九年级上册数学北师版全册教案

第一章特殊平行四边形

1.1菱形的性质与判定

第1课时菱形的定义和性质

【教学目标】四边形叫做菱形。

经历探究菱形的定义和性质及其证明的过程，二、师生互动，探究新知

掌握应用菱形的性质解决问题的方法.探究一：探究菱形的性质

【教学重点】教师活动：从下面操作中，你能发现什么？

重点：理解并掌握菱形的定义和性质.学生活动：

难点：菱形的性质在实际问题中的应用.1.折叠

【教学过程】上下对折，左右对折，你有什么发现？

一、创设情境，导入新课

教师活动：

将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的

虚线剪下，再打开，你发现这是一个什么样的图

形？

2.旋转

结合学生探索、讨论、交流的情况，必要时教

师对知识作适当梳理，板书菱形的性质.

菱形的性质小结：

学生活动：菱形是中心对称图形，对角线的交点是对称中

活动1:学生在教师的引导下，将一张长方形心.

纸片连续对折两次，然后沿着上图中的虚线剪下、菱形的对边相等，对角相等，对角线互相平分.

打开，讨论：这是一个什么样的图形？

活动2：展示现实生活中的菱形图片，与活动菱形的四条边相等.

1中剪下的图形相比，讨论:它们的形状是否相同？菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都

是它的对称轴.

菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平

分一组对角.

探究二：证明菱形的性质

教师活动：

这个证明可以让学生们分组讨论，畅所欲言，

小组内互相交流，并由学生代表展示本组的成

整理出自己组的思路，选出代表发言.

果.

学生活动：

教师归纳：剪下的四边形两组对边相等，对角

己知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对

线互相平分，显然这是一个平行四边形，而且是特

角线AC与BD相交于点0.

殊的平行四边形——邻边相等.

/*行四边

菱形定义：Z________/一组邻边相等

由此引出菱形的定义：有一组邻边相等的平行

的长分别为.

5.己知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB

上一点，DF交AC于点E,连接BE.

求证：（1）AB=BC=CD=AD：（2）AC，BD.

证明：（1）：四边形ABCD是菱形，

，AB=CD,AD=BC（菱形的对边相等）.求证：ZAFD-ZCBE.

又：AB=AD,答案：1.3cm；2.60°；3.5cm；4.8cm,6cm

；.AB=BC=CD=AD.5.证明：•••四边形ABCD是菱形，

（2）：AB=AD,/.CB=CD,CA平分NBCD,

...△ABD是等腰三角形.AZBCE=ZDCE.

又•••四边形ABCD是菱形，又；CE=CE,

.•.OB=OD（菱形的对角线互相平分）..•.△BCE且△DCE（SAS）,

在等腰三角形ABD中，；.NCBE=NCDE.

VOB=OD,•.•在菱形ABCD中，AB〃CD,

.-.AO±BD,，NAFD=NFDC,

即AC1BD..\ZAFD=ZCBE.

三、运用新知，解决问题四、课堂小结，提炼观点

1.已知菱形的周长是12cm,那么它的边长是这节课你学会了什么？

五、布置作业，巩固提升

2.在菱形ABCD中，ZBAD=60°,则/ABD教材第4页习题1.1.

【板书设计】

3.菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm,则第1课时菱形的定义和性质

菱形的边长是.菱形的定义

4.在菱形ABCD中，。是两条对角线的交点，菱形的性质

已知AB=5cm,AO=4cm,则两对角线AC,BD

第2课时菱形的判定

【教学目标】菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫

1.理解菱形的定义，掌握菱形的两个判定方法；做菱形.

会用这些判定方法进行有关的论证和计算.菱形的性质：对角线互相垂直平分；四条边都

2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培相等；每条对角线平分一组对角：菱形是中心对称

养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.图形，也是轴对称图形.

【教学重点】什么样的四边形是平行四边形？它有哪些判

重点：探索证明菱形的两个判定方法，掌握证定方法？

明的基本要求、方法及思路.教师提示：判定方法应该从三个方面分析：

难点：明确推理证明的条件和结论能否用数学①边：两组对边分别平行的四边形是平行四边

语言正确表达.形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一

【教学过程】组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②角：

一、创设情境，导入新课两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③对角

学生活动：线：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

二、师生互动，探究新知CD即可.

探究一：探索由菱形的定义判定菱形（一）

学生活动：复习菱形的定义.

教师活动：明确菱形的定义既是菱形的性质，

又可作为菱形的第一种判定方法.即有一组邻边相

等的平行四边形是菱形.

