中考数学复习指导：探寻解不等式（组）的数学思想

探寻解不等式（组）的数学思想解一元一次不等式组，实际就是求出各个不等式所得解集的公共部分．同学们对于求解相等关系的问题积累了很多经验，但缺乏解决不等关系问题的经验，因此有不少同学对此问题觉得比较棘手，本文列举几道利用不同数学思想方法求解的典型问题进行分析，希望能对同学们的学习有所帮助．一、数形结合思想例1不等式组有5个整数解，则a的取值范围是_______．解析由2x＋1<3得x<1，而与x>a有5个整数解，说明在数轴上有公共部分，且公共部分包含的整数点有5个（如图1），即0，－1，－2，－3，－4．当a＝－4时，－4<x<1只有4个整数解；当a＝－5时，－5<x<1有5个整数解符合题意．这里要强调的是x>a作为界点a＝－5仍然成立．所以，a的取值范围是：－5≤a<－4．注本例涉及到由已知不等式组的解集反求参数a，应注意，在讨论有解无解时应考虑是否包含界点．在讨论解的个数时，往往直观的借助数轴“以形助数”更容易理解．二、转化化归思想例2如果不等式组的解集是0≤x<1，那么a＋b的值是_______．解析不等式组的解集是0≤x<1，原不等式组变形为由此转化成4－2a≤x<，与它的解集对比，建立方程4－2a＝0，＝1，解得a＝2，b＝－1，∴a＋b＝1．注这种求特定解的情况，一般先求得不等式组的解集，最后转化为相等的关系确定特定解．三、整体思想①②例3已知，且－1<x－y<0，则k的取值范围为()①②(A)－1<k<－(B)０<k<(C)0<k<1(D)<k<1 解析本题常规思路是解出x，y（用含k的代数式表示），进而得到x－y关于含k的一个代数式；再代入－1<x－y<0中成为一元一次不等式组，从而可以求出k的范围． 但仔细观察发现另一种解法． 由②－①得，x－y=1－2k， ∴－1<1－2k<0． 解这个一元一次不等式组，得<k<1．故选D．注采用整体操作，可以节约时间，减少计算量，因此，我们在学习过程中要注意体会这种思想的运用．四、分类思想例4如果不等式组的解集是x>－1，那么m的值是()(A)3 (B)1 (C)－1 (D)－3解析由于m的值不确定，2m＋1与m＋2的大小无法比较，因此需要进行分类讨论：①若2m＋1＝－1，解得m＝－1，那么m＋2＝1，不等式的解集就是x>1，这与已知条件x>－1不相符合，故m≠－1；②若m＋2＝－1，解得m＝－3，代入2m＋1＝－5，这时不等式组的解集是x>－1，与已知条件相符合．故选D．注分类讨论可以避免漏解情况发生，将各种情况都考虑周到，让思维更加细致严密．五、逆向思维思想例5若不等式组无解，则m的取值范围是_________．解析该不等式组无解，说明x<m＋1与x>2m－1的解集没有公共部分，可以借助数轴，从同学们熟悉的反面入手．如果此不等式组有解，则有m＋1点在2m－1点的右边，可以得到不等式m＋1>2m－1，解得m<2，故得到m的取值范围是m≥2．注当问题从正面思考难以入手时，可以考虑从反面思考，常常会找到解决问题的方法．六、建模思想例6解不等式组的解集是_______．解析由－x＋4<2解得x>2；由3x－4≤8解得x≤4．按照解不等式组的公共解集模型：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找（空集）． 所以有：2<x≤4． 注无论是解二元一次方程组，还是一元一次不等式组，都包含了程序化的操作，有固定模式进行，作为基础知识必须牢固掌握．例7若干名学生住宿，若每间住4人，则还有19人无房住；若每间住6人，则还有一间房不空也不满．试求学生人数和宿舍间数．解析设有x间宿舍，则有学生(4x＋19)人．由 解得9.5<x<12.5. 由于人数x为整数，故x对应有10，11，12，那么由4x＋19得59，63，67．注本例让学生经历了利用不等式组解决实际问题的建模过程，体会到建模思想在解决实际问题中的作用．对同