第1章 事件的概率教材

概率论与数理统计刘立林绪论概率与数理统计一个重要工具数据分析的工具，我们知道外语是工具，数学是工具，统计也是工具；统计不是数学，它从数学中间发展出来，现在跟计算机的联系非常紧密，所以大家不要这门课看作是可有可无的。概率论与统计的关系学统计，就要处理数据，拿什么来处理，基本的工具就是概率论。概率论是研究随机现象的一门科学，最早可追溯到17世纪，现在公认是1654年，一个叫Pascal和Fermat就赌博中的数学问题展开了讨论。什么是统计学？人生，是从不充分的证据开示，引出完美结论的一种艺术。----如果我们不在同一时期，把理解了的科学知识变为我们日常生活的一部分，科学家将不可能提高他们互相拥有的知识。与人类有关的事实，可以由数量来表示，并且经过大量的积累重复可以导出一般规律。统计的英文：Statistic，词根，State（国家），人，房子等有多少什么是知识？不确定的知识+所含不确定度量的知识=可用的知识统计学是一门科学、技术、逻辑，更是一门艺术统计学没有任何固定的对象，是一门独特的学问。依赖于解决其它领域内的问题而存在并兴旺发达的。I.J.Savage说：统计学基本是寄生的；靠研究其它领域内的工作而生存。这不是对统计学表示轻视，这是因为对大多数寄主来说，如果没有寄生虫就会死。对有的动物来说，不能消化它们的食物。因而，人类奋斗的很多领域，如果没有统计学，虽然不会死，但一定会变得弱。Statisticsisart.统计到底是科学还是艺术？它是一门科学，更是一门艺术，因为站在不同的立场上，从不同的观点，从不同的角度去看同一组数据，你会得到不同的结论。有些不懂统计的人就讲，世界上有三类谎言：一类是非常可爱的谎言，一类是一般的谎言，第三类就是统计学。因为站在不同的立场上，从不同的观点，从不同的角度去看同一组数据，你会得到不同的结论。科学、不科学、统计学统计在语源学中的定义在某种意义下是“数据”（State)----国家是由某种数据组成的。数据传达什么？如何利用数据？（根据特定目的）象今天有能力的公民能读会写一样，将来会有一天要求有能力的公民必须会计算，而且能够考虑利用平均值，最大值和最小值。可以预期，这样的时代已经不远了。----H.G.Wells现在，对很多人来说，考虑平均值已经不成问题了。但是平均值是否是万能的呢？统计学，一门关键的技术过去国家经济依赖于如何准备战争，今后最大的问题是和平的战争。战场是经济和社会福利；未来的成功依赖于如何在可利用的资源上，收集和处理所得的信息，从而能做出最佳的决策。这必须经过仔细策划并保证以下几点：处理过程是公平的，持续的；对生活圈没有不可修复的损害；没有道德的污染（或降低人类的价值）。要达到这样的革命，统计学是关键的技术。了解统计学的几个阶段：4R：Reading,wRiting,aRithmetic,statisticalReasoning(读、写、算、统计推断）我们必须知道如何计算风险；政策制定者在决定政策时需要寻求技术上的指导，更重要的是他们自己在了解和解释信息时需要掌握某些专业知识。原因天数原因天数未婚男性3500饮酒130惯用左手3285枪炮事故11未婚女性1600自然放射线830%超重1300医疗放射线620%超重900咖啡6吸烟（男）2250家有烟雾报警-10吸烟（女）800有空调汽车-5抽雪茄330活化冠状动脉-125抽烟丝（烟斗）220长期压抑4-8年危险工作事故300好友肥胖57%一般工作事故74每天3杯茶-46%身心作用对人体生理机能的影响DavidPhillips花了25年调查华裔妇女中秋节前后死亡率。节前一周低于通常的35.1%；节后一周高于通常34.6%。出生月前后以及其中的死亡率出生月前出生月出生月后总数比率65432112345样本12331202334162636374126343480.573样本26669677467709382847387729030.544样本3021022320132180.611样本1：《400个著名的美国人》中名人样本2：《whoiswho》1897-1942,1943-1950，1951-1960著名家庭中的家长样本3：英国皇家学会中去世的印度人会员。这两个例子都是说明，人的心理作用对人体生理有很大影响。两天服一片阿司匹林会减少第二次发作的机会。每天摄取500毫升的维生素C，生命可以延长6年。学生们在听了10分钟莫扎特钢琴曲后的推理会比他们听10分钟娱乐磁带或其他曲目做得更好。平均而言，老二没有老大聪明，老三没有老二聪明，。。。。。树叶左旋的椰子树的产量比树叶右旋的高10%（印度Davis）。相对于受右脑控制的人的创造能力，受左脑控制的人更具有逻辑推理能力。（诺贝尔奖获得者R.Sperry)《统计与真理》，印度统计学家。2002年得到美国总统奖。大家可以感受一下周边，处处有统计，处处有数据。希望大家能够用心来学统计。§1.1随机事件及其运算§1.2概率的定义及其确定方法§1.3概率的性质§1.4条件概率§1.5独立性