学生活动：

思考：除了运用菱形的定义，类比研究平行四

（1）观察画图的过程，你能说明得到的四边形为

边形的性质和判定，你能找出判定菱形的其他方法

什么是菱形吗？学生思考后，展开讨论寻找原因.

吗？

原因：该四边形四条边相等，即有两组对边相

探究二：探索菱形的判定方法（二）

等.

学生活动：

它首先是一个平行四边形，又有一组邻边相等.

探究：用一长一短两根细木条，在它们的中点

根据菱形定义即可判定.

处固定一个小钉，做成一个可动的十字框架，四周

（2）你能得出什么结论？

围上一根橡皮筋，做成一个四边形.

学生得出从一般的四边形直接判定菱形的方

法：四条边相等的四边形是菱形.

猜想2四边相等的四边形是菱形.

己知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=

CD=DA.

求证：四边形ABCD是菱形.

猜想：当木条互相垂直时，平行四边形的一组

邻边相等，此时四边形为菱形.

学生演示证明。

猜想1如果一个平行四边形的两条对角线互相

垂直，那么这个平行四边形是菱形.证明：VAB=CD,BC=AD,

四边形是平行四边形（两组对边分别

已知：在久ABCD中，对角线AC,BD互相ABCD

相等的四边形是平行四边形）.

垂直.

又：

求证：四边形ABCD是菱形.AB=BC,

二四边形是菱形（有一组邻边相等的平

证明：•・•四边形ABCD是平行四边形，ABCD

行四边形是菱形）.

.•.OA=OC（平行四边形的对角线互相平分）.

菱形的判定定理四边相等的四边形是菱形

又；AC_LBD,2

三、运用新知，解决问题

ABD所在直线是线段AC的垂直平分线，

1.如图，；ABCD的两条对角线AC,BD相交

；.AB=BC,

于点O,AB=小，AO=2,0B=l.

二四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平

行四边形是菱形）.

菱形的判定定理1对角线互相垂直的平行四

边形是菱形.

探究三：探索菱形的判定方法（三）

（1）AC,BD有怎样的位置关系？

教师活动：

（2）四边形ABCD是菱形吗？为什么？

问题：我们如何画一个菱形？通常先画两条等

［师生共析］从图中知道：AC与BD相交，从已

长的线段AB,AD,然后分别以点B,D为圆心，

知条件：AB=小,0A=2,0B=l,结合图形知

AB的长为半径画弧，得到两弧交点C,连接BC,

道：这三条线段正好构成三角形.又因为AB2=OA2通过本节课，你学习到了哪些知识？对你有什

+0B2,所以可以知道AAOB是直角三角形，因此么帮助？

可以得出AC与BD互相垂直.（老师可以从以下几个方面进行提示：①整节课

因为四边形ABCD是平行四边形，它的对角线的感悟；②探索总结的规律；③某个知识点的困惑；

互相垂直，所以可知平行四边形ABCD是菱形.④你的新发现；⑤学到的教学思想方法）

问题引入：请大家将课前准备的菱形拿出，以通过探究本节课，你得到了哪些结论？有什么

小组为单位用自己手中的工具：直尺、三角板或圆认识？菱形有几种判别方法？

规迅速检查一下你们小组成员所做的四边形是不五、布置作业，巩固提升

是菱形.你是怎样检查的？你为什么要这样做？用教材第7页习题1.2.

你的检查方法判断你们小组有几个人做得不标【板书设计】

准？你还记得怎样判断一个平行四边形是菱形第2课时菱形的判定和面积

吗？那么满足什么条件的四边形是菱形？你能证菱形的判定定理1

明吗？菱形的判定定理2

四、课堂小结，提炼观点【教学反思】

菱形的判定可以从以下两条线梳理：在教学中，我着重采用了“回顾—引导一类比

1.在已知图形是四边形的基础上，可以利用四—探索”的教学方法，配合小组合作，教学中鼓励

边相等或对角线互相垂直平分来判定菱形.学生大胆探索新颖独特的证明思路和证明方法；提

2.在已知图形是平行四边形的基础上，可以从倡证明方法的多样性，并引导学生在与他人的交流

边或对角线上加强条件得到菱形.中比较证明方法的异同，有利于提高学生的逻辑思

具体可用下图来表示：维水平.另外，小组合作学习极大地调动了学生学习

的积极性、主动性，满足了学生的表现欲，使课堂

气氛活跃.

