2023-2024学年辽宁省鞍山市海城市八年级（上）质监数学试卷

第1页（共1页）2023-2024学年辽宁省鞍山市海城市八年级（上）质监数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）某中学实践教育基地有一块三角形菜地，校团委要把菜地分给八年级两个班级负责管理，如图所示，若AD把△ABC的面积平均分成两部分，则AD是△ABC的（）A．高 B．中线 C．角平分线 D．垂直平分线3．（2分）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）A．1 B．2 C．8 D．114．（2分）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以测量工件内槽的宽度，在图中，要测量工件内槽宽AB，则需要测量的量是（）A．OA的长度 B．OB的长度 C．AB的长度 D．A′B′的长度5．（2分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A．180° B．360° C．540° D．720°6．（2分）如图，△ABC中，点D在BC边上，点D关于AB，AC对称的对称点分别为E，F，连接AE，AF．如图所示，∠EAF的度数是（）A．113 B．124 C．129 D．1347．（2分）如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为（）A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c8．（2分）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（）A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45° C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°9．（2分）如图，等边三角形ABC的边长为4，以边AC的中点O为原点建立平面直角坐标系，且点B在x轴上，将△ABC沿y轴翻折得到△ACD，点M，N分别是AB，AD的中点，在x轴上有一动点P，若满足PM+PN的值最小，则点P的坐标是（）A．（﹣1，0） B．（0，0） C．（1，0） D．（0，1）10．（2分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（）A．60° B．65° C．75° D．80°二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则它的边数为．12．（3分）如图，已知AD＝AE，若使得△ABE≌△ACD，可以添加一个条件是．（不添加任何字母和辅助线）13．（3分）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F，若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为．14．（3分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．15．（3分）如图，已知△ABC与△DBE都是等边三角形，连接AD、CD、CE，若∠DCE＝90°，DC＝CE，S△CDE+S△BDE＝18，则CE的长是．三、解答题（本大题共7小题，共65分）16．（7分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的角平分线，且CE交BA的延长线于点E，求证：∠BAC＝∠B+2∠E．17．（8分）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）若△ABC关于直线l对称的△A2B2C2的顶点B2的坐标为（﹣3，0）；请直接画出直线l并写出点A2的坐标．18．（8分）已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'＝∠AOB（1）如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；（2）如图2，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′；（4）过点D′画射线O′B'，则∠A'O'B'＝∠AOB．根据以上作图步骤，请你证明∠A'O'B′＝∠AOB．19．（10分）如图，某居民小区在三栋住宅楼A，B，C之间修建了供居民散步的三条绿道，小区物业打算在绿道内部修建一个凉亭，按照设计要求，凉亭到三条绿道的距离相等，请在图中标注凉亭的位置，保留作图痕迹，并说明设计理由．20．（10分）如图，在四边形ABCD中，BC⊥CD，对角线AC与BD交于点O，已知∠1＝∠2＝∠3，∠5＝∠6，且∠4＝65°．（1）求证：AC垂直平分BD；（2）求∠DAB的度数．21．（10分）折纸是同学们喜欢的手工活动之一．按照下面过程折一折，并探究其蕴含的数学知识：如图①：把边长为4的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF；如图②：点M为CF上一点，将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在折痕EF上的点N处，展开后连接DN，MN，AN．试探究：（1）判断△AND的形状，并给出证明；（2）说明线段NF与CM的数量关系．22．（12分）在数学活动课上，王老师提出这样一个问题：在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB＝7，AC＝4，你能判断AD的取值范围吗？如图①，小明同学考虑到，利用线段相等，可以构造全等把一些分散的已知条件整合在一个三角形里，因此得到如下解题思路：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造一对全等三角形，然后在△ABE中就可以判断AE的取值范围，从而求出AD的取值范围．