2023-2024学年湖南省长沙雅礼中学高二年级上册数学期末质量检测模拟试题含解析

2023-2024学年湖南省长沙雅礼中学高二上数学期末质量检测模拟试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知抛物线。：丁2=2。*(。＞0)过点4(2,2),点3为平面直角坐标系平面内一点，若线段A5的垂直平分线过抛

物线C的焦点则点3与原点。间的距离的最小值为()

A.72B.2

C.—D.3

2

2.已知函数/(x)=x(2020+lnx),若/'(%)=2022,则升等于()

A./B.1

C.ln2D.e

2uuiruum

3.已知点P是双曲线匕=1上的动点，过原点。的直线/与双曲线分别相交于V、N两点，则PM+PN的最

4

小值为()

A.4B.3

C.2D.1

4.已知/(x)=tanx,则广(%)=()

A.B.z-

sinxcosx

11

C.-------D.-------3

sinxcosx

5.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗・羊主曰：“我羊食

半马.”马主曰：“我马食半牛•”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾

苗的主人要求赔偿5斗栗•羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半•”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半

•”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗a升，6升，c升，1斗为10升，则下

列判断正确的是()

A.a,b,c依次成公比为2的等比数列，且。=笆

7

B.a,b,c依次成公比为2的等比数列，且。=

c依次成公比为工的等比数列，

C.a.b,且。=

2

C依次成公比为3的等比数列，

D.a,b,且。=

2

6.如图，过抛物线丁=2"(0>0)的焦点P的直线/交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若忸。|=2忸同，

且卜刊=6,则。的值为()

A.2B.3

C.4D.5

7.2021年5月H日我国公布了第七次全国人口普查结果.自新中国成立以来，我国共进行了七次全国人口普查，如图

为我国历次全国人口普查人口性别构成及总人口性别比(以女性为100,男性对女性的比例)统计图，则下列说法错

误的是()

万人

-120

-116

□

男

-112□女

-10S-性别比

-104

-100

1953年1964^19游199(te200te

A.第五次全国人口普查时，我国总人口数已经突破12亿

B.第一次全国人口普查时，我国总人口性别比最高

C.我国历次全国人口普查总人口数呈递增趋势

D.我国历次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势

8.在平面直角坐标系xOy中，过x轴上的点尸分别向圆G：(%-+(V+4产=7和圆：(%-2)2+(y-5『=9引

切线，记切线长分别为4,a.则4+d2的最小值为o

A.272B.3a

C.40D.56

9.从全体三位正整数中任取一数，则此数以2为底的对数也是正整数的概率为（）

11

A.——B.-----

225300

1

C.---D.以上全不对

450

（万）右焦点尸作轴的垂线，与在第一象限的交点为且直线的斜

10.过双曲线O：4-^=1«>0,>0x0M,AM

ab~

率大于2,其中A为◎的左顶点，则。的离心率的取值范围为（）

A.（l,3）B.（3,+oo）

C.（l,2百）D.（2A/31+s）

11.2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识（如图1）.其中“100”

的两个“0”设计为两个半径为尺的相交大圆，分别内含一个半径为r的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切（如

图2）.已知R=3r,则由其中一个圆心向另一个小圆引的切线长与两大圆的公共弦长之比为（）

12.函数,=6口+%05(-%2+%)的导数为()

A.y'=e~lx+x[^2sin-%)+(2%-1)cos(%2-%)J

B.y'=-/x+i[2cos(%2-x)+(2x-l)sin(x2

Cy'=-e-2x+i12sin(x?—x)+(2x—1)cos—x)]

D.;/=[2cos(x?-x)+(2x-1)sin(r-x)]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，在正四棱锥P—A6CD中，耳为棱尸3的中点，。为棱尸。的中点，则棱锥P—A6CD与棱锥A-30，

的体积之比为

14.某校组织了一场演讲比赛，五位评委对某位参赛选手的评分分别为9,x,8,y,9.已知这组数据的平均数为8.6,

方差为0.24,则|x-y|=

15.已知等差数列｛4｝的前“项和为S”公差为d,且满足％〉°，%+。4<0,则多的取值范围是，-

d

的取值范围是_____________

16.若复数z满足3z+5=l+i,贝|同=

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17.（12分）A,3两人下棋，每局均无和棋且A获胜的概率为耳，某一天这两个人要进行一场五局三胜的比赛，胜者

