河北省石家庄市2023届高三年级上册期末数学试题（含答案）

河北省石家庄市2023届高三上学期期末数学试题

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.若复数Z满足iz=-2+i,贝”的虚部为（）

A.2iB.2C.1D.i

2.设集合A={R-5<x<4},B={Λ∣X2+3X-18<O）,则AB=（）

A.∣x∣-3<x<4∣B.∣x∣-3<x<6∣

C.∣x∣-5<x<3∣D.{x∣-6<x<4j

3.已知抛物线C:V=2》的焦点为尸，准线为/,点P在C上，过点P作准线/的垂

线，垂足为A,若NFPA=1，则IPH=（）

A.1B.√2C.√3D.2

4.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇''与"善”谐音，折

扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千

里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两

个圆弧OEAC所在圆的半径分别是3和6,且NABC=I20。，则该圆台的体积为（）

4

5..ABC中，点M是BC的中点，点N为AB上一点,AM与CN交于点。,且AZ）=WAM,

AN=>IA3∙则2=（）.

2345

A.B.C.D.

346

6.已知函数/（x）=Sin5+cos0x（"O）在区间（TT上单调递减，则实数0的取值范

围为（）

j_3

A.c∙P7d∙（。2]

2,4

7.四面体ABC。的所有棱长都是3,点M,M尸分别在棱A8,A。，CD±,AM=2MB,

AN=-ND9CP=2PD,平面MNP交3C于点Q,则3Q的长为()

A.-B.—C.-D.1

743

χ22

8.己知双曲线C：彳-｝=l(α>0∕>0)的左右焦点分别是月，F2,左右顶点分别是

A，4,离心率为2,点P在。上，若直线Af,47的斜率之和为小叵，AP∕K的

5

面积为Ji5,则α=()

A.1B.√2C.√3D.2

二、多选题

9.已知等差数列｛/｝的前"项和为S"，公差为d,⅛S,,<S,0<S,2,则()

A.d>0B.4>0C.522<0D.S21<0

10.下列选项中，正确的命题是()

A.已知随机变量X~8(",p),若E(X)=30,O(X)=20,则p=g

B.(gx-2y)的展开式中/V的系数为10.

C.用/独立性检验进行检验时，/的值越大，说明有更大的把握认为两事件有

关系.

D.样本相关系数M越接近1,成对样本数据的线性相关程度越弱.

'2χ-'+2'-χ-2,x≥0

11.已知函数"X)=∣,Cl八，若/(x)=∕(w)=∕(W)=/(匕)，且

厂+2x+-,x<0

2

X1<X2<X3<X4,贝IJ()

A.X1+x2=-2B.0<x3<1<x4<2

C.⅞¾≥ɪD.x1+x2+X3+x4=0

12.三棱柱A3C・Al4G中，AB=AC=AA],点。是；ABC的外心，A。J■平面ABC,

BC=G,二面角B-AA-C为g,则下列选项中正确的是()

A.三棱柱的侧面积为

B.AB与Acl所成角的余弦值为正

试卷第2页，共4页

3

C.点A1到平面BCC1B1的距离为1

4

D.若四棱锥A-BCCl与各顶点都在同一球面上，则该球的半径为:

三、填空题

,C-ɪ⅛r11+COSθ√3m,∣.θ

13.已知-----=—,则tan7r=________.

sin(932

14.冬奥会设有冬季两项、雪车、冰壶、雪橇，滑冰，滑雪、冰球7个大项，现有甲、

乙、丙三名志愿者，设A表示事件为“甲不是雪车项目的志愿者，乙不是雪橇项目的志

愿者”，8表示事件为“甲、乙、丙分别是三个不同项目的志愿者”，则P(A∣3)=.

15.已知。为坐标原点，A,2在直线x-y-4=0上，∣A3∣=2X∕5,动点M满足

∖M^=2∖MB∖,则IoMl的最小值为.

16.若直线y=h+b是曲线y=皿的切线，也是曲线y=2的切线，贝心=.

XX

四、解答题

/、ɪ23〃a1

17.已知数列｛为｝满足一+—+—+-■•+—=2-1.

4a2a3an

(1)求数列｛q｝的通项公式；

(2)若数列｛〃,｝满足么=%,，求数列｛〃｝的前"项和.

