2023-2024学年青岛三中数学高二年级上册期末考试试题含解析

2023-2024学年青岛三中数学高二上期末考试试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若将一个椭圆绕其中心旋转90。，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”,

下列椭圆中是“对偶椭圆''的是。

22

A.—+—=1B.±+匕=1

10535

2222

。工+上=1D.±+匕=1

6269

2.已知A(3,2),点尸为抛物线V=2x的焦点，点尸在抛物线上移动，为使1PH+|比|取得最小值，则点尸的坐

标为()

A.(0,0)B.(2,2)

C.(1,V2)D.gj

r2

3.已知AABC的顶点5、C在椭圆司+炉=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在3c边上，则

△ABC的周长是()

A.273B.6

C.4百D.12

4.椭圆/+4丁=4的离心率为()

11

A-B.—

42

3

C.一D.昱

42

ruuu1u「

5.已知向量q,与，华是两两垂直的单位向量，且〃=3,+24—=,+2q，则〃./?=()

A.5B.1

C.-lD.7

6.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.2,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.4,则不用现金支付的概

率为()

A.0.4B.0.5

C.0.6D.0.7

7.抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点(-5,2君)在抛物线上，则抛物线的方程为()

A.y1--2xB.y2=-4x

C.y2=2xD.y2=4x

2

8.已知椭圆二r+l(a〉b〉0)的左顶点为Af,上顶点为N,右焦点为尸(c,0),若端■.需2ac，则椭圆的

a

离心率e的取值范围是()

A.(0,^-1)B.(0,^-1]

C.(72-1,1)

£

9.已知椭圆j+21=l(a〉6〉0)的离心率为:，则/=()

ab2

9

A.-

8

4

C.一D.还

34

10.若倾斜角为g的直线过A(1,6),5(2,a)两点，则实数a=()

A.3

B.V3

2

C.2V3D.3月

11.已知A(—1,1,2),8(1,0,-1),设O在直线A8上，且AD=2OB，设CQ，1+A,1+2),CDLAB,则入的

值为()

1111

A.—B.--

66

11

C.一D.-

23

12.设根>0,n>0,若In/n+e加一l=ln〃+e〃，其中e是自然对数底，贝!!（）

\.m>nB.m〈几

C.m<nD.m>n

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在空间直角坐标系。一孙z中，向量1=（1,3,—2）为平面A3C的一个法向量，其中A。,—1J）,B（3,l,4）,则向

量AB的坐标为

14.已知直线/：依—y—左+1=0（k为常数）和圆C:（x-iy+y2=4,给出下列四个结论：

①当左变化时，直线/恒过定点（-1/）；

②直线/与圆。可能无公共点；

③若直线/与圆C有两个不同交点N,则线段的长的最小值为2百；

④对任意实数左，圆。上都不存在关于直线/对称的两个点.

其中正确的结论是.（写出所有正确结论的序号）

15.设尸为圆C:（x—4/+V=4上一动点，°为直线/:尤+y—7=0上一动点，O为坐标原点，贝!|归。|+2归。|的

最小值为一

16.一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是g,乙能解决的概率是工，两人试图独立地在半小时内解决它，

23

则问题得到解决的概率是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知平面内两点A（0,T）,5（0,4）,动点P满足心P*BP=—T

（1）求动点尸的轨迹方程；

（2）过定点Q（0,8）的直线/交动点尸的轨迹于不同的两点M,N,点M关于y轴对称点为〃'，求证直线4N过定

点，并求出定点坐标

18.（12分）茶树根据其茶叶产量可分为优质茶树和非优质茶树，某茶叶种植研究小组选取了甲，乙两块试验田来检

验某种茶树在不同的环境条件下的生长情况.研究人员将100株该种茶树幼苗在甲，乙两块试验田中进行种植，成熟

后统计每株茶树的茶叶产量，将所得数据整理如下表所示：

优质茶树非优质茶树

甲试验田a25

乙试验田10b

已知甲试验田优质茶树的比例为50%

（1）求表中a,8的值；

（2）根据表中数据判断，是否有99%的把握认为甲，乙两块试验田的环境差异对茶树的生长有影响？

n(ad-be)?

