人教A版（2019）选择性必修第一册 空间向量基本定理 同步练习（含解析）

人教A版(2019)选择性必修第一册1.2空间向量基本定

理同步练习

一、单选题

1.如图，在四面体OABC中，04=“，OB=b，OC==c,点M在OA上，且

OM=2MA，点N为BC的中点，则MN=().

O

二＞

B

A.LLZ+'B.-LT1,1

232322

C1r1[2r2r)r1r

C.-a+-b——cD.—〃+--b——C

223332

在四棱锥尸-ABC。中，底面ABC。是平行四边形，己知尸4

2

aB

A.We

BC.l—a——1b,+1-c

222222

c.L+J+LCl1,ɜ

D.—a——b+-c

222222

3.空间四边形OABC中，OA=aOB=Ib，OC=c,且。M=2MA,BN=NC，则

MN=（）

二C2r2fIrCl2,I

A.J+LB.L+2cC.——a+-b+-cD.—a——b+-c

322222332232

π

4.已知空间向量满足Ial=IAI=1,1:Ia,8的夹角为。为空间直角坐标系

的原点，点A,B满足。4=2。+/?,OBw∖a-b.则ZiOAB的面积为（）

A.-43B.-y∕3C.-√3D.—

2444

5.在三棱锥。一ASC中，OA=α,08=b,OC=GAM=2M0,N为BC中点,则MN=

()

L二&C∙L+4」CD—」C

A.B.

232322222332

6.在三棱锥O-ABC中,AD=DB，CE=2EB,若。E=XOA+yOB+zOC,则

()

1B.—,z」

A.x=2^y=~—,z=-

63263

11」

C.X=——D.—,z

2263

7.如图，在三棱柱ABC-A/B/C/中，B。与B/C相交于点O,ZA∣AB=ZAlAC=60,

ZBAC=90，AlA=3,AB=AC=I,则线段40的长度为()

√29√23

A.B.√29rD.而

~2~2

8.已知｛4,6,c｝是空间的一个基底,则可以与向量p=a+b,夕=。一〃构成基底的向量

是()

A.B.bC∙a+2bD.a+2c

9.如图，在三棱锥0-43C中，点P,Q分别是Q4,BC的中点,点O为线段PQ上

-"点，且∕V)=2OQ,若记0A=〃，OB=h>OC=c，则OO=()

A.L+“cBjJ+L

633333

c∙U+LD∙U+'

363336

10.如图，在平行六面体ABCD-ABlG£>1中，AAt=a,AB=bfAO=c,点P在

AC上，且AP：PC=2：3,则"等于（）

11.已知空间任意一点。和不共线的三点A,B,C,若

.31

OD=mOA+nOB+pOC（m,n,p&R）,则“4,B,C,〈四点共面"是=—,??=—,

P=T'的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

12.如图，在三棱锥P-ABC中，点D,E,P分别是AB,PA,CO的中点，设

PA=a，PB=b,PC=c,则EF=（）

⅛

B

口11

A.B.L.——。1+―c

442442

Cll71ɪ1,1

C.—a+-b——cD.——c（【+―/?+—c

442442

13.如图所示，空间四边形的各边和对角线长均相等,E是8。的中点，那么

().

Λ

BbD

C

A.AEBC<AE∙CDB.AEBC=AECD

C.AEBC>AECDD.AE∙8C与AEeQ不能比较大小

14.已知空间向量b，C满足α+b+c=O,忖=1，W=2,H=√L贝必与〃的

夹角为（）

A.30oB.45oC.60oD.90°

15.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCo-ABCI。，其中，以顶点A为端点

的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60,下列说法中正确的是（）

A.AC1=6

B.AC11BD

C.向量BC与AA的夹角是60

D.BR与AC所成角的余弦值为亚

3

二、填空题

16.在正四面体P-ASC中，M是R4上的点，且EM=2M4,N是BC的中点，若

MN=xPA+yPB+zPC,则x+y+z的值为.

17.如图，平行六面体ABC。-A4G。中，AB=5,AD=3,AAI=7,

ITπ

ZBAD=-,ZBAAt=ZDAAt=-,则4C∣的长为.

18.化学中，将构成粒子（原子、离子或分子）在空间按一定规律呈周期性重复排列

构成的固体物质称为晶体.在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的

基本单位，这个基本单位叫做晶胞.已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞

（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，。原子位于棱的中点）.则图

中原子连线BF与瓦E所成角的余弦值为

三、解答题

19.如图，在长方体48CD-AB∣GR中，M是AC与8。的交点.若RA=2,

DG=2,D∖D=3,求耳M的长.

20.如图所示，已知空间四边形4BC。的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分

别是A8,AD,CQ的中点.

(1)求EF∙BA;

(2)求EG的长.

21.如图，已知ABCn-ABcR是四棱柱，底面ABCD是正方形，AA=3,AB=2,

且NGCB=NGC。=60',设CD=a,CB=b,CG=c.

(1)试用C表示Ac；

(2)已知。为对角线AC的中点，求Co的长.

22.如图所示，在平行六面体ABCo-ABC。中，设R=I∕⅛=Z,A3=1

M,MP分别是AA,BC,CQ的中点，试用表示以下各向量：

AB

⑴逅

（2）AiN；

⑶MP+NCt-

参考答案:

1.B

由向量的加法、减法及数乘运算法则计算即可.

【详解】

连接OM则

由题可得MN=ON-OM

=∣(OB+OC)-∣OΛ

21,I

=—aΛ■—OH■一c

322

故选：B.

2.A

利用空间向量加法法则直接求解.

【详解】

连接B。，如图，

答案第1页，共14页

11/131∙131

=一一PB+-PA-2PS+PCλ)=-PA一一PB+-PC=-a一一b+-c

22、7222222

故选：A.

3.A

结合图形以及空间向量的线性运算即可求出结果.

【详解】

ɔ1ɔiiɔ11

MN=Mo+ON=——OA+-(OB+OC}=——OA+-OB+-OC=——a+-h+-c,

32、,322322

故选：A.

4.B

UU

求出I。4|和I。8|,CoSNAo8和SinNAo8,根据三角形的面积公式可求出结果.

【详解】

IoAl=λ∕(24+1)?=j4∣4F+∣A∣2+4α∙1=^4+l+4×l×l×^=√7,

IOBI-∖∣(3a—b)2=∖∣9a2—6a∙b+b2=，9—6xlxlx∕+l=∙jl,

则cosNA。B=O^=细*3

∖OA∖∖OB∖

5√3

从而有SinZAOB=

答案第2页，共14页

.M0AB的面积S」IOAIIoBlSinZAO8=!x√7x√7X更=更

22144

故选：B.

5.B

连接。N,得ON=g(0B+0C),OM=^OA,所以碗=MO+ON=-OM+，(OB+OC

可得答案.

【详解】

连接QN,所以ON=；(08+0C)=#+c),

因为AM=2MO，所以OM=:OA=La,

33

所以MN=Mo+0N=-OM+*8+0C)=-ga+；6+；c.

故选：B.

6.C

利用向量的线性运算把OE用OAO丛。C表示出来即可得.

【详解】

由题意。是AB中点，.∙.OO=;(OA+08),

2212

又CE=2EB,则OE=OC+CE=OC+1C8=OC+](O3-OC)=IoC+§08,

答案第3页，共14页

.∙.DE=OE-OD=-OC+-OB--OA

3629

什ɪ11

⅛DE=xOA+yOB+zOC,则πfX=—,y=—,z=—.

263

故选：C.

7.A

用AB,AC,例表示出N,计算AA,开方得出AO的长度.

【详解】

因为四边形BCG耳是平行四边形，

.∙.BO=；BCl=∣(βC+BBl),

.∙.AO=AB+BO=AB+-BC+-AA=-AC+-AB+-AA.

22"1222"

ZAλAB=NAAC=60",ZfiAC=90",A1A=3,AB=AC=2,

2-2-2

/.AB=AC=4,AA1=9,ABAC=0,

AB'AA1=ΛC∙A41=3×2×cos60=3,

2

.∙.AO=1(AB+AC+AΛ1J",

222

=^AB+AC+Λ41+2AB∙AC+2AB∙Λ41+2AC∙A4lj

29

^T

而=啜

即AO=叵.

2

故选：A

8.D

由基底的定义求解即可

【详解】

因为〃，p=a+b,q=a-b,为共面向量，所以不能构成基底，故A错误;

答案第4页，共14页

因为6，p=a+h,q=a-b,为共面向量，所以不能构成基底，故B错误；

因为α+26,p=a+b,q=a-b,为共面向量，所以不能构成基底，故C错误；

因为α+2c,p=a+h,q=a-b,为不共面向量，所以能构成基底，故D正确；

故选：D

9.A

利用空间向量的基本定理求解.

