中考数学复习指导：图象过定点问题和“思维模式”

图象过定点问题和“思维模式”关于函数图象过定点的问题，很多同学感到棘手．本文将应用“模式化”思维求解与按照常规思维求解进行比较，表明数学问题“模式化”的优越性，供同学们在学习中参考．一、“模式化”思维例析例1若m是不为零的任意实数，求证：一次函数y＝mx－3m＋1的图象必通过一定点，并求出此定点坐标．证明由于y＝mx－3m＋1＝m（x－3）＋1，而m是不为零的任意实数，要使该函数图象通过一个定点，则此时y的值一定与m值无关，显然，当且仅当x－3＝0时，y的值与m的值无关，此时，x＝3．y＝m(x－3)＋1＝1．所以一次函数y＝mx－3m＋1的图象必通过一定点(3，1)．注常规方法为特殊值法，即取m1＝1，m2＝－1，然后构建方程组求解并检验．求解时往往容易出错．例2求证抛物线y＝x2－（k＋4）x－（2k＋12）（k为参数，且k≠0）恒过一定点，并求出此定点．证明要使抛物线恒过一定点，则该定点坐标必与k值无关．所以．y＝x2－(k＋4)x－(2k＋12)＝k(x＋2)＋x2－4x－12中，与k相关的因式值必为零(k≠0)，即：k＋2＝0．∴x＝－2．将x＝－2代入，函数y＝0，则该抛物线恒过定点（－2，0）．注常规法用参数法，令k的值分别为k1，k2，且k1≠k2，得方程组求之，但由于该方法有别于取特殊值法，不需验证交点是否满足原函数解析式，初学者不易掌握．例3已知二次函数y＝ax2＋（6－a）x－6a－1（a≠0），证明无论a为何值，抛物线恒过定点，并求定点坐标．证明要使抛物线恒过定点，则定点处的x，y值必与a的值无关，即y＝ax2＋（6－a）x－6a－1＝a(x2－x－6)＋6x－1（a≠0），必有x2－x－6＝0，解得x1＝3，x2＝－2，∴y1＝17，y2＝－13．所以不论a为何值(a≠0)，抛物线恒过定点(3，17)与点（－2，－13）．注常规法用主元法，以a为主元，得a(x2－x－6)＝－6x＋y＋1．根据一元一次方程的解的性质，a为任意非零实数，即说明关于a的方程有无穷解，由0·a＝0的模式可得解之即得．若应用上述模式求证另辟蹊径，较为方便．例4若a＝b－2求证函数f(x)＝ax2＋bx＋2的图象过两定点．证明因为a＝b－2，所以f(x）＝b（x2＋x）－2x2＋2．若函数f(x）的图象过两定点，则定点处的x，y值必与b的值无关，此时必有 x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1． 故不论a，b为何值但只需满足a＝b－2时，函数f(x)的图象必过两定点（－1，0）与点(0，2)．注常规法用观察法，因为a＝b－2，所以a－b＋2＝0，则f(－1）＝0，f(0）＝2，即得所求．但初学者往往不易把握，例5已知二次函数y＝x2－(m2＋6)x＋2m2＋8，求证不论m为何值，抛物线与x轴正方向都有两交点，且其中一个交点为定点．证明因为无论m为何值，要使抛物线与x轴正方向恒有两交点，且其中一个交点为定点，于是抛物线y＝m2（2－x）＋x2－6x＋8在定点处的函数值与m值无关，此时2－x＝0，x＝2，求得y＝0．若抛物线与x轴正方向恒有两交点，则y＝0时有x2－(m2＋6)x＋2m2＋8＝0，分解因式得（x－2）（x－m2－4）＝0，∴x1＝2>0，x2＝m2＋4>0．所以不论m为何值，抛物线与x轴的正方向恒有两交点(2，0)，(m2＋4，0)，且恒交定点(2，0)．注常规法用直接求根法，因为交点在x轴上，所以令y＝0，直接求元．由于该问题存在一个非定点，所以用常规法较方便．二、发散思维例析例6设a，b为任意实数，且2a＋b＝1，关于x，y的方程ax＋by＝3有一个解恒定不变，求方程的这个解．解∵2a＋b＝1，则b＝1－2a，∴原方程变形为ax＋y－2ay－3＝0，即a(x－2y)＋(y－3）＝0．由于a，b为任意实数，且方程ax＋by＝3有一个解恒定不变，则说明方程的解不因a，b的变化而变化．只有当x－2y＝0时，原方程的解才与a，b的值无关，所以x＝2y，解得y＝3，x＝6，即为方程的定解．例7已知m为一切非零实数，代数式my＋(m2－4m，)x2－2m2x－3的值恒为一个常数，求这个常数，并求此时x，y的值．解原式变形为m(y－4x2)＋m2(x2－2x)－3．由上述思维模式，得解得或所以当x＝0，y＝0或x＝2y＝16时，原代数式的值恒为－3．例8已知a＝－3x2－2xy＋3x＋1，b＝2x2＋xy－1，且2a＋3b的值与x无关，求y的值．解由上述思维模式，求得2a＋3b＝－6x2－4xy＋6x＋2＋6x2－3xy－3＝x（6－y）－1．由于2a＋3b的值与x无关，所以得6－y＝0，y＝6．三、小结(1)解决函数图象过定点问题时，我们可以抓住定点的不变性与参数的可变性，将函数解析式转化为以参数字母为主元的形式，从而可知与参数字母相乘的另一因式的值必为零．如上面例析，利用此“思维模式”能找到捷径，也可将此“模式”引申到方程与代数式的定解、定值问题中．(2)当函数图象除过定点外还过另一不定点，或问题中待定字母较多