湖北省武汉市洪山区南片区教联体2023-2024学年八年级（上）月考数学试卷（12月份）

第1页（共1页）湖北省武汉市洪山区南片区教联体2023-2024学年八年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上，将对应的答案标号涂黑.1．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．（3a2）3＝9a6 B．a3÷a3＝a C．（a2）3＝a5 D．a2•a3＝a53．（3分）一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．84．（3分）等式a﹣b+c＝a﹣（），括号内应填上的项为（）A．b+c B．b﹣c C．﹣b+c D．﹣b﹣c5．（3分）下列因式分解结果正确的是（）A．﹣x3+4x＝﹣x（x2﹣4） B．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y） C．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣x（x+2）﹣1 D．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）6．（3分）已知n正整数，若一个三角形的三边长分别是2、8、3n，则满足条件的n的值有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个7．（3分）如图，将一副三角板的斜边AB重合，点E是AB的中点，连接CE，DE，已知CE＝2，则AD的长是（）A．3 B．2.5 C．2 D．1.58．（3分）如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，BG、CG分别平分三角形的两个外角∠EBC、∠FCB，则∠D和∠G的数量关系为（）A． B．∠D+∠G＝180° C． D．9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个10．（3分）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MB平分∠ABO．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置.11．（3分）若点A的坐标为（1，﹣2），则点A关于x轴的对称点A′的坐标是．12．（3分）计算：＝．13．（3分）若多项式x2+mx+16是一个完全平方式，则m＝．14．（3分）一个等腰三角形的三边长分别为12，6，a+2，则这个等腰三角形的周长为．15．（3分）一个等边三角形，一个直角三角形，一个等腰三角形按如图方式摆放，其中∠3＝75°，则∠1+∠2＝．16．（3分）如图，边长为2的等边三角形ABC，点C在x轴上，AB∥x轴．P为x轴上一点，Q为直线BC上一点，满足∠APQ＝60°，则AP+OQ的最小值是．三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.17．（8分）计算：（1）（6x2﹣2x）÷2x；（2）．18．（8分）因式分解：（1）a2﹣9b2；（2）2a2﹣4ab+2b2．19．（8分）如图，已知E、C是线段BF上两点，满足BE＝CF，A，D为线段上方两点，连接AB，AC，DE，DF，满足AB＝DE，AC＝DF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若五边形ABFDG的面积为10，△GEC的面积为4，请直接写出四边形DGCF的面积：．20．（8分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．（1）若∠A＝90°，求∠BEC的度数；（2）过点E作BC的平行线与AB、AC分别相交于点D、F，若△ABC与△ADF的周长分别为24和15，求BC的长．21．（8分）如图，网格中每个小正方形的顶点叫格点，点A，B，C都在格点处，请仅用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹．（1）过点B作AC的平行线BD；（2）先画△ABC的高AE，再将AE平移到CF，使点A与点C重合；（3）作点B关于AC的对称点B'．22．（10分）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”．例如，因为16＝52﹣32，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？第2023个智慧数是否存在，若存在，又是哪个数？为此，小明和小颖展开了如下探究．小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，9＝52﹣42，…小明认为小颖的方法太麻烦，他想到：设两个数分别为k+1，k，其中k≥1，且k为整数．则（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1．（1）根据上述探究，可以得出：除1外，所有都是智慧数，并请直接写出11的智慧分解：；（2）继续探究，他们发现8＝32﹣12，12＝42﹣22，所以8和12均是智慧数，由此，他们猜想：4k（k≥2，且k为整数）均为智慧数，请证明他们的猜想；（3）根据以上所有探究，请直接写出第2023个智慧数，以及它的智慧分解．23．