赢得2700元奖金，

（1）分别求A以3:0获胜、以3：1获胜的概率；

（2）若前两局双方战成1:1,后因为其他要事而终止比赛，间，怎么分奖金才公平？

18.（12分）已知抛物线/=4x的焦点为八直线/过点知（4,0）

（1）若点歹到直线/的距离为出，求直线/的斜率；

（2）设A,8为抛物线上两点，且A3不与x轴垂直，若线段A3的垂直平分线恰过点求证：线段中点的横

坐标为定值

19.（12分）在等差数列｛。“｝中.a｝+a3=10,a4—a2=4

（1）求｛4｝的通项公式：

（2）记｛4｝的前〃项和为工，求满足S”<120的”的最大值

20.（12分）某企业为响应“安全生产”号召，将全部生产设备按设备安全系数分为A,3两个等级，其中3等设备安

全系数低于A等设备.企业定时对生产设备进行检修，并将部分B等设备更新成A等设备.据统计，2020年底该企业A

等设备量已占全体设备总量的30%.从2021年开始，企业决定加大更新力度，预计今后每年将16%的5等设备更新成

A等设备，与此同时，4%的A等设备由于设备老化将降级成3等设备.

（1）在这种更新制度下，在将来的某一年该企业的A等设备占全体设备的比例能否超过80%?请说明理由；

（2）至少在哪一年底，该企业的A等设备占全体设备的比例超过60%.（参考数据：[g]=0,512,[g]=0,4096,

0.32768)

21.（12分）已知N*）的展开式中前三项的二项式系数之和为46,

（1）求〃；

（2）求展开式中系数最大的项

y1

22.（10分）已知椭圆G:二+1(〃>b>0）的焦距为4,点（2,四）在G上.

aF

（1）求椭圆G的方程；

（2）过椭圆G右焦点的直线/与椭圆G交于M,N两点，O为坐标原点，若Sa。.=3：1,求直线/的方程.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】将点A的坐标代入抛物线。的方程，求出。的值，可求得抛物线。的方程，求出E的坐标，分析可知点3的

轨迹是以点/为圆心，半径为之的圆，利用圆的几何性质可求得点5与原点。间的距离的最小值.

2

【详解】将点A的坐标代入抛物线。的方程得2Px2=22,可得p=l,

故抛物线C的方程为y2=2x,易知点/I；,。],

由中垂线的性质可得忸刊=14司=2+-|=|,

则点B的轨迹是以点R为圆心，半径为3的圆，

2

故点3的轨迹方程为[x-g]+/=^,如下图所示:

由图可知，当点B、。、R三点共线且。在线段5尸上时，|。回取最小值，

且3L=»H。川=?「2.

故选：B.

2、D

【解析】求导，由/'(%)=2022得出/.

f

【详解】/(x)=2020+lnx+l=2021+lnx,f(x0)=2021+In=2022,x0=e

故选：D

3、C

【解析】根据双曲线的对称性可得。为MN的中点，即可得到尸M+PN=2尸O,再根据双曲线的性质计算可得；

2uum

【详解】解：根据双曲线的对称性可知。为MV的中点，所以PM+PN=2PO,又尸在f-匕=1上，所以PO>1,

4

uuiruumuim

当且仅当尸在双曲线的顶点时取等号，所以PM+PN=2PON2

故选：C

4、B

【解析】根据基本初等函数的导数公式及求导法则求导函数即可.

•2•21

,、斗小Y"，/、/、，/Sin%、,cosx+sinxI

【详解】/'(x)=(tanx)'=(------)'=-------------------=——.

cosxcosXcosX

故选：B.

5、D

【解析】由条件知〃，b,c依次成公比为工的等比数列，三者之和为50升，根据等比数列的前"项和，即

2

c+2c+4c=50=＞。=笆.故答案为D.

7

6、B

【解析】分别过点A、3作准线的垂线，垂足分别为点E、D,设忸同=a,根据抛物线的定义以及直角三角形的性

质可求得N3CD=30，结合已知条件求得。=2,分析出歹为AC的中点，进而可得出p==g|AE|,即可得

解.

【详解】如图，分别过点A、3作准线的垂线，垂足分别为点E、D,

设忸同=否则由己知得忸。=2«,由抛物线的定义得忸。|=匹故N3CD=30，

在直角三角形ACE中，|A司=6,|AC|=6+3a,

因为2|AE|=|AC[,贝！]6+3a=12,从而得a=2,

所以,|。司=忸。|+忸同=3a=6=|AE|,则R为AC的中点,从而〃=归3=g|AE|=3.

故选：B.

7、D

【解析】根据统计图判断各选项的对错.