（1）按照上述思路，请完成小明的证明过程；（2）类比上述解题思路，解决问题：如图②，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F，若AD⊥BC，AE＝1，CF＝2，求AC的长．（3）如图③，王老师在原△ABC外部，以A为直角顶点作两个等腰直角三角形，分别为△ABM与△ACN，连接MN，猜想MN与中线AD的数量关系，并证明你的结论．参考答案与解析一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：C．2．（2分）某中学实践教育基地有一块三角形菜地，校团委要把菜地分给八年级两个班级负责管理，如图所示，若AD把△ABC的面积平均分成两部分，则AD是△ABC的（）A．高 B．中线 C．角平分线 D．垂直平分线【解答】解：∵AD把△ABC的面积平均分成两部分，∴BD＝DC，∴AD是△ABC的中线，故选：B．3．（2分）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）A．1 B．2 C．8 D．11【解答】解：设三角形第三边的长为x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3，4＜x＜10，故选：C．4．（2分）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以测量工件内槽的宽度，在图中，要测量工件内槽宽AB，则需要测量的量是（）A．OA的长度 B．OB的长度 C．AB的长度 D．A′B′的长度【解答】解：只要测量A′B′就可以，理由：连接AB，A′B′，如图，∵点O分别是AA′、BB′的中点，∴OA＝OA′，OB＝OB′，在△AOB和△A′OB′中，，∴△AOB≌△A′OB′（SAS）．∴A′B′＝AB．故选：D．5．（2分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A．180° B．360° C．540° D．720°【解答】解：黑色正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，故选：C．6．（2分）如图，△ABC中，点D在BC边上，点D关于AB，AC对称的对称点分别为E，F，连接AE，AF．如图所示，∠EAF的度数是（）A．113 B．124 C．129 D．134【解答】解：如图，连接AD，DE，DF，∵点E和点F分别是点D关于AB和AC的对称点，∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，∵∠B＝62°，∠C＝51°，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝180°﹣62°﹣51°＝67°，∴∠EAF＝2∠BAC＝134°，故选：D．7．（2分）如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为（）A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，∴∠A＝∠C，∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDE，∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，∵EF＝c，∴AD＝AF+DF＝a+（b﹣c）＝a+b﹣c，故选：D．8．（2分）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（）A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45° C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠C﹣∠B，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选：D．9．（2分）如图，等边三角形ABC的边长为4，以边AC的中点O为原点建立平面直角坐标系，且点B在x轴上，将△ABC沿y轴翻折得到△ACD，点M，N分别是AB，AD的中点，在x轴上有一动点P，若满足PM+PN的值最小，则点P的坐标是（）A．（﹣1，0） B．（0，0） C．（1，0） D．（0，1）【解答】解：如图过AC作N的对称点N'，连接MN'，则PM+PN的最小值为MN'，由题意得AB＝BC＝CD＝AD＝4，∴四边形ABCD是菱形，∵△ABC是等边三角形，∴∠ADO＝∠ABO＝30°，∴AO＝AD＝2，∴BO＝DO＝＝2，∴A（0，2，），B（﹣2，0），D（2，0），∵点M，N分别是AB，AD的中点，∴M（﹣，1），N（，1），∴N′（，﹣1），设直线MN的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线MN的解析式为y＝﹣x，∴直线MN与x轴的交点为（0，0），故选：B．10．（2分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（）A．60° B．65° C．75° D．80°【解答】解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∴∠ODC＝25°，∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．故选：D．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则它的边数为6．【解答】解：设这个正多边形的边数是n，根据题意得，（n﹣2）•180°＝2×360°，解得n＝6，故答案为：6．12．（3分）如图，已知AD＝AE，若使得△ABE≌△ACD，可以添加一个条件是AB＝AC（答案不唯一）．（不添加任何字母和辅助线）【解答】解：在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴判定△ABE≌△ACD，可以添加一个条件是AB＝AC（答案不唯一）．13．（3分）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F，若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为70°．