2022-2023学年高一数学 人教A版2019必修第一册 同步讲义 第24讲 三角函数概念及定义5种题型总结 含解析

第24讲三角函数概念及定义5种题型总结

【考点分析】

考点一：角的概念

①任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成

的图形；

②分类：角按旋转方向分为正角(逆时针旋转)、负角(顺时针旋转)和零角(不

旋转).

②所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S={6忸=h36()o+α,k∈z}.

③象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与X轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第

几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一

个象限，叫做轴线角.

④象限角的集合表示方法：

第一象限角：｛ɑl2Jtττ<a<2*7τ+W∙,∕ezL^

象

眼第二象限角：｛αl2Aττ+m<α<2Aτr+ιτ,A∙∈Z｝

用

的

集第三象限由：｛αl2*ιτ+ιτ<α<2AF+等,*∈Ξj")

合

第四象限角：｛al2Aτ+等<α<2A∙ττ+2κ,Ae到

考点二：弧度制的概念

①定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做I弧度的角，用符号rad表示,读作弧度.正

角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.

②角度制和弧度制的互化：l80o=ππκl.lo=^rad,lrad=-.

180π

③扇形的弧长公式：/=同"，扇形的面积公式：S=g∕r=jα∣/.

考点三：任意角的三角函数

①定义:任意角α的终边与单位圆交于点P(X,y)时,则sina=y,CoSa=X,tana=ɪ(x≠0).

X

考点四：任意角三角函数的性质如下：

第一象第二象限第三象第四象

三角函数定义域

限符号符号限符号限符号

SinaR++——

CoSaR+一一

tana｛a∖a≠kπ+-,k≡Z｝+—+—

【题型目录】

题型一：与角α终边相同的角的集合的表示

题型二：判断等分角的象限问题

题型三：扇形的弧长、面积公式的计算

题型四：任意角三角函数的定义

题型五：三角函数值的正负判断

【典例例题】

题型一：与角α终边相同的角的集合的表示

【例1】（2022・全国•高一课时练习）将一1485。化成α+2br（0≤α<2乃,AeZ）的形式是（）

兀7兀7

A.—8TiB.一兀—8兀C.—10τιD.一τt-IOTU

4444

【答案】D

【分析】由360°=2;ZTad或I80°=m*ad转换.

7

【详解】因为一1485。=一5、360。+315。，360o=2ττrad,315o=-τrrad,所以一1485。可化成

4r

2∙π-10兀.

4

故选：D.

【例2】（2022•陕西渭南•高一期末）与2022。终边相同的角是（）

A.-488oB.-148oC.142oD.222°

【答案】D

【分析】与。终边相同的角可表示为。+24攵欢∈Z.

［详解］•/2022o=5×360°+222°,

・・・与2022°终边相同的角是222。.

故选：D

9TT

【例3】（2022.全国•高三专题练习）与角丁的终边相同的角的表达式中，正确的是（）

4

,9乃

A.2Λτr+45»⅛∈ZB.%∙360H------,Z∈Z

4

5/r

C.⅛∙360-315.keZD.kπ+-,kwZ

4

【答案】C

【解析】

【分析】

9TT

要写出与哼的终边相同的角，只要在该角上加12»的整数倍即可.

4

【详解】

首先角度制与弧度制不能混用，所以选项A8错误；

94Q

乂与哼的终边相同的角可以写成线乃+J"（k∈Z）,

44

所以C正确.

故选：C.

【例4】（2022•河南南阳•高一期末）已知角α=2022,则角α的终边落在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】利用象限角的定义判断可得出结论.

【详解】因为a=2022=222+5×360,而222是第三象限角，故角α的终边落在第三象

限.

故选：C.

【例5】（2022.全国.高一课时练习）终边落在直线y=√Lr上的角ɑ的集合为（）

A.{a∣α=⅛∙180o+30oΛ∈Z}B.{a∣α=^∙180o+60o,⅛∈Z}

C.{σ∣α=⅛∙360o+30o,⅛eZ}D.{σ∣Οr=⅛∙360o+60oΛ∈Z}

【答案】B

【分析】先确定y=Gx的倾斜角为60,再分当终边在第一和三象限时角度的表达式再求

解即可.