18.在二ABC中，角A,B,C所对的边长分别为小江c,且满足2sin(A+^)=q7.

⑴求C；

(2)若ASC内切圆面积为3兀，6=α+3求4?C的周长.

19.党的二十大已胜利闭幕，某市教育系统为深入贯彻党的二十大精神，组织党员开展

了“学习二十大”的知识竞赛活动.随机抽取了IoOO名党员，并根据得分(满分IOO分)

按组别[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]绘制了频率分布直方图(如图),视频率

为概率.

(1)若此次活动中获奖的党员占参赛总人数20%,试估计获奖分数线；

(2)采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从得分不低于80的党员中随机抽取7名党

员，再从这7名党员中随机抽取3人，记得分在［9(Mo0］的人数为九试求J的分布列

和数学期望.

20.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD,ADlDC,A。=,点尸在

2

以AB为直径的半圆上(不包括端点)，平面ABPI平面ABC。，E,F分别是BC,AP

(1)证明：EF//平面PCr>；

⑵当PB=√3PA时,求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.

21.已知椭圆C：5+f∙=l(α>b>0)经过点(2,后)，离心率为当.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线/：y=辰+帆与椭圆C有两个不同的交点A,B,原点。到直线/的距离为2,

求.ABO的面积的最大值.

22.已知函数/(x)=SinX.

⑴设F(X)="X)-如，若尸(x)≤0在［0,+8)上恒成立，求实数机的取值范围；

设］若存在正实数再，满足

(2)G(X)=∕(x)+x-j4lnx+2,,Λ2(XlWX2)G(ΛJ)=G(J⅞),

证明：x}+x2>2a.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.B

【分析】根据复数的除法运算求得z,即得答案.

【详解】复数Z满足iz=-2+i,故Z=上=⅛^=l+2i,

1Γ

故Z的虚部为2,

故选：B

2.C

【分析】先利用一元二次不等式的解法求出集合B={x∣-6vxv3},然后利用交集的定义即

可求解.

【详解】因为集合8={x∣V+3x-18<0}={x∣-6<x<3},XA={x∣-5<x<4},

由交集的定义可得：A8={x∣-5<x<3},

故选：C.

3.D

【分析】由题知NPAF=Np/%=方，进而结合|。尸I=P=I得IA尸|=2,在等边ARA尸中即可

求解

【详解】因为Ial=IP4|,所以NPAF=∕PE4=g,

设准线/与X轴交于点Q,

因为PAHQF,所以ZAFQ=ΛPAF=^Jr.

因为IQFl=P=1，所以IAFI=2,

所以，在等边中，∖PF∖=2

故选：D

4.D

答案第1页，共19页

【分析】根据题意求出圆台上下底面半径4=l,u=2,圆台的高人=2&，代入圆台的体积

计算公式即可求解.

【详解】设圆台上下底面的半径分别为4，4，由题意可知gx2兀x3=2τπ;,解得4=1,

gχ2兀χ6=2兀4，解得：4=2,作出圆台的轴截面，如图所示：

过点。向心作垂线，垂足为T,则AT=々-{=1,

所以圆台的高〃=JATf-AF=力2—1=2√L

2

则上底面面积Sl=兀XF=TΓ,S2=π×2=4π,由圆台的体积计算公式可得：

V=l×(51+S2+√S1∙52)×Λ=∣×7π×2√2=ʒ⅛,

故选：D.

5.A

【分析】根据向量基本定理得到AN=g∕lAO-/IAC,结合平面向量共线定理得推论得到

52

-λ-λ=1,求出2=—.

23

【详解】因为点M是8C的中点，所以AM=；AB+gAC,

故AD=—AM=-J—ABH—ACJ=-ABH—AC,则AB=—AD—AC,

55V22J552

^AN=λAB=-λAD-λAC,

2

因为N,D,C三点共线，所以存在加(SX-I)使得NO=加DC，

即Az)-A2V=〃?(AC-A£)),则ATV=(1+m)AD-mAC,

52

所以一A—Λ=1÷AH-771=1,解得：λ=一.

23

故选：A

答案第2页，共19页

6.C

【分析】先用辅助角公式化简，结合函数单调性，列出不等式组，解出实数。的取值范围,

进而求出答案.

