福建省福州市仓山区金山中学2023-2024学年九年级（上）第三次月考数学试卷

第1页（共1页）福建省福州市仓山区金山中学2023-2024学年九年级（上）第三次月考数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．（4分）下列事件为必然事件的是（）A．打开电视机，正在播放新闻 B．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C．买一张电影票，座位号是奇数号 D．任意画一个三角形，其内角和是180°2．（4分）下列几何体中，从左面看到的图形是圆的是（）A． B． C． D．3．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，AB＝5，那么sinB等于（）A． B． C． D．4．（4分）已知在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，下列阴影部分的三角形与原△ABC不相似的是（）A． B． C． D．5．（4分）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧B进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（）A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x） C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对6．（4分）如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标为（）A．（1，0） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）7．（4分）已知某个函数满足如下三个特征：（1）图象经过点（﹣1，1）；（2）图象经过第四象限；（3）当x＞0时，y随x的增大而增大，则这个函数可能是（）A．y＝﹣x B． C．y＝x2 D．8．（4分）某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷20次，都是反面朝上，则抛掷第21次出现正面朝上的概率是（）A．1 B． C． D．9．（4分）如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A． B． C．2 D．10．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P从点A出发，按A→B→C的方向在边AB和BC上移动，记AP＝x，点D到直线AP的距离DE为y，则y的最小值是（）A．6 B． C．5 D．4二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分.）11．（4分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的形状是．12．（4分）一名职业篮球球员某次投篮训练结果记录如图所示，由此可估计这名球员投篮800次，投中的次数约为次．13．（4分）如图，点A在反比例函数y＝﹣的图象上，点B在反比例函数y＝的图象上．AB∥x轴，则△OAB的面积是．14．（4分）如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：9，则S△DBE与S△OCE的比是．15．（4分）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，则sinα﹣cosα＝．16．（4分）如图，分别经过原点O和点A（4，0）的直线a，b夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是．三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）计算：6tan260°﹣cos30°•tan30°﹣2sin45°+cos60°．18．（8分）已知一次函数y1＝﹣x+2的图象与反比例函数图象交于A、B两点，且A点的横坐标﹣1，求：（1）反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出满足y1≤y2时x的取值范围：．19．（8分）如图，在△ABC中，sinA＝，∠C＝105°，AC＝2，求AB的长．20．（8分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）如图①，网格中△ABC的形状是；（2）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；（3）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连接PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．21．（8分）小敏的爸爸买了一张武夷山的门票，她和哥哥都想去，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了8张扑克牌，将数字为2，3，5，9的四张牌给小敏，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽取一张，然后将抽出的两张牌数字相加，如果和为偶数，则小敏去，如果和为奇数，则哥哥去．（1）小敏抽到数字为偶数的概率为；（2）请你用列表或树状图的方法求小敏去的概率．22．（10分）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）是通电时间x（min）的反比例函数．若在水温为20℃时开始加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示．（1）将水从20℃加热到100℃需要min．（2）在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式．（3）加热一次，水温不低于40℃的时间有多长？23．