2023-2024届高考物理一轮复习讲义 33双星多星模型 卫星的变轨及能量问题 拉格朗日点（原卷版）

专题33双星多星模型卫星的变轨及能量问题拉格朗日点

考点一双星模型

双星系统：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，而且两颗星与该中心点总在同一直线上，如图,

1.两个星体各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即詈=胴。"，等=破。/

2.两颗星的周期及角速度都相同，即71=?2,Gl=G2

3.两颗星的半径与它们之间的距离关系为：n+r2=L

4.由mGtn=改GinJ得：两颗星到圆心的距离方、E与星体质量成反比，即2='

一∏kΓ∖

.2/3

5.双星的总质量公式®I+Λ⅛=-^-推论：黄=kMa

6.双星的运动周期7,=2π

1.（多选）我国天文学家通过“天眼”（FAST,500米口径球面射电望远镜）在武仙座球状星团此3中发现一

个脉冲双星系统，如图所示，由恒星A与恒星B组成的双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，若恒

星A的质量为3m,恒星B的质量为5m,恒星A和恒星B之间的距离为£,引力常量为6。下列说法正确的

是（）

A.恒星A运行的角速度大于恒星B运行的角速度B.恒星A与恒星B的线速度之比为5:3

C.恒星A到。点的距离为ILD.恒星B的运行周期为兀旦

5y∣2Gm

2.（2022•全国•高三课时练习）（多选）天文学家通过观测两个黑洞并合的事件，间接验证了引力波的存

在。该事件中甲、乙两个黑洞的质量分别为太阳质量的36倍和29倍，假设这两个黑洞绕它们连线上的某

点做圆周运动，且两个黑洞的间距缓慢减小。若该双星系统在运动过程中，各自质量不变且不受其他星系

的影响，则关于这两个黑洞的运动，下列说法正确的是（）

A.甲、乙两个黑洞运行的线速度大小之比为36：29

B.甲、乙两个黑洞运行的角速度大小始终相等

C.随着甲、乙两个黑洞的间距缓慢减小，它们运行的周期也在减小

D.甲、乙两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等

3.（多选）中国“FAST”球面射电望远镜发现一个脉冲双星系统。科学家通过对脉冲星计时观测得知该双星

系统由一颗脉冲星与一颗白矮星组成，如图所示。质量分布均匀的恒星A、B双星系统绕。点沿逆时针方向

做匀速圆周运动，运动周期为71，两者间距为C为B的卫星，绕B沿逆时针方向做匀速圆周运动，周期

为72,且4<71。A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。引力常量为G,则（）

A.恒星A、B的质量之比等于它们的轨道半径之比

B.恒星A、B的质量之和为甯

C.已知卫星C的轨道半径r和恒星B的半径7,可求得恒星B的密度为福

D.三星A、B、C相邻两次共线的时间间隔为苦

考点二多星模型

所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同.

1.三星模型：

①直线型三星系统：三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运

行（如图甲所示）.

②三角形型三星系统：三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上，均绕中心O点做匀速圆

周运动（如图乙所示）.

2.四星模型：

①正方形四星系统：四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做

匀速圆周运动（如图丙所示）.

②三角形型四星系统：三颗星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心0,外围三颗星绕0

做匀速圆周运动（如图丁所示）.

4.宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统。设某双

星系统A、B绕其连线上的某固定点。点做匀速圆周运动，如图所示。现测得两星球球心之间的距离为

运动周期为7,已知万有引力常量为&若40>0B,则（）

A.星球A的线速度等于星球B的线速度

B.星球A所受向心力大于星球B所受向心力

C.双星的质量一定，双星之间的距离减小，其转动周期增大

D.两星球的总质量等于庠

GT2

5.（2022•全国•高三课时练习）宇宙空间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如

图所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L忽略其他星体对它们的引力

作用，三星在同一平面内绕三角形中心。做匀速圆周运动，引力常量为G。下列说法正确的是（）

m

•∖

，/∙O∖、

*♦、、

*«

m•・......................⅜∕τ?

