专题06竖直面内圆周运动模型

专题06竖直面内圆周运动模型一．汽车过拱（凹）形桥模型1．汽车过拱形桥：汽车在桥上运动，经过最高点时，汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心力。如图甲所示。由牛顿第二定律得：G－FN＝meq\f(v2,r)，则FN＝G－meq\f(v2,r)。汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对相互作用力，即F′N＝FN＝G－meq\f(v2,r)，因此，汽车对桥的压力小于重力，而且车速越大，压力越小。(1)当0≤v<eq\r(gr)时，0<FN≤G。(2)当v＝eq\r(gr)时，FN＝0.(3)当v>eq\r(gr)时，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险。甲乙2．汽车过凹形桥如图乙所示，汽车经过凹形桥面最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两个力的合力提供向心力，则FN－G＝meq\f(v2,r)，故FN＝G＋meq\f(v2,r)。由牛顿第三定律得：汽车对凹形桥面的压力F′N＝G＋meq\f(v2,r)，大于汽车的重力。二．竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳作用下在竖直平面内做圆周运动，都是绳模型，如图所示。甲乙(1)向心力分析①小球运动到最高点时受向下的重力和向下的绳子拉力(或轨道弹力)作用，由这两个力的合力提供向心力，mg＋FN＝meq\f(v2,r)。②小球运动到最低点时受向下的重力和向上的绳子拉力(或轨道弹力)作用，由这两个力的合力提供向心力，FN－mg＝meq\f(v2,r)。(2)临界条件小球恰好过最高点时，应满足弹力FN＝0，即mg＝meq\f(v2,r)，可得小球在竖直面内做圆周运动的临界速度v＝eq\r(gr)。(3)能过最高点的条件：v≥v临。(4)不能通过最高点的条件：v＜v临，实际上小球在到达最高点之前就脱离了圆轨道，如图所示。三．竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，都是杆模型，如图所示。甲乙(1)向心力分析①小球运动到最高点时受杆(或轨道)的弹力和向下的重力作用，由这两个力的合力提供向心力。若弹力向上：mg－FN＝meq\f(v2,r)；若弹力向下：mg＋FN＝meq\f(v2,r)。②小球运动到最低点时受杆(或轨道)向上的弹力和向下的重力作用，由这两个力的合力提供向心力，FN－mg＝meq\f(v2,r)。(2)临界条件：由于硬杆或管壁的支撑作用，小球能到达最高点的临界速度v临＝0，轻杆或轨道对小球有支持力FN＝mg。(3)当0＜v＜eq\r(gr)时，杆或内管壁对小球的支持力FN＝mg－meq\f(v2,r)，支持力FN随v的增大而减小，其取值范围是0＜FN＜mg。(4)当v＞eq\r(gr)时，杆对小球施加的是拉力，且拉力F＝meq\f(v2,r)－mg；或外管壁对小球有竖直向下的压力FN＝meq\f(v2,r)－mg。【模型演练1】（2023下·北京延庆·高一统考期中）杂技表演中有一个“水流星”的节目：在一只水杯中装上水，然后让水杯在竖直平面内做圆周运动，水不会洒出来。如图所示为水流星运动的示意图，一细绳与水杯相连，杯中装有水，水杯与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m=0.5kg，水的重心到转轴的距离L=40cm。（g=10m/s2）（1）若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；（2）若在最高点水桶的速率v=4m/s，求桶底对水的压力大小【答案】（1）2m/s；（2）15N【详解】（1）根据解得