【详解】由统计图第五次全国人口普查时，男性和女性人口数都超过6亿，故总人口数超过12亿，A对，

由统计图，第一次全国人口普查时，我国总人口性别比为107.56,超过余下几次普查的人口的性别比，B对,

由统计图可知，我国历次全国人口普查总人口数呈递增趋势，C对，

由统计图可知，第二次，第三次，第四次，第五次时总人口性别比呈递增趋势，D错，

D错，

故选：D.

8,D

【解析】利用两点间的距离公式，将切线长的和转化为到两圆心的距离和，利用三点共线距离最小即可求解.

22

详解】C1：(x-l)+(y+4)=7,圆心(1,T),半径彳=J7

22

C2:(x-2)+(y-5)=9,圆心(2,5),半径1=3

设点P(xo,O),

2222

则4+4=^(%0-1)+(0+4)-7+^(XO-2)+(O-5)-9

=J(x°—丁+9+加。—2『+16=J(x0—丁+(0+3)2+J(x0—2)2+(0—4」’

即(七,0)到(L—3)与(2,4)两点距离之和的最小值，

当伉,0)、(1,-3),(2,4)三点共线时,4+4的和最小，

即&+d2的和最小值为J(l—2)2+(—3-4)2=回=5&.

故选:D

【点睛】本题考查了两点间的距离公式，需熟记公式，属于基础题.

9、B

【解析】利用古典概型的概率求法求解.

【详解】从全体三位正整数中任取一数共有900种取法，

以2为底的对数也是正整数的三位数有27,28,29,共3个,

31

所以以此数以2为底的对数也是正整数的概率为p=前=丽,

故选：B

10、B

匕0

【解析】求点A和M的坐标，进而表示斜率，可得；一、2,整理得『＞2四+2,，从而可解得离心率的范围.

c+a

V2b2

【详解】F(c,0)，设〃(。，加，(%>0)代入与=1可解得%=幺A(—a,0)，

aa

由于嬴>2,即〃°〉2，整理得〃>2ac+2，,

c+a

又4="—a9c—a'>2ac-\-2a,

BPc2_2ac_3a2>0,e2_2e_3>0,e<—1（舍）或e>3.

答案：B

【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,4c的方程或不等式，再根据a/,c

的关系消掉b得到a，c的关系式，而建立关于a,仇c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐

标的范围等.

11,C

【解析】作出图形，进而根据勾股定理并结合圆与圆的位置关系即可求得答案.

【详解】如示意图，

由题意，|。。2|=氏+r=4乙则|0陷|=小002『T02MF=，

又|O0|=生产=2r,|O]E|=3r,所以|所|=2、01E2—|]=2后,

所以也1=陋=".

\EF\2y/5r2

故选：C.

12、B

【解析】由导数运算法则可求出.

2x+12

【详解】y=e-cos(-x+x)f

：.yf=2x+l)cos(-％2+无)+H2x+l[cos(-％2+x)]

2x+i

二一26小+1cos(-d+%)-e~sin(一Y+%).(一2%+1)

2x+1

=-e~^2cos(一一+x)+sin(一/+X)]

=-e~2x+l^2cos(x?—%)+(2x-1)sin—%)].

故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、4:1

【解析】根据图形可求出匕「4比，匕「48,匕一期4，%一咫5与棱锥P-A6CD的体积之比，即可求出结果

【详解】如图所示：

棱锥A-片可看成正四棱锥P-ABCD减去四个小棱锥的体积得到，

设正四棱锥尸-ABCD的体积为V,⑸为尸5的中点，。为尸。的中点，

所以%ABC=；V，%iC。=7V'而Vc-Pg=~NC-PBD~~yP-BCD~dV，

4444o

同理匕一州

o

故棱锥A—BC的体积的为—=

即棱锥P—ABCD与棱锥A-耳C，的体积之比为4:1

故答案为：4:1.

14、1

【解析】根据平均数和方差的计算公式，求得乂丁，则问题得解.

【详解】由题可知：8.6=g(9+8+9+x+y),整理得：x+y=17；

0.24」J(9-8.6『+(x-8.6『+(8-8.6)2+(y-8.6『+(9-8.6月=0.24,

5—-

整理得：(x-8.6)2+(y-8.6)2=0.52,联立方程组得炉—i7x+72=0，

解得x=8或x=9,对应y=9或y=8,故|x-y|=l.

故答案为：1.

15、①2]

【解析】通过名〉0,%+%<0判断出%<0/<0,进而将4,。4化为基本量求得答案；然后用基本量将今化简,

32

进而通过色的范围求得答案.