1.2矩

第1课时

【教学目标】一、创设情境，导入新课

1.了解矩形的定义和矩形与平行四边形之间的1.让学生思考：拿一个活动的平行四边形教具，

联系，找出矩形的性质；发现直角三角形斜边上的轻轻拉动一个点，观察，不管怎么拉，它还是一个

中线等于斜边的一半.平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）

2.让学生在自主探究中学到方法，学会合作，

学会倾听.在解决问题的过程中体验成功.

【教学重点】

重点：掌握矩形的性质及“直角三角形斜边上

的中线等于斜边的一半”.

2.引出定义：再次演示平行四边形的移动过程,

难点：矩形的性质的灵活应用.

当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什

【教学过程】

么图形（小学学过的长方形），引出本课题及矩形定求证：（1）/DAB=NABC=NBCD=NCDA

义.=90。；

矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做⑵AC=BD.

矩形（长方形）.证明：（1）...四边形ABCD是矩形，

矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、；./ABC=NCDA,NDAB=NBCD（矩形的

教科书的封面等都是矩形形状.对角相等），

二、师生，探究新知AB〃CD（矩形的对边平行）.

探究一：探索矩形的性质定理.,.ZABC+ZBCD=180o.

1.动手实验，发现问题：又一/ABC=90。，

在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋.,-ZBCD=90°.

分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一.,.ZDAB=ZABC=ZBCD=ZCDA=90°.

对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.（2）•.•四边形ABCD是矩形，

（1）随着Na的变化，两条对角线的长度分别是；.AB=DC（矩形的对边相等）.

怎样变化的？在aABC和4DCB中，

（2）当Na是直角时，平行四边形变成矩形，此；AB=DC,ZABC=ZBCD,BC=CB,

时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线.,.△ABC^ADCB.

的长度有什么关系？.\AC=DB.

4.矩形的性质小结：

（1）边：两组对边分别平行且相等；

（2）角：四个角都是直角；

（3）对角线：相等且互相平分.

操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质.

教师让学生自己总结，互相查缺补漏.

2.明确定理：

探究二：探索直角三角形的性质定理

1.想一想：

矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称

轴？

答案：矩形是轴对称图形，它有2条对称轴.

矩形的性质定理1矩形的四个角都是直角.2.议一议：

矩形的性质定理2矩形的对角线相等.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相

推理格式：•.•四边形ABCD是矩形，交于点。，那么BO是RtAABC中一条怎样的特

/DAB=NABC=NBCD=/CDA=殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到

90°,怎样的结论？

AC=BD.

3.定理证明：

已知：如图，四边形ABCD是矩形，ZABC

=90°,对角线AC与BD相交于点O.

教师分析：由矩形性质2可得AO=BO=C。

=DO=3AC=3BD.

因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三

角形斜边上的中线等于斜边的一半.

3.明确定理:交点，由矩形的性质2得OA=OC,OB=OD,AC

=BD,从而得到AO=BO=CO=DO=3AC=3BD.

(3)利用中位线:

直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的

中线等于斜边的一半.

推理格式：在4ABC中，

VZABC=90°,AO=CO,取AB的中点E,连接OE,由中位线定理得

OE〃BC,所以OELAB,从而OE垂直平分AB,

.-.BO=|AC.

所以OA=OB,从而得证.

4.定理证明：5.直角三角形的性质小结：

已知：如图，在AABC中，ZABC=90°,(1)直角三角形的两个锐角互余；

AO=CO,(2)勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方

和等于斜边的平方；

(3)直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜

边的一半；

(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

探究三：矩形、直角三角形性质定理的应用

6.例题讲解：

教师分析：这个证明有难度，可以让学生们分

例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相

组讨论，畅所欲言，整理出自己组的思路，选出代

交于点O,ZAOD=120°,AB=2.5,求这个矩

表发言.

形对角线的长.

学生分组讨论，最后由教师总结.

下面介绍三种常见方法的解题思路：

(1)造全等：

解：：四边形ABCD是矩形，

；.AC=BD(矩形的对角线相等).

延长B0至点D,使OD=OB,连接AD.

OA=OC=1AC,OB=OD=gBD(矩形的对角

先证△BOC丝△DOA(SAS),得到BC=AD,

/C=NCAD,得AD〃BC,所以/BAD=/ABC线互相平分).

从而可得所以

=90°,△DABg^CBA(SAS),AC•••OA=OD.

=BD,BO=AO=BAC,得证.VZAOD=120°,

AZODA=ZOAD=1(180°-120°)=

(2)造矩形：

30°.