【详解】易得y=√5x的倾斜角为60，当终边在第一象限时，a=60o+⅛∙360o,ZeZ；当

终边在第三象限时，£=240。+上360。，ZwZ.所以角α的集合为{α∣a=A180o+6（）o,%eZ}.

故选：B

【例6】（2022•全国.高三专题练习（多选题））如果角。与角7+45。的终边相同，角夕与

/-45。的终边相同，那么6的可能值为（）

A.90oB.360oC.450oD.23300

【答案】AC

【解析】

根据终边相同可得角与角之间的关系，从而可得尸的代数形式，故可得正确的选项.

【详解】

因为角α与角y+45。的终边相同，故α=y+45?⅛7360o,其中上eZ,

同理尸=/-45。+%「360。，其中∕eZ,

故。一/?=90。+止360。，其中〃∈Z,

o

当〃=0或〃=1时，a-β=90u^ta-β=450°,故AC正确，

令360。=90。+小360。，此方程无整数解〃：

令2330。=90。+〃•360。即56=9〃，此方程无整数解"；

故BD错误.

故选：AC.

【例7】（2022•全国•高一课时练习）下列说法中正确的是（）

A.第二象限角大于第一象限角

B.⅛⅛∙360o<ɑ<⅛∙360o+180o（⅛∈Z）,则α为第一或第二象限角

C.钝角一定是第二象限角

D.三角形的内角是第一或第二象限角

【答案】C

【分析】利用任意角的知识，对选项分别判断即可.

【详解】对A选项，如-210。<30。，故A错误.

对B选项，α为第一或第二象限角或终边落在y轴正半轴上的角.故B错误.

对C选项，因为钝角大于90。且小于180。，所以钝角一定是第二象限角，故C正确.

对D选型，当三角形的一个内角为90。时，不是象限角，故D错误.

故选:C.

【例8】（2022•全国•高一课时练习）已知αe{0∣45o+Z∙360o≤e≤90o+Z∙360o},则角ɑ的

终边落在的阴影部分是（）

【分析】令k=O即可判断出正确选项.

【详解】令%=0,得45θ≤α≤90。，则B选项中的阴影部分区域符合题意.

故选：B.

【题型专练】

1.（2022•河南安阳•高一期末）把-375。表示成。+2桁，々eZ的形式，则。的值可以是（）

【答案】B

【分析】由-375。=-15。-360。结合弧度制求解即可.

【详解】∙.∙-375°=-15°-360°.-375°=（-∙^-2π]rad

故选：B

2.（2022.广西.北海市教育教学研究室高一期末）下列各角中,与1840°角终边相同的角是

()

A.40°B.220°C.320°D.To0°

【答案】A

【分析】将1840。化为40。+5*360。，即可确定答案.

【详解】因为1840。=40。+5、360。，故40。角的终边与1840。的终边相同，

故选：A

3.（2022・全国•高一课时练习）与2022。终边相同的角可以为.（填写一个符合题

意的角即可）

【答案】222。（答案不唯一）

【分析】终边相同的角，相差360。的整数倍，据此即可求解

【详解】V2022o=360o×^+α（⅛∈Z）,当Z=5时，α=222。，...与2022。终边相同的角可

以为222。，

故答案为：222。（答案不唯一）

4.（2022・全国•高三专题练习）若角α的终边在直线＞=-X上，则角α的取值集合为（）

A.a=2kπ-^,kB.α=2kπ+,⅛∈Z∣

C.α=⅛Λ∙--^-,⅛∈Z∣D.|aa=kπ~^,⅛∈zl

【答案】D

【解析】

【分析】

根据若α,用终边相同，则夕=2br+αMeZ求解.

【详解】

解：

角α的取值集合为：

|««=2kτr+^~,kez}u{αα=2kπ-^,keZ∣

={αα=（2Z+l）π∙-（,%ez）<j[αα=2kπ-^,k∈z!

=∖aa=kπ--,keZ>

I4J

故选：D.

【点睛】

本题主要考查终边相同的角，还考查了集合的运算能力，属于基础题.

5.（2022•全国•高一课时练习）如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的

【答案】2kτι-^≤a<2⅛π+-j^,Λ∈Z∣

【分析】将角度化为弧度，结合任意角概念表示出来即可.

【详解】因为75°=75x需TT=苴Sjr，TO。==Tr

结合图像可看作范围内的角，结合任意角的概念可表示为

612

<a2kπ——<a<2kπ+——,Z∈Z∖.

