2023届辽宁省新高考数学立体几何解答题解析版

2023届辽宁省新高考数学复习

专题3立体几何解答题30题专项提分计划

1.(2022.辽宁•东北育才双语学校校考模拟预测)如图，在平行四边形45co中，AB=\,

37r

AD=0ZBAD=—,四边形AC。为矩形，平面ACEFJL平面ABC。，AF=1.

(1)求证：平面平面ACE5；

(2)点M在线段所上运动，且EM=/lEr，若平面MBC与平面ECD所成的锐二面角的

余弦值为:，求力的值.

【答案】⑴证明见解析；

(2)4.

【分析】(1)证明AABC是直角三角形得ABLAC,再结合面面垂直性质可得A3,平面

平面AC£F,由此即可证明平面AB尸_L平面AC£F；

(2)以点A为坐标原点，分别以直线A3、AC、"为x、V、z轴建立空间直角坐标系，

表示出各点坐标，求出平面MBC和平面ECD的法向量，利用向量法即可求解.

3亢7T

【详解】(1)vZBAD=—,：.ZABC=-.

44

在，ABC中，AB=1,BC=AD=①,则根据余弦定理易得AC=1,

/.AB2+AC2=BC2,AB1AC.

,：平面ACEF_L平面ABCD,平面ACEF】平面ABCD=AC,ABc平面ABCD,

；•AB2平面ACEF,又ABu平面AB尸，，平面ABE_L平面AC砂；

(2):四边形ACEb为矩形，AFALAC,

•平面ACEF_L平面ABCD,平面ACEF"平面ABCD=AC,E4u平面ACEF,

E4_L平面ABCD.

以点A为坐标原点，分别以直线A3、AC.AF为x、＞、z轴建立空间直角坐标系,

ZM

M

则方（1,0,0）,C（0,l,0）,E（0,l,l）,尸（0,0,1）,

ULIU

则6c=（-1,1,0）,CM=CE+EM=CE+AEF=（0,-Z,l）,

设平面MBC的法向量%=（x,y,z）,

n-BC=0f-x+y=0,,、

则2，即，-c，取巧=

7

n2-CM=0[-Ay+z=0'

由题意可知，ACLCD,AC±CE,则AC_L平面EC。，

则平面ECD的一个法向量4=AC=（0,1,0）,

jr

设平面MBC与平面所成的锐二面角为仇则

,12cl

则cose=|cos<4，=解得4="

2

2.（2022•辽宁大连•育明高中校考一模）如图，在四边形A8CD中，BC=CD,BCLCD,

AD1BD,以8。为折痕把△AB。折起，使点A到达点P的位置，且PCUBC.

（1）证明：PD_L平面8CZ）；

（2）若M为尸B的中点，二面角P-BC-D等于60。，求直线PC与平面MC。所成角的

正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵W

4

【分析】(1)由线线垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，再证明出线面垂直；(2)

建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角.

(1)

;BC工CD,BC±PC,且尸cnco=c,

平面PCD,

又：P£><=平面PC。，C.BCLPD.

■:PD工BD,BDC\BC=B,

平面BCD；

(2)

'：PC±BC,CDLBC,

：.ZPCD是二面角P-BC-D的平面角，则/PCD=60。，

因此尸。=CO•tan60°=也CD,

取8。的中点O,连接。M,OC,

由己知可得。ALOC,。£)两两互相垂直，

以。为坐标原点，分别以OC,OD,0M所在直线为无，y,z轴建立空间直角坐标系,

设。3=1,则P(0,1,&),C(1,0,0),D(0,1,0),M(0,0,包)，

2

CP=j,CD=(—1,1,0),CM=—1,0,-^-.

I?

设平面MCD的一个法向量为n=(x,y,z),

n-CD=t+y=0

由，ri-CM=—x+^-z=0取Z=0,得〃=五）.

2

X

故直线PC与平面MCD所成角的正弦值为3.

4

3.（2022・辽宁大连•大连市一。三中学校考模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，四

边形ABC。为菱形，PD=AD=2,E,F分别是B4,的中点，过E,尸作平面a交

线段PB,PC分别于点G,H,且尸G=#PB

（1）求证：GH//BC；

⑵若尸/〃平面ABCD,且二面角A-PD-C为120。，二面角E-尸G-尸的正弦值为巫,

4

求才的值.