（2）根据解得【方法总结】竖直平面内圆周运动的分析方法(1)明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型。(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。【模型演练2】（2024·高一课时练习）长度为的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A端连着一个质量的小球，g取。求在下述两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向。(1)杆做匀速圆周运动的转速为；(2)杆做匀速圆周运动的转速为。【答案】(1)138N，方向竖直向上；(2)10N，方向竖直向下【详解】(1)设小球在最高点时受到杆的作用力的方向竖直向下，则其受力分析如图所示。杆的转速为时，有由牛顿第二定律得故小球所受杆的作用力即杆对小球提供了138N的拉力。由牛顿第三定律知，小球对杆的拉力大小为138N，方向竖直向上。(2)杆的转速为时同理可得小球所受杆的作用力力为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，故由牛顿第三定律知，小球对杆的压力大小为10N，方向竖直向下。【方法总结】(1)注意r/s与rad/s的不同。(2)先求小球受到杆的弹力，再用牛顿第三定律得出杆受小球的力。(3)当未知力的方向不确定时，要采用假设正方向的办法。【模型演练3】（2023下·山东日照·高一校考阶段练习）如图所示，质量m=2.0×104kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60m，如果桥面承受的压力不得超过3.0×105N，重力加速度g=10m/s2，则：（1）分析汽车以相同速率分别通过凹形桥面最低点和凸形桥面最高点时，哪种情况对桥面压力较大？（2）汽车允许的最大速率是多少？（3）若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？【答案】（1）汽车过凹形桥面最低点时，汽车对桥面的压力较大；（2）；（3）【详解】（1）汽车以相同速率分别通过凹形桥面最低点和凸形桥面最高点时，受力分析如图通过凹形桥面最低点由牛顿第二定律可知解得通过凸形桥面最高点由牛顿第二定律可知解得由此可知汽车过凹形桥面最低点时，汽车对桥面的压力较大；（2）汽车过在凹形桥面最低点时，汽车对桥面的压力较大，如果桥面承受的压力不得超过3.0×105N，则解得（3）当汽车过凸形桥面最高点时，支持力最小，由（1）知根据牛顿第三定律得，最小的压力为【规律总结】对于汽车过桥问题，具体的解题步骤如下：(1)选取研究对象，确定轨道平面、圆心位置和轨道半径；(2)正确分析研究对象的受力情况，明确向心力是按作用效果命名的力，在受力分析时不能列出，明确向心力的来源；(3)根据平衡条件和牛顿运动定律列方程求解。【模型演练4】1.（2023下·高一全国联考期中）如图甲，小球用不可伸长的轻绳连接绕定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点的速度大小为v，此时绳子拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系如图乙所示，图像中的数据a和b以及重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是()A.数据a与小球的质量有关B.数据b与小球的质量无关C.比值eq\f(b,a)只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关D.利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径【答案】D【解析】当v2＝a时，此时绳子的拉力为零，物体的重力提供向心力，则有mg＝meq\f(v2,r)，解得v2＝gr即a＝gr，故与物体的质量无关，A错误；当v2＝2a时，对物体受力分析，则有mg＋b＝meq\f(v2,r)，解得b＝mg，故与小球的质量有关，B错误；根据以上分析可知：eq\f(b,a)＝eq\f(m,r)，与小球的质量有关，与圆周轨道半径有关，C错误；若F＝0，由图知v2＝a，则有mg＝meq\f(v2,r)，解得r＝eq\f(a,g)，当v2＝2a时，则有mg＋b＝meq\f(v2,r)，解得m＝eq\f(b,g)，D正确。2.如图所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，FN－v2图像如图所示。下列说法正确的是()A.当地的重力加速度大小为eq\f(R,b)B.小球的质量为eq\f(a,b)RC.v2＝c时，杆对小球弹力方向向上D.若v2＝2b，则杆对小球弹力大小为2a【答案】B【解析】通过图分析可知：当v2＝b，FN＝0时，小球做圆周运动的向心力由重力提供，即mg＝meq\f(b,R)，g＝eq\f(b,R)，A错误；当v2＝0，FN＝a时，重力与弹力FN大小相等，即mg＝a，所以m＝eq\f(a,g)＝eq\f(a,b)R，B正确；当v2＞b时，杆对小球的弹力方向与小球重力方向相同，竖直向下，故v2＝c＞b时，杆对小球的弹力方向竖直向下，C错误；若v2＝2b时，mg＋FN＝meq\f(2b,R)，解得FN＝a，方向竖直向下，D错误。