人教A理科数课时试题及解析（58）二项式定理A

PAGEPAGE3课时作业(五十八)A[第58讲二项式定理][时间：35分钟分值：80分]eq\a\vs4\al\co1(基础热身)1．二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)))6的展开式的第3项的值是()A.eq\f(3,32)B.eq\f(3,64)C.eq\f(15,64)D.eq\f(5,16)2.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))8的展开式中常数项是()A．56B．－56C．70D．－703．若(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，且a1＋a2＝21，则展开式的各项中系数的最大值为()A．15B．20C．56D．704．若(x＋1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a5(x－1)5，则a0＝()A．32B．1C．－1D．－32eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)))n的展开式的各项系数和为32，则展开式中含有x项的系数为()A．5B．40C．20D．106.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))2n展开式的第6项系数最大，则其常数项为()A．120B．252C．210D．457．已知n∈N*，若对任意实数x都有xn＝a0＋a1(x－n)＋a2(x－n)2＋…＋an(x－n)n，则an－1的值为()A．n2B．nnC.eq\f(n－1n3,2)D.eq\f(n－1nn－1,2)8．若多项式x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝()A．9B．10C．－9D．－109．9910被1000除的余数是________．10．(1－2x)5(1＋3x)4的展开式中含x2项的系数是________．11．若(cosφ＋x)5的展开式中x3的系数为2，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2φ＋\f(π,2)))＝________.12．(13分)证明：当n≥3时，2n>2n＋1.eq\a\vs4\al\co1(难点突破)13．(12分)求二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x2)))8的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数最大的项和系数最小的项．

课时作业(五十八)A【基础热身】1．C[解析]二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)))6的展开式的第3项是Ceq\o\al(2,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(15,64).2．C[解析]常数项是第5项，这个项是Ceq\o\al(4,8)x4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))4＝70.3．B[解析]由a1＋a2＝21，得Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＝21⇒n＝6，故各项中系数的最大值为Ceq\o\al(3,6)＝20，选B.4．A[解析]令x＝1，得a0＝32.【能力提升】5．D[解析]令x＝1可得展开式中各项系数之和，求出n值，再根据二项展开式的通项公式求解．展开式的各项系数之和等于2n＝32，解得n＝5.二项式的通项公式是Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)x2(5－r)x－r＝Ceq\o\al(r,5)x10－3r，当r＝3时，含有x项的系数是Ceq\o\al(3,5)＝10.6．C[解析]根据二项式系数的性质，得2n＝10，故二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))2n的展开式的通项公式是Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)(eq\r(x))10－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))r＝Ceq\o\al(r,10)x5－eq\f(r,2)－eq\f(r,3)，根据题意5－eq\f(r,2)－eq\f(r,3)＝0，解得r＝6，故所求的常数项等于Ceq\o\al(6,10)＝Ceq\o\al(4,10)＝210.正确选项为C.7．A[解析]xn＝[n＋(x－n)]n，根据二项式通项公式得an－1＝Ceq\o\al(n－1,n)n＝n2.正确选项为A.8．D[解析]a9与x2无关，变换x10＝[－1＋(x＋1)]10得，a9＝Ceq\o\al(9,10)(－1)1＝－10.9．1[解析]9910＝(100－1)10＝Ceq\o\al(0,10)10010－…＋Ceq\o\al(8,10)1002－Ceq\o\al(9,10)100＋1，展开式中除最后一项都能被1000整除，故所求的余数为1.10．－26[解析]Ceq\o\al(2,4)·32＋Ceq\o\al(1,4)·3·Ceq\o\al(1,5)(－2)＋Ceq\o\al(2,5)(－2)2＝－26.11．－eq\f(3,5)[解析]由二项式定理得，x3的系数为Ceq\o\al(3,5)cos2φ＝2，∴cos2φ＝eq\f(1,5)，故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2φ＋\f(π,2)))＝cos2φ＝2cos2φ－1＝－eq\f(3,5).12．[解答]证明：2n＝(1＋1)n＝1＋Ceq\o\al(1,n)＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)＋1，因为n≥3，所以展开式中至少有四项，保留第一、二和倒数第二项，故有2n＝(1＋1)n＝1＋Ceq\o\al(1,n)＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)＋1>1＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(n－1,n)＝2n＋1.【难点突破】13．[解答](1)二项式系数最大的项即展开式的中间项，也即第5项，所求项为T4＋1＝Ceq\o\al(4,8)(eq\r(x))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x2)))4＝eq\f(1120,x6).(2)先求系数绝对值最大的项，设第r＋1项的系数的绝对值最大，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,8)2r≥C\o\al(r－1,8)2r－1，,C\o\al(r,8)2r≥C\o\al(r＋1,8)2r＋1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,r)≥\f(1,9－r)，,\f(1,8－r)≥\f(2,r＋1)，))∴5≤r≤6，即第6项和第7项的系数绝对值最大．由于第6项的系数为负，第7项的系数为正，∴第7项是系数最大的项，这一项为T6＋1＝Ceq\o\al(6,8)(eq\r(x))2·eq