I612J

故答案为:卜2⅛π-^≤α≤2Λπ+γ∣Λ∈Z∣.

6.（2022.西藏・林芝市第二高级中学高一期末）兀的角化为角度制的结果为

【答案】-300

【分析】利用角度与弧度的互化即可求得-∣兀对应角度制的结果

【详解】-∙∣兀=-(gxl8θ)=-300

故答案为：—300

7.(2022•全国•高三专题练习(多选题))下列条件中，能使α和4的终边关于>轴对称的是

()

A.&+尸=90。B,α+尸=180。

C.α+^=⅛-360o+90o(⅛∈Z)D.α+£=(2Z+1)∙180。(ZeZ)

【答案】BD

【解析】

【分析】

根据α和夕的终边关于y轴对称时α+A=180o+360%(⅛∈Z),逐一判断正误即可.

【详解】

根据"和4的终边关于V轴对称时c+/=180。+360。NZeZ)可知，

选项B中，。+£=180。符合题意；选项D中，a+/=(2&+l)J80。(ZeZ)符合题意；

选项AC中，可取α=0°,#=90。时显然可见α和夕的终边不关于y轴对称.

故选：BD.

8.(2022・全国•高一课时练习)如果角α与角x+45。具有相同的终边，角夕与角x-45。具有

相同的终边，那么α与夕之间的关系是()

A.a+β=Q°B.a-β-90°

C.1+尸=h36()。(ZeZ)D.a-^=)t∙360o+90o(^∈Z)

【答案】D

【分析】先根据终边相同的角分别表达出a,£,再分析a+£,α-4即可.

【详解】利用终边相同的角的关系，得α="∙36θo+x+45o("eZ),

/?=m-360o+x-45o(meZ).

则£+/=(，〃+〃>3600+2*(〃€〃，“€2)与北有关，故AC错误；

又α一尸=(〃-加)360。+90。("€〃加€2).因为〃?,"是整数,所以"一m也是整数,用左伏€2)

表示,所以夕―4=人360。+90。(％€2).

故选：D.

9.(2022•全国•高一课时练习)若&=h360。+凡^=m∙36()o-0(Λ√n∈Z),则角α与角夕

的终边一定()

A.重合B.关于原点对称

C.关于X轴对称D.关于），轴对称

【答案】C

【分析】根据角。与角的终边关于X轴对称即可得解.

【详解】解：因为角。与角的终边关于X轴对称，所以角α与角夕的终边一定也关于X

轴对称.

故选：C

10.（2023・全国•高三专题练习）集合1α∣Z%≤α≤H∙+（,kez｝中的角所表示的范围（阴影

部分）是（）

【答案】B

【分析】对/按奇偶分类讨论可得.

JTTT

【详解】当仁2〃5∈Z）时，2mτgαW2〃兀+-5∈Z）,此时。的终边和0%W∙的终边一样,

447

ππ

当L=2"+1（"∈Z）时，2m+πwα≤2nπ+π+-（n∈Z）,此时ɑ的终边和定白女+一的终边

44

一样.

故选：B.

题型二：判断等分角的象限问题

【例1】（2022•浙江•高三专题练习）若α=A∙180+45,k∈Z,则α的终边在（）

A.第一、三象限B.第一、二象限

C.第二、四象限D.第三、四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

分左=2"+l∕eZ和々=2〃,〃eZ讨论可得角的终边所在的象限.

【详解】

解：因为α=hl80+45,&∈Z,所以

当&=2"+l∕eZ时，α=2〃∙180+180+45="∙360+225,〃eZ,其终边在第三象限；

当％=2","eZ时，α=2n∙180+45=n∙360+45,neZ,其终边在第象限.

综上，ɑ的终边在第一、三象限.

故选：A.

【例2】（2022•江西上饶•高一阶段练习多选）若α是第二象限角，则（）

A.万一α是第一象限角B.券Ci是第一或第三象限角

C.半+α是第二象限角D.-α是第三或第四象限角

【答案】AB

TT

【分析】由α与一&关于X轴对称，即可判断AD；由己知可得^+2版∙<α<乃+2%）,⅛∈Z,

2

再根据不等式的性质可判断B；由3号4+α是第一象限角判断C.