（10分）如图1，点P是△ABC内一点，PA＝PB＝PC，∠BPC＝150°，则∠BAC＝°（直接写出结果）；如图2，P是△ABC外一点，满足PA＝PB＝PC，∠ACB＝45°，求∠APB的度数；如图3，P是△ABC内一点，PB＝PC，∠BPC＝60°，∠BAC＝30°，求证：PA＝PB．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，a），点B（b，0），∠BAC＝90°，AB＝AC，a2﹣6a+9+|a+nb|＝0．（1）当n＝﹣2时，若直接写出A、B的坐标；（2）如图2，M是x轴上一点，连接AM（AM与线段BC相交），分别过点B、C作AM的垂线，垂足分别为点D、E，请证明：AD＝CE；（3）如图3，在（2）的条件下，当n＜0时，取点A关于BC的对称点G，连接EG，判断EG与CD的关系并证明．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上，将对应的答案标号涂黑.1．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：B，C，D选项中的美术字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；A选项中的美术字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：A．2．（3分）下列运算正确的是（）A．（3a2）3＝9a6 B．a3÷a3＝a C．（a2）3＝a5 D．a2•a3＝a5【解答】解：∵（3a2）3＝27a6，∴选项A不符合题意；∵a3÷a3＝1，∴选项B不符合题意；∵（a2）3＝a6，∴选项C不符合题意；∵a2•a3＝a5，∴选项D符合题意，故选：D．3．（3分）一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：多边形的边数是：360÷72＝5．故选：A．4．（3分）等式a﹣b+c＝a﹣（），括号内应填上的项为（）A．b+c B．b﹣c C．﹣b+c D．﹣b﹣c【解答】解：根据填括号的法则可知，原式＝a﹣（b﹣c）故选：B．5．（3分）下列因式分解结果正确的是（）A．﹣x3+4x＝﹣x（x2﹣4） B．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y） C．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣x（x+2）﹣1 D．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）【解答】解：A．﹣x3+4x＝﹣x（x2﹣4）＝﹣x（x+2）（x﹣2），故A不符合题意；B．x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），故B不符合题意；C．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2，故C不符合题意；D．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），故D符合题意；故选：D．6．（3分）已知n正整数，若一个三角形的三边长分别是2、8、3n，则满足条件的n的值有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【解答】解：∵三角形的三边长分别是2、8、3n，∴8﹣2＜3n＜8+2，∴6＜3n＜10，∴2＜n＜，∴满足条件的n的值是3，有1个．故选：A．7．（3分）如图，将一副三角板的斜边AB重合，点E是AB的中点，连接CE，DE，已知CE＝2，则AD的长是（）A．3 B．2.5 C．2 D．1.5【解答】解：∵点E是AB的中点，∠ACB＝90°，CE＝2，∴CE是直角△ABC斜边AB上的中线，∴AE＝CE＝2．∵△ADB＝90°，DE是直角△ABD斜边AB上的中线，∴AE＝ED＝2．又∵∠EAD＝60°，∴△AED是等边三角形．∴AD＝AE＝2．故选：C．8．（3分）如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，BG、CG分别平分三角形的两个外角∠EBC、∠FCB，则∠D和∠G的数量关系为（）A． B．∠D+∠G＝180° C． D．【解答】解：方法一：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∴，，∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝＝＝，∵BG、CG分别平分三角形的两个外角∠EBC、∠FCB，∴，，∴∠G＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝＝＝＝＝，∴．方法二：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∴，，∵BG、CG分别平分三角形的两个外角∠EBC、∠FCB，∴，，∴，同理可得：∠DCG＝90°，在四边形DBGC中，根据内角和为360°，∴∠D+∠G＝180°．故选：B．