其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

P(七>90.100.050.01

k2.7063.8416.635

19.（12分）如图，在正方体ABC。—A4GA中E,歹分别为§耳，的中点

（1）求证：平面平面APE；

（2）求平面3CG与与平面所成锐二面角的余弦值

20.（12分）2021年2月25日，中国向世界庄严宣告，中国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫

困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫

困的艰巨任务，困扰中华民族几千年的绝对贫困问题得到了历史性的解决！为了巩固脱贫成果，某农科所实地考察，

研究发现某脱贫村适合种植A、3两种经济作物，可以通过种植这两种经济作物巩固脱贫成果，通过大量考察研究得

到如下统计数据：经济作物A的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：

年份编号X12345

年份20172018201920202021

单价y（元/公斤）1820232529

经济作物B的收购价格始终为25元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下:

（i）若经济作物A的单价y（单位：元/公斤）与年份编号X具有线性相关关系，请求出y关于％的回归直线方程,

并估计2022年经济作物A的单价；

（2）用上述频率分布直方图估计经济作物3的平均亩产量（每组数据以区间的中点值为代表），若不考虑其他因素,

试判断2022年该村应种植经济作物A还是经济作物B?并说明理由

〃〃__

附：g=上—-------------=号----------，a^y-bx

方（%—可2^x；-rix-

Z=1Z=1

21.（12分）如图，在直三棱柱ABC—ABC］中，AC±BC,AC=4,BC=CQ=3,D,E分别为AQ,A3的

中点

（1）求证：AC1DE；

（2）求直线片。与平面COE所成角的正弦值

22.（10分）如图，在四棱锥P—ABCD中，24,平面ABC。，底面ABC。为矩形，AB=3,上4=4,E为PD

的中点，AELPC.请用空间向量知识解答下列问题：

D

(1)求线段A。的长；

(2)若M为线段BC上一点，且8M=1，求平面与平面PZM夹角的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】由题意可得人=c,所给的椭圆中的。，万的值求出。的值，进而判断所给命题的真假

【详解】解：因为椭圆短的轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，即2b=2c,

即沙=c,

A中，a2=10>Z?2=5»所以c2=a?—b?=5，

故沙=。，所以A正确；

3中，"=5,从=3,所以°2=/一廿=2*3,所以B不正确；

C中，a2=6,加=2,所以,2=6一加=4/2,所以。不正确；

D中，。2=9，b。=6，所以c、/—62=3/6,所以£)不正确；

故选：A

2、B

【解析】设点P到准线的距离为d,根据抛物线的定义可知+目=|B4|+d,即可根据点到直线的距离最短求

出

【详解】如图所示:

A

X

设点p到准线的距离为d,准线方程为尤=-g,

17

所以1pH+0典=|削+1引4耳=3+5=5,当且仅当点尸为A3与抛物线的交点时，|/闱+忸同取得最小值，此

时点P的坐标为（2,2）

故选：B

3、C

【解析】根据题设条件求出椭圆的长半轴，再借助椭圆定义即可作答.

【详解】由椭圆]+产=1知，该椭圆的长半轴a=6，

A是椭圆一个焦点，设另一焦点为R,而点R在5c边上，点5,C又在椭圆上，

由椭圆定义得|B4|+忸司=2a,|CF|+|C4|=2a,

所以一ABC的周长/=|+忸C|+|/=|+忸同+|CF|+|C4|=4a=4百

故选：C

4、D

【解析】根据椭圆方程先写出标准方程，然后根据标准方程写出Q,b。便可得到离心率.

【详解】解：由题意得：

%2+4y2=4n'+y2=]

­•a2=4-9/=1

c2=a2-b2=3fe=—=

a2

故选：D

5、B

【解析】根据单位向量的定义和向量的乘法运算计算即可.

【详解】因为向量q,4，弓是两两垂直的单位向量，且〃=3,+262-63/=,+263

所以〃力二(361+2e2+2q)

=3el+6er-e3+2er-e2+4e2-e3-el-e3-2e3=3，|-2|e3|=1.

故选：B

6、A

【解析】利用对立事件概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】由对立事件的概率公式可知，该群体中的成员不用现金支付的概率为1-0.2-0.4=04.

故选：A.

7、B

【解析】首先根据题意设出抛物线的方程7加(7〃工。)，利用点在曲线上的条件为点的坐标满足曲线的方程，代入求

得参数的值，最后得到答案.

【详解】解：根据题意设出抛物线的方程/=,心(利N0),

因为点(-5,2际)在抛物线上，所以有20=—5相，解得=

所以抛物线的方程是：V=—4%,

故选:B.

8、B

UUL1LULUUUUULUUIU

【解析】根据题意得到MW=(—a,—Z?),NF=(c,—Z?)，根据NATN/Nac，化简得至U/一°222ac,进而得到离心

率的不等式，即可求解.

V2y2

【详解】由题意，椭圆三+1(。〉6〉0)的左顶点为M(—a,0),上顶点为N(O,b),

a

UUULUUU1

所以NM=(—a,—b)，NF=(c,—b)，

UUULUUUL

因为NM♦NF2ac，可得一+SPb1>lac,

又由加=。2一°2,可得c2、2ac，可得e2+2e—1<0,解得—1—应46«0—1，又因为椭圆的离心率6€(0,1),

所以0<6«血—1，

故选：B.

