全国各地中考数学模拟试卷压轴题汇编含详细解析和评分标准

１．（本题满分12分）如图，二次函数（m<4）的图象与轴相交于点A、B两点．（1）求点A、B的坐标（可用含字母的代数式表示）；（2）如果这个二次函数的图象与反比例函数的图象相交于点C，且∠BAC的余弦值为，求这个二次函数的解析式．OOACxyB解：（1）当，，………………（1分），．……………（2分）∵，∴A（–4，0），B（，0）………………（4分）（2）过点C作CD⊥轴，垂足为D，cos∠BAC,设AD=4k,AC=5k,则CD=3k.……（5分）∵OA=4,∴OD=4k–4,点C(4k–4,3k).…………………（6分）∵点C在反比例函数的图象上，∴.………………（7分）.……………（8分）∴C(2，).……（1分）∵点C在二次函数的图象上，∴，………（1分）∴………………(10分)∴二次函数的解析式为.……………（12分）2．（本题满分14分）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90o，∠C＝60°，AD＝3cm，BC＝9cm．⊙O1的圆心O1从点A开始沿折线A—D—C以1cm/s的速度向点C运动，⊙O2的圆心O2从点B开始沿BA边以cm/s的速度向点A运动，⊙O1半径为2cm，⊙O2的半径为4cm，若O1、O2分别从点A、点B同时出发，运动的时间为ts（1）请求出⊙O2与腰CD相切时t的值；（2）在0s＜t≤3s范围内，当t为何值时，⊙O1与⊙O2外切？（第（第26题）解：（1）如图所示，设点O2运动到点E处时，⊙O2与腰CD相切．过点E作EF⊥DC，垂足为F，则EF＝4cm．………………1分方法一，作EG∥BC，交DC于G，作GH⊥BC，垂足为H．通过解直角三角形，求得EB＝GH＝cm．………………4分所以t＝（）秒．………………6分方法二，延长EA、FD交于点P．通过相似三角形，也可求出EB长．方法三，连结ED、EC，根据面积关系，列出含有t的方程，直接求t．（2）由于0s<t≤3s，所以，点O1在边AD上．………………7分如图所示，连结O1O2，则O1O2＝6cm．………………8分由勾股定理得，，即．………………10分解得t1＝3，t2＝6（不合题意，舍去）．………………12分所以，经过3秒，⊙O1与⊙O2外切．………………14分（第（第26题）３．（本题满分12分）正方形ABCD的边长为4，P是BC上一动点，QP⊥AP交DC于Q，设PB=x,△ADQ的面积为y.（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.（2）（1）中函数若是一次函数，求出直线与两坐标轴围成的三角形面积，若是二次函数，请利用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标.（3）画出这个函数的图象.（4）点P是否存在这样的位置，使△APB的面积是△ADQ的面积的，若存在，求出BP的长，若不存在，说明理由.解:（1）画出图形，设QC=z，由Rt△ABP~Rt△PCQ，=，z=，①y=×4×（4-z）,②第25题图（1）把①代入②y=x2-2x+8（0＜x＜4）.（2）y=x2-2x+8=(x-2)2+6.∴对称轴为x=2,顶点坐标为（2，6）.(3)如图所示第25题图（2）(4)存在，由S△APB＝S△ADQ，可得y＝3x，∴x2—2x+8＝3x，∴x＝2，x＝8(舍去)，∴当P为BC的中点时，△PAB的面积等于△ADQ的面积的.４．（14分）函数y=-x-12的图象分别交x轴，y轴于A,C两点，（1）求出A、C两点的坐标.（2）在x轴上找出点B，使△ACB~△AOC，若抛物线经过A、B、C三点，求出抛物线的解析式.（3）在（2）的条件下，设动点P、Q分别从A、B两点同时出发，以相同的速度沿AC、BA向C、A运动，连结PQ，设AP=m，是否存在m值，使以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出所有的m值；若不存在，请说明理由.解．（1）A（-16，0）C（0，-12） 2分（2）过C作CB⊥AC，交x轴于点B，显然，点B为所求， 3分则OC2=OA×OB此时OB=9，可求得B（9，0） 5分此时经过A，B，C三点的抛物线的解析式为：y=x2+x-12 8分（3）当PQ∥BC时，△APQ~△ACB 9分得= 10分∴=解得m= 11分当PQ⊥AB时，△APQ~△ACB 12分得：= 13分∴=解得m= 14分5．（本题满分10分）如图，在直角坐标系中，以点A(，0)为圆心，以为半径的圆与x轴交于B、C两点，与y轴交于D、E两点.（1）求D点坐标．（2）若B、C、D三点在抛物线上，求这个抛物线的解析式．