【详解】

1ɔ1ɔ1ɔɔ

解：OD=OP+PD=-OA+-PQ=-OA+-(OQ-OP)=-OA+-OQ一一OP

2323233

=-OA+-×-(θB+OC]--×-OA=-OA+-OB+-OC=-a+-b+-c,

232、732633633

故选:A

10.B

2

根据题意得到Ap=WAc,结合空间向量的运算法则，准确运算，即可求解.

【详解】

一2一

因为Λ1P:PC=2:3,所以4∕=(4C,

根据空间向量的运算法则，可得AP=AA+A1P=AA+∣(AC-AAJ=∣AA+]AC

=-ΛΛ1+-(AB+BC)=∣A4l+-(Aβ+ΛD)=∣A4l+-ΛB+-AD,

ULUU1322

又因为AA=a，AB=b»AD=c»所以AP=Wa+不。.

故选：B.

11.A

根据空间向量的共面定量，结合充要条件的判定方法，即可求解.

【详解】

答案第5页，共14页

由题意，空间中四点A,B,C,D,⅛1OD=mOA+nOB+pOC^tn,n,peR)

若A,B,C,。四点共面，根据空间向量的共面定量，只需〃任〃+p=l,

31

又由机=一，n=-,P=T,可得机+"+p=l,

22

31

所以"==，"=：,P=-I”时，A,B,C,。四点共面，即必要性成立，

22

反之不一定成立，即充分性不成立，

31

所以“4,B,C,。四点共面”是"机==,〃=：,P=T”的必要不充分条件.

22

故选：A.

12.D

利用空间向量的线性运算、三角形的中位线及线段中点的向量表示进行化简求解.

【详解】

如图，连接OE,

因为点£>,E分别是AB,的中点，

所以ED=4.

2

因为点。是48的中点，

所以CO=g(C4+CB)

1/-1-1

=-(PA-PC+PB-PC]x=-a+-b-c.

2、,22

因为点尸是CO的中点，

所以DF=-LCQ=—Lq—J匕+，c,

2442

则M=EZ)+£>尸=-1"+,。+10.

442

故选：D.

答案第6页，共14页

由题设易得AE∙BC=O,且AE∙8=g(A8+AC)∙(4O-AC),应用向量数量积的运算律

化简，进而比较它们的大小关系.

【详解】

是BC的中点，AB=AC,

AELBC>BPAEBC=O-

不妨设空间四边形的各边和对角线长均为1,又48,AC,AO两两之间的夹角均为60。，

AECD=^(AB+ACy(AD-AC)=^AB-AD-AB-AC+ACAD-AC-AC)=-^<O.

^.AEBC>AECD.

故选：C

14.C

将α+6=-c,两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.

【详解】

设”与人的夹角为〃.由α+8+c=0,得a+b=-c,两边平方，得/+2“2+江=J

所以l+2xlx2COSe+4=7,解得CoSe=；,又6e[θ,π∖,所以。=60，

故选：C.

15.B

答案第7页，共14页

A选项，计算得ACl=6几，所以选项A不正确；

B选项，AC1-BD=O,所以AG，8D,所以选项8正确；

C选项，向量BC与AA的夹角是120,所以选项C不正确；

。选项，BR与AC所成角的余弦值为亚，所以选项。不正确.

6

【详解】

A选项，由题意可知ACI=Aβ+AZ>+∕U1,

则AC：=(A8+AO+AAI)2

-2-2-2-.