（10分）综合与实践主题：利用相似三角形的有关知识测量建筑物的高度．素材：平面镜、标杆、皮尺等测量工具．步骤1：如图，站在B处，位于点B正前方3米点C处有一平面镜，通过平面镜刚好可以看到建筑物的顶端M的像，此时测得眼睛到地面的距离AB为1.5米；步骤2：在F处竖立了一根高2米的标杆EF，发现地面上的点D、标杆顶点E和建筑物顶端M在一条直线上，此时测得DF为6米，CF为4米．猜想与计算：已知MN⊥ND，AB⊥ND，EF⊥ND，点N、C、B、F、D在同一条直线上，且点N、C之间存在障碍物，无法直接测量．请根据以上所测数据：（1）直接写出平面镜到建筑物的距离CN与建筑物高度MN之间的数量关系；（2）计算建筑物的高度MN（平面镜大小忽略不计）．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，OB＝5，点D是此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点D坐标；（2）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；（3）在（2）的条件下，当△BCE的面积最大时，P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值，若存在，请直接写出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．25．（14分）△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交线段BC于点E（点E与点C不重合），点F为直线AC上一点，点G为边AB上一点（点G与点A不重合），且∠GEF+∠BAC＝180°．（1）如图1，当∠B＝45°时，求证：线段AG＝CF；（2）如图2，当∠B＝30°时，猜想线段AG和CF的数量关系，并说明理由；（3）若BC＝12，，，求线段CF的长．参考答案与解析一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．（4分）下列事件为必然事件的是（）A．打开电视机，正在播放新闻 B．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C．买一张电影票，座位号是奇数号 D．任意画一个三角形，其内角和是180°【解答】解：A、打开电视机，正在播放新闻，是随机事件，不符合题意；B、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；C、买一张电影票，座位号是奇数号，是随机事件，不符合题意；D、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意；故选：D．2．（4分）下列几何体中，从左面看到的图形是圆的是（）A． B． C． D．【解答】解：选项A中的几何体的左视图为三角形，因此不符合题意；选项B中的几何体其左视图为等腰三角形，因此选项B不符合题意；选项C中的几何体的左视图是长方形，因此选项C不符合题意；选项D中的几何体，其左视图为圆，因此选项D符合题意，故选：D．3．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，AB＝5，那么sinB等于（）A． B． C． D．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，∴sinB＝＝．故选：A．4．（4分）已知在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，下列阴影部分的三角形与原△ABC不相似的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项A不符合题意；B、不能证明阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项B符合题意；C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项C不符合题意；D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意；故选：B．5．（4分）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧B进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（）A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x） C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对【解答】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20﹣x，∴，∴（20﹣x）2＝20x，故选：A．6．（4分）如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标为（）A．（1，0） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）【解答】解：如图所示：位似中心的坐标为（0，﹣1）．故选：D．7．（4分）已知某个函数满足如下三个特征：（1）图象经过点（﹣1，1）；（2）图象经过第四象限；（3）当x＞0时，y随x的增大而增大，则这个函数可能是（）A．y＝﹣x B． C．y＝x2 D．【解答】解：把点（﹣1，1）分别代入四个选项中的函数表达式，可得，选项B不符合题意；又函数过第四象限，而y＝x2只经过第一、二象限，故选项C不符合题意；对于函数y＝﹣x，当x＞0时，y随x的增大而减小，与给出的特征不符合，故选项A不符合题意．对于函数，经过点（﹣1，1），图象经过第四象限，当＞0时，随的增大而增大，故选项D符合题意，故选：D．8．（4分）某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷20次，都是反面朝上，则抛掷第21次出现正面朝上的概率是（）A．1 B． C． D．