【数理思想与模型建构】1.数理思想是基于物理现象的数学模型，利用数学知识解决物理问题的科学思维方法。2.模型建构(1)轻绳模型：①v＞eq\r(gR)时绳子的弹力F＝meq\f(v2,R)－mg，方向竖直向下②v＝eq\r(gR)时绳子的弹力为零，是安全通过最高点的临界条件(2)轻杆模型①v＞eq\r(gR)时轻杆对物体的弹力F＝meq\f(v2,R)－mg，方向竖直向下②v＝eq\r(gR)时轻杆对物体的弹力为零，是物体所受弹力方向变化的临界速度。③v＜eq\r(gR)时轻杆对物体的弹力FN＝mg－meq\f(v2,R)，方向竖直向上。【思维建构】1.根据物理现象列出物理方程。如1：FT＋mg＝meq\f(v2,r)。2.根据物理方程整理成函数关系。如1：FT＝eq\f(m,r)v2－mg。3.将物理方程与一次函数相对应。如1：FT＝eq\f(m,r)v2－mgeq\o(→,\s\up7(对应))y＝kx＋b。4.根据函数思想对应物理图像分析求解。【题后感悟】1.清楚圆周运动中绳、杆模型的物理规律，列出正确的物理方程。2.对一次函数y＝kx＋b要非常熟练，会用会画。3.熟练地将数学和物理结合起来，用图像法来解决物理问题。一、单选题1．（2023下·江苏苏州·高一校考阶段练习）如图所示，一同学表演荡秋千，已知秋千的两根绳长均为10m，该同学的质量为50kg，秋千踏板的质量约为，绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为，此时每根绳子平均承受的拉力约为（）（g=10m/s2）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据牛顿第二定律解得T=600N故选C。2．（2023下·江苏·高一阶段练习）如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑圆形管道，质量为M，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，质量为m，小球在管道内做圆周运动，已知M>m，下列说法正确的是（

）A．小球通过管道最低点时，管道对地面的压力为(m＋M)gB．小球通过管道最高点时，管道对地面的压力可能大于(m＋M)gC．小球通过管道最高点时，管道对地面的压力不可能为零D．小球通过管道最高点时，管道对地面压力可能为Mg【答案】D【详解】A．小球通过管道最低点时，具有向上的向心加速度，系统超重，故系统对地面的压力一定大于，故A错误；B．小球通过管道最高点时，具有向下的向心加速度，系统失重，故系统对地面的压力一定小于等于，故B错误；C．小球在最高点时，对管道受力分析，若小球给管道的力向上等于Mg，则管道对地面无压力，故C错误；D．当小球在最高点时，运动的速度等于时，管道对小球无作用力，对管道受力分析可知，管道对地面的压力为Mg，故D正确。故选D。3．（2023·四川眉山·统考一模）如图，竖直面内两个完全相同的光滑圆弧轨道平滑对接，P、Q是等高的两端。让一可视为质点的小球以沿切线的初速度从P端进入轨道，则（

）A．小球在轨道最低点的机械能最大B．小球在轨道最低点对轨道的压力最大C．初速度足够大时，小球可能飞离“凹形”轨道D．初速度足够大时，小球一定能通过“凸形”轨道最高点【答案】B【详解】A．小球在光滑圆弧轨道上运动，只有重力做功，机械能守恒，故A错误；B．小球在轨道最低点有根据机械能守恒则小球在轨道最低点速度最大，则球在轨道最低点轨道对球的支持力最大，根据牛顿第三定律球对轨道的压力最大，故B正确；C．设小球与竖直方向的夹角为，在“凹形”轨道运动，根据牛顿第二定律有球的重力与轨道对球的支持力的合力提供向心力，初速度足够大时，小球不可能飞离“凹形”轨道，故C错误；D．在“凸形”轨道运动，根据牛顿第二定律有初速度足够大时，球的重力与轨道对球的支持力的合力不足以提供向心力，小球不能通过“凸形”轨道最高点，故D错误。故选B。4．（2024上·江苏扬州·高三统考期末）某同学将用长约1m的充电线悬挂于固定点，拉开小角度释放，在竖直面内摆动，传感器记录角速度随时间变化的关系，如图所示，则（）A．在A→B过程中，速度增大B．在A、C两点时，速度方向相反C．在C点时，线中的拉力最小D．