高中数学北师大版必修二课时分层作业1-6-1垂直关系的判定

课时分层作业九垂直关系的判定一、选择题(每小题5分，共30分)1.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是 ()①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.A.①③ B.② C.②④ D.①②④【解析】选A.由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面；对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.2.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 ()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选D.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，取四棱锥A1ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形.3.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是 ()A.平行 B.垂直相交C.垂直但不相交 D.相交但不垂直【解析】选C.因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC=C，所以BD⊥平面AMC.又MA平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，与BC1垂直的平面是 ()A.平面DD1C1C B.平面A1B1CDC.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB【解析】选B.因为易证BC1⊥B1C，且CD⊥平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.因为B1C∩CD=C，所以BC1⊥平面A1B1CD.5.如图所示，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体SEFG中必有 ()A.SG⊥平面EFG B.SD⊥平面EFGC.GF⊥平面SEF D.GD⊥平面SEF【解析】选A.折叠后，有些线线的位置关系不发生变化，如SG⊥GF，SG⊥GE.所以SG⊥平面GEF.6.已知三条相交于一点的线段PA，PB，PC两两垂直，PH⊥平面ABC于点H，则垂足H是△ABC的 ()A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心【解析】选C.因为PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC=P，所以PA⊥平面PBC，因为BC平面PBC，所以PA⊥BC.因为PH⊥平面ABC，所以PH⊥BC.又PA∩PH=P，所以BC⊥平面PAH，所以BC⊥AH.同理可证AB⊥CH，AC⊥BH，所以H为△ABC的垂心.二、填空题(每小题5分，共10分)7.已知四棱锥PABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，则平面PBD与平面PAC的位置关系是_________.

【解析】因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，在正方形ABCD中，BD⊥AC.又AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC.又BD平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC.答案：垂直8.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形一定是_________.

【解析】如图，由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD.又PC⊥BD，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC，平行四边形ABCD为菱形.答案：菱形三、解答题(每小题10分，共20分)9.如图，在四棱锥SABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.求证：SD⊥平面SAB.【证明】因为AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1，所以底面ABCD为直角梯形，AD=QUOTE=QUOTE.因为侧面SAB为等边三角形，所以SA=SB=AB=2.又SD=1，所以AD2=SA2+SD2，所以SD⊥SA.连接BD，则BD=QUOTE=QUOTE，所以BD2=SD2+SB2，所以SD⊥SB.又SA∩SB=S，所以SD⊥平面SAB.10.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点.求证：平面ABM⊥平面A1B1M.【证明】由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.又CC1=2，M为CC1的中点，所以C1M=CM=1.在Rt△B1C1M中，B1M=QUOTE=QUOTE，同理BM=QUOTE=QUOTE，又B1B=2，所以B1M2+BM2=B1B2，从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M=B1，所以BM⊥平面A1B1M，因为BM平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则 ()A.a∥α B.aαC.a⊥α D.a是α的斜线【解析】选C.2.如图，BC是Rt△ABC的斜边，过A作△ABC所在平面α的垂线AP，连接PB，PC，过A作AD⊥BC于D，连接PD，那么图中直角三角形的个数是 ()A.4个 B.6个C.7个 D.8个【解析】选D.由图中△ABC，△APC，△ABP为直角三角形可以得△PBC为锐角三角形，所以图中有8个直角三角形.3.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是 ()A.m⊥n，m∥α，n∥βB.m⊥n，α∩β=m，nαC.m∥n，n⊥β，mαD.m∥n，m⊥α，n⊥β【解析】选C.因为n⊥β，m∥n，所以m⊥β，又mα，由面面垂直的判定定理，所以α⊥β.4.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)，且PA=AC，则二面角PBCA的大小为 ()A.60° B.30° C.45° D.90°【解析】选C.因为AB为直径，所以AC⊥CB，又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，所以PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC，所以PC⊥BC，所以∠PCA为二面角PBCA的平面角，又PA=AC，所以∠ACP=45°.5.在三棱锥PABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下列结论中错误的是 ()A.平面EFG∥平面PBCB.平面EFG⊥平面ABCC.∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D.∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角【解析】选D.由题意，EG∥BC，FG∥PC，所以平面EFG∥平面PBC，A正确；由PC⊥BC，PC⊥AC，可得PC⊥平面ABC，又因为PC∥FG，所以FG⊥平面ABC，所以平面EFG⊥平面ABC，B正确；因为E，F分别为所在棱的中点，所以EF∥PB，所以∠BPC是直线EF与直线PC所成的角，C正确；因为AB与平面EFG不垂直，所以D错误.二、填空题(每小题5分，共20分)6.在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD=QUOTE，则二面角BACD的余弦值为_________.

【解析】如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角.因为DO=OB=BD=QUOTE，所以∠BOD=60°.答案：60°7.▱ABCD的对角线交点为O，点P在▱ABCD所在平面外，且PA=PC，PD=PB，则PO与平面ABCD的位置关系是_________.

【解析】因为PA=PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.因为AC∩BD=O，所以PO⊥平面ABCD.答案：垂直8.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：①点H是△A1BD的中心；②AH垂直于平面CB1D1；③AC1与B1C所成的角是90°.其中正确命题的序号是_________.

【解析】由于ABCDA1B1C1D1是正方体，所以AA1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故①正确；又因为平面CB1D1与平面A1BD平行，所以AH⊥平面CB1D1，故②正确；从而可得AC1⊥平面CB1D1，即AC1与B1C垂直，所成的角等于90°，故③正确.答案：①②③9.(2018·安康高一检测)在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC=CC1，当底面A1B1C1满足条件__________________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况).

【解析】如图所示，连接B1C，由BC=CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1=90°等)答案：∠A1C1B1=90°(答案不唯一)三、解答题(每小题10分，共20分)10.如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD.求证：(1)AB∥EF.(2)平面BCF⊥平面CDEF.【证明】(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，CD平面CDEF，AB平面CDEF，所以AB∥平面CDEF.又AB平面ABFE，且平面ABFE∩平面CDEF=EF，所以AB∥EF.(2)因为DE⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以DE⊥BC.因为BC⊥CD，CD∩DE=D，CD，DE平面CDEF，所以BC⊥平面CDEF.又因为BC平面BCF，所以平面BCF⊥平面CDEF.11.如图所示，已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+QUOTE，过点A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿A