直击2024年高考-高三数学寒假结课检测卷（全国版）-答案解析

高三数学寒假结课检测卷（全国版）

一、单选题（共8题，共40分）

1.（5分）已知集合4={x|—34x<5},B=\x\y=V4x+2）,则4n（CRB）=（）

A.[—3,—0B.（-g，5）C.[—3,—2）D.（—2,5）

2.（5分）若复数z满足z+22=6+3i,则在复平面内复数z对应的点Z位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（5分）已知看b是平面向量，如果时=①，|可=0，（a+2b）1（2a-by那么友与b的数量

积等于（）.

A.-2B,-1C.2D,3V2

4.（5分）如图，在平行六面体ABC。-中，点E是棱BBi上靠近点B的三等分点，点尸是棱

CC]的中点，且三棱锥儿-AEF的体积为2,则平行六面体力BCD-4丛6。1的体积为（）.

A.8B.12C.18D.20

5.（5分）4位同学各自在周六、周日两天中等可能的任选一天参加公益活动，则周六、周日都有

同学参加公益活动的概率为（）.

A.1B.-C.-D.-

8888

6.（5分）已知函数/'（x）=4sin（3%+；）sin（3X-（3>0）的最小正周期为兀，将其图象沿x轴向

右平移m（租>0）个单位长度，所得图象关于直线x=9对称，则实数血的最小值为（）

A.7TB.gC.-D.7

344

工(5分)设。=赤，此高c=系,其中e是自然对数的底数，则()•

c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.c<a<b

8.(5分)《九章算术》第五卷《商功》中，有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四

尺，高一尺.”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1

尺.”(注：刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何

体)，若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的体积为()立方尺

A.旦兀B.417TC.生但兀D.3V417T

36

二、多选题(共4题，共20分)

9.(5分)如图，正方体ABC。取正方体六个面的中心G,H,M,N,E,F,将其连

接起来就得到了一个正八面体，下面说法正确的是().

A.EH〃平面FMNB.EM与平面GHMN所成角为3

C.平面FMN1平面FGHD.平面FHM〃平面EGN

10.(5分)已知函数/(%)=lg6/数一2%+2-％+1),g(x)=则下列说法中正确的是().

A.f(x)是奇函数B.。⑺的图象关于点(L2)对称

C.若函数/0)=f(%)+g(x)在汽E[1-TH,1+河上的最大值、最小值分别为M、N,则M+N=4

D.令F(%)=/(%)+g(%),若F(a)+F(-2a+1)>4,则实数a的取值范围是(一1,+8)

11.(5分)已知f(%)=3汽4—4(a+I)/+6a%2+1(。£R),贝|().

A.存在a使得f(x)>0恒成立B.存在a使得f(%)在R上恰有3个单调区间

C.VaGR,f(%)在R上不可能有4个零点D.VaGR,f(%)不存在小于0的极大值点

12.（5分）已知抛物线y2=©的焦点为F,过原点。的动直线I交抛物线于另一点P,交抛物线的

准线于点Q，下列说法正确的是（）

A.若。为线段PQ中点，则|PF|=2B.若|PF|=4,贝U|OP|=2G

C.存在直线/，使得PF1QFD.APFQ面积的最小值为2

三、填空题（共4题，共20分）

13.（5分）已知（尤-771）7=劭+%%+a2/4---卜a7）的展开式中%4■的系数是-35,则。1+。2+

•••+%=•

14.（5分）设点4（-2,3）,B（0,a）,若直线4B关于y=a的对称直线为I,已知I与圆C：（%+3）2+

（y+2）2=1有公共点，则实数a的取值范围为.

15.（5分）已知/（x）=e*（e为自然对数的底数），g（x）=lnx+2,直线I是/（x）与g（x）的公切线,

则直线1的方程为.

16.（5分）如图，已知P为椭圆C：马=l（a>b>0）上的点，点A、B分别在直线丫=1与、=

a"z

-"上，点。为坐标原点，四边形04PB为平行四边形，若平行四边形04PB四边长的平方和为定值,

则椭圆C的离心率为.

四、解答题(共6题，12小题；共70分)

17.(10分)已知正项数列｛an｝,其前n项和%满足a"(2S”-册)=l(neN*).

(1)求证：数列｛S：｝是等差数列，并求出的的表达式；

(2)数列｛册｝中是否存在连续三项以，a,a,使得2，/构成等差数列？请说明理由.

k+1k+2KR+J./C+N

18.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知acosC+ccosA=V5,a—V2h,记4

ABC的面积为S.