第一章随机事件与概率2.

随机现象1.1.1随机现象：自然界中的有两类现象1.

确定性现象

每天早晨太阳从东方升起;

水在标准大气压下加温到100oC沸腾;

掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？

一天内进入某超市的顾客数;

某种型号电视机的寿命;§1.1

随机事件及其运算1.1.1随机现象随机现象：在一定的条件下，并不总出现相同结果的现象称为随机现象.特点：1.结果不止一个;2.事先不知道哪一个会出现.随机现象的统计规律性：随机现象的各种结果会表现出一定的规律性，这种规律性称之为

统计规律性.1.

随机试验

(E)——

对随机现象进行的实验与观察.

它具有两个特点：随机性、重复性.2.

样本点

——随机试验的每一个可能结果.3.

样本空间(Ω)

——

随机试验的所有样本点构成的集合.

4.

两类样本空间：

离散样本空间

样本点的个数为有限个或可列个.

连续样本空间

样本点的个数为无限不可列个.1.1.2样本空间1.

随机事件

——

某些样本点组成的集合,Ω的子集，常用A、B、C…表示.

3.

必然事件

(Ω)4.

不可能事件

(φ)——

空集.

5.

随机变量

表示随机现象结果的变量.

常用大写字母X、Y、Z…表示.2.

基本事件

——Ω的单点集.1.1.3随机事件表示随机现象结果的变量.常用大写字母X、Y、Z…表示.1.1.4随机变量在试验中，A中某个样本点出现了，就说A

出现了、发生了，记为A.维恩图

(Venn).事件的三种表示用语言、用集合、用随机变量.事件的表示包含关系：

A

B,

A

发生必然导致

B

发生.相等关系:

A

=

B

A

B

而且

B

A.

互不相容：

A

和B不可能同时发生.1.1.5

事件间的关系解：1)显然，B发生必然导致A发生，所以B

A;.

2)又因为A发生必然导致B发生，所以A

B，由此得A=B.例1.1.1

口袋中有a个白球、b个黑球，从中一个一个不返回地取球。A=“取到最后一个是白球”，

B=“取到最后一段是白球”。问A

与B

的关系？并：

A

B

A

与

B

至少有一发生

交：

A

B=AB

A

与

B

同时发生

差：

A

B

A发生但

B不发生

对立：

A

不发生1.1.6

事件的运算事件运算的图示

A

B

A

B

A

B

德莫根公式

记号

概率论

集合论

Ω

样本空间,必然事件空间

φ

不可能事件空集

样本点

元素

A

B

A发生必然导致B发生A是B的子集

AB=φ

A与B互不相容A与B无相同元素

A

B

A与B至少有一发生A与B的并集

AB

A与B同时发生

A与B的交集

A

B

A发生且B不发生A与B的差集

A不发生、对立事件A的余集

基本事件互不相容，基本事件之并=Ω

注意点(1)注意点(2)

若A1，A2，……，An

有

1.Ai互不相容；

2.A1

A2

……

An=Ω

则称A1，A2，……，An

为Ω的一组分割.样本空间的分割1.若A是B的子事件，则

A

B=()，AB=()2.设

A与B同时出现时

C也出现，则(

)

①

A

B是

C的子事件；

②

C是

A

B的子事件；

③

AB是

C的子事件；

④

C是

AB的子事件.课堂练习③BA3.