A.每颗星做圆周运动的线速度为是

B.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关

C.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍

I）.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度变为原来的2倍

6.（2022•江西景德镇♦高一期中）太空中存在一些离其他恒星较远的、由质重相等的三颗星组成的三

星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。己观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一

种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为斤的圆轨道上运行：另一种形式是三颗星位

于边长为工的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三个星体的质量均

为M并设两种系统的运动周期相同，引力常量为G,则（）

M

L”iJΛ

,*、%，，、、

甲÷-----→-----i丙l/∖l

M∖Rm,:M/\

一…一Mi……ɪ-……'^M

A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同

B.直线三星系统的运动周期为7=4ττRfɪ

C.三角形三星系统中星体间的距离为L=√3Λ

D.三角形三星系统的线速度大小为U=L座

7.（2022•全国•高三专题练习）宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，

通常可忽略其他星体对它们的引力作用，如图所示，设四星系统中每个星体的质量均为加，半径均为此四

颗星稳定分布在边长为/的正方形的四个顶点上、已知引力常量为G,关于四星系统,下列说法正确的是（）

ʌ.四颗星的向心加速度的大小均为空

B.四颗星运行的线速度大小均为工叵亘而

2∖L

C.四颗星运行的角速度大小均为三11+2克）Gm

L、L

D.四颗星运行的周期均为2.6黑

8.（2020•湖南•长郡中学高三阶段练习）（多选）宇宙中存在一些离其他恒星较远的四颗星组成的系统，

通常可忽略其他星体对它们的引力作用。天眼在观察中发现三颗质量均为〃的星球人氏O恰构成一个边

长为/的正三角形，在它们的中心。处还有一颗质量为3勿的星球，如图所示。已知引力常量为G,四个星

球的密度相同，每个星球的半径均远小于心对于此系统，若忽略星球自转，则下列说法正确的是（）

小

/：X

L/∖∖L

人JO/工、

/3见,\

—、黑

•-----------------•

BLC

A.4、B、C三颗星球的线速度大小均为JC+3?GnI

B.4、B、C三颗星球的加速度大小均为史警处

C.星球4和中心〃处的星球表面的重力加速度之比为1：2

D.若。处的星球被均分到/、B、C三颗星球上，A,B、C三颗星球仍按原轨道运动，则4、B、C三颗星球

运动的周期将变大

考点三卫星的变轨

卫星轨道的渐变：如果由于开启或关闭发动机或空气阻力作用使卫星速度突然改变时，万有引力

不再等于向心力，卫星将做变轨运行:

1.当卫星的速度突然增加时，.4即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来

的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时，由片\^可知其运行速度比原轨道时小。

2.当卫星的速度突然减小时，净弓即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原

来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时，由可知其运行速度比原轨道时大。

卫星的发射和回收就是利用这一原理。

卫星轨道的突变：

1.如图发射同步卫星时，可以分多过程完成：

D先将卫星发射到近地轨道I；

2）使其绕地球做匀速圆周运动，速率为小变轨时在P点加速，短时间内将速率由匕增加到⑵使卫

星进入椭圆形的转移轨道H；

3）卫星运行到远地点。时的速率为外,此时进行第二次加速，在短时间内将速率由%增加到％使卫

星进入预定轨道IΠ,绕地球做匀速圆周运动。

2.加速度、速度、周期、能量的比较

D由净=ma,经过不同轨道相交的同一点时r相同，所以加速度相等；r越大的位置加速度越小.

2）交点处必须经过加速才能由内轨道进入外轨道，所以交点处外轨道的速度大于内轨道的速度:在椭

圆轨道运动时如果由近地点向远地点运动，因为万有引力做负功所以速度减小，如果由远地点向近地点运

动，因为万有引力做正功所以速度增大.

3）不同轨道的周期根据开普勒第三定律比较（对椭圆轨道r是半长轴，对圆轨道r是半径），

因为外轨道的r大于内轨道所以T1<T2<T3.