π

【详解】/(x)=sinωx÷coscυx=∖[2sin69X+-(ω>0),

由题意可得：*河,则7吟E解得°＜0≤2,

”(兀π兀兀兀兀71,9兀

右x∈—，兀，则一V—G+—<5+-<πG+-≤—,

[22J424444

π3π

πω+-≤—

4715

∙.∙函数在区间上单调递减，则＜,解得:≤0≤;,

πππ24

-ω+-≥-

242

故实数。的取值范围为ɪɪ

故选：C.

7.C

【分析】延长NM交Z)B于T,TP交BC于Q点,过N作NE〃8。交AB于E,过P作P尸〃

BC交BC于点F点,可得尸为边长为1的等边三角形，再利用平行线分线段成比例定

理可求得结果.

【详解】因为四面体ABCQ的所有棱长都是3,AM=2MB,AN=；ND,CP=2PD,

所以AΛ∕=2,8M=1,A7V=1,ND=2,CP=2,PZ)=1,

延长NM交OB于T,TP交BC于Q点、,过N作NE//BD交AB于E,

因为ZVlEV为边长为1的等边三角形，M为£B的中点，

所以ENM乌公BTM,

所以ETV=BT=I,

所以/57=37+3/)=4,

过户作P尸〃BC交Br)于点尸点，

所以△「£＞尸为边长为1的等边三角形，

所以「F=Z)P=1,

所以7T=3,8尸=2,

因为P尸〃BC,

所以第=贵，即!=半,所以8Q=；,

TFPF313

答案第3页，共19页

故选：C

A

8.A

【分析】根据离心率公式结合APK片的面积为厉，可得IXPl,|»|，再利用储0+Ay=第

列方程求解即可.

22222

【详解】e=-=2,c=4a9c=a+b

.,.c=2a,3a2=b2

s

PF1F,=~2c∙∖yp∖=J↑5

^2

.l.√15屈吊

丁①

∙∙∣%I=—c=2a

k+k=

AlPA2P°

4（一。,0），4（。,。）

所以％+%'=等Σ+资

9.AD

答案第4页，共19页

【分析】根据通项。“与S(I的关系可得勺<0,《2>0即可判断AB；根据等差数列前“项和

公式，结合等差数列的性质判断CD.

[详解]因为Sll<S[0<S∣2,所以S∣]_SlO=<0,S]2-S"=42>0，

故等差数列首项为负，公差为正，所以d>0,4<0,故A正确，B错误；

由S∣o<S∣2,可知S∣2-S∣o=α∣2+q∣>O,所以$22=22("；'")=][(%+%)>0,故C错误;

因为知<0,所以4=21x维|包=2卜即<0,故D正确.

故选：AD.

10.AC

【分析】根据二项分布的期望和方差公式，结合二项式的通项公式、/的意义、卜I的意义

逐一判断即可.

【详解】A：因为随机变量X~3(",P),所以由E(X)=30,O(X)=20可得：

np=301

nP=一所以本选项正确;

(I-P)=203

B：二项式IX-2y)的通项公式为J=G∙(gx)∙(-2y)r=C；∙22r^5∙(-l)r-√-r∙yr,

令r=3,所以/V的系数为C；.22X3-5,(T)3=_20,因此本选项不正确；

C：由/的意义可知/的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系，因此本选项说法

正确；

D：因为样本相关系数M越接近1,成对样本数据的线性相关程度越高,

所以本选项说法不正确,

故答案为：AC

II.ABD

2τ^l+2l-t-2,x≥0

【分析】作出作出/(χ)=∙d+2x+L<0和日的图像'利用数形结合法判断:

2

对于AD：利用对称性即可判断；对于B:直接利用图像判断；对于C：由

X3X4=(2-X,)X3,(0≤Λ3<1),利用二次函数求解.

答案第5页，共19页

和y=f的图像∙

因为存在χl,χ2,χ3,X4使得/(χl)=∕(χ2)=∕(χ3)=∕(χ4)>所以O<r<；.

由图示可知小三关于X=-I对称，所以岁∙=τ,所以西+々=-2.故A正确;

xx

令/(X)=；,BP-2^'+2'^-2=-

2,解得：X=O或x=2.

x≥0

所以由图示可知：0<xi<l<X4<2.故B正确.

