安徽六安市某中学2023年高二数学第二学期期末检测模拟试题（含解析）

2022-2023高二下数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数“X)=a•2、-1与函数g(x)=Y+改2+eR),下列选项中不可能是函数/(x)与g(x)图象的是(

)

2.用数学归纳法证明"423+3N(〃€%*)能被13整除”的第二步中，当〃=左+1时为了使用归纳假设，对

42=+3»2变形正确的是()

A.16(4"T+3*-13x311B.4x4?*+9x3&

C.+3印)+15x42J+2xD.3(421+3i)-13x421

3.某学校为了了解本校学生的上学方式,在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A——结伴步

行，B自行乘车，C---家人接送,D一一其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图.

L7AAJSVU.ilHI7"lJ7力，CM宝"Hi”

根据图中信息，求得本次抽查的学生中A类人数是()

A.30B.40C.42D.48

4.已知函数f(x)的定义域为R,且函数y=/(2x)+3sinx的图象关于)，轴对称，函数y=/(2x)+3cosx的图象关

于原点对称，则=()

K3-373C3+3。D-3+36

A..2Jt>.-------------------------

22'.2,2

5.i是虚数单位，若集合S={-l,O,l},则

A.ie5B.Z2eSC.z3eSD.-&S

6.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数,事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的

是3的整数倍“，则P(B|A)=(

313133

A.B.—D.-

840454

2v+l,x<0

1

7.已知函数/(%)=，且/m——=0,则不等式/(x)〉m的解集为()

<log1x,x>02

、、2

A.B.C.3企〕D.(-l,+oo)

。当7用

甲、乙两支球队进行比赛，预定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.结束除第五局甲队获胜的概率是,外,

8.

2

2

其余每局比赛甲队获胜的概率都是假设各局比赛结果相互独立.则甲队以3：2获得比赛胜利的概率为()

24816

A.—B.——C.—D.—

81272781

9.抛物线丁=4元的焦点为尸，点A(5,3),P为抛物线上一点，且P不在直线A尸上，则△阳周长的最小值为

A.6B.8C.11D.13

林N,则£c：；C=（）

10.若04ksmWn,且加，小

«=0

C.2〃C：D.2'〃C；

11.已知随机变量X服从正态分布N(2,/)且尸(X<4)=0.88,则尸(0<X<4)=()

A.0.88B.0.760.24D.0.12

12.设命题P：3x0G7?,2%<1，则力为(）

Ab

HTOER，2>13x0G/?,23>1

C.X/xeR,2V<1VxcH,2A>1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数y=/(x)是R上奇函数，且当x>0时/(力=崛2%，贝(1〃-2)=

「、111

14.已知s"为数列｛a.｝的前〃项和，若4=2且S“+1=2Sn,设b“=log/z„,则――+――++-j--一的值是

402々2^2017^2018

15.关于x的方程a：=G：的解为

16.若正方体的表面积为6,则它的外接球的表面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知（l+2x）2"=%+%%+“2/+・一+。2/2"

(1)求。()+2+%----h。2n的值;

(2)当〃=5时，求a式女=0,1,2,…,2〃)的最大值.

18.(12分)已知曲线。的极坐标方程是22=4夕cosB+6夕sin。-12,以极点为原点，极轴为工轴的正半轴建立平

x=2--t

1（f为参数）.

面直角坐标系，直线/的参数方程为

y=ld1

-2

(1)写出直线/的一般方程与曲线。的直角坐标方程，并判断它们的位置关系;

X=x,

(2)将曲线。向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线O,设曲线。经过伸缩变换J'=2y得到

曲线E，设曲线E上任一点为M(x,y),求的取值范围.

19.（12分）梯形ABC。中，AB//CD,矩形MED所在平面与平面ABC。垂直，且AZ）===G,

2

BE=2.

（1）求证：平面4DE_L平面8的）；

（2）若尸为线段E尸上一点，且异面直线AP与B厂所成角为45。，求平面ABP与平面COP所成锐角的余弦值.

20.（12分）某地区2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的数据如下表：

年份2011201220132014201520162017

年份代号*1234567

人均纯收入y（千元）2.93.33.64.44.85.25.9

（I）求，关于x的线性回归方程；

（H）利用（I）中所求的线性回归方程，分析该地区2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测

该地区2018年农村居民家庭人均纯收入.