【详解】解：因为α与一α关于X轴对称，而α是第二象限角，所以是第三象限角，

所以乃-a是第一象限角，故A正确，D错误；

TTTT（7TT

因为a是第.象限角,所以万+2k兀<a<乃+2kτr,Z∈Z,所以+kτr<ɪ<ɪ÷kτv,Z∈Z,

故W∏是第一或第三象限角，故B正确；

因为a是第：象限角，所以与+a是第一象限角，故C错误.

故选:AB.

【题型专练】

1.（2022・全国•高三专题练习（理））角a的终边属于第一象限，那么］Ci的终边不可能属于的

象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

■Jra

由题意知，2kπ<a<-+2kπ,⅛∈Z,即可得工的范围，讨论左=3〃、Z=3〃+1、攵=3〃+2

Nɔ

（y

SeZ）对应/的终边位置即可.

【详解】

：角a的终边在第一象限，

/.2kπ<a<-+2kπ,keZ,则也<里<色+也，⅛∈Z,

23363

Cf

当％=3"("∈Z)时，此时?的终边落在第一象限，

当无=3"+l("Z)时，此时三的终边落在第二象限，

当A=3"+2("eZ)时，此时女的终边落在第三象限，

综上，角α的终边不可能落在第四象限，

故选：D.

2.(2022♦全国•高三专题练习)。是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是()

Qβ

A.sin-B.cos—C.sin2θD.cos2θ

22

【答案】C

【解析】

表示出第二象限角的范围，求出2。和∙∣■所在象限，确定函数值的符号.

【详解】

因为。是第二象限角，

TT

所以2%1+—<8<2Aτr+肛左∈Z,

2

则4kπ+π<2θ<4kτr+2凡％∈Z,

所以2。为第三或第四象限角或终边在y轴负半轴上，，所以sin2公0.

而A万+J<g<b∙+1,%eZ,4是第一象限或第三象限角，正弦余弦值不一定是负数.

故选：C.

aaCI

3.(2022・全国•高三专题练习)已知角。第二象限角，ɪcos-=-cos-,则角名是()

乙乙乙

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】C

【解析】

【分析】

CfClCLCf

由α是第二象限角，知三在第一象限或在第三象限，⅛⅛1cos-=-cos-,知COSW≤0,

2222

由此能判断出1所在象限.

2

【详解】

因为角α第二象限角,所以9()+k∙360<a<18()+Ar∙36()(⅛∈Z),

ZV

所以45+⅛∙180<ɪ<90+⅛∙18O(Z∈Z),

当々是偶数时，设Z=2"("∈Z),则45+n∙36O<y<90+n∙36O(”eZ),

此时券为第一象限角；

当上是奇数时，设Z=2"+l("cZ),则225+n∙360<-<270+n∙360(n∈Z),

此时，为第三象限角.；

综上所述：,为第一象限角或第三象限角，

aaCIct

因为COS5=-cos,,所以COS5≤0,所以］为第三象限角.

故选：C.

题型三：扇形的弧长、面积公式的计算

【例1】(2022.河南•郑州四中高三阶段练习(文))已知扇形Q4B的圆心角为2,弦长他=2,

则扇形的弧长等于()

A.—B.—C.-ɪ-D.—

sin1sin1CoSlcosl

【答案】B

【分析】求得扇形的半径，从而求得扇形的弧长.

【详解】扇形的半径2AB1，

Γ=------=-----

sin1sin1

12

所以扇形的弧长等于2χr=2χ-=-.

sin1rsin1r

［例2］(2022•浙江•高三开学考试)如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为"潮涌",

钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮

奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大

潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AO长度是4,弧BC长度是4,几何图形

/s

ABCQ面积为S-扇形BoC面积为邑，若色=2,则U=（）

【答案】C

【分析】通过弧长比可以得到。4与OB的比，接着再利用扇形面积公式即可求解

/OA

【详解】解：iðZAOD=θ,则∕∣=PQA/=夕。3,所以TL=T^=2,即OA=20B,

I-,OD

C-OAll--OBl,20B∕,-ɪOBL

所以标2「2二=一厂2_一=3,

"OBi一OBL

22

故选：C

【例3】（2022.全国•高三专题练习）已知扇形的周长为4cm,当它的半径为Cm和

圆心角为弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是Cm2.

【答案】12I

【解析】

【详解】

/+2r=4,则S=g∕r=；r（4—2r）=—/+2r,

则r=l,∕=2时，面积最大为1,此时圆心角a='=2,

r

所以答案为1；2；1.

