高一数学寒假（人教B版 第三册）第11讲 余弦和正切函数的图像与性质（教师卷）

第11讲余弦和正切函数的图像与性质【学习目标】1.能正确使用“五点法”“图像变换法”作出余弦函数y＝cosx和y＝Acos(ωx＋φ)的图像，并能体会正弦曲线和余弦曲线的关系，重点培养直观想象核心素养．2.掌握余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值，重点提升数学运算核心素养．3.了解正切函数图像的画法，理解并掌握正切函数的性质，重点培养数学抽象核心素养．4．能利用y＝tanx的性质与图像解决有关问题，重点提升数学运算核心素养．【知识导航】知识点一余弦函数的图像与性质1．怎样由y＝sinx的图像通过变换得到y＝cosx的图像？提示：∵cosx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))，∴把y＝sinx的图像向左平移eq\f(π,2)个单位即可得到y＝cosx的图像．2．探究y＝cosx的性质，有不同的方案(余弦线、图像等)，你选择一种方案，研究y＝cosx的周期性，单调性？提示：是周期函数，周期为2π，可利用图像或y＝cosx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))研究余弦函数的单调性，增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，减区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.1．余弦函数的性质与图像图像定义域R奇偶性偶函数周期性以2kπ为周期(k∈Z，k≠0)，2π为最小正周期单调性当x∈[2kπ－π，2kπ]，(k∈Z)时，单调递增；当x∈[2kπ，2kπ＋π]，(k∈Z)时，单调递减最大值与最小值当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1；当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，最小值为－1对称轴对称中心图像的对称轴x＝kπ，k∈Z；图像的对称中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Z2.余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像与性质．(1)图像及其变换与y＝Asin(ωx＋φ)图像的作法一样(五点法)，变换关系一样，即由y＝cosx图像变换到y＝Acos(ωx＋φ)的图像．(2)性质函数y＝Acos(ωx＋φ)的性质研究方法与y＝Asin(ωx＋φ)一样．如周期：T＝eq\f(2π,|ω|)，最值、单调性、对称性仍利用整体代换法来解决．知识点二函数y＝tanx的性质1．正切函数的定义域是什么？提示：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)))＋kπ，k∈Z)).2．诱导公式tan(π＋x)＝tanx，x∈R且x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？提示：周期性．3．诱导公式tan(－x)＝－tanx，x∈R且x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？提示：奇偶性，是奇函数．4．从正切线上看，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上正切函数值是增大的吗？提示：是．函数y＝tanx的性质定义域eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))值域R周期性最小正周期为π奇偶性奇函数单调性在开区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)内都是增函数零点正切函数y＝tanx的零点x＝kπ(k∈Z)知识点三函数y＝tanx的图像我们利用正切函数的性质，能画出y＝tanx，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))的简图吗？提示：∵y＝tanx是奇函数，∴先画x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的图像又y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函数，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上取几个点就可画出y＝tanx在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的图像，再关于原点对称即可得到y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的图像．1．函数y＝tanx的图像．2．正切曲线是中心对称图形，其对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z．eq\a\vs4\al([拓展])(1)正切函数图像的对称中心与正弦、余弦函数的不同在于不只是y＝0处为对称中心，同时tanx没有意义的点也为对称中心．(2)正切曲线没有对称轴，但有无穷多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.(3)正切函数与正弦函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的图像，在原点O(0，0)处都与直线l：y＝x相切，并被直线l分割在两边(如图所示)．由同一坐标系中两函数图像的位置关系得，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，不等式sinx＜x＜tanx成立．【知识预习】考点一：余弦函数的性质与图像1．函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题，余弦函数最小正周期为，故，由周期定义得所求最小正周期为，故选：D2．函数的简图是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由知，其图象和的图象相同，故选B．3．从函数的图象来看，当时，对于的x有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【详解】先画出，的图象，即A与D之间的部分，再画出的图象，如下图：由图象可知它们有2个交点B、C，所以当时，的x的值有2个.故选：C4．设函数，则下列结论正确的是A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称C．的一个零点是 D．在单调递增【答案】B【详解】因为，所以选项A错误；因为，所以选项B正确；因为，所以选项C错误；的最小正周期为，在内不可能是单调的，选项D错误.故选：B.5．函数的单调性是（

）A．在上是增函数，在上是减函数B．在，上是增函数，在上是减函数C．在上是增函数，在上是减函数D．在上是增函数，在，上是减函数【答案】A【详解】函数的单调减区间是，单调增区间是.∵，∴在上是增函数，在上是减函数.故选：A考点二：正切函数的性质与图像6．下列坐标所表示的点不是函数的图像的对称中心的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：由题意在中，令，解得，当时，，∴函数的一个对称中心是，A正确.当时，，∴函数的一个对称中心是，D正确.当时，，∴函数的一个对称中心是，C正确.故选：B.7．函数的单调递增区间为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【详解】根据正切函数的单调性可得，欲求的单调增区间，令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，，故选：A.8．使得不等式成立的x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由不等式，根据正切函数的图象与性质，可得，即实数x的取值范围是.故选：C.9．已知在区间上的最大值为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，即，又，所以，所以，所以，．故选：A．10．已知函数，则下列说法错误的是（