£（玉-亍）（％-9）

参考公式：2二上一------------,a=y-bx

/=|

21.（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角

形的四面体称之为鳖膈.首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马.如图所示，

在阳马P—ABC。中，底面ABCD.

（1）若AD=CD=4w,斜梁PB与底面ABC。所成角为15°,求立柱PD的长（精确到0.0%）；

（2）证明：四面体PDBC为鳖膈；

(3)若PD=2,8=2,BC=\,E为线段P8上一个动点，求,EC。面积的最小值.

22.(10分)已知函数f(x)=xln(x+，〃)的图象过点(1,0).

(1)求/(x)的解析式及单调区间；

⑵求/(x)在［t,t+2］。＞0)上的最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

对。进行分类讨论，分别作出两个函数图象，对照选项中的图象，利用排除法，可得结果.

【详解】

”=0时，函数/(x)与g(x)图象为：

故排除A;

,g'(x)=3x2+2ax,令g〈x)=0,则工=0或*=-"

当”0时，0为函数g(x)的极大值点，“X)递减，

函数/(%)与g(x)图象为：

故排除c；

当a>0时，0为函数g(x)的极小值点，“X)递增,

函数"切与g(x)图象为:

本题考查的知识点是三次函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，分类讨论思想，难度中档.函数图象的辨识可

从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

2、A

【解析】

试题分析：假设当，：「时，3・能被13整除，当，：=1t-1时「3-应化成4；"•形式，所以答案

为A

考点：数学归纳法

3、A

【解析】

根据所给的图形，计算出总人数，即可得到4的人数.

【详解】

|Q

解：根据选择。方式的有18人，所占比例为15%,得总人数为「1=120人，

15%

故选择A方式的人数为120-42-30-18=30人.

故选A.

【点睛】

本题考查了条形图和饼图的识图能力，考查分析问题解决问题的能力.

4、A

【解析】

分析：根据奇函数与偶函数的定义，可求得函数的解析式；根据解析式确定，/£的值。

详解：令〃(x)=/(2x)+3sinx,g(x)=/(2x)+3cosx

则h(-x)=/(-2A:)-3sin尤，因为h(x)为偶函数

所以〃(x)=/(-2x)-3sinx(1)

g(-x)=/(-2x)+3cosx,因为g(x)为奇函数

所以-g(x)=/(-2x)+3cosx(2)

(1)-(2)得

/z(x)+^(x)=-3sinx-3cosx(3),令尤=一元代入得

7z(x)-^(x)=3sinx-3cosx(4)

7z(x)=-3cosx

由(3)、(4)联立得《

g(x)=-3sinx

代入〃(x)=/(2x)+3sinx得/(2x)=-3sinx-3cosx

xX

所以/(x)=-3sin-3cos-

所以/(三)=—3sin工—3cos工=—3+36

3662

所以选A

点睛：本题考查了抽象函数解析式的求解，主要是利用方程组思想确定解析式。方法相对比较固定，需要掌握特定的

技巧，属于中档题。

5、B

【解析】

2

试题分析：由，二一1可得，『wS，尸=—，e5，_=-2i史S.

i

考点：复数的计算，元素与集合的关系.

6、B

【解析】

由条件概率的定义P(B|A)=尸(£¥),分别计算P(AC|B),P(A)即得解.

【详解】

由题意P(4)=*

9

事件A「B为"第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9,第二次有2种情况;

若第一次取到的为1,5,7,第二次有3种情况，故共有2x2+3x3=13个事件

p(A13

由条件概率的定义：

P(A)40

故选：B

【点睛】

本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.

7、C

【解析】

由./1(，〃-g)=0,可分别考虑分段函数的每一段取值为。的情况，即可求解出，〃的值；然后再分别利用每一段函数去

考虑/(X)〉m的情况.

【详解】

2'+l,x<0

函数/(%)=<logix,x〉0，可知x40时，

、2

所以加一1>0,可得Iog|机一〈=0解得机==.

2八2J2

3

不等式/(x)〉m即不等式/(%)>-,

-x<0[x>0

可得：L,3或4、3,

2'+l>-log,x>-

2152

解得：XG(-1,01^.re0,一，即xe-1,一

\47\4/

故选：C.

【点睛】

利用分段函数求解参数取值时，需要对分段函数的每一段都进行考虑;并且在考虑每一段分段函数的时候，注意定义

域.

8、B

【解析】

若是3:2获胜，那么第五局甲胜，前四局2:2,所以概率为P=,故选B.

