专题06复数综合

专题06复数综合知识点1复数的有关概念1、定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是eq\a\vs4\al(a)，虚部是eq\a\vs4\al(b).复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)．2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位．3、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示．【注意】复数概念说明：（1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.（2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi.（3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．4、复数的分类：对于复数a＋bi，（1）当且仅当b＝0时，它是实数；（2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；（3）当b≠0时，叫做虚数；（4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：复数=【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系5、复数相等在复数集C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＋bi|a，b∈R))中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.6、共轭复数如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．复数z的共轭复数用eq\x\to(z)表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，eq\x\to(z)＝a－bi.示例：z＝2＋3i的共轭复数是eq\x\to(z)＝2－3i.【注意】（1）当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝eq\x\to(z)，也就是，任一实数的共轭复数是它本身；（2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等．知识点2复数的几何意义1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．2、复数的几何意义（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量OZ=(a,b)【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．3、复数的模（1）定义：向量OZ的eq\a\vs4\al(模)r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值（2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．知识点3复数的四则运算1、复数的加法运算法则与运算律（1）加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数．注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形，即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i.（2）复数的加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．2、复数的减法运算法则（1）相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义，存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数．（2）减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数．3、复数的乘法运算法则和运算律（1）乘法运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1，并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.显然两个复数的积仍是复数．（2）复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有z1·z2＝z2·z1(交换律)；(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)；z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)．4、复数的乘方与虚数单位的乘方（1）复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝zeq\o\al(n,1)·zeq\o\al(n,2)，z0＝1；z－m＝eq\f(1,zm)(z≠0)．【注意】实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立．（2）虚数单位i的乘方计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，eq\f(1－i,1＋i)＝－1，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1,i)＝－i.5、复数的除法运算规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0）a+b在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成eq\f(a＋bi,c＋di)的形式，再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果．【注意】（1）两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数．（2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·eq\x\to(z)＝a2＋b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段．6、复数方程的解在复数范围内，实系数一元二次方程ax（1）求根公式法：=1\*GB3①当∆≥0时，x=-b±b2-4ac2a=2\*GB3②（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m+ni(将此代入方程ax知识点4复数的三角形式1、辅角的定义：设复数z=a+bi的对应向量为OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在的射线（射线OZ）为终边的角θ，叫做复数z的辅角2、辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.