2022-2023学年黑龙江省绥化市大罗中学高二数学理月考试题含解析

2022-2023学年黑龙江省绥化市大罗中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.椭圆的长轴和短轴的长、离心率分别是（

）Ａ．10，8， Ｂ．5，4，

Ｃ．10，8，，

Ｄ．5，4，参考答案：A2.函数是

（）．周期为的奇函数.周期为的偶函数.周期为的奇函数

.周期为的偶函数参考答案：C3.直线（）和圆的位置关系是（

）

A.相离

B.相切

C.相交

D.三种可能都有参考答案：C4.已知P是椭圆+=1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆的半径为，则tan∠F1PF2=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】作出图形，利用内切圆的性质与椭圆的定义及半角公式即可求得tan∠F1PF2的值．【解答】解：根据题意作图如下，设△PF1F2的内切圆心为M，则内切圆的半径|MQ|=，设圆M与x轴相切于R，∵椭圆的方程为+=1，∴椭圆的两个焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），∴|F1F2|=2，设|F1R|=x，则|F2R|=2﹣x，依题意得，|F1S|=|F1R|=x，|F2Q|=|F2R|=2﹣x，设|PS|=|PQ|=y，∵|PF1|=x+y，|PF2|=（2﹣x）+y，|PF1|+|PF2|=4，∴x+y+（2﹣x）+y=4，∴y=1，即|PQ|=1，又|MQ|=，MQ⊥PQ，∴tan∠MPQ===，∴tan∠F1PF2=tan2∠MPQ==．故选B．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查内切圆的性质及半角公式，考查分析问题，通过转化思想解决问题的能力，属于难题．5.“直线与互相垂直”是“”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件参考答案：B6.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=，则f（2012）的值为（

）A．0

B．1

C．-1

D．2参考答案：C略7.已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M在双曲线C的右支上|F1F2|=2|OM|，△MF1F2的面积为4a2，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】由可得为直角三角形，且，可得，由双曲线的定义，可得，结合三角形的面积，可得，从而可求双曲线的离心率．【详解】由可得，即有为直角三角形，且，因为的面积为，所以又因为，所以，由双曲线定义可得，可得，，∴双曲线的离心率为，故选A．【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．8.的最小值是（

）A．1

B．2

C．3

D．8

参考答案：C略9.在等差数列{an}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于(

)A．40 B．42 C．43 D．45参考答案：B【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】先根据a1=2，a2+a3=13求得d和a5，进而根据等差中项的性质知a4+a5+a6=3a5求得答案．【解答】解：在等差数列{an}中，已知a1=2，a2+a3=13，得d=3，a5=14，∴a4+a5+a6=3a5=42．故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质．属基础题．10.已知是定义在上的奇函数，当时，.则函数的零点的集合为

A.

B.

C.

D.

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图给出了一个“直角三角形数阵”：满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为aij（i≥j，i，j∈N*），则a88=．参考答案：【考点】F1：归纳推理．【分析】察这个“直角三角形数阵”，能够发现ai1=a11+（i﹣1）×=，再由从第三行起，每一行的数成等比数列，可求出aij（i≥j），即可得出结论．【解答】解：ai1=a11+（i﹣1）×=，aij=ai1×（）j﹣1=×（）j﹣1=i×（）j+1．∴a88=8×（）9=故答案为：．12.若,且,则的最小值为__

__。

参考答案：13.已知复数z=1+2i（i为虚数单位），则||=

．参考答案：考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的有关概念即可得到结论．解答： 解：∵z=1+2i，∴=1﹣2i，则||==，故答案为：点评：本题主要考查复数的有关概念，比较基础．14.已知函数，，若与的图象恰好有三个公共点，则实数a的取值范围是__________．参考答案：

15.已知圆，直线l：，当圆上仅有2个点到直线l的距离为1，则b的取值范围为

．参考答案：由圆上仅有个点到直线的距离为可得圆心到直线的距离满足，由于，即，解得，

16.将5个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有．参考答案：25【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，可得1号盒子至少放一个，最多放3个小球，即分两种情况讨论，分别求出其不同的放球方法数目，相加可得答案．【解答】解：根据题意，每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分析可得，可得1号盒子至少放一个，最多放3个小球，分情况讨论：①1号盒子中放1个球，其余4个放入2号盒子，有C51=5种方法；②1号盒子中放2个球，其余3个放入2号盒子，有C52=10种方法；③1号盒子中放3个球，其余2个放入2号盒子，有C53=10种方法；则不同的放球方法有5+10+10=25种，故答案为：25．17.在△ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=