4）在一个确定的圆（椭圆）轨道上机械能守恒;因为轨道越高，发射时需要对卫星做的功越大，若I、

II、DI轨道的机械能分别为笈、员、&,则氏〈与〈蜃

三.航天飞机与宇宙空间站的“对接”：本质仍是卫星的变轨运行问题，要成功“对接”，必须让航

天飞机在较低轨道上加速，通过速度V的增大一做离心运动-轨道半径r增大一升高轨道的系列变速，从

而完成航天飞机与宇宙空间站的成功对接。

9.（2022•全国•高三课时练习）中国空间站天和核心舱先后与天舟二号和神舟十二号进行对接，为了实

现神舟飞船与天宫号空间站顺利对接，具体操作应为（）

A.飞船与空间站在同一轨道上沿相反方向做圆周运动，接触后对接

B.空间站在前、飞船在后且两者沿同一方向在同一轨道做圆周运动，在合适的位置飞船加速追上空间站后

对接

C.空间站在高轨道，飞船在低轨道且两者同向飞行，在合适的位置飞船加速追上空间站后对接

D.飞船在前、空间站在后且两者沿同一方向在同一轨道做圆周运动，在合适的位置飞船减速与空间站对接

10.（2022•广东•禅城实验高中高三阶段练习）北京时间2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回

舱在东风着陆场的预定区域成功着陆.翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员结束了6个月的“太空出差”，

成为了我国有史以来在轨任务时间最长的航天员乘组；在返回的时刻，神舟十三号飞船将首次采用快速返

回方案，返回时间相比神舟十二号缩短了三分之二，返回可简化为以下四个阶段：制动减速阶段、自由滑

行阶段、入大气层阶段、回收着陆阶段。下列说法正确的是（）

A.神舟十三号载人飞船与天和核心舱分离后，空间站天和核心舱会离地球越来越远

B.神舟十三号载人飞船与天和核心舱分离后，助推器点火向后喷气后才能返回地球

C.神舟十三号载人飞船进入大气层和回收着陆阶段，既有失重过程又有超重过程

D.神舟十三号载人飞船进入大气层之前的自由滑行过程，动能减小，引力势能增大，机械能守恒

11.（2022•全国•高三课时练习）（多选）嫦娥四号探测器到达月球附近，成功实施近月制动，顺利完成“太

空刹车”，被月球捕获并顺利进入环月轨道。整个奔月过程简化如下：嫦娥四号探测器从地球表面发射后，

进入地月转移轨道，经过"点时变轨进入圆形轨道I,在轨道I上经过尸点时再次变轨进入椭圆轨道∏、

下列说法正确的是（）

地月转移轨道一/

A.嫦娥四号沿轨道II运行时，在0点的加速度大于在0点的加速度

B.嫦娥四号沿轨道∏运行的周期大于沿轨道I运行的周期

C.嫦娥四号在轨道1上的运行速度小于月球的第一宇宙速度

D.嫦娥四号在地月转移轨道上M点的速度大于在轨道I上M点的速度

12.（2022•广东•肇庆市第一中学高一期中）（多选）2020年7月23日，我国在海南文昌航天发射中心,

成功将我国首个深空探测器天问一号火星探测器送上太空。探测器接近火星后，探测器需经历如图所示的

变轨过程，轨道I为圆轨道，已知引力常量为G,则下列说法正确的是（）

A.探测器在轨道I上尸点的速度大于在轨道II上的速度

B.探测器在轨道上运动时，运行的周期7川>/1>71

C.探测器若从轨道∏变轨到轨道I,需要在尸点朝速度反向喷气

D.若轨道I贴近火星表面，并已知探测器在轨道1上运动的角速度，可以推知火星的密度

13.（2022•山东聊城•高一期中）2020年7月23日，在我国文昌航天发射场，长征五号遥四运载火箭成

功将“天问一号”火星探测器送入预定轨道，我国将实现“环绕、着陆，巡视”三大目标。如图是探测器

飞向火星过程的简略图，探测器分别在只0两点实现变轨，在转移轨道，探测器绕火星做椭圆运动，下列

说法正确的是（）

A.“天问一号”在绕地轨道的环绕速度大于7∙9k∏√s

B.“天问一号”在沿绕火轨道运行时的速度小于火星的第一宇宙速度

C.“天问一号”在绕地轨道上P点的加速度大于在转移轨道上P点的加速度

D.“天问一号”在转移轨道0点的速度小于绕火轨道。点的速度

考点四卫星的能量问题

L卫星由较高轨道进入较低的轨道，其轨道半径减小，在卫星克服阻力做功的同时万有引力将对卫星

做正功，由于万有引力做的正功远大于克服阻力做的功，外力对卫星做的总功是正的，因此卫星的动能增

加,卫星要克服阻力做功因此机械能减小。

2.要使卫星由较低的圆轨道进入较高的圆轨道，一定要给卫星增加能量，卫星总的机械能增大.