因为当x±0时，/(X)=2Λ-'+2'-X-2,所以/(l+x)=2'+2-*-2,/(l-x)=2^x+2'-2,

所以0≤x≤2时,有/(l+x)=即“x)的图像关于x=l对称,所以如匕关于X=I

对称，所以.；七=1,所以七+5=2,即匕=2-七，所以

2

Λ⅛X4=(2-¾)Λ⅛=-(⅞-I)+1,(O≤X3<1).

因为X3<l,所以工3七<1.故C错误；

因为与，匕关于X=I对称，所以I；Z=1,所以毛+七=2.

又因为再+%=-2,所以x∣+X2+X3+X4=°.故D正确.

故选：ABD

12.ACD

【分析】由题意明确三棱柱的侧面特征，即可求得棱柱侧面积，判断A;采用平移的方法，

找到异面直线所成角，解三角形可得答案，判断B;通过线面垂直，找到过AA上的点到平面

答案第6页，共19页

3CG用的垂线，即可求得点A到平面BCC4的距离，判断C;明确棱锥A-BCC4的各棱

长，明确外接球球心的位置，列式即可求得外接球半径，判断D.

【详解】如图，三棱柱ABC-AqG中，AB=AC=AAi,点。是ABC的外心,

AO∙L平面ABC,连接。4,。氏OC,

因为OAO8,。CU平面ABC,

故AO∙LOAA。，08,AOLOCJfjiOA=OB=OC,

故RtA1OA=Rt=Rt△4℃,所以AA=AB=AC,

又AB=AC=AA1,所以LAA民一AAC为全等的正三角形，

设E为AA的中点，连接8E,CE,则BErAiA,CEA.吊A,且BE=CE,

而BEU平面BAA1,CEu平面CAA,故ZBEC为二面角B-AA1-C的平面角,

TT

则NBEC=故BEC为正三角形,

因为BC=G,故BE=CE=6

AA

所以-.π一，故四边形ABB∣A,4CCM的面积为26，

sɪn一

3

延长A。交BC于D,由于45=AC,点。是.ABC的外心，.∖OB=OC,

则AOB≡Aoe,所以NBA。=/C4O,即A。为「54C的角平分线，

则A。也为—ABC的中线，则。为Be的中点，

设F为&G的中点，连接A尸，。尸,则AFHAD,AtF=AD,

即四边形AFD4为平行四边形，所以。尸/∕A41,

答案第7页，共19页

因为AB=AC,。为BC的中点，故AD上BC,

而AO，平面ABC,BCu平面ABe,故AO，BC,

A1OAO=O,AO,4。匚平面人尸。4,所以BC上平面A/OA,

AAU平面AFoA,所以BCLAA,

又AA/∕BB∣,故BCLBS所以四边形BCe向的面积为SBCG4=8Cχ8B∣=2√5，

所以三棱柱的侧面积为SeCG4+S.4A+SACGA=2√3+2√3+2√3=6√3,A正确；

设ACl,AC交于G,连接GO,则G为AG的中点，而。为BC的中点，

故OG∕∕A∣B,则ZDGC1即为AB与AG所成角或其补角,

22

在,OGC∣中，DG=^AfB=∖,GCl=∣AC,=∣×2√2-I=√3,

222

故CoSNoGG=PG+(GC,)-(DC,)

2DGGCl2√38

由于AB与Aa所成角范围为［0,弓］,故AB与AG所成角的余弦值为也，B错误;

