2022-2023学年湖北省鄂西高一年级下册册5月月考数学模拟试题（含解析）

2022-2023学年湖北省鄂西高一下册5月月考数学模拟试题

(含解析)

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.

_M=fx∣∣x-l∣<2∣N=(x∣y=ln(x+l)]

1,已知集合ɪ111>,I1'",则()

A.NazMB.M=NC.Mr>N=0D.

AlUN=R

【正确答案】B

【分析】化简集合，判断两个集合之间的关系即可得答案.

【详解】由题可得"={x|—l<x<3},N={x∣x>-1},

所以Λ∕gN,且MN,M∖N=M≠0,MUN=N≠R.

故选：B.

2,设(ɑ-i)i=b+2i(α,6eR),则()

A.a=2fb=1B.a=29h-~1

C.a=-2,h--∖D.a=-2fh=l

【正确答案】A

【分析】由复数乘法运算和复数的相等可直接求得结果.

【详解】由(q—i)i=b+2i(4∕∈R)得：l+ai=6+2i,.∙.Q=2,h=1.

故选：A.

3.已知向量5=(4,3)石二(1,4)/=(2,1),且(2d—3B)L5,则实数左=

915

A.----B.0C.3D.—

22

【正确答案】C

【详解】试题分析：由题意得，2万一35=(2£-3,—6)兄=(2,1)，因为(2q-3B)J.],所

以(2万—3B)I=4左一6—6=0,解得左=3,故选C.

考点：向量的坐标运算.

4.如图所示，矩形。W8'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中0'H=3,0'C'=1,

B.面积为XI的矩形

A.面积为6√Σ的矩形

4

D.面积为逑的菱形

C.面积为6近的菱形

4

【正确答案】C

【分析】根据题意利用斜二测画法判断原图形的形状，即可求出其面积.

【详解】NZ）‘O'∕'=45°,O'C'=C'D'=1,所以0'D'=√∑,

故在原图中，OD=2√2-CD=CD'=1

OC=SD2+CD。=7^71=3,

所以四边形C为菱形（如图所示），CM=3,

则原图形面积为S=OAXOD=6√2.

5.己知函数y=α"3-5（。＞0且。≠1）的图象过定点p,且角6的终边经过点P,则sin6=

【正确答案】A

【分析】由题可得点P（3,-4）,再利用三角函数的定义即求.

【详解】∙.∙函数>=qi-5（α>0且α≠l）,

令x-3=O,则X=3,y=-4,

函数y=αv^3-*55(a>O且α≠1)的图象过定点P(3,-4),又角θ的终边经过点P,

∕∙sinθ——.

5

故选：A.

6.已知SinX-工则COSIx--=（）

<4J5Iɜ/

A2√3-3Q2√3±3、3√3+4

A.---------o.---------D.

101010

3√3±4

10

【正确答案】D

3

【分析】利用两角差的正弦公式展开再平方得到sin2x=±,从而求出cos2x,再由两角差

5

的余弦公式计算可得.

√5√5,

【详解】因为Sin所以SinXCos&-cosXsin巴

5，445，

所以也√sinX-CoSX)=也，即」si∏2χ+cos2χ-2sinxcosx)=L

21752v75

所以sin2x=3,则CoS2x=±J1-sin?2x=±』,

55

_π）_兀,八.兀

所以cosI2x--∖=cos2xcos—+sin2xsin—

÷4χl+3χ√3=3√3±4

525210

故选：D

7.“不以规矩，不成方圆”.出自《孟子•离娄章句上》.“规”指圆规，"矩”指由相互垂直的长短

两条直尺构成的角尺，用来测量、画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，以“矩”量之，较

长边为IOCm,较短边为5cm,如图所示，将这个圆形木板截出一块三角形木板，三角形定

*2

点4B,C都在圆周上，角4,B,C分别对应α,b,c,满足c=4√^^cm.≡5ΔJSC=8cm,

且α>c,则（）

A.sinC=-B.Z∖∕8C周长为12+4√?cm

5

C.∕∖ABC周长为15+4√5cmD.圆形木板的半径为2港Cm

【正确答案】B

【分析】利用正、余弦定理结合面积公式分析运算即可.