在B、D两点时，线中拉力方向相同【答案】B【详解】A．根据可知，在A→B过程中，角速度减小，速度减小，故A错误；B．A、C两点刚好相差半周期，单摆的速度最大，即在最低点，则速度方向相反，故B正确；C．在C点时，单摆速度最大，在最低点，根据牛顿第二定律可知，线中的拉力最大，故C错误；D．B、D两点相差半个周期，速度为0，可知单摆在对称的两侧最高点，线中拉力方向不相同，故D错误；故选B。5．（2024下·高一课时练习）如图所示，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m的小球沿轨道做完整的圆周运动，已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N1，速度大小为v1，在最高点时对轨道的压力大小为N2，速度大小为v2，重力加速度大小为g，且v1、v2满足关系式，则N1N2的值为（）A．3mg B．4mg C．5mg D．6mg【答案】D【详解】在最高点，根据牛顿第二定律可得在最低点，根据牛顿第二定律可得又联立三式可得N1N2=6mg故选D。6．（2023下·贵州遵义·高一仁怀市第一中学校联考期中）如图所示，长为的轻杆一端固定质量为的小球，另一端固定在转轴，现使小球在竖直平面内做圆周运动，为圆周的最高点，若小球通过圆周最低点时的速度大小为，忽略摩擦阻力和空气阻力，则以下判断正确的是（）A．小球不能到达点B．小球到达点时轻杆受到的弹力为0C．小球能到达点，且在点受到轻杆向上的弹力D．小球能到达点，且在点受到轻杆向下的弹力【答案】C【详解】A．根据机械能守恒得到达点速度为故小球能达到点，A错误；BCD．小球到达点时，根据牛顿第二定律得小球到达点时轻杆受到的弹力，方向向上。BD错误，C正确。故选C。7．（2024上·北京海淀·高一清华附中校考期末）在公路上常会看到凸形和凹形的路面，如图所示。一辆质量为m的汽车，通过凸形路面的最高处时对路面的压力为，通过凹形路面最低处时对路面的压力为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】汽车通过凸形路面的最高处时，加速度方向向下，合力方向向下，处于失重状态，则有汽车通过凹形路面最低处时，加速度方向向上，合力方向向上，处于超重状态，则有故选A。8．（2024上·上海静安·高一上海市市西中学校考期末）如图所示，拱桥可以视为半径为40m的圆弧面，如果要使汽车行驶至桥顶时对桥顶恰无压力，，则汽车通过桥顶的速度应为（）A．10m/s B．20m/s C．25m/s D．30m/s【答案】B【详解】要使汽车行驶至桥顶时对桥顶恰无压力，则有可得故选B。9．（2023上·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考期末）一个质量为m的物体（体积可忽略），在半径为R的光滑半球顶点处以水平速度运动，如图所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是（）A．若，则物体对半球顶点压力为mgB．若，则物体对半球顶点的压力为C．若，则物体对半球顶点的压力为D．若，则物体对半球顶点的压力为零【答案】B【详解】A．根据题意，在最高点有若解得由牛顿第三定律可知，物体对半球顶点压力为0，故A错误；B．同理可得，若则有由牛顿第三定律可知，物体对半球顶点压力为故B正确；CD．若，物体处于平衡状态，则有由牛顿第三定律可知，物体对半球顶点压力为，故CD错误。故选B。10．（2023下·安徽芜湖·高一安徽省无为襄安中学校考期中）为美观和经济，许多桥面建成拱形。汽车通过桥顶时，对桥面的压力会减小，过快的汽车将失去控制、无法转向，造成安全隐患，故拱形桥上都会有限速标志。设汽车对桥面的压力是其重力的0.6倍时，其速度就是限速标志对应的速度，桥顶圆弧对应的半径为100m，则该限速标志所示速度约为（取）（）A．36km/h B．54km/h C．72km/h D．80km/h【答案】C【详解】设该限速标志所示速度为，根据题意有其中联立解得故选C。11．（2023下·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）如图所示，一汽车过半径均为50m的圆弧形凹桥和凸桥，在凹桥的最低处和凸桥的最高处的速度大小均为10m/s，取重力加速度大小g=10m/s2，则在凸桥的最高处和凹桥的最低处汽车对桥面的压力大小之比为（）A．3:2 B．2:3 C．2:1 D．3:1【答案】B【详解】在最高点，根据牛顿第二定律在最低点，根据牛顿第二定律解得故选B。12．