又；NDAB=90°(矩形的四个角都是直角)，

，BD=2AB=2X2.5=5.

教师在板演过程的同时，要注重培养学生严谨

补全矩形ABCD,点O为对角线AC和BD的

的几何思维和规范的几何证明格式.种证明线段相等的辅助线引法.开拓思路，培养严谨

三、运用新知，解决问题的思维模式.

教材第13页随堂练习.五、布置作业，巩固提升

教材第13页习题14

【板书设计】

第1课时矩形的定义和性质

一、矩形的性质定理：

性质定理1

性质定理2

如图，在aABC中，BC=18,若BDLAC于

二、直角三角形的性质定理

点D,CEJ_AB于点E,F,G分别为BC,DE的

例1

中点，若ED=10,则FG的长为()

随堂练习

A.2V14B.9

【教学反思】

C.10D.无法确定

本节课主要是探索矩形的性质，应用矩形的性

答案：A

质定理解决相关问题.利用这节课来培养学生自主

四、课堂小结，提炼观点

学习、合作学习、主动获取知识的能力，转变学生

学生们畅所欲言，说出自己对这节课学习的感

的学习方式，使学生经历实践、推理、交流等数学

受和收获，老师最后点评和补充.

活动过程，亲身体脸数学思想方法及数学观念，促

1.引导学生归纳总结矩形的定义、性质定理，

进学生发展.教学中，通过有效措施让学生在对解决

并会灵活应用.

问题过程的反思中，获得解决问题的经验，进行富

2.引导学生归纳总结直角三角形的性质定理.

有个性的学习.

3.通过“直角三角形斜边上的中线等于斜边的

一半”定理证明的不同方法，让学生掌握常用的儿

第2课时矩形的判定

【教学目标】组对边平行且相等的四边形是平行四边形：

1.逐步掌握说理的基本方法；掌握矩形的判定(2)角：两组对角分别相等的四边形是平行四边

方法，能根据判定方法进行初步运用.形；

2.在探索判定方法的过程中发展学生的合情推(3)对角线：对角线互相平分的四边形是平行四

理意识、主动探究的习惯.边形.

3.在画矩形的过程中，培养学生动手实践能力，2.矩形有哪些性质？

积累数学活动经验.教师提示：矩形的性质也应该从三个方面分

【教学重点】析：

重点：探索矩形的判定方法.(1)边：两组对边分别平行且相等；

难点：合理应用矩形的判定定理解决问题.(2)角：四个角都是直角；

【教学过程】(3)对角线：相等且互相平分.

一、创设情境，导入新课二、师生互动，探究新知

教师提问：探究一：探索矩形的判定定理1

1.什么样的四边形是平行四边形？它有哪些判1.动手实验，发现问题：

定方法？如图是上节课的平行四边形活动框架，拉动一

教师提示：判定方法应该从三个方面分析：对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化.

(1)边：两组对边分别平行的四边形是平行四边

形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一

3.矩形判定方法小结：

(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；

(2)对角线相等的平行四边形是矩形；

(3)有三个角是直角的四边形是矩形.

(1)随着Na的变化，两条对角线的长度将发生

探究三：矩形的判定定理的应用

怎样的变化？

议一议：你有什么办法检查你家(或教室)刚安

(2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有

装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，

什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？

你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并与同伴

操作，思考、交流、归纳后得到矩形的判定定

交流.

理.

学生可以分组讨论，教师再在学生发言后小

2.明确定理1：

结，先利用“两组对边分别相等的四边形是平行四

矩形的判定定理对角线相等的平形四边形

1边形”证明是平行四边形，再由“对角线相等的平

是矩形.

行四边形是矩形”得证.

3.定理1的证明：

在这个环节，教师应鼓励学生探究方式、结果、

已知：如图，在；ABCD中，AC,BD是它的

表示方法的多样化以及学生学习方式的个性化，满

两条对角线，AC=BD.

足学生的多样化学习需求，做到既着眼于共同发

展，又关注到个性差异.

三、运用新知，解决问题

判断正误：

求证：ABCD是矩形.(1)两条对角线相等的四边形是矩形；()

证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，(2)两条对角线相等且互相平分的四边形是矩

；.AB=CD,AB〃CD.形；()

XVBC=CB,AC=DB,(3)有一个角是直角的四边形是矩形；()

.".△ABC^ADCB.(4)在矩形内部没有和四个顶点距离相等的点；

AZABC=ZDCB.()

；AB〃CD,(5)两组对边分别相等且对角线相等的四边形

.\ZABC+ZDCB=180o.是矩形；()

(6)三个角都相等的四边形是矩形；()

AZABC=ZDCB=1x180°=90°.