【例4】（2022.浙江•镇海中学模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》

章给出了弧田面积的计算公式.如图所示，弧田是由圆弧AB及其所对弦A8围成的图形.若

弧田的弦A3长是2,弧所在圆心角的弧度数也是2,则弧山的弧AB长为,弧田的

面积为.

211_

【答案】

sin1sin21tan1

【解析】

【分析】

（1）利用弧长公式解决，那么需要算出半径和圆心角；（2）用扇形的面积减去三角形的面

积即可.

【详解】

由题意可知：BC=AC=LAO=空=J7,OC=隼=J7,

sin1sin!tanltanl

12

所以弧A3长=2χ-=-,弧田的面积

sin1rsin1r

S扇形AOB-SAOfi

2I1

故答案为：T-7；.，-------T-

sin!sm-1tanl

【例5】（2022•全国•高一课时练习多选题）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况

下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为H,其圆心

角为。，圆面中剩余部分的面积为52,当*与邑的比值为叵1时，扇面为“美观扇面”，下

2

列结论正确的是（参考数据：√5≈2.236）（）

Sθ

A-1=----------

S22τr-θ

S1

B.若寸1=5,扇形的半径R=3,则E=2万

C.若扇面为“美观扇面”，则0x138

D.若扇面为“美观扇面”，扇形的半径R=20,则此时的扇形面积为200（3-石）

【答案】AC

【分析】首先确定LS2所在扇形的圆心角，结合扇形面积公式可确定A正确；由

IL=丁J可求得6,代入扇形面积公式可知B错误；由AL=丁J=IFɪ即可求得

S22π-θ2S22π-θ2

θ,知C正确；由扇形面积公式可宜接判断出D错误.

【详解】对于A,Sl与邑所在扇形的圆心角分别为d2π-θ,

2'7

SLel2τr1ʌ212乃

对于B,∙τ=ʒ~-=-,：.0=^,.∙.Sl=~ΘR=^-×^×9=3π,B错误；

S22π-θ23223

无寸于C,.∙.6>=(3-√5)Λ∙,.∙.6R(3—2.236)x1807138,C正确；

2

对于D,S1=∣∙0∙Λ=→(3-√5)Λ∙×400=2∞(3-√5)^,D错误.

故选：AC.

【题型专练】

1.(2022∙上海市松江二中高一期末)已知扇形的圆心角为135。，扇形的弧长为31，则该扇

形所在圆的半径为.

【答案】4

【分析】利用弧长公式直接求得.

【详解】扇形的圆心角为135。，为丫371，设半径为小

4

由弧长公式可得：口31=3兀,解得：r=4.

故答案为：4

2.(2022・全国•高一学业考试)已知扇形的周长是12,面积是8,则扇形的圆心角的弧度数

可能是()

A.1B.4C.2D.3

【答案】AB

【分析】利用扇形的弧长与面积公式建立方程组求解，再利用圆心角公式.

【详解】设扇形的半径为，，弧长为/,面积为S,圆心角为α,则/+2r=12,5=^∕r=8,

解得r=2,/=8或r=4.1=4,则α='=4或1.故C,D错误.

r

故选：AB.

3.(2022・全国•高考真题(理))沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录

了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以。为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，

。在AB上，CCAB.“会圆术”给出AB的弧长的近似值S的计算公式：s=AB+空.当

OA

OA=2,NAO3=60。时，S=()

ʌll-3√3d11-4GC9-3GC9-4√3

2222

【答案】B

【解析】

【分析】

连接OC,分别求出A8,OC,CD,再根据题中公式即可得出答案.

【详解】

解：如图，连接OC,

因为C是AB的中点，

所以OeLA8,

又CDLAB,所以O,C,。三点共线，

即QD=OA=OB=2,

又ZAoB=60°,

所以45=。4=。8=2,

则OC=G，故O)=2-石，

所以AnCD2.(2-句ll-4√3

々I^s=AB+------=2+-----------=------------

OA22

故选：B.

4.（2022・全国•高三专题练习）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终

以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.某扇形玉雕壁面尺寸（单位：cm）如图所示，则

该玉雕壁画的扇面面积约为（）

D.4800cm2

【答案】D

【分析】根据扇形的面积公式，利用大扇形面积减去小扇形面积即可求解.

