生活中的数学(十一)-生活中的二次函数

生活中的数学（十一）—生活中的二次函数二次函数在中学数学中占据重要的地位，同时也是进行数学研究的一个重要的工具，它贯穿整个中学数学的数与学。从最浅显的直观的利用图象解方程、解不等式、求最值，到利用数形结合的思想研究一元二次方程中根的分布问题，再进而用二次函数来解决现实生活中的实际问题，无不体现二次函数的重要性和它独特的魅力。在中考中，二次函数的实际应用同样是一个考察的重难点，而很多学生在考试中暴露出一个问题：用数学解决实际问题的能力不足。所以，我们需要进一步研究二次函数在实际生活中的应用和对实际生活的影响，从而培养学生解决实际问题的能力。1.在桥梁建筑方面的应用抛物线在桥梁建筑方面有着广泛的应用。在实际生活中，由于各种不同的需要，大多数的桥梁建筑都运用了二次函数的性质，将其形状设计为抛物线的形式。所以，我们在现实生活中能够找到很多具有抛物线特征的建筑物，如下图所示：图1-1图1-2同时，在现实生活中也存在许多与建筑、设计有关的二次函数的数学问题。下面，我们用以下几个例子来进行说明。例1.一座单行隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，隧道最高点位于的中央且距地面，建立如图1-3所示的坐标系。（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高，宽，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道如图1-4所示，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？图1-3图1-4解（1）由题意可知抛物线经过点，，。设抛物线的方程为，将、、三点的坐标代入抛物线方程。解得抛物线方程为：.（2）令，则有,解得,而,所以货车可以通过。（3）由（2）可知,所以货车可以通过。2.在经济生活中的应用在产品销售过程中，产品的单价影响销售量，从而影响着销售所获得的利润。而经营者为了获得最大利润，产品的销售定价和销售量、产品成本等不同因素之间的影响是我们必须要探究、解决的。因此，此类问题的解决我们同样需要运用二次函数的相关知识。例2.为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加。某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为元/千克。市场调查发现，该产品每天的销售量(千克)与销售价(元/千克)有如下关系：。设这种产品每天的销售利润为(元)。

(1)求与之间的函数关系式。

(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于元/千克，该农户想要每天获得元的销售利润，销售价应定为多少元？分析利润=（单价-成本）*销售数量，这是问题解答的关键。解(1)与的函数关系式为：,所以，与的函数关系式为：，

由（1）可知：，因为，所以函数有最大值，

当时，函数有最大值，最大值为，

所以，当时，有最大值，因此，当销售价定为元/千克时,每天可获最大销售利润元。当时，可得方程，

解这个方程，得，

根据题意，不合题意,应舍去，

所以，当销售价定为元/千克时，该农户每天可获得销售利润元。销售定价问题的根本就是保证利润的最大化，利润=（单价-成本）*销售数量，而产品的成本是固定，所以单价越大，利润越高；销售量越大，利润也越高。而当销售单价越来越大时，销售数量往往逐渐减少，所以我们需要在这个变化过程中找到使得利润最大化的最优销售单价。3.在日常生活中的应用二次函数除了在建筑设计、经济生活中的应用外，在日常生活的应用也是十分广泛的。我们在日常生活中所参加的各种体育运动如篮球、排球、羽毛球等，其球体的运动路径就是一个抛物线。在运动过程中，对于运动员的成绩和球体命中的准确性的估计都离不开二次函数。例3.在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处点的坐标，铅球路线的最高处点的坐标为。(1)求这个二次函数的解析式；

(2)该男同学把铅球推出去多远？(精确到米，)图3-1图3-1解(1)设二次函数的解析式为，顶点坐标为，图3-1所以，而点在抛物线上，

所以，则.当时，，解得(不合题意，舍去)，所以（米）。4.在政策补贴上的应用对于社会上城乡居民的生活补助，对城市规划的建设，对公共设施的建设要求等都有涉及到二次函数的应用。下面就以其中一个方面进行举例说明。例4某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口。为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元。经调查，种植亩数（亩）与补贴数额（元）之间大致满足如图(1)所示的一次函数关系。随着补贴数额的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益（元）会相应降低，且与之间也大致满足如图(2)所示的一次函数关系。(1)(2)图4-1（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数和每亩蔬菜的收益与政府补贴数额之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益（元）最大，政府应将每亩补贴数额定为多少？并求出总收益的最大值。分析惠农政策是国家的基本政策，能进入中考，是对国家政策的正面宣传。解（1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为：（元）。由题意可设与的函数关系为，将代入上式得，得，所以种植亩数与政府补贴的函数关系为，同理可得每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为.（3）由题意，得：所以