设事件A=“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则A的对立事件为（）①甲种产品滞销，乙种产品畅销；②甲、乙两种产品均畅销；③甲种产品滞销；④甲种产品滞销或者乙种产品畅销.4.设x

表示一个沿数轴做随机运动的质点位置，试说明下列各对事件间的关系①A={|x

a|＜σ}，B={x

a＜σ}②A={x＞20}，B={x≤22}③A={x＞22}，B={x＜19}④A

B相容不相容5.试用A、B、C表示下列事件：①A出现；②仅A出现；③恰有一个出现；④至少有一个出现；⑤至多有一个出现；⑥都不出现；⑦不都出现；⑧至少有两个出现；

设Ω为样本空间，F

是由Ω的子集组成的集合类，若F满足以下三点,则称F为事件域1.1.7

事件域1.Ω

F;2.

若A

F

，则

F;3.若An

F

，n=1,2,…,

则

F.直观定义

——

事件A出现的可能性大小.统计定义

——

事件A在大量重复试验下出现的频率的稳定值称为该事件的概率.古典定义；几何定义.§1.2

概率的定义及其确定方法非负性公理：

P(A)0;正则性公理：

P(Ω)=1;可列可加性公理：若A1,A2,……,An

……

互不相容，则1.2.1

概率的公理化定义从n

个元素中任取r

个，求取法数.排列讲次序，组合不讲次序.全排列：Pn=n!0!=1.重复排列：nr选排列：1.2.2

排列与组合公式组合组合：重复组合：

求排列、组合时，要掌握和注意：加法原则、乘法原则.注意加法原理

完成某件事情有n类途径，在第一类途径中有m1种方法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第n

类途径中有mn种方法，则完成这件事共有m1+m2+…+mn种不同的方法.乘法原理

完成某件事情需先后分成n

个步骤，做第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，依次类推，第n

步有mn种方法，则完成这件事共有m1×m2×…×mn种不同的方法.随机试验可大量重复进行.1.2.3

确定概率的频率方法进行n次重复试验，记n(A)为事件A的频数，称为事件A的频率.频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值).用频率的稳定值作为该事件的概率.

古典概型若一个随机试验(Ω,F,P)具有以下两个特征：

(1)有限性。样本空间的元素(基本事件)只有为有限个，即Ω={ω1，ω2，…，ωn}；

(2)等可能性。每个基本事件发生的可能性是相等的，即P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。

则称这类随机试验的数学模型为古典概型。则事件A的概率为:P(A)=A中样本点的个数/样本点总数1.2.4

确定概率的古典方法抛一枚硬币三次

抛三枚硬币一次Ω1={(正正正),(反正正),(正反正),(正正反),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)}

此样本空间中的样本点等可能.Ω2={(三正),(二正一反),(二反一正),(三反)}

此样本空间中的样本点不等可能.注意例1.2.1

六根草，头两两相接、尾两两相接。求成环的概率.解：用乘法原则直接计算所求概率为n个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率.解：考虑甲先坐好，则乙有n-1个位置可坐，而“甲乙相邻”只有两种情况，所以P(A)=2/(n-1)。例1.2.2n个人坐成一排，求甲、乙两人相邻而坐的概率.(注意：请与上一题作比较)解：1)先考虑样本空间的样本点数：甲先坐、乙后坐，则共有n(n

1)种可能.2)甲在两端，则乙与甲相邻共有2种可能.3)甲在中间(n

2)个位置上，则乙左右都可坐，所以共有2(n

2)种可能。由此得所求概率为：例1.2.31.2.5

确定概率的几何方法几何概型若①可度量性。样本空间充满某个区域，其度量(长度、面积、体积)为S

；

②等可能性。落在中的任一子区域A的概率，只与子区域的度量SA有关，而与子区域的位置无关则事件A的概率为:P(A)=SA

/S

几何概型的例子

例1.2.3

蒲丰投针问题平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l的针，求针与平行线相交的概率.蒲丰投针问题(续1)解：以x表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以

表示针与此直线间的交角.