【详解】易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，

设大、小扇形所在圆的半径分别为4,相同的圆心角为凡

16080,,

则OZI=——=—.得｛=2々，又因为｛-4=40,

r∖t2

所以4=80,7；=40,

该扇形玉雕壁画面积S=gχl60χ∕i-gχ80χ4

=∣×160×80-∣×80×40=480θ(cm2).

故选：D.

5.（2022・全国•高三专题练习）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面

形状较为美观.从半径为「的圆面中剪下扇形。钻，使剪下扇形后所剩扇形的弧长与圆

周长的比值为更二ɪ,再从扇形中剪下扇环形ABoC制作扇面，使扇环形ABOC的面

2

积与扇形OAS的面积比值为垦1.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积

2

与圆面积的比值为（）

A.B.C.3-/D.√5-2

242

【答案】D

【解析】

【分析】

记扇形。4B的圆心角为α,扇形QlB的面积为R,扇环形ASDC的面积为山，圆的面积为

S,根据扇形面积公式，弧长公式，以及题中条件，即可计算出结果.

【详解】

记扇形Q4B的圆心角为α,扇形QLB的面积为R,扇环形ASDC的面积为打，圆的面积为

S,

22

由题意可得，51=irα,*=与LS=πr,

所以S2一与1*（石T）α,

Sπr24;T

因为剪下扇形QAS后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为近二ɪ,

2

所以2；Ta=与ɪ,则0=（3-石卜，

所以52=（右-I）。（逐一）（3一布,3石一5-3+/二万2∙

S4万4万4

故选：D.

6.（2022.浙江•赫威斯育才高中模拟预测）“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》

中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为

1,截面圆圆心为。，墙壁截面A8Q9为矩形，且AZ>=1,则扇形。4。的面积是.

【答案】7##^

66

【解析】

【分析】

计算ZΛ8,再利用扇形的面积公式求解.

【详解】

由题意可知，圆。的半径为1，即Q4=8=l,

又AD=I,所以AOAD为正三角形，J.NAOO=（,

所以扇形。40的面积是S=1x/XZAa）==乡.

故答案为：J

O

7.（2022•全国♦模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆

面中剪下的扇形加工制作而成.如图,扇形纸叠扇完全展开后,扇形ABC的面积S为225∕cn√,

若比＞=2ZM,则当该纸叠扇的周长C最小时，BO的长度为cm.

【答案】Wπ

【解析】

【分析】

设扇形A8C的半径为rcm,弧长为Icm,根据扇形ABC的面积S为225∕cπ√,由g〃=225π2

得到“，然后由纸叠扇的周长C=2r+/,利用基本不等式求解.

【详解】

解：设扇形A8C的半径为mm,弧长为/cm,则扇形面积S=g”.

由题意得:"=225/,所以Z√=450∕∙

2

所以纸叠扇的周长C=2r+/≥2√2Λ7=2√900√=60;T-

f2r=l,

当且仅当《，火八2即r=15∕r,/=30万时，等号成立，

[r∕=450π∙,

所以BD+DA=15%（的）.又BD=2DA，

所以+g=15万（Cm）,

所以∙∣BO=15Tr（C777）,

故BD=IOMCm）.

故答案为：10万

题型四：任意角三角函数的定义

【例1】(2021•天津市武清区杨村第一中学高一阶段练习)已知函数y=log,,(x+2)+3的图

象恒过定点A,若角α的顶点与原点重合，始边与无轴的非负半轴重合，且点A在角。的终

边上，贝IJSina的值为()

B.辞C3√10D..回

AT1010

【答案】C

【分析】先由对数函数图象的特征求出定点A(T,3),再由三角三函数的定义求解即可

【详解】函数y=Iogu(x+2)+3的图象恒过定点A(-l,3),

且点A(T,3)在角ɑ的终边∣∙.,

33√10

所以Sina=

J(T)2+321°

故选：C

【例2】(2022.黑龙江・大庆市东风中学高一期末)已知角α的终边与单位圆交于点

＞则Sina的值为()

「√3

A.bL•--d

∙42∙⅛

【答案】C

【分析】根据三角函数的定义即可求出.

"1

【详解】因为角α的终边与单位圆交于点P-2'~J

所以根据三角函数的定义可知，Sina=y=@

-2

故选：C.

