立体几何-2023年高考数学考试（新高考）（原卷版）

专题11立体几何

易命台所

一、混淆线面角和平面的法向量与直线方向向量夹角的关系致错

I.如图，在正方体NBCD-44G4中，E为BA的中点.求直线与平面E所成角的

正弦值.

【错解】（II）以点4为坐标原点，AD、ABʌZ4所在直线分别为X、歹、Z轴建立如下图

所示的空间直角坐标系〃一中Z,设正方体Z5C0—4AG。的棱长为2,则力（0,0,0）、

4（0,0,2）、A（2,0,2）、£（0,2,1）,疵=（2,0,2）,荏=（0,2,1）,

、n∙AD.=02x+2Z=O

设平面Z"E的法向量为〃=（z*∕,z）,由〈,得AC,

[n-AE=Q[2y+z=0.

——*n∙AA42

令Z=—2,则x=2,y=l,则：=（2,『2）.cos<4〉=川IUl=—而

则Sin<几,AA>=^/1-cos2<n,AA>=Jl-=√5.

λ]因此，直线/%与平面E所成角

的正弦值为正.

3

【错因】混淆线面角和平面的法向量与直线方向向量夹角的关系，实际上直线与平面所成的角。

的正弦值等于平面的法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即sin8=卜os＜［五＜＞卜

【正解】

二、忽略两平面法向量的夹角与二面角平面角的关系致错

2、如图所示的几何体是由棱台4BC-4B6和棱锥。-44∣GC拼接

而成的组合体,其底面四边形ABCD是边长为2的菱形,且N8/Z＞60。，

88」平面∕8CZλ88∣=86=l.求二面角A∖-BD-C∖的余弦值.

【错解】设8。、ZC交于点O,以。为坐标原点,以CM为X轴,以OD为V轴,如图建立空间直角坐标

系,z轴显然平行于直8片由四边形/8CD是边长为2的菱形,且/历/£>=60。,得

OB=OD=∖,OA=OC=y∕3,

β(0,-l,0),0(0,1,0),jβ,(0,-1,Ip(SO,0)c卜√7o,o),

面=(C,1,0),可=西+市=函+g成=(等,g,l),丽=(0,2,0),

设平面AiBD的一个法向量为n=(x,y,z),

—√31λ

则上•〃—"z=0,令Z=G得y=0,χ7，从而［=卜2,0询

BD∙n=2y=0,

一,—.—»----—»1—.、E1

同理BC1=BBI+BlG=BB1+-BC=ɛʃ,pɪ)`

—√31_

W=x+l+Z,=0,

设平面BDC1的一个法向量为碗=(ɪ,,ʃ,,z,),plij_''_T'F

BD∙rh=Iyx=0,

——m∙n2×(-2)+√3×√31

令Zl=G,得必=0,玉=2,从而碗=（2,0,√J）、则COS<m,n>=LlLl=-5-→~~7=------=

∣m∣∙∣π∣√7×√71

故二面角Ai-BD-Q的余弦值为.

【错因】错误的认为两平面法向量的夹角就等于二面角平面角，实际上是二面角的平面角大小

是向量n∖与"2的夹角（或其补角）.

【正解】

三、忽略异面直线所成角与向量夹角的关系致错

3.在长方体∕8CD-48∣GOι中，/8=3,BC=I,AAl=2,则异面直线85和BlC所成角的余

弦值为（）

A蜓B.3√70√70D尬

70707070

【错解】选B,以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则3(1,3,0),Dι(0,0,2),51(1,3,2),C(0,3,0),则血=(一1,-3,2),

--->--->--->BDi∙BiC—3

B∖C=(-1,0,—2),从而cos〈BD∖,B∖C>—_____=∣—广=

I町M1C∣vl4-√570

TT

【错因】两异面直线所成角的范围（0,5］，而两向量夹角的范围为［0,7］,错解中误认为两向量

夹角就是两异面直线所成角。

【正解】

四、忽视异面直线所成角的范围致错

4.直三棱柱/8C—中，AC=BC=AA',ZACB=∖2Qo,E为89的中点，异面直线CE与

CZ所成角的余弦值是（）

B.叵710

ɪɔ-f

【错解】A,如图所示，直三棱柱"C-4B'C'向上方补形为直三棱柱/8C-48（",其中H,

8',C'分别为各棱的中点，取B1B"的中点D¢,可知CE//C",异面直线CE与CA所成角即为CD

与CN所成角.设C8=2,则CTy=√LCZ=20，AD'=后,cosZAC'D'=-8+^21^∙=--

TT

【错因】忽略了异面直线所成角的范围（0,万］,所以两条异面直线所成角的余弦值一定是正数.