）A．函数的最小正周期为B．函数的值域为C．点是函数的图像的一个对称中心D．【答案】D【详解】因为，所以函数的最小正周期，故A正确.由正切函数的图像和性质可知函数的值域为，故B正确.由，，得，，当时，，所以点是函数的图像的一个对称中心，故C正确.因为，，所以，故D不正确.故选：D.考点三：已知三角函数值求角11．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】∵且，∴.故选：B12．已知，且，则的大小是A． B．C． D．【答案】B【详解】，且则故答案选B13．已知点落在角的终边上，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】点落在角的终边上，，，又，.故选：D．14．方程的解集是（

）．A． B．C． D．【答案】D【详解】，，，或，或.综上所述，方程的解集为.故选：D15．设，则满足方程cos(的角x的集合是(

)A． B． C． D．【答案】D【详解】∵cos(πcosx)＝0，∴πcosx＝，k∈Z，∴cosx＝k，∵，∴cosx∈[﹣1，1]，∴cosx＝±，当x∈时，x，，，，故选：D.【对点训练】一、单选题1．设，且，则（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【详解】因为，且，则或.故选：A2．函数的图像关于直线对称，则可以为（

）A． B． C． D．1【答案】C【详解】对称轴为：当时，取值为.故选:C.3．已知则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题设，.故选：A4．已知函数的图像与直线的相邻两个交点的距离为，则的图像的一个对称中心是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由函数的图像与直线的相邻两个交点的距离为，则有的周期，解得，于是得，所以的图像的对称中心横坐标方程满足，（），解得，（）,可知为其一个对称中心.故选：C5．已知函数，则下列结论不正确的是（

）A． B．是的一个周期C．的图象关于点对称 D．的定义域是【答案】C【详解】画出函数的图象，易得的周期为，且是偶函数，定义域是，故A，B，D正确；点不是函数的对称中心，C错误.故选：C6．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（

）A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度【答案】A【详解】根据题意得，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到，再向右平行移动个单位长度即可得到函数的图象.故选：A.7．下列说法正确的是（）A．B．C．函数的最小正周期为D．的值域是【答案】D【详解】对于A，，故错误；对于B，，故错误；对于C，函数的最小正周期为，可能小于零，故错误；对于D，的值域是，正确.故选：D8．函数，的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设，因为，所以．因为正切函数在上单调递增，且，，所以．故选：A．二、多选题9．下列命题中真命题是（

）A．若角的终边在直线上，则B．若，则C．函数的单调递增区间是D．在用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，则第三次所取的区间可能是【答案】ABD【详解】对于A，若角的终边在第二象限，取终边上一点，则，若角的终边在第四象限，取终边上一点，则，综上若角的终边在直线上，则，故A正确；对于B，由正余弦函数图象的性质可知当，则，且当，则，所以，故B正确；对于C，由得或，所以的定义域为，因为为二次函数，开口向上，所以在单调递增，根据复合函数的单调性可知的增区间为，故C错误；对于D，第一次所取的区间是，则第二次取得区间可能为，第三次取得区间可能为，故D正确.故选:ABD.10．若函数，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，对恒成立.C．若，方程的根的个数是8个.D．若，则【答案】ABD【详解】当时，，令，所以，所以选项A，，正确；，，所以，故B正确；选项C，时，，令，则如图所示：由图可得只有7个交点，故方程只有7个实数根，故C选项错误；选项D，因为，所以，由，，所以，所以，所以，故选项D正确；故选：ABD.三、填空题11．已知函数单调递增区间为________.【答案】【详解】令，解得，故的单调递增区间为．故答案为：．12．已知函数的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值为_____.【答案】【详解】解：因为函数的图象关于直线对称，所以，，即，，又，所以，从而.因为，所以，因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即，故的最大值为.故答案为：四、解答题13．已知函数是奇函数.(1)求的值；(2)若将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，得到函数的图象，求.【答案】(1)；(2).【详解】（1）因为是奇函数，所以，即.又，所以，检验符合.（2）由（1）得：.将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，得到的图象.故.14．设函数．(1)求函数的定义域和单调区间;(2)求不等式的解集．【答案】(1)定义域为；无单调递减区间；单调递增区间为(2)【详解】（1）由题意得：，解得：，的定义域为；令，解得：，的单调递增区间为，无单调递减区间.（2）由得：，解得：，则的解集为.15．已知函数的最小正周期为4，且满足.(1)求的解析式；(2)求方程在区间上所有解的和.【答案】(1)(2)（1）因为的最小正周期为4，所以.因为满足，所以的图象关于点对称，所以，所以，即，又，所以.的解析式为.（2）由，得，所以或，，解得或，，因为，所以方程的解集为，所以所有解的和为.【提升作业】一、单选题1．函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，，解得，．所以函数的单调递增区间是故选：C．2．设函数，则下列结论不正确的是（

）A．函数的值域是；B．点是函数的图像的一个对称中心；C．直线是函数的图像的一条对称轴；D．将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数．【答案】B【详解】解：因为，，所以，即函数的值域是，故A正确；因为，所以函数关于对称，故B错误；因为，所以函数关于直线对称，故C正确；将函数的图像向右平移个单位长度得到为偶函数，故D正确；故选：B3．关于函数的性质，下列叙述不正确的是（

）A．是偶函数B．的图象关于直线对称C．的最小正周期是D．在内单调递增【答案】C【详解】作出的图象如图所示，对于A，，故是偶函数，故A正确，对于B，结合正切函数的性质知的图象关于直线对称，故B正确，对于C，的最小正周期是，故C错误对于D，结合正切函数的性质知在内单调递增，故D正确，故选：C4．若函数的图象相邻两支截直线所得线段长为，则下列结论错误的是（

）A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递增C．函数