【解答】解：硬币有两面，每次抛掷一次出现正面朝上的概率为，与次数无关，故选：B．9．（4分）如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A． B． C．2 D．【解答】解：过B点作BD⊥AC，如图，由勾股定理得，AB＝＝，AC＝＝3，∴S△ABC＝，∴BD＝＝，∴AD＝＝＝2，cosA＝＝＝，故选：D．10．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P从点A出发，按A→B→C的方向在边AB和BC上移动，记AP＝x，点D到直线AP的距离DE为y，则y的最小值是（）A．6 B． C．5 D．4【解答】解：连接AC，当点B在AB上运动时，y的值恒为8，当点P在BC上时，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，AD＝BC＝8，∴∠BAP+∠DAE＝90°，∠BAP+∠APB＝90°，∴∠DAE＝∠APB，∵DE⊥AP，∴∠DEA＝90°，∴∠B＝∠DEA，∴△ABP∽△DEA，∴，即，∴y＝，∵AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，∴AC＝10，∴6＜x≤10，∴当x＝10时，y取得最小值＝，故选：B．二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分.）11．（4分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的形状是圆锥．【解答】解：根据俯视图为圆的有球，圆锥，圆柱等几何体，主视图和左视图为三角形的只有圆锥，则这个几何体的形状是圆锥．故答案为：圆锥．12．（4分）一名职业篮球球员某次投篮训练结果记录如图所示，由此可估计这名球员投篮800次，投中的次数约为600次．【解答】解：由统计图可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.75附近，则这名篮球球员投中的概率为0.75，投中的次数约为：800×0.75＝600（次）．故答案为：600．13．（4分）如图，点A在反比例函数y＝﹣的图象上，点B在反比例函数y＝的图象上．AB∥x轴，则△OAB的面积是3．【解答】解：设AB交y轴于点C，则S△AOB＝S△AOC+S△BCO＝×|﹣4|+＝2+1＝3，故答案为：3．14．（4分）如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：9，则S△DBE与S△OCE的比是2：3．【解答】解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，又∵S△DOE：S△COA＝1：9，∴＝＝，即S△OCE＝S△DEC，∵DE∥AC，∴△ABE∽△BCA，∴＝＝，即S△DEC＝2S△BED，∴S△DBE与S△OCE的比是S△DEC：S△DEC＝2：3，故答案为：2：3．15．（4分）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，则sinα﹣cosα＝﹣．【解答】解：如图，∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即AC2+（7+AC）2＝132，整理得，AC2+7AC﹣60＝0，解得AC＝5，AC＝﹣12（舍去），∴BC＝＝＝12，∴cosα＝，sinα＝＝，∴sinα﹣cosα＝﹣，故答案为：﹣．16．（4分）如图，分别经过原点O和点A（4，0）的直线a，b夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是．【解答】解：如图，作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．∵∠ATO＝2∠ABO＝60°，TO＝TA，∴△OAT是等边三角形，∵A（4，0），∴TO＝TA＝TB＝4，∵OK＝KT，OM＝MB，∴KM＝TB＝2，∴点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大，∵△OTA是等边三角形，OK＝KT，∴AK⊥OT，∴AK＝＝＝2，∵AM是切线，KM是半径，∴AM⊥KM，∴AM＝＝＝2，过点M作ML⊥OA于点L，KR⊥OA于点R，MP⊥RK于点P．∵∠PML＝∠AMK＝90°，∴∠PMK＝∠LMA，∵∠P＝∠MLA＝90°，∴△MPK∽△MLA，∴，设PK＝x，PM＝y，则有ML＝y，AL＝x，∴y＝+x①，y＝3﹣x，解得，x＝，y＝，∴ML＝y＝，∴sin∠OAM＝＝．故答案为：．三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）计算：6tan260°﹣cos30°•tan30°﹣2sin45°+cos60°．【解答】解：原式＝6×（）2﹣×﹣2×+＝18﹣﹣+＝18﹣．18．（8分）已知一次函数y1＝﹣x+2的图象与反比例函数图象交于A、B两点，且A点的横坐标﹣1，求：（1）反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出满足y1≤y2时x的取值范围：﹣1≤x＜0或x≥3．【解答】解：（1）把x＝﹣1分别代入y1＝﹣x+2得y1＝1+2＝3，∴A（﹣1，3），把A（﹣1，3）代入得3＝，解得k＝﹣3，∴反比例函数的解析式为y2＝﹣；（2）设y＝﹣x+2与y轴交点为C（0，2）∴OC＝2，解得或，∴B（3，﹣1），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝4；（3）y1≤y2时x的取值范围是﹣1≤x＜0或x≥3．故答案为：﹣1≤x＜0或x≥3．19．（8分）如图，在△ABC中，sinA＝，∠C＝105°，AC＝2，求AB的长．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，∵∵sinA＝，∴∠A＝30°，∵∠A＝30°，，∴，∵cocA＝，∴AD＝AC•cosA＝2×＝3，∵∠A＝30°，∠ACB＝105°∴∠B＝∠BCD＝45°，∴，∴．20．