规定：其中在0≤θ<2π范围内的辅角θ的值为辅角的主值，通常记作arg【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的。3、复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)的形式，其中r是复数的模，θ是复数【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连。4、复数的代数式与三角式互化将复数z=a+bi(a,b∈R)（1）r=a（2）cosθ=ar，sinθ=br，其中当a=0，b>0时，argz=每一个不等于零的复数有唯一的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。考点1复数的概念与分类【例1】（2023春·陕西西安·高一统考阶段练习）已知复数，则的虚部为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】复数，故的虚部为.故选：B.【变式11】（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）已知为虚数单位，下列说法正确的是（）A．若，则B．实部为零的复数是纯虚数C．可能是实数D．复数的虚部是【答案】C【解析】A.，说法不正确；B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确；C.当时，是实数，说法正确；D.复数的虚部是1，说法不正确.故选：.【变式12】（2023春·湖南长沙·高一校联考阶段练习）已知复数为纯虚数，则实数的值为（）A．B．0C．1D．0或1【答案】C【解析】因为为纯虚数，所以，解得.故选：C.【变式13】（2023春·新疆喀什·高一校考阶段练习）已知复数（i为虚数单位），求适合下列条件的实数m的值；（1）z为实数；（2）z为虚数；（3）z为纯虚数.【答案】（1）或；（2）且；（3）.【解析】（1）当为实数时，，解得或；（2）当为虚数时，，解得且；（3）当为纯虚数时，，解得.【变式14】（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，讨论实数m取何值时：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）因为，所以；因为，所以.所以，所以恒成立.即无论实数m取任何值，恒成立.故.（2）因为，所以.因为，，所以或.当时，有：，解得：；当时，有：，解得：.综上所述：或.【变式15】（2023春·陕西西安·高一统考阶段练习）已知复数，.（1）若为纯虚数，求的值；（2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）若为纯虚数，则，解得；（2）若在复平面内对应的点在第四象限，则，解得.考点2复数的几何意义【例2】（2023春·新疆喀什·高一校考阶段练习）如图，若向量对应的复数为z，则z表示的复数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由图可知，，所以z在复平面内所对应的点为，则.故选：C.【变式21】（2023春·全国·高一专题练习）复数满足：，则复数z在复平面内对应的点是（）A．B．C．D．（）【答案】C【解析】由，得，根据复数的几何意义可得，复数z在复平面内对应的点的坐标为.故选：C【变式22】（2023春·浙江·高一湖州中学校考阶段练习）（多选）若，则复数在复平面内对应的点可能在（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】CD【解析】当时，，故复数在复平面内对应的点在第三象限，当时，，故复数在复平面内对应的点在第四象限.故选：CD【变式23】（2023·高一单元测试）设复数和复数在复平面上分别对应点和点，则、两点间的距离是______．【答案】【解析】复数对应点，复数对应点，则.考点3复数的四则运算【例3】（2023春·天津滨海新·高一大港一中校考阶段练习）复数化简的结果是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】.故选：A【变式31】（2023春·湖南·高一衡阳市八中校联考阶段练习）已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，则，∴.故选：A.【变式32】（2023春·福建·高一三明一中校考阶段练习）设，则______.【答案】【解析】设，则，所以，，，所以，，则，解得，因此，.【变式33】（2021春·广东东莞·高一校联考阶段练习）已知z是复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位）．（1）求复数z；（2）求的模．【答案】（1）；（2）【解析】（1）设复数，因为为实数，所以，则复数，又因为为纯虚数，则，得，所以复数.（2）由（1）可知复数，则，所以的模为.【变式34】（2023春·福建三明·高一校考阶段练习）已知复数.（1）若，求的值；（2），，求.【答案】（1），；（2）【解析】（1）由题意复数，则由可得；（2）当，时，，故.考点4复数的高次方运算【例4】（2023·全国·高一专题练习）若复数满足，则复数在复平面所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】因为，所以，所以复数在复平面所对应的点为位于第二象限.故选：B.【变式41】（2022春·福建三明·高一福建省宁化第一中学校考阶段练习）棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】由已知得，∴复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．故选：C．【变式42】（2023春·天津·高一校考阶段练习）若为虚数单位，且，则______.【答案】【解析】因为，则，，故.【变式43】（2023·高一课时练习）已知，则的值为______．【答案】【解析】因为，所以，即，所以.所以，由解得：或.当时，，，所以；当时，，，所以.综上所述：.【变式44】（2023·全国·高一专题练习）计算：（1）；（2）．（3）i＋2i2＋3i3＋…＋2020i2020＋2021i2021.【答案】（1）；（2）；（3）1010＋1011i【解析】（1）因为，所以原式；（2）因为，所以，原式；（3）因为，原式【变式45】（2023·全国·高一专题练习）计算．（1）；（2）．（3）；（4）；（5）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【解析】（1）原式．（2）原式．（3）原式.（4）原式.（5），，，，原式.考点5与复数模有关的最值【例5】（2023·全国·高一专题练习）已知复数为虚数单位）满足，则的最小值为（）A．2B．1C．D．4【答案】A【解析】因为，所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以.故选：A【变式51】（2023·高一单元测试）若，则的最大值与最小值的和为___________.【答案】【解析】由几何意义可得：复数表示以（）为圆心的半径为1的圆，则.【变式52】（2023·全国·高一专题练习）已知复数满足（是虚数单位），则的最大值为__________.【答案】【解析】设，由得：，，则可设，，，（其中，），则当时，.