2⑶⑶27

9、C

【解析】

求AMAF周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，设点M在准线上的射影为D,

根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|,

因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值.

根据平面几何知识，可得当D,M,A三点共线时|MA|+|MD|最小，

因此最小值为XA-(-1)=5+1=6,

V|AF|=’(5-1)2+(3-0)2=5,

...△MAF周长的最小值为11,

故答案为：C.

10、D

【解析】

根据已知条件，运用组合数的阶乘可得：CM"C=c：'c3再由二项式系数的性质，可得所要求的和.

【详解】

「;n-m「k（_〃__一__A\）!J______n\_n\

A:）!女!,（〃_4）！（〃一根）!♦（/%_Q!・Z!

n\

则£CMC=£c;c：=c；".（C+c；+…+c,：）=2"q

hOA=0

故选：D

【点睛】

本题考查了组合数的计算以及二项式系数的性质，属于一般题.

11、B

【解析】

正态曲线关于X="对称，利用已知条件转化求解概率即可.

【详解】

因为随机变量X服从正态分布N(2,b2),〃=2,得对称轴是X=2,P(X<4)=0.88,

P(X>4)=P(X<0)=1-0.88=0.12,

尸(0<X<4)=1-2P(X24)=1-0.24=0.76,故选B.

【点睛】

本题在充分理解正态分布的基础上，充分利用正态分布的对称性解题，是一道基础题.

12、D

【解析】

分析：直接利用特称命题的否定解答.

详解：由特称命题的否定得Y为：VxeR,2*>1，故答案为：D.

点睛：(1)本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)特称命题。与犬€例,〃(幻，特称命

题的否定T7：

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-1

【解析】

分析:先求/(2),再根据奇函数得了(-2).

详解:因为〃2)=log22=l,因为函数y=/(x)是R上奇函数，所以〃-2)=-%()

点睛:己知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得

出关于/(X)的方程，从而可得fM的值或解析式.

4033

14、-----

2017

【解析】

根据｛S,,｝是等比数列得出S“=2",利用数列项与和的关系，求得见,从而得出打，利用裂项相消法求出答案.

【详解】

由2用=25,可知，数列⑸｝是首项为E=q=2,公比为2的等比数列,

所以S,=2".

时，,,H|n1

a„=S„-S„,l=2-2-=2-.

1,n-1

2=log2。”='

n-l,n>2

1111

“22时，TT-=77T~=■

"be(〃-1)〃n-\n

----1-----1-•••d--------=1+1---1------FH-------------2-------——-----

她2b2b34017%）182232016201720172017

【点睛】

该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列通项公式，数列项与和的关系，裂项相消法求和，属于简

单题目.

15、0或2或4

【解析】

因为所以：2工=/或2》+丁=24,解方程可得.

【详解】

解：因为

所以：2x=x?或2x+x?=24,

解得：x=0,x=2,x=4,x=-6（舍）

故答案为：（）或2或4

【点睛】

本题考查了组合及组合数公式.属于基础题.

16、3万

【解析】

由正方体的外接球的直径与正方体的棱长之间的关系求解.

【详解】

由已知得正方体的棱长为1,

又因为正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长,

所以正方体的外接球的半径R=1V12+12+12=—，

22

所以外接球的表面积S=4乃R2=4乃=37，

故得解.

【点睛】

本题考查正方体的外接球，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9"+1

17、(1)(2)15360

2

【解析】

分析：(1)分别令X=l,X--1,两式相加可得4+。2+。4-1---的值;

*外，肌。+解

设处最大，则有，

a心？2y°T解'

U2%

详解:

(1)令x=l可得，(1+2)一"=a。+q+生++4“=9”，

令x=T可得,(1-2厂=4-4+4—+%“=(-])-"=]，

两式相加可得:2(4+出++a?”)=9"+1,

9"+1

所以4+a,++出”=(—

rr

(2)因为&=C；o(2x)'=2Cwx,所以4=2*(J：。，

*矶，肌严产:窜，解得之心多

设《最大，则有＜

q—^k-\2yoz2卜«33

因为々=。1,2,,2〃，所以攵=7,

此时见的最大值为27C%=15360.

点睛：本题主要考查二项式定理的应用，属于中档题.

18、(1)y/3x+y-2y/3-l=0；(x-2)2+(y-3)2=1；直线/和曲线C相切.

⑵[-2,2].