【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠D＝15°，∴∠B＝180°﹣∠D﹣∠BED＝180°﹣15°﹣90°＝75°，∵∠A＝35°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣35°﹣75°＝70°，故答案为：70°．14．（3分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝或．【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或15．（3分）如图，已知△ABC与△DBE都是等边三角形，连接AD、CD、CE，若∠DCE＝90°，DC＝CE，S△CDE+S△BDE＝18，则CE的长是．【解答】解：如图，过点B作BF⊥DE于F，∵△BDE是等边三角形，∴EF＝，BE＝2EF＝DE，∴BF＝，设CE＝x，则DC＝x，在Rt△DCE中，由勾股定理得，DE＝＝＝，∴BF＝＝，∵S△CDE+S△BDE＝18，∴，∴+＝18，∴x＝，故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，共65分）16．（7分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的角平分线，且CE交BA的延长线于点E，求证：∠BAC＝∠B+2∠E．【解答】证明：在△BCE中，∠1＝∠B+∠E，∵CE是△ABC的外角∠ACD的角平分线，∴∠1＝∠2，在△ACE中，∠BAC＝∠E+∠2＝∠E+∠B+∠E＝∠B+2∠E，即：∠BAC＝∠B+2∠E．17．（8分）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）若△ABC关于直线l对称的△A2B2C2的顶点B2的坐标为（﹣3，0）；请直接画出直线l并写出点A2的坐标．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，C1（3，﹣1）；（2）直线l如图所示，A2（﹣4，2）．18．（8分）已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'＝∠AOB（1）如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；（2）如图2，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′；（4）过点D′画射线O′B'，则∠A'O'B'＝∠AOB．根据以上作图步骤，请你证明∠A'O'B′＝∠AOB．【解答】证明：由作法得OD＝OC＝O′D′＝O′C′，CD＝C′D′，在△OCD和△O′C′D′中，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠COD＝∠C′O′D′，即∠A'O'B′＝∠AOB．19．（10分）如图，某居民小区在三栋住宅楼A，B，C之间修建了供居民散步的三条绿道，小区物业打算在绿道内部修建一个凉亭，按照设计要求，凉亭到三条绿道的距离相等，请在图中标注凉亭的位置，保留作图痕迹，并说明设计理由．【解答】解：作∠ABC的平分线BE，∠ACB的平分线CF，BE交CF于P，如图：点P即为凉亭的位置；理由：∵BE平分∠ABC，∴P到AB的距离等于P到BC的距离；同理P到BC的距离等于P到AC的距离；∴P到AB的距离等于P到BC的距离，也等于P到AC的距离；∴P到三条绿道的距离相等．20．（10分）如图，在四边形ABCD中，BC⊥CD，对角线AC与BD交于点O，已知∠1＝∠2＝∠3，∠5＝∠6，且∠4＝65°．（1）求证：AC垂直平分BD；（2）求∠DAB的度数．【解答】（1）证明：∵BC⊥CD，∴∠3+∠BCD＝90°，∵∠1＝∠2＝∠3，∴∠2+∠BCD＝90°，BC＝CD∵∠2+∠BCD+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝90°，∴AC⊥BD，∵AC垂直平分BD；（2）解：由（1）可知AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝90°，∴∠4+∠5＝90°，∵∠4＝65°，∴∠5＝25°∴∠5＝∠6＝25°，∴∠DAB＝∠5+∠6＝25°+25°＝50°．21．（10分）折纸是同学们喜欢的手工活动之一．按照下面过程折一折，并探究其蕴含的数学知识：如图①：把边长为4的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF；如图②：点M为CF上一点，将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在折痕EF上的点N处，展开后连接DN，MN，AN．试探究：（1）判断△AND的形状，并给出证明；（2）说明线段NF与CM的数量关系．【解答】解：（1）△AND是等边三角形，证明如下：∵把边长为4的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF，∴EF是AD的垂直平分线，∴AN＝DN，∵将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在折痕EF上的点N处，∴DC＝DN＝4，∴AN＝DN＝4＝AD，∴△AND是等边三角形；（2）NF＝CM，理由如下：∵把边长为4的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF，∴DE＝AD＝2，∠DEN＝90°，∵将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在折痕EF上的点N处，∴DC＝DN＝4，∠C＝∠DNM＝90°，MN＝CM，∴DE＝DN，∴∠DNE＝30°，∴∠CNF＝180°﹣∠DNE﹣∠DNM＝60°，∵∠NFC＝90°，∴∠FMN＝30°，∴NF＝MN，∴NF＝CM．22．（12分）在数学活动课上，王老师提出这样一个问题：在△ABC中