【答案】（1）证明见解析

（2）/=1

【分析】（1）由题意，可得E尸〃3C,根据线面平行的判定定理可得EF〃平面P2C,

从而由线面平行的性质定理可得毋〃G”,由平行公理即可得证；

（2）由PO_L平面ABCD可得NADC为二面角A—PD—C的平面角，则NADC=120。，

取BC中点O,连接。。，以。为原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进

而求出平面PBD的法向量〃=（百,乂，4）与平面EFG的法向量为〃Z=（X2，%，Z2），从而利

用向量法即可求解.

（1）

证明：P分别是B4,PD中点，

/.EF//AD,

又：AD//BC,

：.EF//BC,

又：EFU平面PBC,BCu平面PBC,

：.EF〃平面PBC,

又：防匚平面a,平面a。平面PBC=G〃，

，EF//GH,

：.GH//BC；

(2)

解：：PZ)_L平面ABC。，AD,CDu平面ABC。，

AADVPD,CD±PD,

.,.N4DC为二面角A—PD—C的平面角，则/ADC=120。，

取BC中点。，连接。。，以。为原点，D4所在直线为x轴，。。所在直线为y轴，DP

所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则E（1,O,1）,F（0,0,1）,P（0,0,2）,B（1,73,0）,设点G坐标为（x,y,z）,

7PG=tPB>

（x,y,z—2）=f•（1,若,—2）,

x=t

z=2-2t

2-24,

DP•YI—Q

设平面尸的法向量为〃=（不,X，ZJ,则I”八，

DB-n=0

即令芯=6,则％=T，4=。，贝U〃=（g,T,0）,

设平面E尸G的法向量为根=（X2，%，Z2），所=（一1,0,0）,八7=，,8,1一20,

x

fEF-m=0_n~2=°

\，即<r~/\，

[FG•m=0tx2+y/3ty2+（1—2/jz2=0

令%=2，T,贝1壮2=©,工2=。，贝1」加=(0,2，一1,疯)

设二面角E-FG-P的平面角为6,

:二面角E-FG-P的正弦值为姮,

4

1cos0|=g

/.sinO=—,

4

n-m_x/3

|cos6*|=cos(n,m)=

nm2-+(2?-1)22-,7产-41+1-4'

5户+4/一1=0,解得t=g或/=-1(舍去).

4.（2022•辽宁・抚顺市第二中学校联考三模）已知四棱锥尸-ASCD,底面A8CZ）是平行

四边形，且CBLD3.侧面PCD是边长为2的等边三角形，且平面PCD，平面4BCD点

E在线段PC上，且直线24//平面

（2）设二面角尸-3D-C的大小为凡且tan0=求直线BE与平面ABC。所成的角的

正切值.

【答案】（1）证明见解析

⑵《

【分析】（1）根据线面平行的性质可得线线平行，即可求证.

（2）根据二面角的大小，可得8c=0,进而可得线面角，即可求解.

(1)

连AC交8。于E连所.

：ABC。是平行四边形，；.AF=FC

:直线PA//平面BDE,PAu面B4C,面R4C面BDE=EF,

二PA//EF：.PE=EC

p

E

方法一：取OC中点O,0C中点G,连PO,OF,GE,BG

•侧面PCD是边长为2的等边三角形

:.P0=6，POLCD

平面PCD_L平面ABCD,平面PCD平面ABCD=CD

：.尸0/平面ABCD

•：OD=OC,DF=FB

FO//BC,FO=-BC

2

CB±DB：.FO±BD：.PF±BD

/PR?是二面角P-BD-C的平面角

ZPFO=3

tan0==\/6FO=BC=-$/2

FO2

•1-BD=yjCD2-BC2=yf2=BCBOLCD,BO=1

：.BG=y/BO2+OG2=—,VOG=GC

2

APO//EG,EG=—,EG_L平面ABC。

2

：.ZEBG为直线EB与平面ABCD所成的角

,EGV15

tanZEBG==-----

BG5

方法二：

取中CD点。，连PO,则尸O_LCD,从而尸平面ABCD,以8为原点，以DB,BC,OP

的正方向为x轴，y轴，z轴方向建立空间直角坐标系

令BC=m,则C(0,m,0),认-也-疝,"-苏,三

一不4-m2x=0

设平面PBD的法向量m=（x,y,z）,则，

--V4-m2x+—y+y/3z=0

122

令y=l,得加=0,1,-

平面BCD的法向量〃=（0,0,1）

由tanO=指得cosO="，即得利=0

A/23A/2

...C（o,0,o）,尸

1［一2冬24同J，I一Th'

设OE与平面ABCD所成的角为a

tan”姮

5

...OE即BE与平面ABC。所成的角得正切值至

5

5.（2022•辽宁沈阳•统考三模）如图，在三棱柱ABC-A与G中，四边形AGCA为菱形,

A=/G4A=60。,AC=4,AB=2,平面ACQA，平面ABqA,Q在线段AC上移

动，P为棱AA的中点.

（1）若H为8。中点，延长AH交BC于。，求证：40〃平面耳PQ；

⑵若二面角B「PQ-G的平面角的余弦值为反，求点P到平面BQB,的距离.

13

【答案】（1）证明见解析；

⑵亚

2

【分析】（1）取88/中点E,连接AE,EH,结合已知条件易得AE//PB1,

根据线面平行的判定可证用。〃面EH4,PB"/面EHA,再由面面平行的判定及性质即

可证结论.

（2）连接尸G,AG有尸GLA4/,由面面垂直的性质可得PG_L面ABB/4,过P作

PRLAAi交BBi于点R,进而构建空间直角坐标系，设AQ=%AC="0,22百）"引0,1],

确定相关点坐标，求面PQBi、面AAiCiC的法向量，根据已知二面角的余弦值求参数人

进而可得QB,连接8尸，应用等体积法求产到平面的距离.

【详解】（1）取8月中点E,连接如图，

•••”为8。中点，；.£//%?|。

在平行四边形A4内8中，「,£分别为裕,8月的中点，，4£〃?为

由且EH,AEu面硝4,耳。,「用Z面EH4,

所以用。〃面〃面又PBCBQ=Bi,

所以面EHA〃面B/QP,：A£>u平面EfZ4,AD〃平面反尸Q.

(2)连接尸C”AC】,

••,四边形AGCA为菱形，A4,=AC=AG=4,

又NGAA=60。，AC0为正三角形，:P为AA的中点，.•.PG^AA，

平面ACGA，平面ABB^,平面ACGA1平面ABB,A=M,PC[U平面ACQA,,

PCtl平面ABB,A,在平面ABB}\内过点尸作尸R，44,交8月于点R,

建立如图所示的空间直角坐标系尸-邙，

则P（0,0,0），A（0,2,0）M（0,-2,0）,G（o,o,2指）,C（0,-4,273）,

设n=2/=彳（0,—2,2@,/1€[0,1]，2（0,-2（2+1）,2A/3/L）,

：.PQ=（0,-2（2+1）,2^2）,

.•.耳.•.通=（"1,0卜

AlBl=AB=2,ZBlAiA=6Q°,

设平面PQB,的法向量为m=(%,%z),

m-PQ=0-2（2+l）y+2后x=0人

则得I—,令rx=1贝!Jy=-A/3,Z=

m•PB[=0y/3x+y=0

/.平面尸。耳的一个法向量为m=

设平面MGC的法向量为：=(1,0,0),二面角片-尸。-a的平面角为6,

A=—sJ（A=——（舍），.AQ=—AC,Q^O,—3,-\/3j.

又5（J5,—3,0）,・・Q5=（6,0,—G），••|QB\=^3+3=V6,

连接成，设点P到平面3。玛的距离为"则;xgx4xGx6=；x；x4xnx/z,

:・h卫,即点P到平面8。月的距离为1.

22

6.（2022・辽宁大连•大连二十四中校考模拟预测）如图，多面体AEDC3E中，平

面3CE,A3〃Cr>〃所，BELEC,AB=4,EF=2,EC=2BE=4.

E

（1）在线段BC上是否存在一点G,使得EG,平面AbC?如果存在，请指出G点位置并

证明；如果不存在，请说明理由；

（2）当三棱锥。-AFC的体积为8时，求平面AFD与与平面AFC夹角的余弦值.

【答案】（1）存在，8C的中点G,证明见解析；

⑵当

【分析】（1）先找到G点位置，由面面平行证明线面平行；

（2）建立空间直角坐标系，由体积求解边长，用空间向量求解二面角.

