5.1.2导数的概念及其几何意义讲义-高二上学期数学人教A版选择性

导数的概念及意义一．感知变化率：变化的快慢与变化率例1：甲、乙两人跑步，路程与时间关系如下图所示，试问：（1）甲，乙两人的百米速度哪一个更快？（2）甲，乙两人的起跑速度哪个更快？（3）临终点时，谁的冲刺速度更快？例2：乙运动的路程s满足，我们来计算他在以下时间内的平均速度。（1）在0秒到1秒的平均速度；（2）在19秒到20秒的平均速度；（3）在t1秒到t2秒的平均速度；例3：类比于例2中的求乙“在t1秒到t2秒的平均速度”，已知函数，求x1到x2的平均变化率.二．平均变化率【平均变化率的定义】：.实质：作用：【平均变化率的几何意义】：

例4：已知函数（1）求在[1，]内的平均变化率；（2）求在[2,3]内的平均变化率；（3）分析（1）（2）中平均变化率的几何意义.（4）求在x=1附近的平均变化率，其中△x=；若△x=呢？（5）求从x0到x0＋△x时的平均变化率.三．瞬时变化率；导数例5：一个小球从高空中自由下落，其走过的路程s（单位m）与时间t（单位秒）的函数关系式为.其中，g为重力加速度，设g=10m/s2，求t=5s时刻的瞬时速度.思考：如何求瞬时速度？例6：小球运动的路程s满足，则小球在t0时刻的瞬时速度为？思考：类比于例6，已知函数，则函数在x=x0的瞬时变化率为？【导数的概念】：例7：求函数y=3x2在x=1处的导数.

四．导数的几何意义1.问题：如何判断一条直线是否是圆或椭圆的切线或割线？2.问题：上述方法是否适用于抛物线、双曲线或更一般的曲线？3.方法：判断圆的切线还可以由割线通过绕点旋转得到.4.在图中作出点P2，P3，P4，P5的割线，并注意观察点P1沿曲线逐渐向点P靠近过程中，割线PPn的运动情况.5.思考：平均变化率，瞬时变化率，切线PT的斜率与割线PPn变化过程中的斜率有什么关系？【导数的几何意义】例8：求曲线f(x)=x2+1在点P（1,2）处的切线方程.

五．导函数1.问题：（1）求函数f(x)=3x2在x=x0处的导数；（2）求函数f(x)=3x2在x=1,2,3,处的导数.【导函数的概念】（1）定义：（2）记法：2.思考：“函数y=f(x)在x=x0处的导数”，“导函数”，“导数”三者之间的区别和联系.例9：某斜坡在某段内的倾斜程度可以近似地用函数f(x)=x2+4x（≤x≤2）来刻画，试分析该段斜坡的坡度的变化情况.例10：（1）若曲线f(x)=x2+1在某点处的切线方程为2x+y=0，则切点的坐标为.（2）求曲线f(x)=x2过点（1,1）的切线方程.题型练习一．【变化率与导数的概念】1．已知函数，则y＝f（x）在[2，4]上的平均变化率为.2．某运动物体的位移s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为s＝2t2+t，则该物体在t＝2秒时的瞬时速度为.3．水滴在水面上形成同心圆，边上的圆半径以6m每秒的速度向外扩大，则两秒末时圆面积的变化速率为.4．若f′（x0）＝﹣3，则＝.5．若，则f'（x0）等于.6．设f（x）在点x处可导，a、b为非零常数，则等于（）A．f′（x） B．（a﹣b）f′（x） C．（a+b）f′（x） D．二．【导数的几何意义】7．已知函数f（x）是可导函数，且满足，则在曲线y＝f（x）上的点A（1，f（1））的切线斜率是.8．如图，函数y＝f（x）的图象在点P（2，y）处的切线是L，则f（2）+f′（2）＝.899．已知函数f（x）图象如图，f'（x）是f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（）A．0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）﹣f（2） B．0＜f'（3）＜f'（2）＜f（3）﹣f（2） C．0＜f'（3）＜f（3）﹣f（2）＜f'（2） D．0＜f（3）﹣f（2）＜f'（2）＜f'（3）

三．【导函数】10．函数f（x）＝（2πx）2的导数是.11．已知f（x）＝，则f′（1）＝.12．已知曲线y＝5，求：（1）曲