14.若规定无穷远处物体的重力势能为零，则质量为加的物体对应重力势能的表达式为EP=-G寸，r为

物体离地心的距离，"为地球质量，G为万有引力常量；则一质量为以离地面的高度为十（〃为地球半径）

的人造卫星,运行时的总机械能为（将人造卫星绕地球的运动看成匀速圆周运动,地表重力加速度为g）（）

A.一竽B.一等C.-mgRD.-2mgR

15.（2022•山东临沂•三模）2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成

功着陆，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，设距地球无限远处的引力势能为零，地球质量为M质量

为加的物体在距地心r处的引力势能为E=-G也（G为引力常量）,设定地球半径为此地球表面重力加

Pr

速度大小为g，不考虑地球自转和其他天体的影响，神舟十三号载人飞船返回舱质量为TH。，从距地面高

九RSVI）轨道返回地面过程中质量不变，则返回舱返回地面过程中，引力势能减少量为（）

m°gRDMogR

A.nmgRBMogRC.

0'l+nn*1-n

16.如果以无穷远处为零势能面，质量为勿的人造地球卫星与地心的距离为r时.，引力势能可表示为EP=

其中G为引力常量，M为地球质量。该卫星原来在半径为此的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于

r

受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为此，此过程中因摩擦而产生的热量为

()

A-GMmKV）B-GMZΠ（⅛^⅛）c∙£T1（⅛~⅛）d∙等（⅛一切

17.（2022•全国•模拟预测）《春秋左传•鲁文公十四年》中的“秋七月，有星学入于北斗”是一次关

于哈雷彗星的确切记录。若哈雷彗星绕太阳做椭圆运动，其运动轨道远日点距离太阳35.1AU,近日点距离

太阳0.586AU；地球绕太阳做圆周运动，轨道半径为1AU,公转速度约为29.8km/s。已知引力势能的表

达式为Ep=-等，其中。为引力常量，M为中心天体质量，而为环绕天体质量，r为两天体的中心距离。

则根据以上信息，可知哈雷彗星的最小环绕速率约为（)

A.O.50knι∕sB.O.80km/sC.O.91km∕sD.3.8km∕s

18.（2021浙江卷）空间站在地球外层的稀薄大气中绕行，因气体阻力的影响，轨道高度会发生变化。空

间站安装有发动机，可对轨道进行修正。图中给出了国际空间站在2020.02-2020.08期间离地高度随时间

变化的曲线，则空间站（）

A.绕地运行速度约为2.（）km∕s

B.绕地运行速度约为8.0km∕s

C在4月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒

D.在5月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒

考点五拉格朗日点

两个靠的很近的天体绕着它们连线上的一点（质心）做圆周运动，构成稳定的双星系统，双星系统运

动时，其轨道平面存在着一些特殊的点，在这些点处，质量极小的物体（例如人造卫星）可以与两星体保

持相对静止，这样的点被称为“拉格朗日点”。一般一个双星系统有五个拉格朗日点。

19.（2022•重庆•模拟预测）我国嫦娥五号轨道器与返回器分离后，于2021年3月15日13时29分首

次成功进入日地间/点附近的探测轨道。如图所示，A为太阳、B为地球、£为日地拉格朗日点，处在/点

的人造天体，将与太阳和地球保持相对静止。不考虑其他天体的影响，地球的轨道近似处理为圆轨道，根

据上面信息，下列说法正确的是（）

A.处在/点的人造天体绕太阳的周期小于一年

B.处在/点的人造天体受到太阳和地球的引力平衡

C./点位于太阳与地球连线的中点

D.A、B连线上B的右侧也存在一个位置，卫星在该位置上与太阳、地球保持相对静止

20.（2022•山西•太原五中高三阶段练习）（多选）为简单计，把地-月系统看成地球静止不动而月球绕地

球做匀速圆周运动，如图所示，虚线为月球轨道。在地月连线上存在一些所谓“拉格朗日点”的特殊点。

在这些点，质量极小的物体（如人造卫星）仅在地球和月球引力共同作用下可以始终和地球、月球在同一

条线上。图