28

由于BE,AACE_L4①，而BElCE=E,BE,CEu平面BEC,

故AAJ.平面8£C,KDU平面8EC,故AAJ∙ED,

而DF∕∕AA∣,所以Z)F_LED

又BE=CE,。为8C中点，故匹_LBC,

DFBC=D,DF,BCu平面BCC4,故EDL平面8CC∣g,

又因为QF∕∕AA∣,DFU平面BCC4,AAeZ平面BCG4，

故AA//平面BCGBI,所以点4到平面BCC1B1的距离即为EO的长，

在正三角形BEC中，BC=Λ.∙.EO=-×√3=-,C正确；

22

在四棱锥A-BCC内中，由以上分析可知，A1B=AtBl=AiC=A,Cl=2,

BC=√3,BB1=2,

答案第8页，共19页

设”为底面BBCC的对角线的交点，连接A”即为四棱锥的高,

则BH=3BCi=与故==B，

设四棱锥A-BCC内的外接球球心为O',则O'在A1H上,

(BA)2+(AG)2Tg)28-7=1

由于CoSNBAg=

-

2BAl-AtCl2×2×2^8

即NBAa为锐角，故O'在四棱锥内部，

设外接球半径为则，即R=

R,(O'8)2=(OH)2+BH22R)2+(1)2,

4

解得R=D正确，

故选：ACD

【点睛】方法点睛：本题涉及到的知识点较多，综合性较强，解答时要发挥空间想象，明确

空间的线面的位置关系，即要推出题中相关的线面平行或者线面垂直关系，由此求解异面直

线所成角时，采用平移法即可；求点面距离时，利用线面垂直，找到平面的垂线，再解答即

可.

13.G

【分析】利用半角公式即可求解.

2cos^θ

COS—C

【详解】因为H5竽2_2_ɪ1Li1l+cos0

一9且

Sln夕~~θ~θSine

2sin—cos一sin-tan-sιncz

2222

所以tang=6,

故答案为：6.

答案第9页，共19页

【分析】通过条件概率的公式与求法分析求解即可.

【详解】P(A忸)=翳ξ

P(AB)表示A事件与B事件同时发生的概率,

冬奥会设有7个大项，有甲、乙、丙三名志愿者，则每人可有7种选择，共有73种选择,

对B事件：

若甲、乙、丙分别是三个不同项目的志愿者，则P(B)=李=茅

对于AB事件：

若甲、乙、丙分别是三个不同项目的志愿者，甲不是雪车项目的志愿者，乙不是雪橇项目的

志愿者,

甲不能选雪车，则甲有6种选法，乙有6种选法，丙有5种选法，共6x6x5种,

但甲不选雪橇，则乙就有可能选雪橇，则要减去乙选雪橇，甲从剩下的5种选，丙依然有5

种选择，共5x5种,

6×6×5-5×5155

则P(AB)=

T不'

,.、P(AB)31

则P(A忸)=.3

v1'P(B)42

15.≥^∕-√2

33

【分析】设M(X,y),Aα,yJ,B(x2,%),由IAM=2&、∣M4∣2=4∣MB∣2得至IJ

222L

(x-Λ⅛)+(y-γ∣)=4(X-Λ2)+4(y-%f，整理得M点在以。(生jʌ,生产)为圆心,

半径为延的圆上，且圆心。在直线x-y-4=0上，过。做/的垂线，当垂足为圆心。点

3

时，OM长度最小，求出OD长度可得答案.

【详解】设行(不力4。,%),网孙％)，

因为Hq=2收，所以恒卸2=(西一W)2+(%-%)2=8,

因为曷=2,所以∣M4f=4∣Λ阳2,

2222

(x-x1)+(y-γ1)=4(x-x2)+4(y-y2),

答案第10页，共19页

24（%-%）2+4（3-々）232

整理得X-一

y9^9

可得M点在以。1智工,*ξ2L)为圆心，半径为手的圆上，

MA=(AI-x,yl-y),BM=(x-x2,j-y2),当BM=-(M4时，

可得X-X2=一；(占-χ),y-%=一；(y-y)，即χ='∖t工,y=±"?

4433

圆心在强FL,"TIL)在直线x—y—4=0上，

过。做x-y-4=o的垂线，当垂足为圆心。点时，OO长度最小，I。Ml的长度也最小,

且OD长度最小值为正詈1=2后,此时IoMl的最小值为2√∑-孚=平.

故答案为：ɪ.

