人教A文科数课时试题及解析（6）合情推理与演绎推理

PAGEPAGE6课时作业(六十二)[第62讲合情推理与演绎推理][时间：45分钟分值：100分]eq\a\vs4\al\co1(基础热身)1．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn(x)＝f′n－1(x)，n∈N，则f2009(x)＝()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx2．下面几种推理过程是演绎推理的是()A．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A，∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°B．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质D．在数列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(1,an－1)))(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式3．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1,2,3)且法向量为n＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为：________________________________________________________________________.4．观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第五个等式应为________________________________．eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，a>0且为常数，动点P满足||PA|－|PB||＝2a<|AB|，则PB．由a1＝1，an＝3n＋1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面积S＝πabD．三角形ABC一条边的长度为4，该边上的高为1，那么这个三角形的面积为26．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图K62－1)，则第七个三角形数是()图K62－1A．21B．28C．32D．367．设函数f(x)＝eq\f(1,2x＋\r(2))，类比课本推导等差数列前n项和公式的推导方法计算f(－4)＋f(－3)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(4)＋f(5)的值为()A.eq\f(3\r(2),2)B.eq\f(5\r(2),2)C.eq\f(9\r(2),2)D.eq\f(\r(2),2)8．把正整数按一定的规则排成了如下所示的三角形数表．设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2009，则i与j的和为()eq\x(\a\al(1,24,357,681012,911131517,141618202224))A．105B．106C．107D．1089．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是()A．1B．2C．3D10．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：②________，②式可以用语言叙述为：________________________________________________________________________.11．如图K62－2，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2)，如此继续下去，得图(3)……图K62－2试用n表示出第n个图形的边数an＝________.12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，eq\f(T16,T12)成等比数列．13．设f(x)定义如表，数列{xn}满足x1＝5，xn＋1＝f(xn)，则x2011的值为________.x123456f(x)45126314.(10分)观察①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝eq\f(3,4)；②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝eq\f(3,4).由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．15．(13分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图K62－3为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．(1)试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)；(2)证明：eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2)＋eq\f(1,f3)＋…＋eq\f(1,fn)<eq\f(4,3).图K62－3eq\a\vs4\al\co1(难点突破)16．(12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图K62－4(1)、图(2)、图(3)、图(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2－1)＋eq\f(1,f3－1)＋…＋eq\f(1,fn－1)的值．图K62－4

课时作业(六十二)【基础热身】1．C[解析]f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝cosx＝f1(x)，f6(x)＝(cosx)′＝－sinx＝f2(x)，fn＋4(x)＝…＝…＝fn(x)，故可猜测fn(x)是以4为周期的函数，有f4n＋1(x)＝f1(x)＝cosx，f4n＋2(x)＝f2(x)＝－sinx，f4n＋3(x)＝f3(x)＝－cosx，f4n＋4(x)＝f4(x)＝sinx.故f2009(x)＝f1(x)＝cosx，故选C.2．A[解析]A是演绎推理，B、D是归纳推理，C是类比推理．故选A.3．x＋2y－z－2＝0[解析]设B(x，y，z)为平面内的任一点，由eq\o(AB,\s\up6(→))·n＝0得(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0，即x＋2y－z－2＝0.4．5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81[解析]因为1＝1第一个式子左边1个数，右边1；2＋3＋4＝9第二个式子左边3个数，从2开始加，加3个连续整数，右边3的平方；3＋4＋5＋6＋7＝25第三个式子左边5个数，从3开始加，加5个连续整数，右边5的平方；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49第四个式子左边7个数，从4开始加，加7个连续整数，右边7的平方，故第五个式子为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.【能力提升】5．B[解析]从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理．6．B[解析]观察这一组数的特点：a1＝1，an－an－1＝n，∴an＝eq\f(nn＋1,2)，∴a7＝28.7．B[解析]∵f(x)＝eq\f(1,2x＋\r(2))，∴f(－x)＝eq\f(1,2－x＋\r(2))＝eq\f(2x,1＋\r(2)·2x)，f(x＋1)＝eq\f(1,2x＋1＋\r(2))＝eq\f(1,\r(2)1＋\r(2)·2x)，则f(－x)＋f(x＋1)＝eq\f(2x,1＋\r(2)·2x)＋eq\f(1,\r(2)1＋\r(2)·2x)＝eq\f(1＋\r(2)·2x,\r(2)1＋\r(2)·2x)＝eq\f(\r(2),2)，∴f(－4)＋f(5)＝f(－3)＋f(4)＝f(－2)＋f(3)＝f(－1)＋f(2)＝f(0)＋f(1)＝eq\f(\r(2),2)，∴原式的值为eq\f(\r(2),2)×5＝eq\f(5\r(2),2).故选B.8．C[解析]由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.9．C[解析]因为2011＝5×402＋1，则2011∈[1]，结论①正确；因为－3＝5×(－1)＋2，则－3∈[2]，结论②不正确；因为所有的整数被5除的余数为0,1,2,3,4五类，则Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，结论③正确；若整数a，b属于同一“类”[k]，可设a＝5n1＋k，b＝5n2＋k(n1，n2∈Z)，则a－b＝5(n1－n2)∈[0]；反之，若a－b∈[0]，可设a＝5n1＋k1，b＝5n2＋k2(n1，n2∈Z)，则a－b＝5(n1－n2)＋(k1－k2)∈[0]；∴k1＝k2，则整数a，b属于同一“类”，结论④正确，故选C.10.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πR3))′＝4πR2球的体积函数的导数等于球的表面积函数11．3×4n－1[解析]a1＝3，a2＝12，a3＝48，可知an＝3×4n－1.12.eq\f(T8,T4)eq\f(T12,T8)[解析]通过类比，若等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比数列．此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力．13．5[解析]由条件知x1＝5，x2＝f(x1)＝f(5)＝6，x3＝f(x2)＝f(6)＝3，x4＝f(x3)＝f(3)＝1，x5＝f(x4)＝f(1)＝4，x6＝f(x5)＝f(4)＝2，x7＝f(x6)＝f(2)＝5＝x1，可知{xn}是周期为6的周期数列，所以x2011＝x1＝5.14．[解答]观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα·cos(30°＋α)＝eq\f(3,4).证明：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα·cos(30°＋α)＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1＋cos60°＋2α,2)＋eq\f(1,2)[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋eq\f(1,2)[cos(60°＋2α)－cos2α]＋eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin30°＋2α－\f(1,2)))＝1＋eq\f(1,2)[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin30°＋2α－\f(1,2)))＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)sin(30°＋2α)＋eq\f(1,2)sin(30°＋2α)＝eq\f(3,4).15．[解答](1)f(4)＝37，f(5)＝61.由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，f(4)－f(3)＝37－19＝3×6，f(5)－f(4)＝61－37＝4×6，…因此，当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1)]＋1＝3n2－3n＋1.又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f(n)＝3n2－3n＋1.(2)证明：当k≥2时，eq\f(1,fk)＝eq\f(1,3k2－3k＋1)<eq\f(1,3k2－3k)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)－\f(1,k))).所以eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2)＋eq\f(1,f3)＋…＋eq\f(1,fn)<1＋eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))))，＝1＋eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))<1＋eq\f(1,3)＝eq\f(4,3).【难点突破】16．[解答](1)f(5)＝41.(2)由题图可知f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