【正解】

5.在空间四边形/88中，/8=CZ）,且异面直线/8与CA所成的角为60。，E,F分别为边

8C和4O的中点，则异面直线E尸和/8所成的角为.

【错解】60。，如图，设G是4C的中点，连接EG,GF,由已知得EG∕∕~AB

FGH-CD,NEGF是/8和CD所成的角，NGEF是4B和EF所限的/d/

南.'：AB=CD,：.EG=GF,：,NGEF=NGFE.因为NEG尸=60°,AB

和EF所成的角为NGEF=60°。

【错因】NEGF不一定是AB和CD所成的角，还有可能是AB和CD所成的角的补角。

【正解】

五、误用垂直性质定理致错

6、已知两个平面垂直，下列命题：

①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线;

②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；

③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确命题个数是

()

A.3B.2C.ɪD.O

【错解】如图在正方体48CD-48GD∣中，对于①AAU平面44DQ,8DU平面XBCD,力。与BD是

异面直线，成角60。，①错误；②正确.

对于③，4)∣u平面44Z)Q,NDi不垂直于平面“BCD：%~/lCl

Λ

对于④，过平面＜4。。内点。I,作DC*∣JΓ'

T∕D∙L平面。DCG,。ICU平面Z)IDCGLDC.故正确，故选B.∖∕D""∖7C

【错因】“一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直"与''过A8一个

平面内任意一点作交线的垂线”，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线

不一定在已知平面内.

【正解】

六、判断线面、线线位置关系考虑不全致错

7.若直线“与平面α内无数条直线平行，则α与α的位置关系是.

【错解】a//a

【错因】没考虑auct的情况。

【正解】

8、已知直线a,6和平面a,β,若“ua,bucc,a∕∕β,b∕∕β,则a,£的位置关系是.

【错解】平行

【错因】没考虑直线。，6的位置关系，

【正解】

9、若a〃B，直线a〃a,则a与丑的位置关系是.

【错解】a∕∕β

【错因】没讨论直线。与夕的位置关系，

【正解】

10.若直线/与平面a内的一条直线平行，则/和a的位置关系是()

A.I⊂aB.IllaC.IUa或IlIaD./和a相交

【错解】A

【错因】直线与平面平行的判定定理中：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与

此平面平行，忽略了平面外这个重要条件，本题中直线/与平面a内的一条直线平行,

也可能/ua.

【正解】

七、证明线面平行、面面平行条件表达不全致错

11.如图，四棱锥P-/8C。中，四边形/8CZ)是矩形，AB=∙β,AD=2,Z∖P4O为正三角形,

且平面平面Z8C。，E、尸分别为PC、PB的中点.证明：EF〃平面尸4)；

【错解】'：E,F分别为PC,PB的中点、，：.EFMBC.AD//BC,所以EF〃4D,

EF〃平面PZ。；

【错因】证明过程中，没有说明E尸U平面PAD.

【正解】

12、如图,四棱锥尸一/8CD中〃。〃5。〃8=8。=$。,£：尸,，分别为线段49『。,。。的中点4C

与BE交于O点,G是线段OF上一点.

P

(1)求证：/尸〃平面8EF；

⑵求证：G“〃平面以D

【错解】证明⑴连接£C,：4)〃8C,8C=%。，

：.BC=AE,W.BC//AE,：.四边形ABCE是平行四边形,

。为/C的中点.又C尸是PC的中点,，FO//AP,

.../P〃平面BEF.

(2)连接FH,OH：：FM分别是PC,CD的中点，

：.FH//PD,：.FH〃平幅PAD.

又：O是BE的中点是C。的中点,.∙.OH//AD,：.OH//平面PAD.

：.平面OHF//平面PAD.又YGHU平面OHF、：.GH//平面PAD.

【错因】(1)中没有指出尸OU平面8EF√IRI平面BEF；

(2)中没有指出FHQOH=H.

【正解】

八、分析问题不全面致错

13.圆柱的侧面展开图是边长分别为6π和4兀的矩形，则圆柱的体积是

2兀尸=6兀

【错解】设圆柱的底面半径为r,高为力，则体积P=兀/〃，由题意得•

Λ=4π

解得3'所以κ=36π2.

h=4π

【错因】错解中只考虑了6π为底面周长的情况，而4兀也有可能为底面周长。

【正解】

14、长方体的长、宽、高分别为3、2、1,从N到G沿长方体的表面的最短距离为—

【错解】根据题意,将长方体展开，如图所示，

由图可知线段Zq的长为最短距离，

22

有勾股定理得ACI=-JAB+Bq=3√2,

【错因】长方体展开应有三种可能，错解中只考虑了一种，

【正解】

九、斜二测画法中混淆原图与直观图关系致错

15.如下图，"'5'C'是MSC用“斜二测画法”画出的直观图,其中如8'=O'C'=1,O'A'=—,

2

那么AABC的周长是.