【点睛】求解椭圆或双曲线离心率的三种方法:

1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得。，c得值，根据离心率的定义求解离心率e；

2、齐次式法：由已知条件得出关于。的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解；

3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

9、D

【解析】由离心率及椭圆参数关系可得8a2=9廿，进而可得

b

【详解】因为e=£=J正二£=1，贝！18a2=9/,所以3=述.

a\a23b4

故选：D

10、C

【解析】根据直线的倾斜角和斜率的关系得到直线的斜率为耳，再根据两点的斜率公式计算可得；

【详解】解：因为直线的倾斜角为七，所以直线的斜率为tan^=百，所以1二@=也，解得。=26；

331-2

故选：C

11、B

【解析】设O(x,y,z),根据4。=2。3求出0(1，；，0)，再根据COLAB得，力/=24一幻+2—3(—1一6=0,解

方程即得7的值.

【详解】设〃(x,z),则:力=(x+Ly—lfz—2),而=(2,—1,—3),而=(1—x,—y9—1—z),

▼JI

*+l=2(1-x),“丁

,：加=2离，：•1一1=一2八・・・<

工〃d，L0),为=(—X,一4，一1—4),

j//,AT/j•|/i=2d—2)+2—3(—1—A)=0,：.A=——

Afi

故选：B

【点睛】(1)本题主要考查向量的线性运算和空间向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推

理能力.(2)。=(x1,yl,zl),6=(x2,y2,z2),aJ_方=>XjX2+yxy2+ztz2=0.

12、A

【解析】利用函数的单调性可得正确的选项.

【详解】令/(x)=lnx+ex,因为y=lnx,y=ex均为(0,+8),

故/(%)=111%+6%为(0,+00)上的增函数,

由ln〃z+e〃z-l=ln〃+e〃可得ln/〃+eni〉ln〃+e〃，故加>”,

故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、(2,2,4)

【解析】根据向量1=。,3,-2)为平面A3C的一个法向量，由AB.y=O求解.

【详解】因为4(1,-M),3(3」,4),

所以45=(2,2,4—。，

又因为向量>=(1,3,-2)为平面ABC的一个法向量，

所以AB7=lx2+3x2—2x(4—。=。，

解得/=0,

所以A5=(2,2,4),

故答案为：(2,2,4)

14、③④

【解析】由y-1=左(％-1)可判断①；根据直线过的定点在圆内可判断②；当直线与过圆心的直径垂直时，求出

线段MN的长度可判断③；把圆心(1,0)代入直线I的方程可判断④.

【详解】对于①，y—1=左(％—1),当人变化时，直线/恒过定点(1,1),故错误；

对于②，因为(1-1『+12=1<4,所以(1,1)在圆C:(尤-1『+产=4的内部，所以直线/与圆C总有公共点，故错误；

对于③，当直线"N与过圆心的直径垂直时，线段的长度的最小，此时

\MN\=2^4-(l-l)2-(O-l)2=2A/3，故正确；

对于④，把圆心(1,。)代入直线/：质—y—左+1=0,得%—0—Z+l=lw0

对任意实数左，圆。上都不存在关于直线/对称的两个点，故正确.

故答案为：③④.

15、472

【解析】取点A(3,0),可得一C4P；CPO,从而|PO|=2|PA|,\PO\+2\PQ\..2\AQ\,从而可求解

【详解】解：由圆C:（x—4『+y2=4,得圆心C（4,0）,半径厂=2,

ArPC_1

取点A(3,0),则一

PC~OC^2

XZOCP=ZPCA,：.C4P~CPO,尸。|=2|叫

|PO|+2|PQ|N2|/科+2|PQ|22|AQ|=4夜，当且仅当AQ，直线/时取等号

故答案为：4及

【解析】分甲解决乙不能解决，甲不能解决乙能解决，甲能解决乙也能解决三类，利用独立事件的概率求解.

【详解】因为甲能解决的概率是!，乙能解决的概率是工，

23

所以问题得到解决的概率是乂,+不乂耳二金，

2

故答案为：一

3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17、（1）—+^=1（x^0）

916'7

（2）证明见解析，定点坐标为（0,2）

【解析】（1）直接由斜率关系计算得到；

（2）设出直线4N,联立椭圆方程，韦达定理求出七+々,西々，再结合M,N,Q三点共线，求出参数，得到过定点.