（2023下·四川德阳·高一什邡中学校考阶段练习）为美观和经济，许多桥面建成拱形。汽车通过桥顶时，对桥面的压力会减小，过快的汽车将失去控制、无法转向，造成安全隐患，故拱形桥上都会有限速标志。设汽车对桥面的压力是其重力的0.6倍时，其速度就是限速标志对应的速度，桥顶圆弧对应的半径为100m，则该限速标志所示速度约为（取）（）A．36km/h B．54km/hC．70km/h D．80km/h【答案】C【详解】在最高点对汽车受力分析，根据牛顿第二定律可知由于桥面对汽车的支持力与汽车对桥面的压力大小相等，即联立解得该限速标志所示速度约为故选C。二、多选题13．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，杆的一端固定一小球，另一端固定在水平转轴上，小球随转轴在竖直平面内做圆周运动的圆心为O，半径为l，重力加速度为g。当小球通过最高点时（

）A．若速度大小为杆对小球的作用力竖直向上B．若速度大小为杆对小球的作用力竖直向下C．若速度大小为杆对小球的作用力竖直向上D．若速度大小为杆对小球的作用力竖直向下【答案】AD【详解】小球运动到最高点时，设杆对球的作用力为竖直向下的，则牛顿第二定律可得AB．若速度大小为，解得负号表示杆对小球的作用力竖直向上，A正确，B错误；CD．若速度大小为，解得即杆对小球的作用力竖直向下，C错误，D正确。故选AD14．（2023下·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考阶段练习）如图甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，图像如图乙所示。下列说法正确的是（）A．当地的重力加速度大小为 B．小球的质量为RC．v2=c时，杆对小球弹力方向向下 D．若c=2b，则杆对小球弹力大小为2a【答案】BC【详解】A．由图乙可知，当时，对小球在最高点由牛顿第二定律得可得当地的重力加速度大小为故A错误；B．当时，在最高点有可得小球的质量故B正确；C．当时，在最高点对小球由牛顿第二定律得可得则杆对小球弹力方向向下，故C正确；D．在最高点对小球由牛顿第二定律得解得则杆对小球的弹力大小为，故D错误。故选BC。15．（2023下·天津和平·高一统考期末）如图甲所示，小球（可视为质点）穿在竖直平面内光滑的固定圆环上，绕圆心O点做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，圆环与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其Fv2图像如图乙所示，g取10m/s2，则（

）A．小球的质量为2kgB．固定圆环的半径R为0.4mC．小球在最高点速度为4m/s时，圆环受到小球施加的竖直向下20N的弹力D．若小球恰好能做完整圆周运动，则其运动中所受圆环给的最大弹力为100N【答案】AD【详解】A．对小球在最高点进行受力分析，速度为0时结合图像可知故A正确；B．当时，由重力提供向心力可得结合图像可知故B错误；C．小球在最高点的速度为4m/s时，有解得小球受到的弹力方向竖直向下，由牛顿第三定律可知圆环受到小球施加的竖直向上，故C错误；D．小球经过最低点时，其受力最大，由牛顿第二定律得若小球恰好做圆周运动，由机械能守恒得由以上两式得代入数据得故D正确。故选AD。三、解答题16．（2024上·湖南长沙·高一雅礼中学校考期末）如图，轻杆长为3L，在杆的两端分别固定质量均为m的球A和球B，杆上距球A为L处的点O装在光滑的水平转动轴上，杆和球可在竖直面内转动，已知球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力，重力加速度为g。（1）当球B在最高点时，球B的速度为多大；（2）当球B在最高点时，杆对球A的作用力为多大；（3）若球B转到最低点时的速度大小为，求此时杆对球A的作用力。【答案】（1）；（2）1.5mg；（3）0.3mg，方向竖直向下【详解】（1）球B在最高点时只受重力作用，根据牛顿第二定律有得（2）AB两球的角速度大小相等，设球B在最高点时的角速度为，由向心力公式，有此时球A在最低点，由向心力公式，有解得（3）设球B在最低点时的角速度为1，由向心力公式，对AB分别有；此时球A在最高点，由向心力公式，有解得方向竖直向下。17．（2023上·上海长宁·高一上海市延安中学校考期末）如图，长为的细绳一端拴一质量为的小球，另一端固定在点。现使小球在竖直平面内做完整的圆周运动，转轴离地高，绳所能承受的最大张力为。