(1)(6分)求a.

(2)(6分)请从下面的三个条件中任选一个，探究满足条件的△ABC的个数，并说明理由.条

件：(a2+c2—b2))②bcos4+ja=c,③bsinA=acos(8—胃

19.如图，在四棱锥P—4BCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC,AD1DC,PA=PD=PB,

BC=DC=\AD=2,E为4。的中点，且PE=4.

(1)(6分)求证：PE_L平面4BCD.

(2)(6分)记PE的中点为N,若M在线段BC上，且直线MN与平面PAB所成角的正弦值为苧，求

线段的长.

20.社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35岁以下）喜欢阅读电子书籍,

他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者（35岁以上）更喜欢阅读纸质

书.现在某书店随机抽取40名顾客进行调查，得到了如下列联表：

年长齐年轻人息计

白改阅读电f书1620

唐次阅读纸颁书8

总计40

（1）（6分）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为喜欢阅读电子书与年龄

有关.

（2）（6分）若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7人，为进一步了解情况，再从抽取的7人

中随机抽取4人，求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的分布列及数学期望.附：K2=

n^ad-bc)2

其中九=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P体'1人）0.100.050.0100.005

k2.7063.841637.B79

21.已知双曲线C:，—2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(V5,0),过点F与x轴垂直的直线k与双

曲线C交于M,N两点,且|MN|=4.

(1)(6分)求双曲线C的方程.

(2)(6分)过点4(0,-1)的直线0与双曲线C的左、右两支分别交于。，E两点，与双曲线C的两

条渐近线分别交于G,H两点，若|GH|=4|DE|,求实数4的取值范围.

22.已知函数/(%)=Inx—ax(aER).

(1)(4分)求函数y=f(%)的单调区间.

(2)(4分)当a>0时，求函数y=/(%)在［1,2］上的最小值.

(3)(4分)若不等式上与^-Q%+。+140对》>1恒成立，求实数。的取值范围.

参考答案

一、单选题(共8题，共40分)

1【答案】A

【解析】由4x+2》0,得即集合B=[—g+8),

所以CRB=(-8,-J

所以AC(CRB)=[-3,-0.

故选：A.

2【答案】D

【解析】设2=。+历，其中a,bER,

则z+2z=a+bi+2(a—bi)=3a—bi,

则3a=6,—b=3,即a=2,b=—3,故z=2—3i,

此时z在复平面内对应的点为(2,-3),位于第四象限，

故选：D.

3【答案】A

【解析】：同=圾W=技(2+2b)1(,2a-by

(a+2b)•(2a—b)=2a2+3a•5一2b2

TT

=2x6+3a-2x3=0，

・T—

・•a•b=-2,

故选A.

4【答案】B

【解析】设点F到平面4&E的距离为屋则平面CCA。到平面的距离为h,

VS

^AArE=5s四边形4BB14，

^ABCD-A^C^=5四边形4BB14-八=^AArE'限

^Ar-AEF=^F-AA±E=[SA.E'h=2,

,•SAA41E'h=6>

，Z1BCD_4[B1cmi=2x6=12.

故选B.

5【答案】D

【解析】由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有24=16种不同的结

果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：

(1)一天一人，另一天三人，有禺A4=8种不同的结果；

(2)周六、日各2人，有釐=6种不同的结果，

故周六、周日都有同学参加公益活动有8+6=14种不同的结果,

所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为

loO

故选D.

6【答案】B

【解析】=4sin[a>x+§sin(3%-;)=4Qsin3X+苧cosax)Qsina)x——cosa>x

.F/l.\2(V3\2]./Il-cos2o)x31+cos2(ox\

4(~sin^X)~C0S=411---------------------------]

=—2cos2a)x—1,

由其最小正周期为兀，得3=1,所以f(x)=-2cos2%-1,

将其图象沿%轴向右平移机(m>0)个单位长度，

所得图象对应函数为y=—2cos2(%—m)—1=—2cos(2x—2m)—1,

其图象关于对称，则有cos(半—26)=±1,

所以学一2TH=kit,kE,L,即=g—筝,keZ,

由m>0,得实数租的最小值为

故选B.

7【答案】A

【解析】构造函数〃吗=三，

当x>e时，f1(%)>o,即f(x)在(e,+8)上单调递增,

当l<x<e时，尸(%)<0,f(x)在(l,e)上单调递减，

b,—2—4—-----4——

In221n2In4'

e2e2e2

C=e='=>=,

2e21

4-ln42-ln2lne-ln2jn

,•>e+2>4>±>e,

2

：・f(e+2)>f(4)>f，),

即a>b>c.

故选：A.

8【答案】C

【解析】作出图象如下图所示：

由已知得球心在几何体的外部，设球心到几何体下底面的距离为X,

1?2

则R2=%2+（|）=（%+I）2+6）,解得％=2,

41

•.•Ko2—_—,

4

3

••・该球体的体积u=詈x（手）=等巴

故选：C.

二、多选题（共4题，共20分）

9【答案】ABD

【解析】A选项：连接&D,aG，QD,

根据正方体六个面的中心分别为点G,H,M,N,E,F,

可得EH〃CiD,同理可证FN〃Ci。，贝l|EH〃尸N,

：FNu平面FMN,EHC平面FMN,故EH〃平面FMN,故A正确;

由题意知,四边形GHMN为正方形，设GMCHN=。（点。同时

是正方体和正八面体的中心）,

连接E。，则/EM。即为直线EM与平面GHMN所成的角,

由长度关系可得=%故B正确;

4

由题意知BD过点F,则平面FMNn平面尸GH=BD,

旦GH“BD〃MN,分别取GH,NM的中点S,T,连接ST,FS,FT,

,：4FGH,AFMN都为等边三角形，

故/SFT即为平面FMN与平面FGH所成的二面角，

由余弦定理可得COS/5FT=E，故C错误；

n

由以上证明可知，GN//HM,

故〃平面EGN,

又,：EG〃ACl,FM//ACr,故EG〃FM,

：EGu平面EGN,FMC平面EGN,故FM〃平面EGN,

'：FMCiHM=M,EGdGN=G,故平面FHM〃平面EGN,故D正确.故选ABD.

10【答案】BCD

【解析】A选项：VVX2-2X+2-X+1=V(x-I)2+1-(x-1)>0恒成立,

函数/'(x)的定义域为R,

V/(0)=lg(V2+l)^0,

.,./'(%)不是奇函数，

2-2x

.♦.A错误；B选项：将gQ)的图象向下平移2个单位得y=2

2+2x

再向左平移1个单位得h。)=怒U=W，

i—7~x7x—,\

•・5(―%)=百=乔n=.M')，

・•・M%)的图象关于(o,o)对称，

g(%)的图象关于(1,2)对称,

，B正确；C选项：将/(%)的图象向左平移1个单位得7H(%)=lg6/%2+1_%),

Vm(—x)+m(x)=lg(V%2+1+%)+lg(Vx2+1—x)=1g1=0,

・•.?n(%)为奇函数，f(%)关于(L0)对称，

・・・FQ)若在1+a处取得最大值，则F(x)在1-a处取得最小值，

则尸(1+a)+F(1—CL)—f(1+a)+f(1—a)+g(l+a)+g(l—a)

=0+4=4,

，C正确；D选项：F(a)+F(—2a+l)〉4

of(a)+f(1-2a)+g(a)+g(l-2a)>4,

设m(x)=lg(V%2+1-x),t=Vx2+1-x，

=7^-1=^7^r<0,

=g+1一x为减函数,

/.m(x)=lg(，=2+i一%)为减函数,

=lg(V(%-l)2+l—X+1)为减函数，

又9(幻=慧=1+品为减函数，

,尸。)为减函数,

・••FQ)的图象关于(1,2)对称,

，F(a)+F(-2a+1)>4=尸(a)+F(2-a),

：•F(-2a+1)>F(2.-a),

则—2a+1V2—df

••CL>—1,

・・・D正确.故选BCD.

11【答案】AD

【解析】/(%)=x2[3x2—4(a+l)x+6a]+1,令g(x)=3/—4(a+l)x+6a,

贝UA=16(a+I)2-72a=8(2a2-5a+2).

令a=1,贝!]△<0,9(x)=3x2—8x+6>0恒成立，

.'./(x)=x2g(x)+1>0恒成立，A正确；

f(x)=12x3—12(a+l)x2+12ax=12x(x—l)(x—a)>

易知当a=0或1时，f(x)有2个单调区间，当a40且a71时，f(x)有4个单调区间，故B错误;

取a=—l,则/(%)=3久,—6/+1,

2

令t=/,则/Q)=h(t)=3t-6t+l,A=36-12>0,

fti+t2=2

有两个零点G，t2,又i,t2>0,

.,./'(%)有4个零点±"7，±V^7，故c错误；

f1(%)=12x(%-1)0-a)，若/■(%)存在小于o的极大值点，则a<0,

且x<a时，f'(%)<0>x>a时，f'(%)>0>

=a为/'(久)的极小值点，矛盾，故D正确.

12【答案】AD

【解析】抛物线y2=4%的准线为比=-1,焦点F(L0)，

若。为PQ的中点，所以孙=1,所以『?|=冷+1=2,故A正确；

若|PF|=4,则4=4-1=3,

所以|OP|=y/xp+yp=Jxp+4xP=V21>故B错误；

设P(a2,2a),则Q(-L-：)，

所以港=3—1,2a)，QF=(2,^),

所以评■QF=2a2-2+4=2a2+2>0>

所以FP与FQ不垂直，故C错误;

S"FQ=\'\0F\.屏一先|=1X卜a+'=|a|+1》2,

当且仅当1可=高即。=±1时，取等号,

所以△PFQ面积的最小值为2,故D正确.

三、填空题(共4题，共20分)

13【答案】1

【解析】(生-m)7的展开式的通项公式为7「+1=Cy-(-m)r-x7~r,

令7—r=4,可得r=3,

故展开式中—的系数是焉•(-6尸=-35,

7r

：.m=1,Tr+1=C6(―1尸-x-.

令T—7,可得=—1.

令尤=1,可得各项系数和为a。+/+a?+<13+…+a?=3

・•Q］+，+。7=1•

故答案为：1.

14【答案】g,|］

【解析】4(-2,3)关于y=a对称的点的坐标为，(一2,2a-3)，

8(0,a)在直线y=a上，所以4B所在直线即为直线2，

所以直线2为y=笠％+a,即(a-3)x+2y-2a=0；圆C：(x+3)2+(y+2)2=1,圆心

C(-3,-2),半径r=l,

依题意圆心到直线/的距离d=乳<1,

2yj=—3)十Z

即(5—5a)2<(a—3)2+22,

解得：4a《会即0£

故答案为：［羽.

15［答案］y=e%或y=%+1

【解析】设公切线L与/(%)切于点P(a,b),与曲线g(%)切于点Q(?n,n),则有b=e设①

n=Inm+2,②

又(x)=ex,g(x)=

”⑷=ea,g'(m)

•.•过点P,Q的直线l的斜率为kpQ==，

yTn—a

.•q=ea=,③

m-am

由①②③消去a,b,九整理得(1+Inm)(1-A)=0,解得血=(或zn=l.

当租=，时，九=2+%=1,直线/与曲线g(%)的切点为G1),gQ)=e,

此时切线方程为y-1=e(x-3，即y=ex.

当zn=l时，n=2,直线Z与曲线g(x)的切点为(1,2),g'(1)=1，此时切线方程为y-2=%-1,

即y=x+1.

故直线1的方程为y=ex或y=%+1.

所以答案为y=e%或y=%4-1.

16【答案】立

2

【解析】方法一：设P(x0,y。)，则直线PA的方程为y=—|%+£+y。，

直线PB的方程为y=[x—£+y。，

(y=_。+殛+y

联立方程组_122,解得A偿++卑)，

7—2%

y—~―――+V

I，解得B偿_y。,—资+券)，

则弘2+PB2

=(>%?+(卜纣+软+城+争戮

=£好+|光・

又点P在椭圆上,则有炉就+据=a2b2,

因为|瞪+|据为定值，

oZ

则与=士02=亨=三,即e=3.

a24a242

故答案为：苧.方法二：设411片)，8卜2,著)，Pg,y°)，

fXl+%2=XO

由4B和OP的中点相同，得卜i-亚_、，，

―为

2

所以AF=(x1-x2)+g+多7=4羽+争

由平行四边形的性质可知边长平方和等于AB?+。22=4诏+9+/+%=5（胃+%）为定值,

又点P在椭圆上，则有52就+a2y^=a2b2,

因为:贿+犬为定值，

4

22

则导=三,e2a-b3e=一V3

a24a242

故答案为：?•

四、解答题（共6题,12小题;共70分）

17【答案】（1）证明见解析，Sn=H；

⑵不存在，理由见解析.

【解析】（1）依题意，正项数列｛an｝中，看=1,即%=1,

当n》2时，an=Sn—,即（S九一S九一1）［25九一（S九一S九=1,

整理得麋-S£i=l,

又贷=al=1,

因此，数列｛S：｝是以1为首项，1为公差的等差数列，则扉=n,

因为｛即｝是正项数列，即%>0,所以立=伤.