【错解】在AOWC'中，0'C'=∖,O'A'=^-,ZA'O'C=45°,

由余弦定理得：A'C2=O'C1+O'A2-20'C'O'A'cos45°.

得HC=Yi二1：同理W"=Xitl;

22

所以周长为：必二1+逅±1+2=痛+2。

22

【错因】错把直观图直接当原图了.

【正解】

16.如图，若三角形∕8'C'是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形ZBC的直观图.已知

AB'=4,NCN8'=45°,三角形/8C的面积为2√L则原平面图形/8C中BC的长度为

C

【错解】2√5.因为/‘1=4,ZC'A'B1=45°，且三角形4δ'C'的面积为

2√2-所以Sj.CXHC'sinN8'HC'=2√Σ,所以HC'=2,三角

形A'B'C"的原平面图形如下所示:所以/C=4U=2,48=4且/C_L

所以BC=LC、芯=2亚■

【错因】忽略了4C=24C'=4,长度应该变为原来的2倍.注意，在直观图还原原图时：与X轴

平行（重合）的线段长度不变；与歹轴平行（重合）的线段长度直观图是原图的一半.

【正解】

十、混淆几何体的表面积与侧面积致错

17.如图所示的某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2

倍，且圆锥的母线长是4,侧面积是4兀，则制作这样一个粮仓的用料面积为（

A.4√15πB.（2√15+4）π

C.（3√15+4）πD.（4√l5+4）π

【错解】选A,设圆锥的底面半径为r,高为h,则4πr=4兀，解得r=l,

所以h=∙∖∣42-1=\/75,圆柱的侧面积为2π,∙∙2∕ι=4而π,

【错因】应求该粮仓的表面积，错解中只求了侧面积。

【正解】

18、把长、宽分别为4、2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积.

【错解】设圆柱的底面半径为r,母线长为1,高为h.当2口=4,/=2时，r=-,h=l=2,

π

Q

所以Pii=兀r2/?=-.

faπ

【错因】错解中漏掉一种情况，解决此类问题一定要考虑全面.把矩形卷成圆柱时，可以以4

为底，2为高；也可以以2为底，4为高.

【正解】

1.设α,/为两个不同的平面，则α〃尸的充要条件是（）

A.口内有无数条直线与夕平行B.4万垂直于同一平面

C.a,£平行于同一条直线D.C内的任何直线都与夕平行

2.下列命题中正确的个数是（）

①若直线α上有无数个点不在平面α内，则a∕∕a∙,

②若直线α〃平面α,则直线a与平面ɑ内的任意一条直线都平行；

③若直线α〃直线6,直线6〃平面α,则直线α〃平面a；

④若直线α〃平面α,则直线a与平面ɑ内的任意一条直线都没有公共点.

A.OB.1C.2D.3

3.已知直线α/和平面α,且b在α上，α不在α上，则下列判断错误的是（）

A.若a〃a,则存在无数条直线b,使得

B.若α,α,则存在无数条直线b,使得；,力

C.若存在无数条直线b,使得4〃b,则

D.若存在无数条直线b,使得：1力，则a_La

4.如图，Rt∆0,A'B'是一个平面图形的直观图，若0'B1=/,则这个平面图形的面积是

()

A.1B.√2C.2/D.4√2

5、在高为百的正三棱柱G中,A4BC的边长为2,。为棱的中点,若一只蚂蚁从点

/沿表面爬向点。,则蚂蚁爬行的最短距离为（）

A.3B.2√3D.2

6.如图,在四面体/BCD中48=8,M、N分别是BC、AD的中点,若AB与CD所成角的大小为

60。,贝IJMN与CD所成角的大小为（)

A.30°B.60°

C.30°或60°D.15°或60°

7.（多选题）已知正方体∕8a>-44GA,尸是棱CG的中点，以下说法正确的是（）

A.过点尸有且只有一条直线与直线48,4A都相交

B.过点尸有且只有一条直线与直线48,4A都平行

C.过点尸有且只有一条直线与直线48,44都垂直

D.过点P有且只有一条直线与直线/8,4。所成角均为45。

8.已知空间中两个角α,£,且角α与角夕的两边分别平行，若α=30。，则£=（）

A.30oB.150°

C.30°或150oD.60°或120°

9.在正方体小8∣GJDl中，E,尸分别是线段8C,的中点，则直线48与直线E尸的

位置关系是（）

A.相交B.异面C.平行D.垂直

10.下列条件中，能判断两个平面平行的是（）

A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面

B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面

C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面

D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

11.“直线α与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线”与平面M垂直”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

12.已知〃?，”是两条不同的直线，a,P是两个不同的平面，则（）

A.若a1β,贝∣J〃尸

B.若小〃ɑ,rt±a