2023年全国高考数学模拟试卷(附答案)

2023年全国高考数学模拟试卷

一、单选题

1.设全集U={l2345678}集合S={135)T={36}则Cu(SUT)等于

)

A.0B.{2478}

C.{1356}D.{2468)

2.在四边形ABCD中AC=AB+AD则四边形ABCD一定是()

A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形

3.已知复数z=(2+i)(a+2i3)在复平面对应的点在第四象限则实数a的取值范围是

()

A.(-oo,-l)B.(4,+oo)C.(-1,4)D.[-1,4]

4.在直三棱柱ABC-A'B'C中侧棱长为2底面是边长为2的正三角形则异面直线与

BC所成角的余弦值为()

AB.cD正

-IT-1

5.一个袋子中有5个大小相同的球其中有3个黑球与2个红球如果从中任取两个球则恰好取

到两个同色球的概率是()

A-IB-TOC.D-1

6.已知/(x)=V3sin2020x+cos2020x的最大值为A若存在实数x2使得对任意的实

数总有成立则的最小值为()

X/(Xi)</(x)</(x2)A\X1-X2\

AR7rC-^―

八・20201010J505口D.-40-4-0

7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数其最小正周期为3且xe(-|0)时f(x)=log2(-3x+l)

则f(2011)=()

A.4B.2C.-2D.Iog27

1-Xf0<x<1

8.已知函数/(久)=若f(a)=f(b)且aHb则b/(a)+a/(b)的最大值为

Inx,x>1

)

A.0B.(3—ln2)-ln2

C.1D.e

二、多选题

9.下列命题中正确的命题的是()

A.已知随机变量服从二项分布B(n,p)若E(x)=30D(x)=20则p=最；

B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后方差恒不变；

C.设随机变量f服从正态分布N(0,1)若P(f>l)=p贝IJP(—l<fSO)=；

D.某人在10次射击中击中目标的次数为XX〜B(10,0.8)则当x=8时概率最大.

10.已知抛物线C：/=4y的焦点为F准线为［P是抛物线C上第一象限的点\PF\=5直线PF

与抛物线C的另一个交点为Q则下列选项正确的是()

A.点P的坐标为(44)

B-1^1=|

C.S&OPQ=学

D.过点M(xo，-1)作抛物线C的两条切线M4MB其中4B为切点则直线的方程为：

xox—2y+2—0

11.已知函数/(x)=exg(x)=ln^+1的图象与直线y=m分别交于A、B两点则

()

A.\AB\的最小值为2+ln2

B.3m使得曲线/(x)在4处的切线平行于曲线g(x)在B处的切线

C.函数/(%)-g(%)+m至少存在一个零点

D.3m使得曲线/(x)在点A处的切线也是曲线g(x)的切线

12.已知正n边形的边长为a内切圆的半径为r外接圆的半径为R则()

A.当几=4时R=>/2aB.当几=6时r=^-a

cR=aTtDR+r="7T

-20sin赤52tan岩

三、填空题

13.某学校有教师300人男学生1500人女学生1200人现用分层抽样的方法从所有师生

中抽取一个容量为150人的样本进行某项调查则应抽取的女学生人数为.

14.在(2x2-去)6的展开式中含X，的项的系数是.

15.函数/(x)=|2x-1|-21nx的最小值为.

16.定义max®。｝=｛7箕;已知函数f(x)=瓶明&尸,基一各贝I/(%)最小值为

不等式/(X)<2的解集为.

四、解答题

17.记Sn为数列｛an｝的前n项和.已知斯>06Sn=磷+3即一4.

⑴求｛an｝的通项公式；

(2)设既=*@±1求数列｛%｝的前n项和7\.

na«an+l

18.已知数列｛册｝的前71项和为％%=2n(an+1-2an)=4an-an+1.

(1)证明：｛罂｝为等比数列；

(2)求S".

19.记△ABC的内角ABC的对边分别为abc,已知sinCsin(A—B)=sinBsin(C—A).

(1)若A=2B求C；

(2)证明：2a2=b2+c2.

20.受突如其来的新冠疫情的影响全国各地学校都推迟2020年的春季开学某学校“停课不停学”

利用云课平台提供免费线上课程该学校为了解学生对线上课程的满意程度随机抽取了100名学

生对该线上课程评分、其频率分布直方图如图.

(1)求图中a的值；

(2)求评分的中位数；

(3)以频率当作概率若采用分层抽样的方法从样本评分在［60,70)和［90,100］内的学生中

共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果再从中选取2人进行跟踪分析求这2人中至少

一人评分在［60,70)内的概率.

21.已知椭圆与双曲线:—y2=i有相同的焦点坐标且点(店,多在椭圆上.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设A、3分别是椭圆的左、右顶点动点M满足MBJ.4B垂足为B连接AM交椭圆于

点P(异于A)则是否存在定点T使得以线段MP为直径的圆恒过直线与的交点。若

存在求出点7的坐标；若不存在请说明理由.