3

ɪ6-^⅛

【分析】设直线y=h+b与曲线y=/相切于(，〃,〃)，表示出切线方程；设直线y=h+6与

2

曲线y=［相切于(sj),表示出切线方程.利用两个方程相同建立方程，解出加，进而求出h

an、IInXr,I-Inx

【详解】由y=—可z得I=J：y=——

XX"

n=km+b

设直线y=区+h与曲线y=地相切于(根,〃)，则有Y=*'

Xm

,I-In加

k=——X—

er.›∣Rr.∕->-i□-r⅛—ΛLI-Inm、I-Inwjl-2ln∕w

所以切线jj万程可表不为y-〃=———（zx-m）,π即πy=------X-------------

tn~mtn

22

由y=一可得：y,=—7

XX

答案第H页，共19页

t=ks+b

22

设直线丫=h+6与曲线），=嚏相切于（s,f）,则有,

」

k-S2

224

所以切线方程可表示为I=下（、一s）,即尸一尸+；

I-InW2=

2---233

所以「,：,消去S,整理得:41∏2机—121∏"z+9=O,解得：In/7?=~,所以=

2In∕π-14ZZZ

3

1-Ineɪ_1

所以斜率左二”r=一左,

e2

故答案为：一公T

n

17∙⑴4=百

(2)S,,)x(1)"+—

"3949

【分析】⑴根据递推公式求出4=券，检验”=1时是否成立即可求解;

(2)结合(1)得到勿=券，利用错位相减法即可求解.

【详解】(1)由题意知：-+—+-+.+2=2"-1①

Q]。3

当〃=1时，得q=1.

123n-1I

当n∖2时，—+—÷-÷∙∙→——=27-1②

a∖a2〃3an-∖

①-②得：~=2"',则an=ɪ,

检验：4=1成立，故a”=/.

2/7

(2)由(1)可知：bn=a2n=^77，

3s

令S“=4+打+4++Z,n=2×→4×(∣)+6×φ++2〃*(；产T③

572n2+

。S“=2X(《A+4×(I)+6×(ɪ)++(2〃-2)X(⅛-'+2〃X(⅛"'φ

422222

答案第12页，共19页

2w+,352n

③-④得：Isπ=2×ɪ-2H×φ÷2[(∣)÷(ɪ)÷÷φ-']

-J11×∏-]

-S,=2×——2n×(-)2"+'+2×

4"22l-ɪ

4

化简得：S,=(-g〃-?)x(；)"+?

18.(1)C=∣TT

(2)20

【分析】(1)由正弦定理和两角和的正弦展开式化简可得sin[c-∙∣J,再由C的范围可得答

案；

(2)法一：由一ABC面积公式得S=Vab=；(a+b+c)6,由余弦定理得/+/一。?="，

再由6=4+3,解三个方程可得答案；法二：由ABC面积公式得S=曰"=；(α+6+c)百，

由余弦定理得/+序一Ο?="，可得α+A-c=6,又由6=4+3,求出a,8,c可得答案.

■、、~力.、..--F/-A.(，兀、sinA+sinB

【详解】⑴由正弦定理得：2smA+-=---——~

I6)SinC

2sin^A+^sinC=sinA+sinB,

>∕3sinA÷cosAjsinC=sinA+sin(A+C),结合SinA>0得：Sin(C-EJ=g,

jr

因为0<C<7Γ,所以在ABC中，C=-;

(2)法一：4?C内切圆面积为3兀，所以内切圆的半径为G，

由—ABC面积公式得：S=-ab=-(a+b+c)y∕3,即a+"c=：a6①

42'，2

又由余弦定理得：a2+b2-c2=ab@,

由已知得6=a+3③，

由①②③得ai-2a3-∖5a2=0^a2(a2-2a-15)=0,

又α>0,解得。=5,b=8,c=1,

所以ABC周长为20；

法二：/RC内切圆面积为3π,所以内切圆的半径为√L

答案第13页，共19页

由ABC面积公式得S=曰αb=g(α+6+c)G,即α+Hc=g"①,

又由余弦定理得：a2+b2-c2=ab,

即(4+5)2—.2=3必，(α+6+c)(α+6-c)=3αb②,

把①代入②得：a+b-c=6@,

由①@得：4(α+b)=12+"④,

又由力二1+3⑤,

^a2-5a=O9

又〃>0,由④⑤得：4=5,b=8,c=7,

所以ABC周长为20.

19.(1)86

⑵分布列见解析，E©=4

【分析】ɑ)设分数线为Xw［80,90),使得成绩在［%100］的概率为0.2,解方程

(90-x)×0.025+0.010x10=0.2可得答案；

(2)应从180,90)和［90,100］两组内分别抽取5人和2人，求出J的可能取值以及对应的概

率可得分布列和期望.