．参考答案：1：：2【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由三角形的内角和以及三个角的比例关系，求出三个角，利用正弦定理即可求出比值．【解答】解：∵A：B：C=1：2：3，A+B+C=180°∴A=30°，B=60°，C=90°，∴由正弦定理，得：．∴a：b：c=1：：2故答案为：1：：2．【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线的焦点为F，A为抛物线C上异于原点的任意一点，过点A的直线交抛物线C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有.当点A的横坐标为3时，为正三角形.（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线，且和抛物线C有且只有一个公共点E，试问直线AE（A为抛物线C上异于原点的任意一点）是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.参考答案：（1）由题意知，设，则的中点为，因为，由抛物线的定义知：，解得或（舍去），由，解得，所以抛物线的方程为.（2）由（1）知，设，，因为，则，由得，故，故直线的斜率为，因为直线和直线平行，故可设直线的方程为，代入抛物线方程得，由题意知，得.设，则，，当时，，可得直线的方程为，由，整理可得，所以直线恒过点，当时，直线的方程为，过点，所以直线恒过定点.19.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点F交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．参考答案：（1）；（2）【分析】（1）先设椭圆的方程，再利用的椭圆C的离心率为，且过点（），即可求得椭圆C的方程；（2）设出A、B的坐标，由椭圆方程求出椭圆右焦点坐标，得到A、B所在直线方程，与椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可得A、B横坐标的和与积，代入弦长公式求弦AB的长．【详解】(1)设椭圆方程为，椭圆半焦距为c，∵椭圆C的离心率为，∴，∴，①∵椭圆过点（），∴②由①②解得：b2=，a2=4∴椭圆C的方程为．(2)设A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）．由椭圆的方程知a2=4，b2=1，c2=3，∴F（，0）．直线l的方程为y=x﹣．联立，得5x2﹣8x+8=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴|AB|===．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．20.已知函数f（x）=（λx+1）lnx﹣x+1．（Ⅰ）若λ=0，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直，证明：．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求得函数的定义域为（0，+∞），当λ=0，f（x）=lnx﹣x+1，求导，令f′（x）=0，根据函数的单调性可知，当x=1时，f（x）取最大值；（Ⅱ）求导，f′（1）=1，即λ=1，由（Ⅰ）可知，lnx﹣x﹣1＜0，分类当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx﹣x﹣1=xlnx+（lnx﹣x+1）＜0，当x＞1时，f（x）=lnx+（xlnx﹣x+1）=lnx﹣x（ln﹣+1）＞0，可知．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）的定义域为（0，+∞），当λ=0，f（x）=lnx﹣x+1，求导，f′（x）=﹣1，令f′（x）=0，解得：x=1，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）上是增函数；当x＞1，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，+∞）上是减函数；故f（x）在x=1处取最大值，f（1）=0，（Ⅱ）证明：求导，f′（x）=λlnx+﹣1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=1，即λ=1，∴f（x）=（x+1）lnx﹣x+1，由（Ⅰ）可知，lnx﹣x﹣1＜0（x≠1），当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx﹣x﹣1=xlnx+（lnx﹣x+1）＜0，∴＞0，当x＞1时，f（x）=lnx+（xlnx﹣x+1）=lnx﹣x（ln﹣+1）＞0，∴＞0，综上可知：＞0．21.某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过A、B、C三道工序加工而成的，A、B、C三道工序加工的元件合格率分别为、、．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工合格的元件为二等品；其它的为废品，不进入市场．（Ⅰ）生产一个元件，求该元件为二等品的概率；（Ⅱ）若从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测，求至少有2个元件是一等品的概率.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）先分为互斥的三个事件，再根据独立事件的概率求解；（Ⅱ）分为2个元件是一等品和3个元件是一等品两种情况求解.【详解】解：（Ⅰ）不妨设元件经三道工序加工合格的事件分别为.所以,,.,,.

设事件为“生产一个元件，该元件为二等品”.由已知是相互独立事件.根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式，

所以生产一个元件，该元件为二等品的概率为.

（Ⅱ）生产一个元件，该元件为一等品的概率为.

设事件为“任意取出3个元件进行检测，至少有2个元件是一等品”，则

.所以至少有2个元件是一等品的概率为.【点睛】本题考查独立事件与互斥事件的概率，考查计算能力与转化能力，属于基础题.22.已知椭圆经过两点，.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F的直线l交椭圆C于A，B两点，且直线l与以线段FP为直径的圆交于另一点E（异于点F），求的最大值.参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）最大值为1【分析】（Ⅰ）将坐标代入椭圆方程可解得，进而得到结果；（Ⅱ）设直线方程为，与椭圆