易知样本空间

满足：0

x

d/2;0

.

形成x-

平面上的一个矩形，其面积为：S

=d(

/2).

蒲丰投针问题(续2)

A=“针与平行线相交”的充要条件是:

x

l

sin(

/2).

针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方法求解得由蒲丰投针问题知：长为l的针与平行线相交的概率为:2l/d.而实际去做N次试验，得n次针与平行线相交，则频率为:n/N.用频率代替概率得：

2lN/(dn).历史上有一些实验数据.

的随机模拟蒲丰投针问题的推广平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为a,b,c(均小于d)的三角形，求三角形与平行线相交的概率．分析：三角形与平行线相交有以下三种情况：

1)

一个顶点在平行线上;

2)

一条边与平行线重合;

3)

两条边与平行线相交.前两种情况出现的概率为零.所以只要去确定两条边与平行线相交的概率.解：记Pab,Pac,Pbc,Pa,Pb,Pc分别为边ab,ac,bc,

a,b,c与平行线相交的概率，则所求概率为

p=P(三角形与平行线相交)=Pab+Pac+Pbc.

由蒲丰投针问题知Pa=2a/(d

),Pb=2b/(d

),Pc=2c/(d).

因为Pa=Pab+Pac,Pb=Pab+Pbc,Pc=Pac+Pbc

所以Pa+

Pb+

Pc=2(Pab+Pac+Pbc),

由此得

p=Pab+Pac+Pbc=(Pa+

Pb+

Pc)/2

=(a+b+c)/(d

).

性质1.3.1

P(φ)=0.

注意:

逆不一定成立.§1.3

概率的性质性质1.3.2(有限可加性)

若AB=φ，则P(A

B)=P(A)+P(B).

可推广到n个互不相容事件.性质1.3.3(对立事件公式)

P()=1

P(A).1.3.1

概率的可加性性质1.3.4

若A

B，则P(A

B)=P(A)

P(B)；若A

B，则P(A)

P(B).性质1.3.5

P(A

B)=P(A)

P(AB).1.3.2

概率的单调性(6)P(A

B)=P(A)+P(B)

P(AB)

P(A

B

C)=P(A)+P(B)+P(C)

P(AB)

P(AC)

P(BC)+P(ABC)1.3.3

概率的加法公式

AB=φ，P(A)=0.6，P(A

B)=0.8，求B

的对立事件的概率。解：由P(A

B)=P(A)+P(B)

P(AB)=P(A)+P(B)例1.3.1

得P(B)=P(A

B)

P(A)=0.8

0.6=0.2，

所以P()=1

0.2=0.8.例1.3.2解：因为P(A

B)=P(A)

P(AB)，所以先求P(AB)

由加法公式得P(AB)=P(A)+P(B)

P(A

B)=0.4+0.3

0.6=0.1

所以P(A

B)=P(A)

P(AB)=0.3P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A

B)=0.6，求

P(A

B).

例1.3.3解：因为A、B、C

都不出现的概率为=1

P(A)

P(B)

P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)

P(ABC)=1

1/4

1/4

1/4+0+1/6+1/6

0=15/12=7/12P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,求A、B、C

都不出现的概率.口袋中有n

1个黑球、1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球.求第k次取到黑球的概率.利用对立事件解：记A为“第k次取到黑球”，则A的对立事件为“第k次取到白球”.而“第k次取到白球”意味着：“第1次……第k

1次取到黑球，而第k次取到白球”思考题

口袋中有2个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球.