【详解】（1）存在，点G为3C中点，理由如下：

取线段AB的中点〃，连接EH、HG、EG.

D

E

'：AH//EF,AH=EF=2,

二四边形AHEF是平行四边形，，HE〃AF.

又：AFu平面ABC,HEO平面AFC,

〃平面AFC.

,:H、G分别为AB、BC的中点，

.♦.HG是“AfiC的中位线，/.HG//AC.

：ACu平面AFC,HGz平面APC,

"G〃平面ART.

:HGcHE=H,HG、HEu平面EHG,

平面EHG//平面AFC.

,：EGu平面EHG,

：.EG〃平面AFC.

(2)由=VA_FCD=VB^FCD=VB_ECD=|■1--EC-C£>-BE=8,

可得CD=6

以E为坐标原点，以EC、EB、E尸的正方向为x、＞、z轴的正方向，建立如图所示的空

间直角坐标系.

D

E

由题可知，A(0,2,4),F(0,0,2),C(4,0,0),0(4,0,6),

设平面AFC的一个法向量为m=(不,y,zj

FA=(0,2,2),FC=(4,0,-2)

2yl+2Z]=0

可以取机=（1,—2,2）

4%—24=0

设平面片7）的一个法向量为〃=（%2，%，Z2）

7^=(0,2,2),FZ)=(4,0,4)

2y9+2Z9=0

则4%+4z2=。'可以取〃=似-1)

设平面与平面AR7夹角为

I\m-n\_73

则cos6=|cos»i,n|

|制|用3'

平面也与平面APC夹角的余弦值为显

3

7.（2022.辽宁・辽宁实验中学校考模拟预测）如图所示正四棱锥P-ABCD,AB=2,P4=7

⑴求证：PALBD

（2）若沿侧棱将此四棱锥剪开，四个侧面向外旋转,PAD旋转至P}AD,PCD旋转至P2CD如

图所示，其中二面角与二面角鸟-CD-B相同，当时，求平面片4。

与P2CD所成的锐二面角的余弦值

【答案】(1)证明见解析

理

【分析】(1)连接80AC,交于点。，连接尸O,尸。工面ABC。，得POLBD,从而

证得平面PAC,得线线垂直；

(2)以。为原点，D4为x轴，0c为y轴，过点D且垂直于平面ABCD的直线为z轴

建立空间直角坐标系，设是二面角大小为凡表示出用心的坐标，由向量垂

直求出凡得62的坐标，再求出平面4A。与平面5CD的一个法向量，则法向量夹角

得二面角.

(1)

证明：连接由ZAC,交于点0,连接PO,面ABCD,BDu平面ABCD,

PO1BD,

又。BD1AC,P0AC=O,P0,ACu平面PAC,所以平面尸AC,

又,R4u平面PAC,:.BD±PA.

(2)

以。为原点，ZM为x轴，DC为y轴，过点。且垂直于平面ABC。的直线为z轴建立空

间直角坐标系，设点E为ZM中点，则设尸是2C中点，则跖人AD,又

P{E^AD,

所以是二面角耳一AD-2的平面角，即=

[(1,4-73cos4后sin。)，同理乙(473cos61,1,473sinff)

UULUUUU厂厂

DPX-DP2=4,3cos6+443cos6+48sin28=0

解得：cos^=-—»sin6=1，

22

./(L-6,2石),£(-6,1,26)

UULIUuim

DR=(l,-6,2V3),DA=(2,0,0)

设々=(%,y,z)为平面［A。的法向量，则=0,/.2x=0,-.x=0,

UUUIB_U

々.必=0,.-.x-6y+2V3z=0,取y=l,贝ljz=6，=(0,1,V3)

UL1U「

DR=(-61,2j3),DC=(0,2,0),

UH______

设%=(也s/)为平面的法向量，则%DC=0,:.2s=0,.*.5=0,

UULlUUUHL

%.Dg=0,-6m+2=0,取帆=1,贝卜=6，:.电=Q,0,43),

trun33

阿27173.71+34，

3

平面4Ao与平面2c。所成的锐二面角的余弦值为二.

4

8.(2022.辽宁沈阳・沈阳二十中校考三模)如图多面体ABCDE尸中，四边形ABCD是菱

形，ZABC=60°,£AJ_平面ABC。，EA//BF,AB=AE=2BF=2.