（8分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）如图①，网格中△ABC的形状是直角三角形；（2）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；（3）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连接PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．【解答】解：（1）由图可知，AB2＝42+22＝20，AC2＝12+22＝5，BC2＝52＝25，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；故答案为：直角三角形；（2）取格点E，连接AE，如图：点E即为所求；理由：∵∠BAE＝90°﹣∠EAC＝∠C，∠AEB＝90°＝∠BAC，∴△ABE∽△CBA；（3）取格点M，N，连接MN交BC于Q，取格点P，连接PQ，如图：点P，点Q即为所求；理由：由图可得，P是AB的中点，Q是BC的中点，∴PQ是△ABC的中位线，∴＝＝＝，∴△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．21．（8分）小敏的爸爸买了一张武夷山的门票，她和哥哥都想去，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了8张扑克牌，将数字为2，3，5，9的四张牌给小敏，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽取一张，然后将抽出的两张牌数字相加，如果和为偶数，则小敏去，如果和为奇数，则哥哥去．（1）小敏抽到数字为偶数的概率为；（2）请你用列表或树状图的方法求小敏去的概率．【解答】解：（1）∵数字2，3，5，9四张牌给小敏，其中有1张数字为偶数，∴小敏抽到数字为偶数的概率为：1÷4＝，故答案为：；（2）根据题意，我们可以画出如下的树形图：从树形图（表）中可以看出，所有可能出现的结果共有16个，这些结果出现的可能性相等．而和为偶数的结果共有6个，所以小敏看比赛的概率P（和为偶数）＝＝．22．（10分）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）是通电时间x（min）的反比例函数．若在水温为20℃时开始加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示．（1）将水从20℃加热到100℃需要4min．（2）在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式．（3）加热一次，水温不低于40℃的时间有多长？【解答】解：（1）∵开机加热时每分钟上升20℃，∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为＝4（min），故答案为：4；（2）设水温下降过程中，y与x的函数关系式为y＝，由题意得，点（4，100）在反比例函数y＝的图象上，∴＝100，解得：k＝400，∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y＝；（3）在加热过程中，水温为40℃时，20x+20＝40，解得：x＝1，在降温过程中，水温为40℃时，40＝，解得：x＝10，∵10﹣1＝9，∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min．23．（10分）综合与实践主题：利用相似三角形的有关知识测量建筑物的高度．素材：平面镜、标杆、皮尺等测量工具．步骤1：如图，站在B处，位于点B正前方3米点C处有一平面镜，通过平面镜刚好可以看到建筑物的顶端M的像，此时测得眼睛到地面的距离AB为1.5米；步骤2：在F处竖立了一根高2米的标杆EF，发现地面上的点D、标杆顶点E和建筑物顶端M在一条直线上，此时测得DF为6米，CF为4米．猜想与计算：已知MN⊥ND，AB⊥ND，EF⊥ND，点N、C、B、F、D在同一条直线上，且点N、C之间存在障碍物，无法直接测量．请根据以上所测数据：（1）直接写出平面镜到建筑物的距离CN与建筑物高度MN之间的数量关系；（2）计算建筑物的高度MN（平面镜大小忽略不计）．【解答】解：（1）由题意得：∠ACB＝∠MCN，∵MN⊥ND，AB⊥ND，∴∠ABC＝∠MNC＝90°，∴△ACB∽△MCN，∴，即，解得：CN＝2MN，∴CN＝2MN；（2）设MN＝x米，则CN＝2x米，∵DF＝6米，CF＝4米，EF＝2米，∴DN＝DF+CF+CN＝（10+2x）米，∵MN⊥ND，EF⊥ND，∴∠DNM＝∠DFE＝90°，∵∠MDN＝∠EDF，∴△DNM∽△DFE，∴，即，解得：x＝10，答：建筑物MN的高度为10米．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，OB＝5，点D是此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点D坐标；（2）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；（3）在（2）的条件下，当△BCE的面积最大时，P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值，若存在，请直接写出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵OA＝1，OB＝5，∴A（﹣1，0），B（5，0），将A、B两点代入y＝ax2+2x+c，∴，∴，∴；∵，∴，（2）如图1，过点E作EF⊥x轴交BC于点F，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴，设，则，∴，∴，∴当时，S△BCE有最大值，此时；（3）∵，∴，令x＝0，则，∴，∴，故答案为：；（3）①②EM+MP+PB存在最小值，理由如下：当时，，，∵，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵PM垂直对称轴，∴PM∥x轴，PM＝2，如图2，