(7)四个角都相等的四边形是矩形：()

.ABCD是矩形(矩形的定义).答案：(1)X；⑵J；⑶义；⑷X；(5)7；⑹X；

探究二：探索矩形的判定定理2⑺J.

1.想一想：四、课堂小结，提炼观点

我们知道，矩形的四个角都是直角，反过来，学生们畅所欲言，说出自己对这节课学习的感

一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就受和收获，老师最后点评和补充.

是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流.1.引导学生归纳总结矩形的判定定理1和2.

这个环节交给学生们，难度不大，可以自己回2.引导学生区分并会灵活应用矩形的三种判定

答正确，老师再总结，先由四边形内角和推出是平方法.

行四边形，再由矩形的定义即可得证.五、布置作业，巩固提升

2.明确定理2：教材第16页习题1.5.

矩形的判定定理2有三个角是直角的四边形【板书设计】

是矩形.第2课时矩形的判定

一、矩形的判定定理1有着非常大的作用.在学生自主探索学习的过程中，

二、矩形的判定定理2遇到自己无法解决的疑难问题时，我在巡视过程中

【教学反思】做适当的评价和提示，以弥补学生学习能力的不足

通过本节课的教学，我深刻体会到课堂教学活之处，从而达到化解“难点”的目的.

动中教师与学生的和谐配合对提高课堂教学效率

1.3正方形的性质与判定

【教学目标】

1.理解正方形的概念和对称性，探索并证明正

方形的性质和判定定理.

2.通过探索和证明定理的过程，掌握一些基本

的数学思想，如转化、类比、分类等思想.

二、师生互动，探究新知

3.在证明定理的活动中，积累一些分析问题、

探究一：探索正方形的性质定理

解决问题的方法，拓展思维能力.

与小组伙伴一起探究下面问题：

【教学重点】

1.正方形的边、角、对角线有什么特征？请说

重点：探索并证明正方形的性质定理和判定定

明理由.

理.

2.正方形是轴对称图形吗？如果是，有几条对

难点：学会并积累一些分析问题的思路和解题

称轴？

的方法.

3.平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什

【教学过程】

么样的关系？能用一个直观图进行表示吗？

一、创设情境，导入新课

教师活动：通过完成我们课前的预习作业，每

问题1：填写下表

个人都有自己初步的想法，现在组内交流，解决问

1.矩形、菱形的性质

题.

边角对角线对称性列嵬相等

...»...4...1.....i.....................学生交流讨论，请小组代表回答.

矩形教师总结：

正方形性质定理1正方形的四个角都是直

菱形

角，四条边相等.

2.矩形、菱形的判定正方形性质定理2正方形的对角线相等且互

相垂直平分.

探究二：探索正方形的判定定理

是矩形

与小组伙伴一起探究下面问题：

1.如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下

一个角，打开，怎样才能剪出一个正方形？

是菱形

问题2：以任意四边形四条边的中点为顶点组

成的新的四边形是什么图形？三角形中位线有什

2.满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条

么性质？

件的菱形是正方形？说明理由.

问题3：下图都是特殊的平行四边形，它们有

3.以平行四边形、菱形、矩形、正方形的四边

什么共同特征？

中点为顶点组成的四边形是什么四边形？为什

么？

教师：组内继续交流，然后选出代表为大家呈方法一：对角线互相平分的四边形是平行四边

献你们组精彩的讲解.形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线垂直

学生交流讨论，请小组代表回答.的平行四边形是菱形，所以是矩形又是菱形的四边

教师总结：正方形的判定定理：形是正方形，可判定其为真命题.

对角线相等的菱形是正方形；方法二：

对角线垂直的矩形是正方形；

对角线平分一平行四边形］菱、

有一个角是直角的菱形是正方形.对角线垂直jf形

三、运用新知，解决问题>

判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理平行四边形］矩

对角线相等jf形」

由.

(1)四条边相等且四个角也相等的四边形是正

一正方形

方形；

方法三：由对角线互相垂直平分可知是菱形，

(2)四个角相等且对角线互相垂直的四边形是

由对角线平分且相等可知是矩形，而既是菱形又是

正方形；

矩形的四边形就是正方形.

(3)对角线互相垂直平分的四边形是正方形；