（3）若⊙A的切线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点N，切点为P，∠OMN=30º，试判断直线MN是否经过所求抛物线的顶点？说明理由．解：（1）连结AD，得OA=，AD=2……1分∴OD=3，D(0，-3)………………2分（2）由B(-，0)，C(3，0)，D(0，-3)三点在抛物线上，……3分得解得………………5分∴…………6分（3）连结AP，在Rt△APM中，∠PMA==30º，AP=2∴AM=4，M(5，0)…………7分∴N(0，-5)……………8分直线MN解析式为：抛物线顶点坐标为(，-4)………………9分∵∴抛物线顶点在直线MN上．……………10分６、（12分）如图3.以A(0，)为圆心的圆与x轴相切于坐标点O,与y轴相交于点B,弦BD的延长线交x轴的负半轴于点E,且∠BEO=600,AD的延长线交x轴于点C.（1)分别求点E,C的坐标．(2)求经过A、C两点，且以过E而平行于y轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式．(3)设抛物线的对称轴与AC的交点为M，试判断以M点为圆心,ME为半径的圆与☉A的位置关系，并说明理由．７、一个圆柱的一条母线为AB,BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的表面爬行到点C．⑴如图①，如果底面周长为24cm,高为4cm,那么蚂蚁的最短行程是多少cm?⑵如图②，如果底面半径为rcm,高为hcm,那么你认为蚂蚁可能有哪几种行程较短的路径?试画出平面展开图说明路径(至少画两种不同的路径),不必说明理由．⑶通过计算比较②中各种路径的长度，你能得到什么一般性的结论？或者说，蚂蚁选择哪条路径可使行程最短？AAC图①BAC图②B8、（12分）某企业有员工300人，生产A种产品，平均每人每年可创造利润万元（为大于零的常数）。为减员增效，决定从中调配人去生产新开发的B种产品，根据评估，调配后，继续生产A种产品的员工平均每人每年创造的利润可增加20%，生产B种产品的员工平均每人每年可创造利润1.54万元。（1）调配后，企业生产A种产品的年利润为_________万元，企业生产B种产品的年利润为_________万元（用含和的代数式表示）。若设调配后企业全年总利润为万元，则与之间的关系式为＝____________。（2）若要求调配后，企业生产A种产品的年利润不小于调配前企业年利润的，生产B种产品的年利润大于调配前企业年利润的一半，应有哪几种调配方案？请设计出来，并指出其中哪种方案全年总利润最大（必要时，运算过程可保留3个有效数字）。（3）企业决定将（2）中的年最大总利润（设＝2）继续投资开发新产品。现有6种产品可供选择（不得重复投资同一种产品）各产品所需资金及所获年利润如下表：产品CDEFGH所需资金（万元）200348240288240500年利润（万元）508020604085如果你是企业决策者，为使此项投资所获年利润不少于145万元，你可以投资开发哪些产品？请写出两种投资方案。解：（1），，（2）由题意得解得＜≤100。注：写97.5＜≤100或97.4＜≤100均视为正确∵为整数∴只能取98、99、100。故共有三种调配方案：①202人继续生产A种产品，调98人生产B种产品；②201人继续生产A种产品，调99人生产B种产品；③200人继续生产A种产品，调100人生产B种产品；又＝，由于＞0，函数随的增大而增大。故当＝100，即按第三种方案安排生产时，获总利润最大。（3）当＝2时，最大总利润为788万元。根据题意，可投资开发产品F、H或C、D、E或C、D、G或C、F、G。９、已知：如图1，直线y=kx+3(k>0)交x轴于点B，交y轴于点A，以A点为圆心，AB为半径作⊙A交x轴于另一点D，交y轴于点E、F两点，交直线AB于C点，连结BE、CF，∠CBD的平分线交CE于点H.（1）求证：BE=HE；（2）若AH⊥CE，Q为eq\o(BF,\s\up5(⌒))上一点，连结DQ交y轴于T，连结BQ并延长交y轴于G，求AT•AG的值；T（3）如图2,P为线段AB上一动点(不与A、B两点重合)，连结PD交y轴于点M，过P、M、B三点作⊙O1交y轴于另一点N，设⊙O1的半径为R，当k=EQ\F(3,4)时，给出下列两个结论：①MN的长度不变；②EQ\F(MN,R)的值不变.其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值.T证明：(1)∵AE⊥BD，∴eq\o(BE,\s\up5(⌒))=eq\o(DE,\s\up5(⌒))，∴∠EBD=∠ECB.