【详解】(1)根据直方图可知,成绩在［80,100］的频率为(0.025+0.010)X10=0.35,

成绩［90,100］的频率为0.1,小于0.2,

因此获奖的分数线应该介于［80,90)之间，

设分数线为Xe［80,90),使得成绩在LU00］的概率为0.2,

BP(90-x)×0.025+0.010×ɪO=0.2,

可得X=86,

所以获奖分数线划定为86；

(2)应从［80,90)和［90,100］两组内分别抽取5人和2人，

则4的可能取值为0,1,2,

30

P(⅞=0)=⅛CC=-102

C；357

答案第14页，共19页

C2C1204

eʒ357

12

PC=2)=冲CC=25=上1

eɜ357

J的分布列为

数学期望Ee)=OX>5+2十*

20.(1)证明见解析

⑵典.

10

【分析】(1)设AO的中点为G,连接EGFG,证明出平面£FG〃平面PCO,即可证明;

(2)在平面A5P内过A作ΛΛ∙LA8.以A为原点，4x,A8,AO分别为XV"轴正方向建立空

间直角坐标系，用向量法求解.

【详解】(1)设AO的中点为G,连接EG,FG,则FG∕∕PD,GEHCD.

P

因为尸GCZ平面「CO,PDU平面PC。，

所以FG//平面PCr>,

同理GE〃平面PC£),

FGCEG=G,FGU平面EFG,GEi平面EFG,

・•・平面EFG〃平面PC。，

二所//平面PCD.

(2)点P在以AB为直径的半圆上，.∙.B4LPB.

答案第15页，共19页

设AD=OC=-AB=2,则AB=4.

2

PB=舟A,:.PA=2,PB=2∙Ji,：.ZPAB=60°

平面ABPI平面ABC。，AD_LOC,.∙.AT>,平面R4δ.

如图示，在平面ΛβP内过A作Ar_LAB.以A为原点，Ar,AB,A。分别为x，V，z轴正方向建立

空间直角坐标系.

AZ

TXP

所以A(0,0,0),B(0,4,0),C(0,2,2),D(0,0,2),E(0,3,1),P(G,1,O),Fʒ-,-,0.

、22J

所以EF=(等,-g,-l),BP=(√3,-3,0),BC

=(0,-2,2),

p

n-Bi=θ0π∫√3x-3y=O

设平面PBC的一个法向量"SM则

O=O[-2y+2z=0

取y=ι,得∕j=(6,ι,i).

设6为直线EF与平面PBC所成角，

35

则sinθ-Icos/EF/?\|-归，W_Z__?____&5,

I∖,∕Γ∣EF∣.∣n∣'√8x√^^10

所以直线石尸与平面PBC所成角的正弦值为Yi0

1(Γ,

γ2V2

21.(1)-+^=1

164

Q)4

【分析】(1)由题意可得二+W=ι,£=且

再结合/=从+d可求出“力,从而可求出

储匕a2

椭圆C的标准方程；

答案第16页，共19页

(2)由原点。到直线/的距离为2,可得病=4街+1),设4%,X),B(x2,y2),将直线方程

代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，结合弦长公式表示出∣A8∣,从而可表示出ABO的

面积，化简后结合基本不等式可求得其最大值.

【详解】(1)由题意可得：2+3=1，又离心率为正，所以£=必，

a2b-2a2

b1

可得乙=—,那么α=2⅛,代入可得：a=4,b=2,

a2

所以椭圆C的标准方程为—+^=1；

164

(2)由题意可知，原点。到直线/的距离为2,那么才勺=2,即："=4街+1),

y=kx+m

设A(X,yj,B(X2,%)，联立,炉>2可得：

〔164

(l+4k2)x2+8kmx+4m1-Λ6=Q,其判别式A=64k2m2-4(4⅛2+1)(4/-16)

=16(16⅛2+4-∕H2)=I92A;2>0,可知ZwO

由韦达定理可得：x∣+x,=-5净，X1X,=

l+4⅛^-∖+4k2

2

那么IA3∣=ΛA7FJ(-^T)-4^⅛

11Vl+4⅛-∖+4k2

=