=AB+AD+A41-+2AB∙AD+2AB∙Λ41+2AΓ>∙A41

=62+62+62+2×6×6×cos60+2×6×6×cos60÷2×6×6×cos60=63,

ΛAC1=6∖∣6,所以选项A不正确；

B选项，BD=AD-AB,又ACl=AB+AD+AA1,

AC1∙BD=(AB+AD+AAy)(AD-AB)

=AB∙AD+ADAD+AAi∙AD-ABAB-AD∙AB-AAi∙AB

=6×6×cos60+62÷6×6×cos60—62—6×6×cos60-6×6×cos60=0

ΛAC11BD,所以选项B正确；

,

/DrAΛ∖(AO-AA)AA11

C选项，BlC=Bβ+BC=AD-AAy,CoS(BCAA)=产需闷=一万

•••向量线C与AA的夹角是120，所以选项C不正确；

Z)选项，BDi=BD+DDf=AAx+AD-AB,AC=AB+AD>

设BD1与AC所成角的平面角为θ,

.∙.cosθ=cos(SDl,A1/c])Il=I?"C

\∣βOl∣∙∣AC∣

答案第8页，共14页

(AAt+AD-AB)(AB+AD)√6所,、,四行；CTTm

=/~~I=—,所以选项D不正确.

226

√(A41+AD-AB)-y∣(AB+AD)

故选：B

关键点点睛：解答本题的关键是把几何的问题和向量联系起来，转化为向量的问题，提高

解题效率，优化解题.把线段长度的计算，转化为向量的模的计算；把垂直证明转化为向量

数量积为零；把异面直线所成的角转化为向量的夹角计算.

根据向量的线性运算再结合空间向量的基本定理即可得到答案.

【详解】

如图所示：

ɔ1ɔ11

MN=MP+PN=一一PA+-(PB+PC∖=一一PA+—PB+—PC.

32、,322

、211

由空间向量基本定理得：X=--,y=2fz=2,

j⅛x+γ÷z=-.

故答案为：—

本题主要考查空间向量的线性运算，同时考查空间向量的基本定理，属于简单题.

17.√98+56√2

答案第9页，共14页

根据AG=AB+3C+CG,两边平方，然后根据向量的数量积进行计算即可.

【详解】

平行六面体ABS-ABCQ中,

ππ

AB=5,AD=3,AAi=7rZBAD--,ZBAAi=ZDAAtɪ-

AC,=AB+BC+CCt,

则IACF=AC：=(AB+BC+CCJ

222

=IABI+1BCI+∣CCl∣+2∣AB∣∙∣BC∣cos→2∣BC∣∙∣CCl∣∙cos→2∣AB∣∙∣CC,∣cos^

=25+9+49+2x5x3x'+2x3x7x走+2x5x7x^=98+56√Σ.

222

.∙.∣ACl∣=∣ACl∣=√98+56√2.

故答案为：^98+560-

本题考查利用空间向量法求线段长，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算

能力，属中档题.

i8∙I

如图所示，以短为坐标原点，D4,oc,oA所在的直线分别为χ,y,z轴，建立直角坐标系,

设立方体的棱长为。，求出8S<BE4E>的值，即可得到答案；

【详解】

如图所示，以。为坐标原点，D4,OC,O〃所在的直线分别为x,)',z轴，建立直角坐标系,

设立方体的棱长为α,则B[a,a,0),F(0,,

BF=(-a,-^,a),B,E=(0,-j,0),

答案第10页，共14页

・•・连线BF与B1E所成角的余弦值为ɪ

故答案为：ɪ

19.√∏

以。为原点，RA，D£,DiD为X、），、Z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解.

【详解】

答案第Il页，共14页

以。为原点，RA,D£,DQ为x、AZ轴正方向建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),4(2,2,0),。(0,0,3),8(2,2,3),M(Ll,3),

所以4M=(-ι,-1,3),所以IBM=J(-I)*-)?+32=JrT

即8∣M的长为日.

20.(1)ɪ;(2)变.

42

设AB=α,AC=b.AD=C,

(1)将E厂和8A化为",Ac可求出结果；

⑵将诧化为彳。+/+；C可求出结果.

【详解】

设AB=。，AC=b,AD=C,贝!]∣α∣=Ibl=ICl=1,

<a,h>=<h,c>=<c,a>=60,ab=b-c=c∙a=∖×l×^=^9

EF=gBD=:AD-!AB=gc-ga,BA=-AB=-Ci

22222

(1)EFBA=—(c-a)∙(-a)=--a∙c+—6z2=-—×-+—=—,

乙乙乙乙乙乙I

UUUl

(2)EG=EB+BC+CG

=548+(AC-ABAD-AC)

1-1,八1511f1

=——AB+-AC+-AD=——a+—⅛+—c,

222222

r.∣EGF=(-'"+∙!∙6+Lc)2=-(a2+h2+c2-2a-b-2a-c+2h∙c)

2224

」(1+1+1