（1）求小球通过最高点时最小速度的大小；（2）分析小球在何位置绳最易被拉断?求出在此位置绳恰被拉断时小球的角速度大小；（3）在（2）的情况下，求小球落地点距转轴的水平距离及落地速度的大小和方向。【答案】（1）；（2）最低点，；（3）4.8m，10m/s，与水平面成角向下【详解】（1）小球要做完整圆周运动，在最高点当重力提供向心力时，速度最小，则有其中，解得（2）当小球运动到最低点时，小球速度最大，此时根据牛顿第二定律有可知此时绳子的张力最大，所以小球最低点时绳最易被拉断。此时有解得，绳恰被拉断时小球的角速度大小为（3）绳断后小球做平抛运动，平抛运动的初速度为根据平抛规律，竖直方向上有解得，绳断后小球落到地面的时间为则小球落地点距转轴的水平距离为小球落到地面时，竖直方向的分速度大小为则落地速度的大小为而小球速度偏转角的正切值为则小球落地速度的方向为与水平面成角向下。18．（2023下·安徽芜湖·高一安徽省无为襄安中学校考期中）如图，AB为竖直半圆轨道的竖直直径，轨道A端与水平面相切。质量为0.4kg的光滑木块从水平面上滑上A再经过B，若在A、B两点速度大小分别是、，到B点对轨道的压力恰好为零，g取10m/s2，求（1）轨道半径的大小；（2）木块经A点时对轨道的压力；（3）木块落地点到A点的距离。【答案】（1）10m；（2）24N，方向竖直向下；（3）20m【详解】（1）木块经B点时，对轨道的压力恰好为零，重力刚好提供向心力，则有解得轨道半径的大小为（2）在A点，根据牛顿第二定律可得解得根据牛顿第三定律可知，木块经A点时对轨道的压力大小为，方向竖直向下。（3）木块离开B点后做平抛运动，则竖直方向有水平方向有联立解得19．（2023下·河北邢台·高一邢台市第二中学校考阶段练习）如图所示，一质量为的小球，用长为的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。g取，求：（1）小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？（2）当小球在最高点的速度为时，轻绳拉力多大？（3）若轻绳能承受的最大张力为，小球的速度不能超过多大？【答案】（1）2m/s；（2）15N；（3）m/s【详解】（1）在最高点，由牛顿第二定律得由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即F1不可能取负值，亦即F1≥0联立得v≥代入数值得v≥2m/s所以小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2m/s。（2）小球在最高点的速度为时，有得F2=15N（3）小球在最低点时轻绳张力最大，由牛顿第二定律得代入得v3=m/s即小球的速度不能超过m/s。20．（2023下·广东广州·高一统考期末）现有一根长的刚性轻绳，其一端固定于点，另一端系着一质量的小球（可视为质点），将小球提至点正上方的A点处，此时绳刚好伸直且无拉力，如图所示。不计空气阻力，取。（1）为保证小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在A点小球至少需要获得多大的水平速度；（2）在小球以的速度水平抛出的瞬间，绳中的拉力为多大；（3）小球以的速度水平抛出，求绳再次伸直时所经历的时间。【答案】（1）

（2）

（3）【详解】（1）要使小球在竖直面内能够做完整的圆周运动，在最高点时重力恰好提供向心力，则有解得（2）因为，所以绳中有拉力，根据牛顿第二定律得解得即绳中的拉力大小为

（3）小球以的速度水平抛出，小球将做平抛运动，设经过时间绳拉直，如图所示在竖直方向有在水平方向有由几何关系得解得21．（2023下·广东梅州·高一丰顺县丰顺中学校联考期中）如图所示，小球A质量为m，固定在长为的轻细直杆一端，并随杆一起绕杆的另一端O点在竖直平面内做圆周运动。当小球经过最高点时，杆对球的弹力大小为，求这时小球的瞬时速度大小。【答案】若F向上，；若F向下，【详解】杆在最高点处，球的重力与杆的弹力的合力提供球的向心力。若F向上，根据牛顿第二定律得解得若F向下，根据牛顿第二定律得解得22．（2023下·江西景德镇·高一统考期中）轻杆长L＝60cm，一端固定于转轴O，另一端系一质量为m＝0.5kg的小球，使小球在竖直平面内做圆周运动，重力加速度，求：（1）若小球在最低点速率v＝6m/s，小球对杆的作用力；（2）若小球刚好能做圆周运动，在最高点的速度为多大；（3）若小球经过最高点时受杆的作用力向上，则通过最高点的速率的范围。【答案】（1）35N