【详解】对于D：由题意可得：圆形木板的直径2R=JlO?+5?=56cm，

即半径R=XlCm,故D错误；

2

Cc4∙∖∕54

对于A：由正弦定理——=2R,可得SinC=-J=岑=二，故A错误；

SinC2R5√55

114

对于B、C：由题意可得：SΛ.=-α⅛sinC=-×π⅛x-=8，解得αb=20,

δaib5fc225

/3

因为Q>C,则Z>C,可知。为锐角，可得CoSC=Jl-Sin2C,

222

余弦定理CoSC=a+b-cJa+bγ-2ab-c∖即£Q+.-40-80,

2ab2ab540

解得α+b=12,所以448C周长为12+4√?cm,故B正确，C错误；

故选：B.

8.已知„是单位向量，且„的夹角为6,若林+闻N；(feR),则。的取值范围为

()

CjrJr5兀兀兀

A.0,—B.~∑y~∑~C.一,-D.

L6j[66」[42」

π2π

3,T

【正确答案】B

222

【分析】•]+Ze21=(Z+cos)+sin>sinθ，结合题意得sin?>ɪ,结合6e[θ,7i]

即得解.

22222

【详解】∣β∣+Ze21=e；+2tei∙e2+te2=t+2/cos6+1=(t+cos^)÷sinθ≥sinθ，

因为国+国之;(fwR),所以si/ez；,

又6e[θ,τr],所以Sine≥7,e∈—•.

2|_66

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的

得。分.

9.已知复数Z=出，则下列说法正确的是()

1+i

A.∣z∣=13B.Z的虚部为一2

C.z在复平面内对应的点在第四象限D.z的共辗复数为一3-万

【正确答案】BC

【分析】根据复数的除法运算法则求出z,再根据复数的模长公式、复数的概念、复数的儿

何表示以及共钝复数的概念可得答案.

5+i_(5+i)(l-i)6-4i

【详解】Z=17T-(l+i)(l-i)=~3-2i,

22

∣Z∣=√3+(-2)=√13-故A不正确;

Z的虚部为一2,故B正确；

z=3-2i在复平面内对应的点(3,-2)在第四象限，故C正确；

z=3—2i的共物复数为5=3+2i,故D错误.

故选：BC

10.若函数/(x)=JiSinXCOSX+J5cos?，则下列说法正确的是()

A.函数y=∕(x)的图象可由函数y=sin2x的图象向右平移:个单位长度得到

3τr

B.函数y=∕(χ)的图象关于直线x=—二对称

8

C.函数y=∕(χ)的图象关于点［一,,0)对称

/")在国

D.函数V=x+上为增函数

【正确答案】BD

【分析】由三角函数的恒等变换化简/(x)=sin2x+^,再由三角函数的平移变换可判

3π可判断、；先判断在上为增函数，即可判

断A；求出了=TBCy=∕(x)［θ?J

断y=x+∕(x)在Oq的单调性.

【详解】由题意,

π、

/(%)=Λ∕2sinxcosx+V2cos2Xsin2x+-cos2x=sin∣2x+-.

v,2224J

Tr

函数y=sin2x的图象向右平移W个单位长度可得到

/(x)=sin2sin∣Ix——=-cos2x,故A错误;

2J

‘一型π3τr

=sin2×+—=-1,所以函数N=/(x)的图象关于直线X=-L对称,

48

故B正确，C错误;、

(TTπTT兀兀

函数N=X在上为增函数，x∈∣0,-时，2x+-e,故函数/(x)在［θ,∙∣

I8；44,2

上单调递增，所以函数y=χ+∕(χ)在OT上为增函数，故D正确.

故选：BD.

11.已知中，角A,B,C的对边分别为α”,c,且α(sinZ-sin8)=csinC-bsin8,

则下列说法正确的是()

ʌCJ

B.若的面积为JJ,则C的最小值为2

C.若α=l,B=—,则/3C的面积为过二亘

128

D.若b=3,C=币,则满足条件的ABC有且仅有一个

【正确答案】BC

TT

【分析】由正、余弦定理及己知得。=一，再根据选项综合应用正、余弦定理和三角形面

3

积公式求解.