(1)证明：平面E4C,平面及C；

⑵在棱EC上有一点M,使得平面八版与平面BCR的夹角余弦值为四，求点用■到平

4

面BCF的距离.

【答案】(1)证明见解析

⑵手

4

【分析】(1)取EC的中点G,连接交AC于连接GM,GF,证明G尸/ABM,

利用〃8_1_面£4。，证明6尸_1_面£4(7,从而面EFC_L面S4C；

(2)建立平面直角坐标系，设CM=4CE,利用二面角确定M点位置，结合点到平面距

离向量公式得到结果..

证明：取EC的中点G,连接8。交AC于N,连接GN,GF,

因为ABCD是菱形，所以ACLBD,且N是AC的中点，

所以GN〃4E且GN=3A£,又AEHBF,AE=2BF=2,

所以GN//BF且GN=BF,所以四边形3NGf是平行四边形，

所以GF7/BN,

又E4J_平面ABCD,BNu平面ABCD,所以E4_LBN,

又因为AC-LBN,ACfEA=A,

所以N3_L平面E4C,所以GP_L平面E4C,又G/u平面瓦(，

所以平面£FC_L平面£4C；

(2),/GN//AE,E4_L平面ABCD,；.GN_L平面ABCO,豆CNLBN,

...以N为原点，NC,NB,NG为坐标轴建立空间直角坐标系，

设在棱EC上存在点M使得平面力刎与平面BCF的夹角余弦值为亚，

4

E(-l,0,2),5(0,60),C(l,0,0),F(0,日1)，A(T，。，。)，。(°，Y，

0)

则设。W=/CE=4(-2,0,2),,0,22),

所以OA/=(1-2%,624),DB=(0,2乖1,0),8C=(l,-"0),FB=(0,0,-l)

设平面DR欣的一个法向量为〃=(x,y,z),

n-DM-0f(1-2A)X+A/3V+2/IZ=0

贝科，即《l,令产。，x=-2A,z=l-U

n-DB=0[2s/3y=0

得〃=(-24,0,1-2/1),

设平面ESC的一个法向量为机=(。，b,c),

m,BC=Q\ci->j3b=0r-

则(，即1，取5=1,得利=(A/3,1,。)，

m•FB=Q〔一。二0

..\m-n\I-2^/3A|_y/6

cos<n,m>\=-----解得U，

|加|・|〃|2卜24+(1-22)24

此时M

也

CM-m

・••点M到平面BCF的距离d=

/川24

9.（2022.辽宁•东北育才学校校联考二模）如图，ASC是边长为6的正三角形，点E,

F,N分别在边A2,AC,BC上，S.AE=AF=BN=4,M为BC边的中点，AM交EF

于点。，沿跖将三角形AEP折到。E尸的位置，使。加=A.

D

⑴证明：平面DEF，平面5EFC；

(2)试探究在线段0M上是否存在点尸，使二面角P-RV-3的大小为60。？若存在，求

出照r)P的值；若不存在，请说明理由•

PM

【答案】(1)证明见解析；

DP

⑵二7=6时二面角P-EN-B的大小为60°

PM

【分析】(1)先由勾股定理证。根据线面垂直判定定理证明平面£BCF,

再由面面垂直的判定定理证明平面DEFJ■平面BEFC-,(2)建立空间直角坐标系。-◎z,

^DP=ADM(O<A<1),再利用向量法求解.

【详解】(1)在△。。核中，易得DO=26,OM=y/3,DM=岳,

由。〃2=002+0^2,得

又，A£=AF=4,AB=AC=6,:.EF//BC,

又M为2C中点，：.AMA.BC,:.DOLEF,

因为E"|OM=。，EF,OMu平面EBCF,

.•.。0_1_平面£»3,又DOu平面DEF,

所以平面DEF_L平面BEFC；

(2)由(1)DOJ_平面EBCF,以。为原点，以OE,OM,OD为x，y，z的正方向建立空间

直角坐标系。一邙，。(0,0,2百)，M(0,V3,0),£(2,0,0),N(-l,50)

DM=(0,石，-2圾,ED=(-2,0,2^3),

由⑴得平面硒8的法向量为：=(0,0,1),

设平面ENP的法向量为=(x,%z)，DP=ADM(0<A<1),

所以。尸=（0,四,一2百X）,所以£尸=+3尸=（-2,6尢,2由-2732）.