求第k次取到黑球的概率.例1.3.4解：用对立事件进行计算,记A=“至少出现一次6点”，则所求概率为

一颗骰子掷4次，求至少出现一次6点的概率.例1.3.5解：记B=“至少出现一次双6点”，则所求概率为

两颗骰子掷24次，求至少出现一次双6点的概率.从1,2,……,9中返回取n次，求取出的n个数的乘积能被10整除的概率.利用对立事件和加法公式解：因为“乘积能被10整除”意味着：

“取到过5”(记为A)且“取到过偶数”(记为B)。因此所求概率为P(AB).利用对立事件公式、德莫根公式和加法公式甲掷硬币n+1次，乙掷n次.(习题1.3第10题)求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.

利用对称性解：记甲正=甲掷出的正面数，乙正=乙掷出的正面数.

甲反=甲掷出的反面数，乙反=乙掷出的反面数.因为

P(甲正>乙正)=P(n+1-甲反>n-乙反)=P(甲反-1<乙反)=P(甲反

乙反)=1

P(甲正>乙正)(对称性)所以2P(甲正>乙正)=1,由此得P(甲正>乙正)=1/2N个产品，其中M个不合格品、N

M个合格品.(口袋中有M个白球，N

M个黑球)常见模型(1)

——

不返回抽样从中不返回任取n个,则此n个中有m个不合格品的概率为：此模型又称超几何模型.

n

N,mM,

n

m

N

M.口袋中有5

个白球、7个黑球、4个红球.从中不返回任取3

个.求取出的3

个球为不同颜色的球的概率.思考题购买：从01，……，35中选7个号码.开奖：7个基本号码，1个特殊号码.

彩票问题——幸运35选7中奖规则

1)7个基本号码

2)6个基本号码+1个特殊号码

3)6个基本号码

4)5个基本号码+1个特殊号码

5)5个基本号码

6)4个基本号码+1个特殊号码

7)4个基本号码，或3个基本号码+1个特殊号码

中奖概率

中所含样本点个数：将35个号分成三类：

7个基本号码、1个特殊号码、27个无用号码记pi

为中i等奖的概率。利用抽样模型得：

中奖概率如下：不中奖的概率为：

p0=1

p1

p2

p3

p4

p5

p6

p7

N个产品，其中M个不合格品、N

M个合格品.

从中有返回地任取n个.则此n个中有m个不合格品的概率为：常见模型(2)——返回抽样条件：

m

n,即

m=0,1,2,……,n.n个不同球放入N个不同的盒子中.每个盒子中所放球数不限.求恰有n个盒子中各有一球的概率(n

N)

常见模型(3)

——

盒子模型求n个人中至少有两人生日相同的概率.看成n个球放入N=365个盒子中.P(至少两人生日相同)=1

P(生日全不相同)用盒子模型得：pn=P(至少两人生日相同)=生日问题p20=0.4058,p30=0.6963,p50=0.9651,p60=0.9922

n个人、n顶帽子，任意取，至少一个人拿对自己帽子的概率.记Ai

=“第i

个人拿对自己的帽子”，i=1,…,n.求P(A1

A2

……

An)，不可用对立事件公式.用加法公式：常见模型(4)——

配对模型P(Ai)=1/n,P(AiAj)=1/n(n

1),P(AiAjAk)=1/n(n

1)(n

2),……P(A1A2……An)=1/n!P(A1

A2

……

An)=

配对模型(续)因为概率是事件(集合)的函数，所以先讨论事件(集合)的“极限”

.本节给出可列可加性的充要条件.1.3.4

概率的连续性若事件序列{Fn}满足：F1

F2

…

Fn

…

则称{Fn}为单调不减事件序列，其极限事件为事件序列的极限若事件序列{Fn}满足：F1

F2

…

Fn

…

则称{Fn}为单调不增事件序列，其极限事件为

设P(·)是一个集合函数，

(1)

若任对单调不减集合序列{Fn}，有

则称P(·)是下连续的.集合函数的连续性

(2)若任对单调不增集合序列{Fn}，有

则称P(·)是上连续的.