【详解】,∙,α(sinZ-Sin8)=CSinC-bsin6,

222

；・由正弦定理可得α(α-力)=/一〃，^a+b-c=ab>

对于A选项，由余弦定理可得CoSe=.+"一°?=L

2ab2

Tl

,.<0<C<π,/.C=—,故A错误；

3

对于B选项，由题可知LabSinC=正αb=√i,，ab=4,

24

由余弦定理可得/=/+尸-2ZZbCOSC=a2+h2-ah≥2ab-ab=Qz)=4,

∙∙∙c≥2,当且仅当α=b=2时等号成立，故。的最小值为2,故B正确；

√3

对于C选项，由题可知/=：,由正弦定理得‘一=-^,.∙.c=等§=展=¥

4sɪnASinCsinA√22

T

.∙.A48C的面积为

1.,1,√6.5π√6..ππ.√6√6+√23+√3,_-,

-αcsιn8r=-xlx——sɪn—=——sɪn(-+—)=——X----------=--------，故4C正c确jfe；

22212446448

对于D选项，由余弦定理可得C?=∕+∕-2abcosC，即7=片+9—3α，a2-3a+2=0,

解得。=1或α=2,故D错误.

故选：BC.

12.如图，在棱长为2的正方体NBCD-44GA中，E为边/。的中点，点P为线段DlB

上的动点，设RP=ND∣B,则()

A.当；I=；时∖EP〃平面ABCB.当4=g时，|P©取得最小值，其

值为√∑

∣P4∣+∣PC∣的最小值为半

C.D.当q∈平面CEP时，λ=-

'4

【正确答案】BC

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用两点间距离公式

计算判断BC；确定直线DIB与平面CEP交点的位置判断D作答.

【详解】在棱长为2的正方体力4GQ中，建立如图所示的空间直角坐标系，

A(2,0,0),β(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),耳(2,2,2),E(L0,0),

^5=(2,2,-2),^D^P=λDβ=(22,2Λ,-2∕t),则点尸(22,22,2-22),

1224—124—.___

对于A,A=-,∕,(y,y,y)>EP=(--,-,-),而力C=(一2,2,0),4瓦=(0,2,2),

显然方函•就=2x(—2)+2x2)=0,而•丽=2x2—2x2=0,即方力是平面48(的

一个法向量，

―•——•124

而EP∙DQ=(-ix2+5x2+5x(-2)≠0,因此而不平行于平面NgC,即直线EP与

平面48C不平行，A错误;

对于B,丽=(24-1,24,2-2/1)，则

IEPI=7(22-1)2+(22)2+(2-2Λ)2=√12Λ2-122+5=Jl2(2-∣)2+2,

因此当4=；时，IPEl取得最小值④，B正确；

对于C,AP=(2λ-2,2λ,2-2λ),CP=(22,22-2,2-22),

2222

于是I万I+1岳I=2y∣(2λ-2)+(2Λ)+(2-2Λ)=4^3(2-1)+|≥半，当且仅

2

当2=一时取等号，C正确；

3

对于D,取4。的中点E，连接EF,C∣F,CE,如图，

因为E为边/。的中点，飒EFIIDD∖"CC∖,当ClG平面CEP时，尸@平面CERC∣,

连接用AnG尸=。，连接BOnCE=M,连接MQ,显然平面CEEGn平面

BDDlBi=MQ,

因此MQPl=P,BB∖∕iCC[,CC∖U平面CEFCx,BBl(Z平面CEFCy,则8片〃平

面CEFCi,

即有M0∕"4'而爵=颦=：'所以X=篝=^=g'D错误.

故选：BC

关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在

同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

,,5sin2or

13.右tana=-,贝!j----ʒ——_______

2cos^a

【正确答案】5

【分析】利用二倍角的正弦公式计算可得答案.

Sin2。2sin。COSa

【详解】=2tana=5.

COS2I7cos%

故答案为.5

I..........

14.已知e∣,e2是单位向量，Z8=2e∣+02,8。=-,+3e2,CZ>=Xe]-C?，若4B,D三

点共线，则实数4=

【正确答案】5

【分析】先由己知求出血，再由Z,B,。三点共线，可得而=〃?而，从而列方程组可

求出4的值

【详解】解：由纪=—1+3],丽=痴—"，得丽=数+3=(4—1)1+2],

因为儿B,。三点共线，

所以令BD-mAB»即(X—l)β∣+2e,=m(2e∣+e?)，

Λ-l=2m

所以VC,解得4=5,

2=m

故5

15.如图，在三棱锥尸―ZBC中，PA=PB=PC=8,ZAPBɪZAPC=ZBPCɪ40°,

过点/作截面，分别交侧棱P8,尸C于E,F两点,则△/!EF周长的最小值为.

【分析】沿着侧棱尸/把三棱锥P-ZBC展开在一个平面内，如图，则44'即为AZE/周

长的最小值，在△「44'中，由余弦定理能求出44'的值.