9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【解答】解：（1）当AB是底边时，作AB的垂直平分线分别与AC，x轴负半轴相交，共两个交点，都符合条件；（2）当AB是腰时，①以点A为圆心AB长为半径画圆分别与y轴正半轴，负半轴，x轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件；②以点B为圆心AB长为半径画圆分别与x轴正半轴，负半轴，y轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件，因此共有8个符合条件的点．故选：D．10．（3分）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MB平分∠ABO．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝40°，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，∠OAC＝∠OBD，故①正确，符合题意；由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，∴∠AMB＝∠AOB＝40°，故②正确，符合题意；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示，则∠OGC＝∠OHD＝90°，在△OCG和△ODH中，，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG＝OH，∴MO平分∠BMC，∵∠AOB＝∠COD，∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，∵∠AOB＝∠COD，∴∠COM＝∠BOM，∵MO平分∠BMC，∴∠CMO＝∠BMO，在△COM和△BOM中，，∴△COM≌△BOM（ASA），∴OB＝OC，∵OA＝OB，∴OA＝OC，与OA＞OC矛盾，∴③错误；∵没有条件可以证明MB平分∠ABO，∴④错误；正确的个数有2个；故选：C．二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置.11．（3分）若点A的坐标为（1，﹣2），则点A关于x轴的对称点A′的坐标是（1，2）．【解答】解：∵点A的坐标为（1，﹣2），∴点A关于x轴的对称点的坐标为（1，2），故答案为：（1，2）．12．（3分）计算：＝．【解答】解：原式＝22022×（）2022×＝（2×）2022×＝1×＝．故答案为：．13．（3分）若多项式x2+mx+16是一个完全平方式，则m＝±8．【解答】解：∵x2+mx+16＝x2+mx+42，∴mx＝±2×4×x，解得m＝±8．故答案为：±8．14．（3分）一个等腰三角形的三边长分别为12，6，a+2，则这个等腰三角形的周长为30．【解答】解：①当a+2＝12时，∵a+2＝12，∴a＝10，∴等腰三角形的周长＝12+12+6＝30，②当a+2＝6时，∵两边之和需大于第三边，6+6＝12，∴此种情况不能构成三角形，故答案为：30．15．（3分）一个等边三角形，一个直角三角形，一个等腰三角形按如图方式摆放，其中∠3＝75°，则∠1+∠2＝135°．【解答】解：∵∠1+∠4+∠2+5+∠3＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠3﹣∠4﹣∠5＝360°﹣75°﹣60°﹣90°＝135°．故答案为：135°．16．（3分）如图，边长为2的等边三角形ABC，点C在x轴上，AB∥x轴．P为x轴上一点，Q为直线BC上一点，满足∠APQ＝60°，则AP+OQ的最小值是3．【解答】解：过P作PM⊥AC，PN⊥BC，过O作OK⊥BC，交AC延长线于R，过R作RH⊥x轴．∵等边△ABC，∴∠B＝∠ACB＝∠BCH＝60°，∵AB∥x轴，∴∠ACO＝60°，∵∠OCQ＝∠BCH＝60°，∴∠ACO＝∠OCQ，利用角平分线上的点到角两边的距离相等得：PM＝PN，∵∠APQ+∠ACQ＝60°+60°+60°＝180°，利用四边形内角和为360°得：∠PAM+∠PQC＝180°，∵∠PQC+∠PQN＝180°，∴∠PAM＝∠PQN，在△PAM和△PQN中，，∴△PAM≌△PQN（AAS），∴PA＝PQ，∴△APQ为等边△，∴AP＝AQ，在△OCK和△RCK中，，∴△OCK≌△RCK（ASA），∴OK＝KR，∴OC＝CR，OQ＝QR，∵∠OAC＝30°，利用直角三角形中，30度的角所对的边等于斜边的一半，得：OC＝AC＝1，∴CR＝1，∵AQ+QR≥AR，∴AQ+QR≥AC+CR，即AP+OQ≥3，∴AP+OQ的最小值为3．故答案为：3．三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.17．（8分）计算：（1）（6x2﹣2x）÷2x；（2）．【解答】解：（1）（6x2﹣2x）÷2x＝（6x2÷2x）﹣（2x÷2x）＝3x﹣1．（2）＝a2﹣2a+a2+2a+1＝2a2+1．18．（8分）因式分解：（1）a2﹣9b2；（2）2a2﹣4ab+2b2．【解答】解：（1）a2﹣9b2＝（a+3b）（a﹣3b）；（2）2a2﹣4ab+2b2＝2（a2﹣2ab+b2）＝2（a﹣b）2．19．（8分）如图，已知E、C是线段BF上两点，满足BE＝CF，A，D为线段上方两点，连接AB，AC，DE，DF，满足AB＝DE，AC＝DF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若五边形ABFDG的面积为10，△GEC的面积为4，请直接写出四边形DGCF的面积：3．