【例3】(2022•陕西渭南•高一期末)已知角6的终边经过点M(",3-附，且tan。=；,贝IJm=

()

A—B.1C.2d

A∙2∙I

【答案】C

【分析】由三角函数定义求得m值.

【详解】由题意tan。===解得%=2.

m2

故选：C.

【题型专练】

L(2022∙陕西渭南.高一期末)已知P(-2,y)是角。终边上一点，且Sine=半，则V的值是

()

ʌ2√2π2√2C4√34n4√34

551717

【答案】D

【分析】根据sin6>0,可判断点P(-2,y)位于第二象限，利用正弦函数的定义列方程求解

即可.

【详解】解：因为P(-2,y)是角〃终边上•点，sin。=半>0,故点P(-2,y)位于第二象

y2√2

所以y>0,Sine=

/H+J25

整理得：17/=32,因为y>0,所以丫=勺回.

故选：D.

2.(2022•陕西渭南•高一期末)已知角α的终边经过点P(-2,l),贝Ijsina=()

A.@B.√5C.--D.-2

52

【答案】A

【分析】根据三角函数的定义即可得解.

【详解】解：因为角α的终边经过点P(-2,l),

所以Sina=-7=i==—.

√4+l5

故选：A.

3.(2022•江苏省如皋中学高一期末多选)已知函数〃*)=1唱,卜-2|+4(。>0且。口)的图象经

过定点A,且点A在角。的终边上，则一1+—二的值可能是()

tanΘsɪnθ

A.2B.3C.后+1D.

43

【答案】AC

【分析】先由函数可知点A的坐标，再由三角函数的定义可求解.

【详解】由题意，可知43,4)或A(l,4),

当点是A(3,4)时，

444

由三角函数的定义有tan6=§,SIne=J3?=W'

-1135c

所ct以κl----1-------=—+—=2；

tan<9sin<944

当点是A(l,4)时,

444

由三角函数的定义有匕。=

n1=4,sm6=#+甲一而'

∣111√∏√Γ7+1

所fζr以μ——~+--=-+——=-----

tanθsin444

故选：AC

4.(2022•全国•高一课时练习)已知角α的终边上有一点P(-gj"),且Sina=m,则"z

4

的值为.

【答案】土石或O

【分析】根据三角函数的定义列方程即可求解.

,√2

【详解】由题意可知4tn»解得加=±后或0∙

故答案为：士石或O

5.(2023・全国•高三专题练习)已知角α的终边与单位圆的交点为。(-；,丁)，则Sinatana=

3

【答案】

【分析】根据单位圆求出V,然后由三角函数定义求得Sinatana,再相乘可得.

【详解】由题意J+y2=l,y=±且,

42

3时，sinα=且-y∣3,Sinatana=-∙∣,

y=taner

22

.√3

y=时，sinσ=------，tanα=gλSinatana=一，

22

3

综上，Sinatana=——

2

3

故答案为：-]

题型五：三角函数值的正负判断

【例1】（2022.浙江•诸暨市教育研究中心高二学业考试）若。满足sin6<0,tane>0,则。的

终边在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】直接由各象限三角函数的符号判断即可.

【详解】由sin6<0可知。的终边在第三象限或第四象限，乂tand>O,则。的终边在第三

象限.

故选：C.

sinθcosθtanθ

【例2】（2022•全国.高一课时练习）若角。是第四象限角，则V=厨司+前司+画石=

【答案】-1

【分析】根据在第四象限三角函数的符号，化简计算y值.

【详解】因为角。是第四象限角，所以sin6<0,cos/9>0,tan，<0,

sin。cos。tan。,

所以y=ι—r+ι------r+ι—=-ι+ι1-ι1=-ι1

、∣sinθ∖∣cosθ∖Itanθr∖

故答案为：-L

【例3】（2023•全国•高三专题练习）已知角。在第二象限，且Sing=-sin?,则角!•在（）

A.第一象限或第三象限

B.第二象限或第四象限

C.第三象限

D.第四象限

【答案】C

【分析】由题可得角上在第一或第三象限，再结合三角函数值的符号即得.

【详解】•••角。是第二象限角，

.∙.9∈（2kπ+—,2kπ+π）,k≡Z,

2

—∈{kτrH—,kττH—）,Z∈Z,

242

H

・・・角!■在第一或第三象限，

...θ.0,.6