【详解】如图，沿着侧棱刃把三棱锥P-ZBC展开在一个平面内，如图所示：

A

则AA'即为八4EF的周长的最小值，

在△尸NH中，NZPH=3x40°=120°,PA=A1P=S,

由余弦定理得：AA'=JP*+wp2-2P∕.WPCoSl20。=ʧ82+82-2×8×8×^-∣^∣=8√3.

故答案为.8√3

16.德国机械学家莱洛设计的菜洛三角形在工业领域应用广泛.如图，分别以等边三角形

Z6C的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角

形.若该等边三角形ZBC的边长为1，尸为弧ZB上的一个动点，则万•（而+定）的最

小值为.

【分析】以C为原点建立平面直角坐标系，则P为单位圆上一点，利用任意角的三角函数

定义，设点P的坐标，用向量的坐标运算求解即可.

由已知，弧/8是以C为圆心，1为半径的圆的一部分，

以C为原点，6C所在直线为X轴，过C与直线BC垂直的直线为夕轴，建立平面直角坐标

系，则由已知N1―,8(—1,0),C(0,0),

2τr

由任意角的三角函数的定义，设P(CoSe,sin。)，θ∈-,π

则尸/=-ɪ-eos^,ɪ-sin^,=(-I-CoSe,-sin。)，PC=(-COSe,-sin。),

.∙.而+定=(一1一2CoSe,—2Sine),

Λ4∙(P8+PC)=I—g-cose]∙(-I-2cos6)+孝一Sine•(—2sin6)

=-+2cos+2cos2-ʌ/ɜsin+2sin2θ

2

5CoSe-平Sine

—+

2近)

2向_______S

令c0sφ=7^,Sine=J=,则尸Z∙(PB+尸c)=5+J7cos(6+e),

当。+S几时，θ-π-φ,

/、22π1

COSe=CoS[π-φ)=-cosφ=--∣=<cos-=--

Sine=Sin(兀一e)=sin夕=W<sing=^,

工存在。£--,兀,使6+9=冗，即COS(O+°)=-1,

3

.∙.当cos(e+8)=-ι时，莎•(而+定)的最小值为西.(而+无)=√7.

故答案为.—J7

2

第∏卷

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤.

ɪ.

17.已知向量α=(l,2),6=(—3,2).

(1)若i+2B与Z+B垂直，求实数，的值；

(2)若左£+2坂与2£—43的夹角为钝角,求实数后的取值范围.

14

【正确答案】(1)t=—一；(2)

3R，T)嘲多3

【分析】(1)首先可求出2+2B=(-62+4)∖3+3=(—2,4),然后根据

(日+24R+5)=0即可得出结果;

(2)本题首先可求出届+23=(左一6,2左+4)、2α-4Λ=(14,-4),然后根据题意得出

(ka+2b)-(2a-4b)<0,解得左<三，最后排除后+25与方-祸平行的情况即可得出

结果.

【详解】(1)因为)=(1,2),ð=(-3,2).

所以tα+2b=(/—6,2/+4),α+b=(-2,4),

因为fα+2B与α+B垂直,所以卜α+2耳.(q+3=O,

BP-2(/-6)+4(2/+4)=0,解得/=—?.

(2)左α+2^=(左一6,2左+4),2a-4b=(14,-4),

因为左£+23与23-4］的夹角为钝角，

所以(左Q+2可・(2Q-4B)<0,

即14(米-6)-4磔+4)<0,解得左<三,

当忘+23与二一45平行时，

-4(⅛-6)-14(2⅛+4)=0,解得左=一1,此时石+2B与22—石夹角为180。，

故实数左的取值范围为卜¥,-1)E

18.如图，在四棱锥尸-ZBCD中，底面/8C。是矩形，以为点P到平面Co的距离，

PM

AB=A,∕D=3,PA=3,点£、Af分别在线段/8、PC上，其中E是45中点，——=2,

MC

连接WE.

M

×V'ʧ

D,A--fʌ----------->C

AEB

（1）当/1=1时，证明：直线ME//平面以。；

（2）当2=2时，求三棱锥"-8Cz）的体积.

【正确答案】（1）证明见解析

（2）2

【分析】（1）构造平行四边形，然后利用线面平行的判定定理即可.

PM_

（2）根据——=2,求出三棱锥BC。的高，然后利用体积公式即可.

MC

【小问1详解】

取P。中点N,连接MN.AN,

∙.∙Λ∕N是△尸CO的中位线，.∙.MN∕∕α）,且MN=」。。，

2

REIICD,且ZE=LC。，.•.四边形/ENN为平行四边形，

2

--MEIIAN

又Λ∕E<Z平面刈。，4Nu平面PID,ME〃平面RiD

MC

二匕”-BS=；X；X4X3X1=2.

19.如图所示，在A∕8C中，。为Be边上一点，且丽=2灰，过。的直线EE与直线/8

相交于E点，与直线NC相交于尸点（E，尸两点不重合）.

（1）用而，AC表示AD；

（2）若近=%万，^AF^μAC,求24+〃的最小值.

—1—2—

【正确答案】（1）AD=-AB+-AC

33

8

(2)

3

【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；

（2）根据（1）的结论，转化用近，万■表示N万，根据。、E、尸三点共线找出等量

关系，再利用基本不等式计算可得；

【小问1详解】

因为丽=2觉，所以通一赤=2衣一2而，

—1—2一

化简得40=-28+—ZC；

33

【小问2详解】

—..—..''一"1'1—2''

因为4E=4∕β,AF—μAC,AD=-AB4—AC，

j33

所以诟=±∙衣+2-万，由图可知；1〉0,//>0

3Λ3μ

12

又因为。、E、E三点共线，所以=+丁=1，

3z3μ

_1+—2>/+卫+3+2]μ4Λ_8

所以24+〃=(24+〃)•

3/13〃J33/13〃33∑'ξJ^3,

μ4248

当三==，即〃=22=—时，24+〃取最小值一.

3/13〃33

20,设函数/(x)=SinX+cosX(XeR).

(1)求函数y=∣∕X+yI的最小正周期;

TT∖TT

(2)求函数y=∕(χ)/χ--ÆO,-上的最大值.

\4)L」一

【正确答案】(1)π.(2)1+注.

2

【分析】(1)由题意结合三角恒等变换可得V=l-sin2x,再由三角函数最小正周期公式即

可得解；

(2)由三角恒等变换可得y=sin(2x-5)+#，再由三角函数的图象与性质即可得解.

【详解】(1)由辅助角公式得/(x)=SinX+cosX=J5sin[x+^j,

则

>∕2sin-2sin21x+—1=1-cosI2x+—J=I-Sin2x

所以该函数的最小正周期r=/-=万；

(2)由题意，y-f(x)fx~~^=0sin(x+()V∑sinx=2sin[x+j^sinx

=2sinx∙Isinx+^-cos%=√2sin2x+∖∣2sinxcosx

[22)

∕τ1-cos2xy∣2.V∑.y∣2y∣2.(π∖V∑

=72-------------1-----sin2x=—sin2x------cos2xH-------sin2x-----H-------,

22222<4j2

,C式一，0`TC713τr

由x∈0,—-可得2x------

24494

所以当2x—2=?即X=四时，函数取最大值1+也.

4282

21.在A4SC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,且小3C的周长为6,

6sin力

sinA+sinB-sinC

2

(1)求角C的大小;

(2)若。是边/6的中点，且CD=百，求AZBC的面积.

TT

【正确答案】(1)一

3

(2)若

【分析】⑴利用正弦定理化简已知条件,结合三角形NBC的周长以及余弦定理求得COSC,

进而求得C.

(2)利用向量运算、三角形ZBC的周长以及(1)求得a,b,c,从而求得三角形/6C的

面积.

【小问1详解】

因为sin/+SinB-SinC=幺叫且，由正弦定理可得a+b—c=效

22

又由α+b+c=6,可得(α+b-c)(α+b+c)=34b,

整理得/+/-¢2=仍，所以CoSC="+"一.=.

2ab2

又因为Ce(O,兀)，

Tt

所以C=乙；

3

【小问2详解】

因为。是边ZB的中点，所以2丽=0+国.

即4丽闻2=^+23∙赤+/"+α2+αb=4χ(可=12

又α+b+c=6,a1+b2-c2=ab>

解得α=b=c=2.

所以^ABC的面积S=-absmC=4i.

2

22.已知Ia,b,c分别为“BC三个内角A,B,C的对边，

COS2√4+cos2C=1+cos2β且b-∖,

(1)求B；

—■—-111

(2)若ABAC<-,求上+上的取值范围；

2ac

(3)若。。为“BC的外接圆，若PM、PN分别切。。于点M、N,求

PMPN的最小值.

TT

【正确答案】(1)B=—；

2

(2)(2Λ∕Σ,+∞);

3

（3）T

4

【分析】（1）由题目条件可证得sin2∕+sin2c=sin28,可得/B