2022年河南省开封市第三十一中学高二数学理测试题含解析

2022年河南省开封市第三十一中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在如图所示的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，

则异面直线AC和MN所成的角为（

）

A．30°

B．45°

C．90° D．60°

参考答案：D略2.直线与圆的位置关系是（

）

A．相离

B．相交

C．相切

D．不确定参考答案：D略3.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A.有不能被2整除的数都是偶数B.有能被2整除的数都不是偶数C.在一个不能被2整除的数都是偶数D.在一个能被2整除的数都不是偶数参考答案：D4.等差数列前项和为，若．则当取最小值时，（

）．（A）6

（B）7

（C）8

（D）9参考答案：A略5.已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2 D．ac（a+c）＜0参考答案：A【考点】不等式的基本性质．【分析】根据a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，可得a＞0，c＜0，于是A．可得ab﹣ac=a（b﹣c）＞0．B．c（b﹣a）＞0．C．取b=0时，即可判断出；D．由于a+c可能小于等于0，可得ac（a+c）≥0．【解答】解：∵a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，∴a＞0，c＜0，可得：A．ab﹣ac=a（b﹣c）＞0，正确．B．c（b﹣a）＞0，不正确．C．取b=0时，不正确；D．∵a+c可能小于等于0，可得ac（a+c）≥0，不正确．故选：A．【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题．6.若不等式的解集为，则的值是（）A.－10 B.－14 C.10 D.14参考答案：A7.已知△ABC中，a=1，，A=30°，则B等于（）A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°参考答案：D【考点】正弦定理．【分析】根据题意和正弦定理求出sinB的值，由边角关系、内角的范围、特殊角的三角函数值求出B．【解答】解：由题意得，△ABC中，a=1，，A=30°，由得，sinB===，又b＞a，0°＜B＜180°，则B=60°或B=120°，故选：D．【点评】本题考查正弦定理，以及边角关系的应用，注意内角的范围，属于基础题．8.若直线过与两点，则直线的倾斜角是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B9.已知对任意恒成立，且，，则b=（

）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：A【分析】根据，根据它的展开式形式，由题意可得，，即可求出b的值．【详解】由题意知即，且，可得，，解得b=1，n=9，故选：A．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，其中解答中合理构造，熟记二项展开式的通项公式，准确化简、运算是解答的关键，着重考查了构造思想，以及运算与求解能力，属于中档题．10.如果函数f（x）对任意a，b满足f（a+b）=f（a）?f（b），且f（1）=2，则=（）A．1006 B．2010 C．2016 D．4032参考答案：C【考点】函数的值．【专题】方程思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】令b=1，得f（a+1）=f（a）?f（1）=2f（a），得=2，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）满足：对任意实数a，b都有f（a+b）=f（a）f（b），且f（1）=2，∴=2+2+…+2=2=2×1008=2016．故选：C．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据条件寻找规律是解决本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线的参数方程是，则的方向向量可以是__.参考答案：或

12.由1，4，5，可组成没有重复数字的四位数，若所有这些四位数的各位数字之和为288，则＝

．

参考答案：2略13.已知抛物线的准线与双曲线交于、两点，点为抛物线的焦点，若△为直角三角形，则该双曲线的离心率是________________。参考答案：14.若，则__________．参考答案：-32【分析】通过对原式x赋值1，即可求得答案.【详解】令可得，故答案为-32.【点睛】本题主要考查二项式定理中赋值法的理解，难度不大.15.已知直线与直线平行，则

．参考答案：1略16.，当时，f(x)＜m恒成立，则实数m的取值范围为

.参考答案：(7,+∞)17.已知等差数列{an}，{bn}前n项和分别为Sn和Tn，若=，则=．参考答案：【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的求和公式和性质可得：=，问题得以解决．【解答】解：=======，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在数学必修3模块修习测试中,某校有1000名学生参加,从参加考试的学生中抽出60名,将其考试成绩整理后画出的频率分布直方图如下,试根据图形提供的信息解答下列问题：(1)求出这60名学生的考试成绩众数的估计值;(2)求这60名学生考试成绩的平均分(精确到0.1);(3)在这60名学生中,若以成绩在[119,149]之间的学生为总体按分层抽样抽取26人进行试卷分析,试求成绩在[129,139)之间应抽取的人数.参考答案：略19.已知函数f（x）=|x-a|-|x+1|．（Ⅰ）当a=3时，求不等式f（x）≥2x+3的解集；（Ⅱ）若存在x∈[1，2]，使得f（x）≤|x-5|成立，求a的取值范围．参考答案：（Ⅰ）{x|x≤-}（Ⅱ）[-5，8]．【分析】（Ⅰ）a=3时，分3段去绝对值解不等式组再求并集；（Ⅱ）将f（x）≤|x-5|，转化为|x-5|+|x+1|≥|5-x+x+1|=6，即可求解．【详解】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x），当x≤-1时，由f（x）=4≥2x+3，解得

x≤．∴x≤-1．当-1＜x＜3时，由f（x）=-2x+2≥2x+3，解得

x≤-．∴-1＜x≤-．当x≥3时，由f（x）=-4≥2x+3，解得

x≤．∴x∈?．综上所述，不等式f（x）≥2x+3的解集为：{x|x≤-}

（Ⅱ）∵f（x）≤|x-5|，∴|x-a|-|x+1|≤|x-5|，即|x-a|≤|x-5|+|x+1|∵|x-5|+|x+1|≥|5-x+x+1|=6，∴|x-a|≤6，即a-6≤x≤a+6，∵存在x∈[1，2]，∴，a+6≥1，∴-5≤a≤8．故a的取值范围是[-5，8]．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式恒成立问题，关键是问题转化为集合间的包含关系，属中档题．20.（本小题满分15分）设函数（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若函数f(x)在x∈[－1，1]内没有极值点，求a的取值范围；

（Ⅲ）若对任意的a∈[3,6]，不等式在x∈[－2,2]上恒成立，求m的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）∵f′(x)=3x2+2ax－a2=3(x－)(x+a),又a>0，∴当x<－a或x>时f′(x)>0；

当－a<x<时，f′(x)<0.∴函数f(x)的单调递增区间为（－∞，－a），(，+∞)，单调递减区间为(－a，).（Ⅱ）由题设可知，方程f′(x)=3x2+2ax－a2=0在[－1，1]上没有实根∴，解得a>3.

（Ⅲ）∵a∈[3,6]，∴由（Ⅰ）知∈[1，2]，－a≤－3又x∈[－2,2]

∴f(x)max=max{f(－2),f(2)}而f(2)－f(－2)=16－4a2<0

f(x)max=f(-2)=－8+4a+2a2+m（10分）

又∵f(x)≤1在[－2，2]上恒成立

∴f(x)max≤1即－8+4a+2a2+m≤1即m≤9－4a－2a2,在a∈[3，6]上恒成立

∵9－4a－2a2的最小值为－87

∴m≤－87.21.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a2+b2+ab=c2．（Ⅰ）求角C的度数；（Ⅱ）若a+b=10，求△ABC周长的最小值．参考答案：【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出角C的度数；（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b及cosC的值代入，利用基本不等式求出c的最小值，即可确定出周长的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵a2+b2+ab=c2，即a2+b2﹣c2=ab，由余弦定理得：cosC==﹣，∵0＜C＜180°，∴C=120°；（Ⅱ）∵a+b=10，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=c2=a2+b2+ab=（a+b）2﹣ab=100﹣ab≥100﹣（）2=75，∴c≥5，当a=b=5时取等号，则△ABC周长的最小值