【变式53】（2022·全国·高一专题练习）是虚数单位，设复数满足，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，又，的几何意义是单位圆上的点与点的距离，，即的最大值为.故选：C.【变式54】（2022春·云南玉溪·高一峨山彝族自治县第一中学校考期中）（多选）下列关于复数说法正确的是（）A．若，则的最小值为2B．若，则的最小值为2C．若，则的最小值为D．若，则的最小值为【答案】ACD【解析】设，其中，则表示复平面内任意一点.对于A：因为，所以复数z对应的点Z到、的距离相等，所以点Z在虚轴上.如图示：表示点Z到点的距离，所以当轴，即Z落在原点O时，最小.故A正确；对于B：因为，所以复数z对应的点Z到、的距离相等，所以点Z在实轴上.如图示：表示点Z到点的距离，所以当重合时，最小.故B错误；对于C：因为，所以复数z对应的点Z到、的距离相等，所以点Z在直线l：上.如图示：表示点Z到点的距离，所以当时，最小.故C正确；对于D：因为，所以复数z对应的点Z到、的距离相等，所以点Z在直线l：上.如图示：表示点Z到点的距离，所以当时，最小.故D正确.故选：ACD考点6复数范围内解方程【例6】（2023春·全国·高一专题练习）设，，为虚数单位，若是关于的二次方程的一个虚根，则______．【答案】2【解析】将代入方程得：，即，即，所以，解得，所以.【变式61】（2022春·上海·高一第三女子中学校考期末）在复数范围内分解因式_____．【答案】【解析】【变式62】（2023·江苏·高一专题练习）已知关于的一元二次方程的两根为、．（1）若为虚数，求的取值范围；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）或【解析】（1）因为为虚数，所以，即.（2）因为，所以，，①当时，，则；②当时，，则；综上，的值为或．【变式63】（2023·高一课时练习）已知，且，复数为虚数单位）满足．（1）求；（2）若关于的方程有实根，求的所有可能值．【答案】（1）；（2）或【解析】（1），因为，所以，又，所以，即；（2）因为，，所以，设实根为，则，所以，所以，因为所以或，若，则无实数解，舍去；若，则，所以，又由（1）知，所以，所以或.【变式64】（2023·全国·高一专题练习）已知复数为虚数单位．（1）若是关于的实系数方程的一个复数根，求的值；（2）若为实数，求的值．【答案】（1）或；；（2）【解析】（1）若是关于的实系数方程的一个复数根，则，所以，所以，所以或；（2）由题意得为实数，所以，所以．考点7复数的三角形式【例7】（2023春·全国·高一专题练习）计算：．【答案】【解析】.【变式71】（2023春·全国·高一专题练习）计算：（1）；（2）.【答案】（1）6；（2）.【解析】（1）；（2）.【变式72】（2022·高一课时练习）设，则复数的辐角主值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，因为，所以，所以，所以该复数的辐角主值为．故选：B.【变式73】（2022春·广东广州·高一校考阶段练习）（多选）已知复数，则下列关于复数z的结论中正确的是（）A．B．C．复数z是方程的一个根D．复数的辐角主值为【答案】ABC【解析】，，故A正确；，故B正确；，，故C正确；，复数的辐角主值为，故D错误；故选：ABC1．（2023春·湖南长沙·高一长郡中学校考阶段练习）已知，则（）A．3B．4C．D．10【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.2．（2022春·山东临沂·高一校考阶段练习）若复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】因为复数满足，所以，则，所以在复平面内对应的点位于第三象限，故选：C3．（2022春·湖北·高一校联考阶段练习）的值为（）A．1B．－1C．D．【答案】B【解析】由，而.故选：B4．（2022春·河北保定·高一校联考阶段练习）已知虚数z是关于x的方程的一个根，且，则（）A．1B．2C．4D．5【答案】D【解析】设（且），代入原方程可得，所以，解得，因为，所以.故选：D.5．（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知是虚数单位，复数，下列说法正确的是（）A．的虚部为B．的共轭复数对应的点在第三象限C．的实部为1D．的共轭复数的模为1【答案】D【解析】因为，所以，所以的虚部为，故A错误；的共轭复数为，其对应的点是，在第一象限，故B错误；的实部为，故C错误；的共轭复数为，则模长为，故D正确，故选：D.6．（2022春·湖北·高一统考期末）如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则对应的点位于（

）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】由复数的几何意义知：，则，对应的点的坐标为，位于第三象限，故选：C7．（2022春·湖北咸宁·高一统考期末）欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位和三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得，，所以，，所以．故选：B.8．（2022春·湖南邵阳·高一统考期末）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，在复平面内对应的点在第三象限，，解得.故选：A.9．（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）（多选）已知复数，则下列说法正确的是（）A．的共轭复数是B．的虚部是C．D．若复数满足，则的最大值是【答案】AD【解析】对于A选项，因为，则，A对；对于B选项，复数的虚部为，B错；对于C选项，，C错；对于D选项，令，则，即在圆心为半径为1的圆上，而表示圆上点到原点的距离，由圆心到原点的距离为，结合圆上点到定点距离范围易知：的最大值为，D对.故选：AD.10．（2023·高一单元测试）（多选）已知，且，则（）A．当时，必有B．复平面内复数所对应的点的轨迹是以原点为圆心、半径为的圆C．D．【答案】BD【解析】A项：，故错误；B项：因为，故正确；C项：，当与i对应向量同向时取等，故错误；D项：，当与对应向量反向时取等，故正确.故选：BD.11．（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知复数z满足，则（）A．复数z虚部的最大值为2B．复数z实部的取值范围是C．的最小值为1D．复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限【答案】ABC【解析】满足的复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，由图可知，虚部最大的复数，即复数z虚部的最大值为2．A正确；实部最小的复数，实部最大的复数，所以实部的取值范围是，B正确；表示复数在复平面内对应点到的距离，所以的最小值为，C正确；由图可知，复数在复平面内对应点位于第一、二、三、四象限，故D错误．故选：ABC12．（2023春·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）（多选）设，，为复数，下列命题中正确的是（）A．若，则B．