∵∠ABH=∠DBH，∠BHE=∠ECB+∠CBH，∠HBE=∠DBH+∠EBD，∴∠BHE=∠HBE.∴BE=HE.解：(2)连结QC、TB，则∠BCQ+∠CBQ=90°，又∠BDQ+∠ATD=90°，而∠BCQ=∠BDQ，∴∠CBQ=∠ATD=∠ATB，∴ΔABG∽ΔATB，∴AB2=AG•AT，∵AH⊥CE，∴H为CE的中点，∴BE=EQ\F(1,2)EC，∴ΔBEO∽ΔCBE，∴EQ\F(OE,BO)=EQ\F(BE,EC)=EQ\F(1,2).设⊙A的半径为R，由AB2－OA2=BO2，OE=R－3，得R2－32=4(R－3)2，解得，R=5，或R=3(不合题意，舍去).∴AT•AG=AB2=25.K(方法二提示:可连结AD,CD证ΔBAG∽ΔTAD)K(3)答：②EQ\F(MN,R)的值不变.证明：作O1K⊥MN于K，连结O1N、PN、BM，则MN=2NK，且∠NO1K=∠NPM，∴EQ\F(MN,R)=EQ\F(2NK,O1N)=2sin∠NO1K=2sin∠NPM，由直线y=EQ\F(3,4)x+3得OB=OD=4，OM⊥BD，∴∠BMO=∠DMO，又∠BMO=∠ABM+∠BAM，∠DMO=∠MPN+∠PNM，∵∠ABM=∠PNM，∴∠MPN=∠BAM=∠NO1K，EQ\F(MN,R)=2sin∠BAM=2×EQ\F(BO,AB)=EQ\F(8,5)，所以EQ\F(MN,R)的值不变，其值为EQ\F(8,5).１１.（15分）已知抛物线与直线：的交点除了原点外，还相交于另一点.（1）分别求出这个抛物线的顶点、点的坐标（可用含的式子表示）；（2）将抛物线沿着轴对折（翻转）后，得到的图象叫做“新抛物线”，则：①当时，求这个“新抛物线”的解析式，并判断这个“新抛物线”的顶点是否在直线上；②在①的条件下，“新抛物线”上是否存在一点，使点到直线的距离等于线段的？若存在，请直接写出满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由。１２、（8分）如图：直线y=x-2与x轴、y轴分别交于点A、B，M（t，0）是x轴上异于A的一点，以M为圆心且过点A的圆记为⊙M.（1）求证：直线AB将⊙M的周长分为1：3两部分；（2）若直线AB被⊙M所截得的弦长为，求t的值；（3）若点N是⊙M上的一点，是否存在实数t，使得四边形ABMN为平行四边形？若存在，求出t的值，并写出N的坐标；若不存在，说明理由.１３．（本题满分10分）已知：如图12，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝5cm，CD＝6cm，∠DCB＝60°，∠ABC＝90°。等边三角形MPN（N为不动点）的边长为cm，边MN和直角梯形ABCD的底边BC都在直线上，NC＝8cm。将直角梯形ABCD向左翻折180°，翻折一次得到图形①，翻折二次得图形②，如此翻折下去。（1）将直角梯形ABCD向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长a≥2cm，这时两图形重叠部分的面积是多少？（2）将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD的面积，这时等边三角形的边长a至少应为多少？（3）将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形面积的一半，这时等边三角形的边长应为多少？解：（1）重叠部分的面积等于（2）等边三角形的边长a至少为10cm（3）等边三角形的边长为１4．（本题满分12分）如图1，已知抛物线的顶点为A(O，1)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8．(1)求此抛物线的解析式；(2)如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作轴的垂线，垂足分别为S、R．①求证：PB＝PS；②判断△SBR的形状；③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．，.⑴解：方法一：∵B点坐标为(0．2)，∴OB＝2，∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4.∴C点坐标为(一2，2)．F点坐标为(2，2)。设抛物线的解析式为．其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2)。得解这个方程组，得∴此抛物线的解析式为…………(3分)方法二：∵B点坐标为(0．2)，∴OB＝2，∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4.∴C点坐标为(一2，2)。………(1分)根据题意可设抛物线解析式为。其过点A(0，1)和C(-2．2)………解这个方程组，得此抛物线解析式为(2)解：①过点B作BN，垂足为N．∵P点在抛物线y=十l上．可设P点坐标为．∴PS＝，OB＝NS＝2，BN＝。∴PN=PS—NS=…………(5分)在RtPNB中．PB＝∴PB＝PS＝…………(6分)②根据①同理可知BQ＝QR。∴，又∵，∴，同理SBP＝…………(7分)∴∴∴.∴△SBR为直角三角形．…………(8分)=3\*GB3③方法一：设，∵由①知PS＝PB＝b．，。∴∴。…………(9分)假设存在点M．且MS＝，别MR＝。若使△PSM∽△MRQ，则有。即∴。∴SR＝2∴M为SR的中点.…………(11分)若使△PSM∽△QRM，则有。∴。∴。∴M点即为原点O。综上所述，当点M为SR的中点时．PSM∽MRQ；当点M为原点时，PSM∽MRQ．…………(13分)方法二：若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，∵，∴有PSM∽MRQ和PSM∽△QRM两种情况。当PSM∽MRQ时．SPM＝RMQ，SMP＝RQM．由直角三角形两锐角互余性质．知PMS+QMR＝。∴。…………(9分)取PQ中点为N．连结MN．则MN＝PQ=．………………(10分)∴MN为直角梯形SRQP的中位线,∴点M为SR的中点……(11分)当△PSM∽△QRM时，又，即M点与O点重合。∴点M为原点O。综上所述，当点M为SR的中点时，PSM∽△MRQ；当点M为原点时，PSM∽△QRM………(13分)１５．（本题满分12分）如图15，点在轴上，交轴于两点，连结并延长交于，过点的直线交轴于，且的半径为，．（1）求点的坐标；（2）求证：是的切线；（3）若二次函数的图象经过点，求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数值的的取值范围．ＤＤＡＣＰＣＢＣＯＣ图15解：（1）如图4，连结 1分， 2分是的直径（也可用勾股定理求得下面的结论）， 3分，，（写错一个不扣分） 4分（2）过点 5分当时， 6分，（也可用勾股定理逆定理证明） 7分是的切线 8分（3）过点 9分 10分１６．（本题满分12分）已知抛物线y=x2+(2n-1)x+n2-1(n为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C.①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由解：（1）由已知条件，得：n2－1=0解这个方程，得：n1=1，n2=－1；当n=1时，得y=x2+x，此抛物线的顶点不在第四象限；当n=－1时，得y=x2－3x，此抛物线的顶点在第四象限；∴所求的函数关系式为y=x2－3x……(4分)(2)由y=x2－3x，令y=0，得x2－3x=0，解得x1=0，x2=3；∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）∴它的顶点为（），对称轴为直线x=①∵BC=1，由抛物线和矩形的对称性易知OB=∴B（1，0）∴点A的横坐标x=1，又点A在抛物线y=x2－3x上，∴点A的纵坐标y=12－3×1=－2。∴AB=|y|=2∴矩形ABCD的周长为：2（AB+BC）=6……(8分)②∵点A在抛物线y=x2－3x上，可以设A点的坐标为（x，x2－3x），∴B点的坐标为（x，0）。（0＜x＜∴BC=3－2x，A在x轴的下方，∴x2－3x＜0∴AB=|x2－3x|=3x－x2∴矩形ABCD的周长P=2〔（3x－x2）+（3—2x）〕=－2（x－）2+∵a=－2＜0∴当x=时，矩形ABCD的周长P最大值是。……(12分)１７．（本题满分11分）如图16，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F．求OA、OC的长；（2）求证：DF为⊙O′的切线；小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．解：解：（1）在矩形OABC中，设OC=x则OA=x+2，依题意得解得：（不合题意，舍去）∴OC=3，OA=5…(4分)（只要学生写出OC＝3，OA＝5即给2分）（2）连结O′D在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90，CE=BE=∴△OCE≌△ABE∴EA=EO∴∠1=∠2在⊙O′中，∵O′O=O′D∴∠1=∠3∴∠3=∠2∴O′D∥AE，∵DF⊥AE∴DF⊥O′D又∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径，∴DF为⊙O′切线。