍与水平方向夹角为仇木棍长度为L,粮仓对木棍的作用力大小为F,则为使木

h

棍下端一定不发生侧滑，由平衡条件有Feos6W〃八in0,由几何知识有tan6=;两

式联立解得LW2m,即木棍的长度最大为2m,故A、B、D错误，C正确.

11.（多选）如图所示，一光滑的轻滑轮用细绳。0'悬挂于。点；另一细绳跨过滑轮，其一端

悬挂质量为m的物块4另一端系一位于固定光滑斜面上且质量为2m的物块B,斜面倾角0

=45°,外力F沿斜面向上拉物块8,使物块B由滑轮正下方位置缓慢运动到和滑轮等高的位

置，则（）

A.细绳0。'的拉力先减小后增大

B.细绳对物块B的拉力大小不变

C.斜面对物块B的支持力先减小后增大

D.外力厂逐渐变大

答案BCD

解析由题可知，物块缓慢移动，整体处于动态平衡状态，则绳00'的拉力大小等于下面

绳对A的拉力和绳对B的拉力的合力大小，由于绳对A的拉力和绳对B的拉力大小相等，都

等于A物块的重力的大小，但是由于B物块上移，导致二者之间的夹角变大，则根据平行四

边形定则可知合力变小，即绳。0'的拉力逐渐减小，故A错误，B正确；对物块B受力分

析如图所示，当物块8上移时，a先减小后增大，在垂直斜面方向根据平衡条件可知，斜