（2）不存在，当?1>2时，an=Sn—S九t=y/ri—Vn—1»

又出=1,即VnEN*,都有an=Si—一1,

则高二号与二遮+G1,

假设存在满足要求的连续三项队,a,a,使得十，六，六构成等差数列，

k+1k+2akak+iak+2

则+Vfc)=Vfc++vm+vm,即+%=+VFTI,

两边同时平方，得k+1+k+2VF+IVfc=fc-l+fc+2+2VfcT7lVfcT2,即(k+l)fc=(fc-

l）（fc+2）,

整理得：k2+k=k2+k-2,即0=-2,显然不成立，因此假设是错误的,

所以数列｛册｝中不存在满足要求的连续三项.

18（1）【答案】V6

【解析】因为acosC+CC0S4=V5,

后二［、1a2+b2-c2b2+c2-a2

所以Q------------;—+C----;----=V3>

2ab2bc

解得人=V5,

所以a=y/2b=V6.

18（2）【答案】选择①2个；选择②1个；选择③不存在，见解析

【解析】选择①，因为5=［（必+。2-炉）,

所以（acsin=^~（层+c2—b2），

所以工acsinF=—x2accosB，

212

化简得tan8=更.又0<B<TI,

3

故B屋.

由号=号，得sinA=竺叱=坦.

smZsinBb2

因为Q>b,

所以4=3或4=?,故满足条件的△力BC的个数为2.

44

选择②，因为bcos4+—a=c,

2

所以sinBcos/+Jsin/=sinC,即sinBcosZ+亨sin4=sin(4+B),

化简得返sin4=sinZcosB,

2

因为sinZH0,所以cosB=返，

2

解得

士ab4日.“asinB.

由「sin力=「smB，得sin4=b-^=1,

所以4=5，

故满足条件的△力BC的个数为L

选择③，因为bsinZ=acos(B-

所以sinBsinA=sinAcos(8-*

又sin4W0,

所以sin8=cos(B—§,

所以sinB=-cos3+工sinB,

22

化简得tan3=V3.

又0<B<7i,

故8=A

中」一_，一

smHsmB

得$也力=竺*=渔>1,无解，不存在满足条件的三角形.

b2

19(1)【答案】见解析

【解析】连接BE,

：.BC=DE5.BC//DE,

四边形BCDE为平行四边形；

BE=CD=2,

"：PA=P。且E为4。的中点，

/.PELAD,

所以P。=y/PE2+DE2=V16+4=2V5,

PB=PD=2V5,

：.PE2+BE2=PB2,即PEJ.BE,

^'：ADQBE=E,4。u平面ABC。，BEu平面4BCD,

PE，平面ABC。.

19(2)【答案】2或1

【解析】以E为原点，E4所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EP所在直线为z轴建立如图所示的空

间直角坐标系，

则4(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,2,0),P(0,0,4),

所以痛=(-2,2,0),P5=(0,2,-4)，

设平面P4B的法向量为蔡=Cq,yi，zi)，

则尼.亚=0,

Vn-PB=0

即｛肃m°，取1221),

设BM=t(tC[0,2]),则M(—1,2,0),而N(0,0,2),

所以漏=(t,-2,2)，

:平面P4B的法向量为蔡=(2,2,1)，

设直线MN与平面P4B所成的角为。，

则sine=Icos\=I,^-4+2I=

I\II卜网|Vt2+4+4-V9|9

化简得11产一24t+4=0,

解得：t=2或t=V，满足te[0,2],

故线段BM的长度为2或静.

20(1)【答案】列联表：

年长齐年轻人总计

电子书41620

纸质书81220

里计122840

没有90%的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关.

【解析】根据题意，可得如下的2X2的列联表：

年长者年轻人总计

电子书41620

纸质书81220

总计122840

(4X12-8X16)2x40

贝1依=X1.905<2.706,

12X28X20X20

所以没有90%的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关.

20(2)【答案】X的分布列为

X1234

418121

P

353535

E(X)=y.

【解析】按照分层抽样的方法在年轻人中抽取了7人,

则抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数为4,喜欢阅读纸质书的年轻人人数为3,

所以随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,

可得P(X=1)=^=2，P(X=2)=等=||,

P(X=3)=警=||,P(X=4)=m2

1_(733C«733

所以X的分布列为

X134

418121

P

35353535

则期望为E(X)=lx康+2X£+3X1|+4X2=T.

21⑴【答案

1__土一1

【解析】由题意，设M(W,2),N(g,-2),所以正振,