【解答】（1）证明：∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）；（2）解：∵△ABC≌△DEF，∴S△ABC＝S△DEF，∵五边形ABFDG的面积＝S△ABC+S△DEF﹣S△GEC＝10，S△GEC＝4，∴S△DEF＝7，∴四边形DGCF的面积＝S△DEF﹣S△GEC＝3，故答案为：3．20．（8分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．（1）若∠A＝90°，求∠BEC的度数；（2）过点E作BC的平行线与AB、AC分别相交于点D、F，若△ABC与△ADF的周长分别为24和15，求BC的长．【解答】解：（1）∵∠A＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠EBC＝ABC，∠ACB＝ACB，∴∠EBC+∠ECB＝（∠ABC+∠ACB）＝45°，∴∠BEC＝180°﹣45°＝135°；（2）∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠DEB，∵DF∥BC，∴∠DBE＝∠CBE，∴∠DBE＝∠DEB，∴BD＝ED，同理EF＝FC，∵△ABC与△ADF的周长分别为24和15，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝AD+BD+AF+CF+BC，△ADF的周长＝AD+AF+DE＝AD+DE+AF+CF，∴BC＝△ABC的周长﹣△ADF的周长＝24﹣15＝9．21．（8分）如图，网格中每个小正方形的顶点叫格点，点A，B，C都在格点处，请仅用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹．（1）过点B作AC的平行线BD；（2）先画△ABC的高AE，再将AE平移到CF，使点A与点C重合；（3）作点B关于AC的对称点B'．【解答】解：（1）如图所示，直线BD即为所求；（2）取格点K连接AK交BC于点E，则线段AE即为所求；过点D作BC的平行线与过点C作AE的平行线相交于点F，则线段CF即为所求；（3）延长BC到G使CG＝BG，取格点H连接GH并延长交三角形ABC边AC上的高线于点B'，则点B'即为所求．22．（10分）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”．例如，因为16＝52﹣32，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？第2023个智慧数是否存在，若存在，又是哪个数？为此，小明和小颖展开了如下探究．小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，9＝52﹣42，…小明认为小颖的方法太麻烦，他想到：设两个数分别为k+1，k，其中k≥1，且k为整数．则（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1．（1）根据上述探究，可以得出：除1外，所有都奇数是智慧数，并请直接写出11的智慧分解：5，6；（2）继续探究，他们发现8＝32﹣12，12＝42﹣22，所以8和12均是智慧数，由此，他们猜想：4k（k≥2，且k为整数）均为智慧数，请证明他们的猜想；（3）根据以上所有探究，请直接写出第2023个智慧数，以及它的智慧分解．【解答】（1）解：∵（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1（k≥1，且k为整数），∴智慧数是除1外所有的奇数，（5+1）2﹣52＝62﹣52＝（6+5）（6﹣5）＝11，故答案为：奇数，11的智慧分解：5、6；（2）证明：设k≥2，且k为整数，∵8＝32﹣12＝（2+1）2﹣（2﹣1）2＝（2+1+2﹣1）（2+1﹣2+1），12＝42﹣22＝（3+1）2﹣（3﹣1）2＝（3+1+3﹣1）（3+1﹣3+1），∴（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．∴4k（k≥2且k为整数）均为智慧数；（3）解：据探究得，智慧数是奇数时k≥1，且k为整数，智慧数是4的倍数时，k≥2且k为整数，∴正整数中前四个正整数只有3为智慧数，此后每连续四个数中有三个智慧数，（2023﹣1）÷3＝674，4×（674+1）＝2700，∴第2023个智慧数是2700，∵2700能被4整除，∴2700＝6762﹣6742＝（676+674）（676﹣674）．23．（10分）如图1，点P是△ABC内一点，PA＝PB＝PC，∠BPC＝150°，则∠BAC＝75°（直接写出结果）；如图2，P是△ABC外一点，满足PA＝PB＝PC，∠ACB＝45°，求∠APB的度数；如图3，P是△ABC内一点，PB＝PC，∠BPC＝60°，∠BAC＝30°，求证：PA＝PB．【解答】（1）解：∵∠BPC＝150°，∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC＝30°，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA+30°＝180°，∵PA＝PB＝PC，∴∠PAB＝∠PBA，∠PAC＝∠PCA，∴2∠PAB+2∠PAC+30°＝180°，∴∠PAB+∠PAC＝75°，∴∠BAC＝∠PAB+∠PAC＝75°，故答案为：75．（2）解：∵PA＝PB＝PC，∴∠PAB＝∠PBA，∠PAC＝∠P