【详解】色>°，〃3+〃4<°，*,*%<°，^<。

4+2d>0

q+2d+。］+3d<0

4(4-1)/

4<2.幺+1<-3,

S22a,+d

——<

5

故答案为

2

16、叵

4

【解析】设2=。+初，则彳=。-初，利用复数相等，求出。，b的值，结合复数的模长公式进行计算即可

【详解】设2=。+初，贝”二。一)，，

则由3z+彳=1+%得3(〃+bi)+ci—bi=1+i,

即4a+2bi=l+i,

则⑶=叱不卮关7s

故答案为包

【点睛】本题主要考查复数模长的计算，利用待定系数法，结合复数相等求出复数是解决本题的关键

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

QQ

17、(1)A以3:0获胜、以3:1获胜的概率分别是丁，丁；

2727

(2)分给A,3分别2000元，700元.

【解析】(1)A以3:0获胜、以3:1获胜，则分别要连胜三局，前三局胜两局输一局，第四局胜利；(2)求出若两局

1:1之后正常结束比赛时，A3的胜率，按照胜率分奖金.

【小问1详解】

设A以3:0获胜、以3:1获胜的事件分别为C。，依题意要想3:0获胜，必须从第一局开始连胜3局，

p(C)=^吟;要想3:1获胜，则前3局只能胜2局，且第4局胜利，故概率P(£>)=C；x1|]x|x|=^;

【小问2详解】

设前两局双方战成1:1后A胜，8胜的事件分别为瓦尸.若A胜，则可能连胜3,4局，或者3,4局只胜1场，第5局胜，

222122f)91

故概率仓与-?-丁；由于两人比赛没有和局，A获胜的概率为彳，则8获胜的概率为一，若B

333332733

胜，则可能连胜3,4局，或者3,4局只胜1场，第5局胜，故概率。(歹)=1？,C；仓P-?-工.故奖金应分给

3333327

207

A:2700?—2000%,分给B:2700X——=700元.

2727

18、(1)土注(2)证明见详解.

2

【解析】(1)设出直线方程，根据点到直线的距离公式，即可求得直线；

(2)设出直线方程，联立抛物线方程，根据韦达定理，利用直线垂直，从而得到的斜率关系，即可证明.

【详解】(1)由条件知直线/的斜率存在，设为乐，

则直线/的方程为：y=%(x—4),

gpk0x-y-4k0=0

从而焦点F(l,0)到直线I的距离为d=0,

平方化简得：k；=L：.k小土叵

202

故直线斜率为：土注.

2

(2)证明：设直线A3的方程为y=Ax+b(左/0),

联立抛物线方程y2=4x,消元得：k2x2+(2kb-4)x+b2^0

设A（%，K），85，%），

线段A3的中点为

2-kb2

故无0=］（玉+X2）=

k2

因为：.kPM-kAB=-\

将M点坐标代入后整理得:

2

3—I—xk=-l

2-®_4

k2一

即可得：2—kb=2k2

-kh7k2

故为定值.即证.

【点睛】本题考查抛物线中的定值问题，涉及直线方程的求解，韦达定理，属综合基础题.

19、(1)an=2n+1

(2)10

【解析】（1）根据等差数列的概念及通项公式可得基本量，进而可得解.

（2）利用等差数列求和公式计算S〃，解不等式即可.

【小问1详解】

设等差数列｛4｝的公差为d,

2al+2d=10%=3

所以《J/，解得

2d=4d=2

所以数列｛4｝的通项公式为为=3+2（"-1）=2"+1；

【小问2详解】

,/、/口n(n-l)d

由(1)得S〃=q〃+」-------="+2〃，neN*

d

所以〃2+2〃K120,zzGN*

解得0v〃<10,

所以〃的最大值为10・

20、（1）A等设备量不可能超过生产设备总量的80%,理由见解析;

（2）在2025年底实现A等设备量超过生产设备总量的60%.

【解析】⑴根据题意表示出2020年开始，经过〃年后A等设备量占总设备量的百分比为4,求出乙，根据乙的范

围进行判断；

3

⑵令4>二即可求解.

【小问1详解】

记该企业全部生产设备总量为“1”，

2020年开始，经过〃年后A等设备量占总设备量的百分比为4,

则经过1年即2021年底该企业A等设备量—X—+—X—

110100101005

44

4+1=（1_4%）%+石，

,44/42c

可得。”+1_彳=彳|一彳J,--=--^0

JJ\J1JJ

f4124

所以数列J4-j1是以一§为首项，公比为二的等比数列，

可得可-（4

4

显然有an<-,所以A等设备量不可能超过生产设备总量的80%.

5

【小问2详解】

n

4_j_4£得已4r<2,

由4I5

5-2555