…(8分)不同意.理由如下:当AO=AP时，以点A为圆心，以AO为半径画弧交BC于P1和P4两点过P1点作P1H⊥OA于点H，P1H=OC=3，∵AP1=OA=5∴AH=4，∴OH=1求得点P1（1，3）同理可得：P4（9，3）……(9分)②当OA=OP时，同上可求得:：P2（4，3），P3（4，3）……(11分)因此，在直线BC上，除了E点外，既存在⊙O′内的点P1，又存在⊙O′外的点P2、P3、P4，它们分别使△AOP为等腰三角形。……(12分)１８．（本题满分12分）如图①、②、③是两个半径都等于2的⊙O1和⊙O2，由重合状态沿水平方向运动到互相外切过程中的三个位置，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，分别连结O1A、O1B、O2A、O2B和AB。（1）如图②，当∠AO1B=120°时，求两圆重叠部分图形的周长l；(4分)（2）设∠AO1B的度数为x，两圆重叠部分图形的周长为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(4分)（3）由(2)，若y=2π，则线段O2A所在的直线与⊙O1有何位置关系？为什么？除此之外，它们还有其它的位置关系，写出其它位置关系时x的取值范围。(4分)ABOABO1O2第26题图①ABO1O2第26题图②ABO1O2第26题图③１９、.如图，点A在Y轴上，点B在X轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线L交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线X=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值。（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系？并证明你得到的结论。（3）①设点P的坐标为（1,b）,试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围。②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标。解．（1）t=（3分）（2）OC=CP（4分）过点C作X轴的平行线，交OA与直线BP于点T、H，证△OTC≌△CHP即可（7分）（3）①（0≤t≤1）（10分）②当t=0或1时，△PBC为等腰三角形，即P（1.1）,P（1，1－）（12分）２０．（本小题满分10分）．已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线上的一个动点．（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线的相切；（2）设直线PM与抛物线的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：．解：（1）设点P的坐标为，则PM＝;又因为点P到直线的距离为，所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线相切．（得4分）（2）如图，分别过点P，Q作直线的垂线，垂足分别为H，R．由（1）知，PH＝PM，同理可得，QM＝QR．因为PH，MN，QR都垂直于直线，所以，PH∥MN∥QR，于是，所以，因此，Rt△∽Rt△．于是，从而（得6分）2１．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是弧ABC中点，弦DE⊥AB，垂足为F，DE交AC于点G.（1）图中有哪些相等的线段？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所作的辅助线不能出现在结论中，不写出推理过程）（2）若过点E作⊙O的切线ME，交AC的延长线于点M（请补完整图形），试问：ME=MG是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（3）在满足第（2）问的条件下，已知AF=3，FB=，求AG与GM的比.〖第（1）的结论可直接利用〗解.（1）OA=OB，DF=EF，DE=AC，AG=DG，EG=CG.………………3分（2）ME=GM.理由是：连EO并延长交⊙O于点N，连结DN.∵EM是⊙O的切线，∴∠OEM=90º，∴∠GEM+∠GEN=90º.…………5分∵EN是⊙O的直径，∠N+∠GEN=90º，∴∠N=∠GEM.………………7分∵AB是⊙O的直径，∴∠B+∠BA