人教A文科数课时试题及解析（）数列的综合应用A

PAGEPAGE4课时作业(三十三)A[第33讲数列的综合应用][时间：45分钟分值：100分]eq\a\vs4\al\co1(基础热身)1．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＝()A.eq\f(3,2)B.eq\f(9,4)C.eq\f(25,9)D.eq\f(25,16)2．将不等式x2－x<nx(n∈N*)的解集中的整数的个数构成的数列记为{an}，则该数列的通项公式是an＝()A．nB．2nC．2n－1D．n－13．一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知信息的另外两个人，如此继续下去，要传遍100万人口的城市，所需的时间大约为()A．三个月B．一个月C．10天D．20小时4．已知数列{an}的首项a1＝1，且点An(an，an＋1)在函数y＝eq\f(x,x＋1)的图象上．则该数列{an}的通项公式是an＝________.eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n2－17n，则当Sn取得最小值时n的值为()A．4或5B．5或6C．4D．56．已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为()A．－110B．－90C．90D．1107．设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn，Sn＋1，Sn＋2成等差数列，则公比q()A．等于－2B．等于1C．等于1或－2D．不存在8．各项均为正数的等比数列{an}的公比q≠1，a2，eq\f(1,2)a3，a1成等差数列，则eq\f(a3a4＋a2a6,a2a6＋a4a5)＝()A.eq\f(\r(5)＋1,2)B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(3－\r(5),2)D.eq\f(2＋\r(5),2)9．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为()A．①和⑳B．⑨和⑩C．⑨和⑪D．⑩和⑪10．数列{an}中，a1＝2，点(log3an，an＋1)在函数y＝2×3x的图象上，则{an}的通项公式为an＝________.11．已知a，b，c，d成等比数列，且a，d分别是函数f(x)＝x3－x在区间[2,3]上的最大值和最小值，则bc＝________.12．已知等差数列{an}，对于函数f(x)＝x5＋x3满足：f(a2－2)＝6，f(a2010－4)＝－6，Sn是其前n项和，则S2011＝________.13．已知an＝2n－1(n∈N＋)，把数列{an}的各项排成如图K33－1所示的三角数阵．记S(m，n)表示该数阵中第m行中从左到右的第n个数，则S(10,6)对应数阵中的数是________．135791113151719…图K33－114．(10分)当p1，p2，…，pn均为正数时，称eq\f(n,p1＋p2＋…＋pn)为p1，p2，…，pn的“均倒数”．已知数列{an}的各项均为正数，且其前n项的“均倒数”为eq\f(1,2n＋1).(1)求数列{an}的通项公式；(2)设cn＝eq\f(an,2n＋1)(n∈N*)，试比较cn＋1与cn的大小．15．(13分)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\f(an,2an＋1)(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)设：eq\f(2,bn)＝eq\f(1,an)＋1，求数列{bnbn＋1}的前n项和Tn.eq\a\vs4\al\co1(难点突破)16．(12分)设数列{bn}满足：b1＝eq\f(1,2)，bn＋1＝beq\o\al(2,n)＋bn.(1)求证：eq\f(1,bn＋1)＝eq\f(1,bn)－eq\f(1,bn＋1)；(2)若Tn＝eq\f(1,b1＋1)＋eq\f(1,b2＋1)＋…＋eq\f(1,bn＋1)，对任意的正整数n,3Tn－log2m－5>0恒成立．求m的取值范围．

课时作业(三十三)A【基础热身】1．B[解析]a2＝eq\f(22,a1)＝4，a3＝eq\f(32,a1a2)＝eq\f(9,4).故选B.2．A[解析]x2－x<nx(n∈N*)的解集为{x|0<x<n＋1(n∈N*)}，所以数列{an}前5项为1,2,3,4,5…，所以通项公式为an＝n.故选A.3．D[解析]每小时传递人数构成数列2,4,8，…，所以n小时共传递人数Sn＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1≈106，所以n≈20小时．4.eq\f(1,n)[解析]因为an＋1＝eq\f(an,an＋1)且a1＝1，所以eq\f(1,an＋1)＝1＋eq\f(1,an)，所以eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝1.所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1为首项，1为公差的等差数列.eq\f(1,an)＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝eq\f(1,n).【能力提升】5．C[解析]二次函数f(x)＝2x2－17x的对称轴为直线x＝eq\f(17,4)，因为n∈N＋，所以当n＝4时，Sn＝2n2－17n有最小值．故选C.6．D[解析]由aeq\o\al(2,7)＝a3·a9，d＝－2，得(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解之得a1＝20，∴S10＝10×20＋eq\f(10×9,2)(－2)＝110.7．B[解析]依题意有2Sn＋1＝Sn＋Sn＋2，当q≠1时，有2a1(1－qn＋1)＝a1(1－qn)＋a1(1－qn＋2)，解得q＝1，但q≠1，所以方程无解；当q＝1时，满足条件．8．B[解析]依题意，有a3＝a1＋a2，设公比为q，则有q2－q－1＝0，所以q＝eq\f(1＋\r(5),2)(舍去负值).eq\f(a3a4＋a2a6,a2a6＋a4a5)＝eq\f(a2a4q＋q2,a2a4q2＋q3)＝eq\f(1,q)＝eq\f(2,1＋\r(5))＝eq\f(\r(5)－1,2).故选B.9．D[解析]从实际问题中考虑将树苗放在最中间的坑旁边，则每个人所走的路程和最小，一共20个坑，为偶数，在中间的有两个坑为10和11号坑，故答案选D.10．2n[解析]由已知得an＋1＝2×3log3an＝2an，显然{an}的各项不为零，所以eq\f(an＋1,an)＝2，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，an＝2×2n－1＝2n.11．144[解析]因为f′(x)＝3x2－1且x∈[2,3]，所以f′(x)>0，即f(x)在区间[2,3]上单调递增，所以，a＝f(x)max＝f(3)＝24，d＝f(x)min＝f(2)＝6，所以bc＝ad＝144.12．6033[解析]f(x)为奇函数，所以由f(a2－2)＋f(a2010－4)＝0得f(a2－2)＝f(4－a2010)，所以a2－2＝4－a2010，即a2＋a2010＝6，所以S2011＝eq\f(2011a1＋a2011,2)＝eq\f(2011a2＋a2010,2)＝6033.13．101[解析]观察知每一行的第1个数构成数列：1,3,7,13,21，…，相邻两项构成递推关系：an＋1＝an＋2n，所以a10＝a9＋18＝a8＋16＋18＝a7＋14＋34＝a6＋12＋48＝a5＋10＋60＝a4＋8＋70＝13＋78＝91，即第10行的第1个数为91，所以第10行第6个数为101.14．[解答](1)由已知有a1＋a2＋…＋an－1＋an＝n(2n＋1)，则a1＋a2＋…＋an－1＝(n－1)(2n－1)，两式相减，得an＝4n－1(n≥2)．又eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2×1＋1)，解得a1＝3＝4×1－1，∴an＝4n－1(n∈N*)．(2)∵cn＝eq\f(an,2n＋1)＝eq\f(4n－1,2n＋1)＝2－eq\f(3,2n＋1)，cn＋1＝eq\f(an＋1,2n＋3)＝2－eq\f(3,2n＋3)，∴cn＋1－cn＝eq\f(3,2n＋1)－eq\f(3,2n＋3)＞0，即cn＋1＞cn.15．[解答](1)由an＋1＝eq\f(an,2an＋1)得eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝2且eq\f(1,a1)＝1，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1为首项，以2为公差的等差数列，所以eq\f(1,an)＝1＋2(n－1)＝2n－1，得an＝eq\f(1,2n－1).(2)由eq\f(2,bn)＝eq\f(1,an)＋1得eq\f(2,bn)＝2n－1＋1＝2n，∴bn＝eq\f(1,n)，从而bnbn＋1＝eq\f(1,nn＋1)，则Tn＝b1b2＋b2b3＋…＋bnbn＋1＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,nn＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1)－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).【难点突破】16．[解答](1)因为b1＝eq\f(1,2)，bn＋1＝beq\o\al(2,n)＋bn＝bn(bn＋1)，所以对任意的n∈N*，bn>0.所以eq\f(1,bn＋1)＝eq\f(1,bnbn＋1)＝eq\f(1,bn)－eq\f(1,bn＋1)，即eq\f(1,bn＋1)＝eq\f(1,bn)－eq\f(1,bn＋1).(2)Tn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b1)－\f(1,b2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,b3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)－\f(1,bn＋1)))＝eq\f(1,b1)－eq\f(1,bn＋1