【解析】

(I)直线/的一般方程为氐+y-26-1=0,

70

曲线C的直角坐标方程为(X-2)~+(.3)~=1.

|2^+3-2^-1|

因为=1

所以直线/和曲线C相切.

(II)曲线。为V+y2=L

x'-x,

曲线。经过伸缩变换｛,c

y=2〉,

2

得到曲线E的方程为/+匕=1,

4

x=cosO,

则点”的参数方程为1=25〃冶为参数)'

所以+=Gcos6+sine=2sin(6+?],

3

所以屈+gy的取值范围为[-2,2].

19、(1)证明见解析；(2)拽5.

85

【解析】

(1)由题意证出4)，80,先利用面面垂直的性质定理，证出AOL平面8/旬，再利用面面垂直的判定定理即可

证出.

(2)以。为坐标原点，以。为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积求出点p坐标，再求

出平面ABP的法向量，平面CDP的法向量，根据向量的数量积即可求解.

【详解】

(1)证明：作AB中点M,

:.四边形BCDM为菱形，:.CM上BD,

又DCUAM且DC=AM,AD//CM,:.AD±BD

又平面ABCD_L平面3阻)，且交于80，AOu平面ADE,

.•.AD_L平面MED,

二平面J_平面BFED

(2)如图建系，则有A(百,0,0),8(0,3,0),/(0,3,3)

设P(0,〃z,2),(；7?>0),AP^(-s/3,m,2),=(0,0,2),

/“i八APBF4x/2

3/网=布=赤即P(°J2)

U勺・AB--6工\+3y=0

设平面ABP的法向量为马=（5,加4）A3=(-点3,0),BP=(0,—2,2)

%-BP=-2y+2Z]=0

令>i=L则4=1,=(G1,1)

n2-AB--V3X2+3y2—0

设平面COP的法向量为%=（9，%，Z2），CDHAB＞。尸=（0,1,2）v

n2-DP=y2+2Z2-0

令％=2,则%=2百，&=-1,.=(26,2,-1)

6+2-1_7屈

cos0=|cos<4,

%>1=甚后一85

【点睛】

本题考查了面面垂直的判定定理、性质定理、空间向量法求异面直线所成角以及面面角，考查了学生的逻辑推理能力,

属于基础题.

20、(I)y=0.5x+2.3；(II)6.3千元.

【解析】

(I)由表中数据计算元、歹，求出回归系数，写出回归方程；(II)由6=0.5>()知y关于x正相关，求出x=8时)，的

值即可.

【详解】

(I)由表中数据知，亍=,(1+2+3+4+5+6+7)=4,

7

歹=；(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,

,/：_(-3)x(-1.4)+(-2)x(-l)+(-l)x(-0.7)+0x0.1+lx0.5+2x0.9+3xl.6_

9+4+1+0+1+4+9

:.a=y-bx=4.3-0.5x4=2.3，

)'关于x的线性回归方程为$=0.5x+2.3；

(II)由(I)可知，］>0,

故该地区2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入在逐年增加，平均每年增加0.5千元，

当x=8时，5,—0.5x8+2.3=6.3,

预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入为6.3千元.

【点睛】

本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，考查计算能力，是基础题.

21、(1)1.52m；(2)详见解析；(3)里.

5

【解析】

(1)推导出侧棱在平面ABC。上的射影是从而ZPBD是侧棱尸3与平面ABCD所成角，NPBD=15。,

从而求得立柱PD的长.

(2)四边形ABCO是长方形，从而ABC。是直角三角形，由此得出从而三角形

PDB是直角三角形，由平面POC,得APBC是直角三角形，由此能证明四面体PDBC为鳖膀.

(3)利用转化法求出异面直线CO与月5的距离，即可求得三角形ECD面积的最小值.

【详解】

(1)因为侧棱平面ABCD，所以侧棱P6在底面ABC。上的射影是DB,所以NP3O是侧棱P5与平面ABCD

___________pnPD

所成角，所以NP5O=15°,在RAP8O中，DB=dAlf+CD?=40，所以tan/P3Z)=茄，即tanl5万，

1一心

tan15=tan(45-30)=1ali45-tan30=_*=上吗所以

171+tan45tan3063+百

1d---

3

P£)=tanl5x4^2=-^x472*1.52m.

3+V3

(2)证明：由题意知四边形ABC。是长方形，所以三角形BCD是直角三角形.

由于PO_L平面A8CO,所以PD工DC,PD上DB,PB上BC,所以三角形PDC和三角