性质1.3.7

若P(·)是事件域F上的一个概率函数，

则P(·)既是下连续的，又是上连续的.概率的连续性性质1.3.8若P(·)是事件域F上满足：非负、正则的集合函数，则P(·)有可列可加性的充要条件是它具有有限可加性和下连续性.可列可加性的充要条件问题的提出：

1)10个人摸彩，有3张中彩.

问：第1个人中彩的概率为多少？第2个人中彩的概率为多少？

2)10个人摸彩，有3张中彩.

问：已知第l个人没摸中，第2个人中彩的概率为多少？§1.4

条件概率

定义1.4.1

对于事件A、B，若P(B)>0，则称P(A|B)=P(AB)/P(B)

为在B

出现的条件下，A

出现的条件概率.1.4.1

条件概率的定义

1)

缩减样本空间：将

缩减为

B=B.

2)

用定义：

P(A|B)=P(AB)/P(B).条件概率P(A|B)的计算10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二个又取到次品的概率.

P(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/15)/(3/10)=2/9解：设A={第一个取到次品}，

B={第二个取到次品}，例1.4.1条件概率P(A|B)满足概率的三条公理.由此得：

P(A

B|C)=P(A|C)+P(B|C)

P(AB|C)；

若A与B互不相容，则P(A

B|C)=P(A|C)+P(B|C)；

P(|B)=1

P(A|B).条件概率是概率P(

|B)=1;P(B|

)

1;P(A|

)=P(A);P(A|A)=1.注意点(1)

设P(B)＞0，且A

B，则下列必然成立的是()①P(A)<P(A|B)②P(A)≤P(A|B)③P(A)>P(A|B)④P(A)≥P(A|B)(2)

P(A)=0.6,P(A

B)=0.84,P(

B|A)=0.4,

则P(B)=().课堂练习乘法公式;全概率公式；贝叶斯公式.条件概率的三大公式性质1.4.2

(1)若

P(B)>0，则P(AB)=P(B)P(A|B)；若P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B|A).(2)若

P(A1A2······An1)>0，则

P(A1A2······An)=P(A1)P(A2|A1)······P(An|A1A2······An1)1.4.2

乘法公式乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率.一批零件共有100个，其中10个不合格品。从中一个一个不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率.解：记Ai=“第i次取出的是不合格品”

Bi=“第i次取出的是合格品”,目的求P(B1B2A3)

用乘法公式

P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1)P(A3|B1B2)=乘法公式的应用性质1.4.3

若事件B1,B2,

······,Bn是样本空间的一组分割，且P(Bi)>0，则1.4.3

全概率公式全概率公式用于求复杂事件的概率.使用全概率公式关键在于寻找另一组事件来“分割”样本空间.全概率公式最简单的形式：注意点(1)若事件B1,B2,

······,Bn是互不相容的，且

P(Bi)>0，注意点(2)

则由可得

设10件产品中有3件不合格品，从中不放回地取两次，每次一件，求取出的第二件为不合格品的概率。解：设A=“第一次取得不合格品”，

B=“第二次取得不合格品”.由全概率公式得：=(3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9)

=3/10例1.4.2n张彩票中有一张中奖，从中不返回地摸取，记Ai为“第i次摸到中奖券”，则

(1)P(A1)=1/n.

(2)可用全概率公式计算得P(A2)=1/n.