22.已知函数/(x)=ex(x-2),g(x)=x—Inx.

(1)求函数y=f(x)+g(%)的最小值；

(2)设函数/i(x)=f(x)-ag{x)(aH0)讨论函数h(x)的零点个数.

答案解析部分

L【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】B,C,D

10.【答案】A,B,D

11.【答案】A,B,D

12.【答案】B,D

13.【答案】60

14.【答案】240

15.【答案】1

16.【答案畤；（—1,当

17.【答案】（1）解：当71=1时6sl=底+3%-4所以臼=4或一1（不合舍去）.

因为6szi=成+3aH-4①所以当"》2时6szi+3%1T-4②

由①一②得6an=碌+3an--3an_i

所以（fin+%1-1）（。九—an-l_3）=0.

又斯＞0所以%-an-i=3.

因此｛gJ是首项为4公差为3的等差数列.

故an=4+3(n—1)=3n+1.

(3n+l)7乙+(3葭+4)'7__,33

(2)解:由（1）得b=o

n(3n+l)(3n+4)-Z+3n+l.3n+4

所以7'n=2+|-|+2+|-^+-+2+3^rT-37TH

3333339n

2n+(4-7+7-i0+,+3??+1-3^+4)=^+4(371+4)

18.【答案】（1）证明：•・・九（。九+i-2an）=4@九一Qn+i

・・・nan+1-2nan=4an-an+1BP(n+l)an+1=2-an(n+2)

••n+2一/.几+1

故｛署｝为等比数列.

(2)解：由(1)知罂=lx2“T=斯=(n+1)•2n-1

2n-1

Sn=2x2°+3x2+4x2-+(n+1)-2

2S„=2x21+3x22+4x23-+(n+1)■2n

f=2+2+22+…+2n-1-(n+1)-2n

=­n•2n

n

:.Sn=n-2

19.【答案】(1)解：VsinCsin(?l-B)=sinBsin(C-4)

且4=2B

Z.sinCsinB=sinBsin(C—A)

VsinB>0

/.sinC=sin(C-4)

/.C=C-A(舍)或C+(C-A)=n

即：2cA=兀

又・・・A+B+C=JCA=2B

,5TT

・,J~8

(2)证明：由sinCsin(A—B)=sinBsin(C—A)可得

sinC(sin4cosB-cos/lsinB)=sinB(sinCcos?l—cosCsinA)再由正弦定理可得

accosB—bccosA=bccosA—abcosC然后根据余弦定理可知

%(Q2+c2—ft2)—i(h2+c2-a2)=+c2—a2)—1(a2+62-c2)化简得:

2a2=b2+c2故原等式成立.

20.【答案】(1)解：由题意(0.005+0.010+0.030+Q+0.015)x10=1

所以a=0.040；

(2)解：由频率分布直方图可得评分的中位数在［80,90)内

设评分的中位数为x

则(0.005+0.010+0.030)x10+0.040x(%-80)=0.5解得%=81.25

所以评分的中位数为81.25；

(3)解:由题知评分在［60,70)和［90,100］内的频率分别为0.1和0.15

则抽取的5人中评分在［60,70)内的为2人评分在［90,100］的有3人

记评分在［90,100］内的3位学生为abc评分在［60,70)内的2位学生为DE

则从5人中任选2人的所有可能结果为：

(a,b)(a,c)(a,D)(a,E)(b,c)(hD)(b,E)(c,D)(c,E)(D,E)

共10种；

其中这2人中至少一人评分在［60,70)内可能结果为：

(a,D)(a,E)(4D)(b,E)(c,D)(c,E)(D,E)共7种；

所以这2人中至少一人评分在［60,70)的概率P=£.

21.【答案】(1)解：因为双曲线*-y2=i的焦点坐标为(±73,0)

所以设所求的椭圆的方程为4+当=1(a>b>0)

fa2=b2+3

则[3*]_解得a2=4,b2=1

〔滔+411

所以椭圆的标准方程是竽+y2=1

(2)解：设直线AP的方程是y=A(x+2)(k羊0)

将其与号+y2=i联立消去y得(41+1)/+16/x+16/—4=0设P(x"i)

16《一4

则一2』

4/C2+1

所以=

4/+1亦+1

易知M(2,4k)

设存在点T(3,yo)使得以MP为直径的圆恒过直线BP、MT的交点

QoMTJ.BPo2-x^—~~~2=-1对于任意k丰G成立

“一和-16F

=O

即4k(1一%o)+yo=0对于任意kWO成立Xo=l.yo

所以存在T(l,0)符合题意.

22.【答案】⑴解:令(p(x)=f(x)+g(x)

/(x)=ex(x-l)+(l-i)=(x-l)(ex+3

令(p(x)=0,%=1<p(x)>0,x>1,<p(x)<0,0<x<1

所以(p(x)的单调递增区间是(1,+8)单调递减区间是(0,1)

所以％=1时(p(x)取得极小值也是最小值

所以