数学课件（第二册下）课件 -第十六章　不定积分

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多元函数微积分简介第十九章

级

数第十六章不定积分§16-1

不定积分的概念§16-2

积分的基本公式和法则§16-3

换元积分法§16-4分部积分法§16-5

简易积分表及其应用§16-1

不定积分的概念一、原函数定义

从设函数F(x)与f(x)定义在同一区间内,并且对该区间内的任一点,都有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为函数f(x)在该区间内的原函数.

定理1(原函数族定理)

如果函数f(x)在某区间内有一个原函数F(x),那么它在该区间内就有无限多个原函数,并且原函数的全体由形如F(x)+C的函数所组成(其中C是任意常数).定理2(原函数存在定理)

如果函数f(x)在某一区间内连续,则函数f(x)在该区间内的原函数必定存在.例如,因为f(x)=2x在区间(-∞,+∞)内连续,所以它在这个区间内存在原函数x2+C(C为任意常数).§16-1

不定积分的概念二、不定积分定义

从设函数若F(x)是f(x)在某区间内的一个原函数,那么表达式F(x)+C

(C为任意常数)称为f(x)在该区间内的不定积分,记作∫f(x)dx,

即∫f(x)dx=F(x)+C.其中“∫”叫做积分号,f(x)叫做被积函数,f(x)dx叫做被积表达式,x叫做积分变量.

从不定积分的概念可知,“求不定积分”和“求导数”或“求微分”互为逆运算

§16-1

不定积分的概念二、不定积分的几何意义

积分曲线族中每一条曲线上具有相同的横坐标的点处的切线互相平行.例2

求经过点(1,3),且其切线的斜率为2x的曲线方程.解设所求曲线方程为y=f(x),由f'(x)=2x,得y=f(x)=∫2xdx=x2+C,将x=1,y=3代入上式,得C=2,所以所求的曲线方程为y=x2+2.§16-2

积分的基本公式和法则二、积分的基本公式

k

x

C(k是常数)，

arctanx

C

，

arcsinx

C

，

ln|x|

C，

sinx

C

，

cosx

C

，

例2

例1§16-2

积分的基本公式和法则二、积分的基本运算法则∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx.∫kf(x)dx=k∫f(x)dx.

§16-3

换元积分法一、第一类换元积分法

一般地,若不定积分的被积表达式能写成f[φ(x)]φ'(x)dx=f[φ(x)]dφ(x)的形式,令φ(x)=u,当积分∫f(u)du可求时,设F(u)是f(u)的一个原函数,则∫f[φ(x)]φ'(x)dx=F[φ(x)]+C.

通常把这样的积分方法称为第一类换元积分法.

§16-3

换元积分法二、第二类换元积分法

设x=φ(t)单调且可导(φ'(t)≠0),其反函数为t=φ-1(x),F'(t)=f[φ(t)]φ'(t),则∫f(x)dx=F[φ-1(x)]+C.通常把这样的积分法称为第二类换元积分法.

§16-4

分部积分法二、第二类换元积分法

设函数u=u(x)及v=v(x)有连续导数.乘积的微分法则为d(uv)=udv+vdu,移项,得udv=d(uv)-vdu.对上式两边求不定积分,得∫udv=uv-∫vdu.上式称为分部积分公式.解选取u=x,dv=exdx=d(ex),则

∫xexdx=∫xd(ex)=xex-∫exdx=xex-ex+C=ex(x-1)+C.例1求∫xexdx.解选取u=x,dv=cosxdx=d(sinx),则

∫xcosxdx=∫xd(sinx)=xsinx-∫sinxdx

=xsinx+cosx+C.解

∫lnxdx=xlnx-∫xd(lnx) =xlnx-∫dx=xlnx-x+C =x(lnx-1)+C.例2求∫xcosxdx.例3求∫lnxdx.

例4求∫xarctanxdx.例5求∫arcsinxdx.

例7求∫exsinxdx.§16-5

简单积分表及其应用

为了便于使用,人们已