(3)可用归纳法计算得

P(Ai)=1/n,i=1,2,……,n.摸彩模型n张彩票中有k张中奖，从中不返回地摸取，记Ai

为“第i次摸到奖券”，则

P(Ai)=k/n,i=1,2,……,n结论：不论先后，中彩机会是一样的.摸彩模型(续)

口袋中有a只白球、b只黑球。在下列情况下，求第k次取出的是白球的概率：

(1)从中一只一只返回取球；

(2)从中一只一只不返回取球；

(3)从中一只一只返回取球，且返回的同时再加入一只同色球.思考题

罐中有b

个黑球、r

个红球，每次从中任取一个，取出后将球放回，再加入c

个同色球和d

个异色球.(1)当c=

1,d=0时，为不返回抽样.(2)当c=0,d=0时，为返回抽样.(3)当c>0,d=0时，为传染病模型.(4)当c=

0,d>0时，为安全模型.波利亚罐子模型

记

pk(b,r)为“口袋中有b个黑球、r个红球时，第k

次取出黑球”的概率，k=1,2,……(1)当c=

1,d=0时为不返回抽样，所以由摸彩模型得：pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,……(2)当c=0,d=0时为返回抽样，所以

pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,……(3)当c>0,d=0时，为传染病模型。此时pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,……波利亚罐子模型(续)甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、

m只黑球.从甲口袋任取一球放入乙口袋，然后从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白球的概率.概率为：全概率公式的例题甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、m只黑球.从甲口袋任取两球放入乙口袋，然后从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白球的概率.以上是甲、乙两口袋的球数不同，如果两口袋装的黑、白球个数都相同，则情况又如何？思考题要调查“敏感性”问题中某种比例p；两个问题：A：生日是否在7月1日前？

B：是否考试作弊？抛硬币回答A或B.答题纸上只有：“是”、“否”.可用全概率公式分析“敏感性”问题.敏感性问题的调查乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率；全概率公式是求“最后结果”的概率；贝叶斯公式是已知“最后结果”，求“原因”的概率.1.4.4

贝叶斯公式

某人从甲地到乙地，乘飞机、火车、汽车迟到的概率分别为0.1、0.2、0.3，他等可能地选择这三种交通工具。若已知他最后迟到了，求他分别是乘飞机、火车、汽车的概率.（1/6，2/6，3/6）已知“结果”

，求“原因”若事件B1,B2,

······,Bn是样本空间的一组分割，且P(A)>0,P(Bi)>0，则贝叶斯（Bayes）公式

1)B1,B2,...,Bn可以看作是导致A发生的原因;

2)

P(Bj|A)是在事件A发生的条件下,

某个原因Bj

发生的概率,

称为“后验概率”;

3)Bayes公式又称为“后验概率公式”或“逆概公式”;4)称P(Bj)为“先验概率”.注意点例1.4.3某商品由三个厂家供应，其供应量为：甲厂家是乙厂家的2倍；乙、丙两厂相等。各厂产品的次品率为2%,2%,4%.若从市场上随机抽取一件此种商品，发现是次品，求它是甲厂生产的概率?

解：用1、2、3分别记甲、乙、丙厂，设

Ai

=“取到第i

个工厂的产品”，B=“取到次品”，由题意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25；

P(B|A1)=P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04.=0.4由Bayes公式得:

口袋中有一只球，不知它是黑的还是白的。现再往口袋中放入一只白球，然后从口袋中任意取出一只，发现是白球。试问口袋中原来的那只球是白球的可能性多大？课堂练习2/3

事件的独立性

直观说法：对于两事件，若其中任何一个事件的发生不影响另一个事件的发生，

则这两事件是独立的.

P(A|B)=P(A)

P(AB)/P(B)=P(A)

P(AB)

=P(A)P(B)§1.5

独立性定义1.5.1

若事件A

与B

满足：P(AB)=P(A)P(B),

则称A与B相互独立，简称A与B独立.结论

A、B为两个事件，若P(A)>0,则

A与B

独立等价于

P(B|A)=P(B).性质1.5.1

若事件A与B独立，则

A与独立、与B独立、与独立.1.5.1

两个事件的独立性

实际应用中，往往根据经验来判断两个事件的独立性：例如

返回抽样、甲乙两人分别工作、重复试验等.事件独立性的判断1.5.2

多个事件的相互独立性对于A、B、C三个事件，称满足：

P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=