小问1详解】

设动点P（x,y）,由已知有正士•匕f=一3（％wO）,

xx9

22

整理得工+工=1（%工0）,

916'7

22

所以动点P的轨迹方程为土+匕=1（%工0）；

916

【小问2详解】

由已知条件可知直线MN和直线I斜率一定存在，

设直线方程为y=+f,"（国,%），M%，%），则M（—XQJ,

y-kx+b

由＜22W（9/r2+16）x2+18to+9r2-16x9=0,

XJ-1

1916

2

则A=（18比丫-4（9左2+16）（9r-16x9）＞0,即为产＜9Zr+16，

—18比9/-16x9

…二诉TT…2=*百'

»7y—8必一8

因为直线/过定点Q（0,8）,所以M,MQ三点共线，即勺.=勺.，即3

即大2（乂—8）+%（%—8）=0,即9（何+/-8）+%（己+r-8）=0,

即2g%+«—8）&+0）=0得2左*父8）9；：；$=0，

整理r—16—（f—8»=0,得/=2,满足A〉0,

则直线M'N方程为y=H+2,恒过定点（0,2）.

【点睛】本题关键在于设出带有两个参数的直线"N的方程，联立椭圆方程后，利用题干中的条件，解出一个参数或

得到两个参数之间的关系，即可求出定点.

18、（1）a=25；b—40

（2）有99%的把握认为甲、乙两块试验田的环境差异对茶树的生长有影响

【解析】（1）根据一^=50%即可求出“，从而可得到。;

a+25

（2）根据独立性检验的基本思想求出J2的观测值，与6.635比较，即可判断

【小问1详解】

甲试验田优质茶树比例为50%,即^^=50%,解得a=25

a+25

5=100—25—25—10=40

【小问2详解】

2100x(25x40-25x10)2*390,

y二----------------------------------------------------

50x50x35x65

因为9.890>6.635,故有99%的把握认为甲、乙两块试验田的环境差异对茶树的生长有影响

19、(1)证明见解析;

【解析】(1)由正方体性质易得3G//AR,根据线面平行的判定可得3C1//面FQ//面ARE,再由面面

平行的判定证明结论；

(2)建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2,确定相关点的坐标，进而求两个半平面的法向量，应用空间向量夹角

的坐标表示求二面角的余弦值

【小问1详解】

在正方体ABC。—A用中，A_B//A]3]且AB=4耳，4耳//£2且其耳=G2,

ABHCR且A3=CR,则四边形ABCR为平行四边形，即有BQ//AD,,

因为BCt.面ADjE,AD]u面ADXE,则BCJ/平面ADXE,同理FC,//平面AD〔E,

又3cleEG=G，Bqu面BCF,则平面平面A'E.

小问2详解】

以点A为坐标原点，AD,AB,44]所在直线分别为％、V、z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-孙z,

设正方体ABC。—A4GA的棱长为2,则A(0,0,0),5(0,2,0),

所以A£=（0,2,1）,AB=（0,2,0）,AD1=（2,0,2）,

/、[n-AD\=2x-\-2z=0/、

设平面A2E的法向量为〃=（九,y,z）,贝"，令z=—2,则〃=（2,1,—2）

n-AE=2y+z=0

由AB，平面BCG用，则AB是平面BCGg的一个法向量

।_.।In-Afil91

设平面5CG与与平面AQE夹角9,cos0=cos>n,AB^\=―

11\n[\AB\2X33

因此平面BCC.B,与平面A"E所成锐二面角的余弦值为g

20、（1），=2.7x+14.9,31.1元/公斤；（2）应该种植经济作物3；理由见解析

【解析】（1）利用表格数据求出中心点值，再利用最小二乘法求出回归直线方程，进而利用所求方程进行预测；（2）

先利用频率分布直方图的每个小矩形面积之和为1求得加值，再利用平均值公式求其平均值，再比较两种作物的亩产

量进行求解.

_1+2+3+4+5

【详解】（1）X二-------------------------------

_18+20+23+25+29»

y=--------------------=23

1x18+2x20+3x23+4x25+5x29-5x3x23

=号-------

12+22+32+42+52-5X32

E^2-5X2

Z=1

=2.7,

£=23—2.7x3=14.9

则丁关于x回归直线方程为£=2.7X+14.9

当％=6时，亍=2.7x6+14.9=31.1,

即估计2022年经济作物A的单价为31.1元/公斤

(2)利用频率和为1得：

01-<0.010+0,0175+0.0125)x20…

2m=-------------------------------=0.01,

20

所以%=0.005

经济作物B的亩产量的平均值为：

(360x0.005+380x0.010+400x0.0175+420x0.0125+440x0.005)x20=401,

故经济作物A亩产值为300x31.1=9330元,

经济作物3亩产值为25x401=10025元

9330<10025,

.•・应该种植经济作物3

21、（1）证明见解析

⑵迤

41

【解析】（1）利用空间向量求出空间直线的向量积CAOE=0,即可证明两直线垂直.

（2）利用空间向量求直线与平面所成空间角的正弦就是就出平面的法向量与直线的方向