由题得，所以无=（-3,73,0），

嚣;二篇短一2同0所以,勺1和，

所以

因为二面角P—EN—B的大小为60°,

I2-3彳|

1_273-2^32

所以5H解之得彳=2（舍去）或2=

止匕时。p=9。屈，所以空=6.

7PM

10.（2022•辽宁辽阳•统考二模）如图，在四棱锥O-ABCD中，E是BC的中点，△OAD

是等边三角形，底面ABCD为菱形，A£>=2,ZZMB=60°

（1）若。2=逐，证明：平面ODE,平面OAD.

⑵若二面角。-AD-3的大小为120。,求二面角4-a>-。的余弦值

【答案】（1）证明见解析

（2）叵

7

【分析】（1）由面面垂直的判定定理证明

（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解

（1）

证明：因为四边形ABCD为菱形，ZDAB=60°,所以△川/）是等边三角形.

取AO的中点尸，连接O尸，BF,则郎_LAD

因为△OAD是等边三角形，AD=2,所以OF=BF

又05=",所以。尸2+3尸2=08?,即所_LO尸

又A£>OF=F,所以环，平面Q4D

因为E是2C的中点，所以DE〃BF,所以DE1平面Q4D,

故平面ODE_1_平面OAD

（2）

由题可知，NOEB为二面角。一AD-B的大小，即，OEB=120。，

以F为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系尸-邙.

则8（0,后,0）,£>（-1,0,0）,-B£>=(-1-^,0),=

I22）(22)

-x-y/3y=0,

设平面03。的一个法向量机=（即y,z）,贝卜63c

-X+--V——Z=U,

I22

令y=1,得根=卜6』,6）.

由图可知，平面迎的一个法向量为〃=（0,0,1）

故二面角4一比）-0的余弦值为国

7

11.（2022•辽宁・渤海大学附属高级中学校考模拟预测）如图，四边形ABC。为平行四边

形，点E在4B上，AE=2EB=2,>DELAB,沿。E将VADE折起，使点A到达点厂

的位置，且NFEB=60。.

(1)求证：平面BFC_L平面8CDE；

⑵若直线。尸与平面BCDE所成的角的正切值为零，求平面OEF与平面DFC的夹角

的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵当

【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明8尸，平面BCQE,再由面面垂直的判定定理

证明平面2FC，平面BCDE；(2)由线面角的定义结合条件求出AZ),建立空间直角坐标

系利用向量方法求二面角的大小.

(1)

AE=EF=2,EB=\,ZFEB=6Q°,

所以2产=BE2+EF2-2BE-EF-cos60°=3,

所以BE。+BF?=EF?,所以8尸，BE,

又因为OE_LAB,所以DELEF,DE±EB.

又EF\BE=E,

所以。E_L平面BEF,

因为Mu平面BEF,所以

因为EB,OEu平面BCDE,DEEB=E,

所以平面8COE,又班'u平面8/C,

所以平面平面BCDE；

(2)

设4。=。，则DE=J--4,BO=7a2-3

由(1)知平面BCDE,所以NB£)2为直线。尸与平面BCD"所成的角，

所以tanNFDB=^=姮,

BD5

所以—=，解得a=2近，

VG2-35

以£为坐标原点，EB，的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直

角坐标系，

则A(-2,0,0),B(1,0,0),D(0,2,0),C(3,2,0),F(1,0,73),

ADC=(3,0,0),DF=(1,-2,A/3),

"zaDC—0

设m=(x,y,z)为平面DPC的一个法向量，贝叶，

m-DF=0

x=0

即《令y=6,则z=2,所以』=倒,旧,2),

x-2y+\/3z=0

由(1)知，平面。EFJ_平面BER过B引E尸的垂线交EF于M,则平面。EF,

(1(3

求得雨=0,一，则府二一二,0,一为平面OEF的一个法向量.

(44JI44J

m-BM_立

所以cos(九=

\m\-\BM\一7，

所以平面。跖与平面DFC的夹角的余弦值为立.

7

12.(2022•辽宁•校联考二模)四棱锥尸-ABCD,底面A8CZ)是边长为3的菱形，且

/ABC=60O,PA=6,PB=PD=2®PE=2EC,PF=FD,设点T为8c上的点，且二

面角B-R4-T的正弦值为叵，

14

⑴求证：PAL平面ABC。；

(2)试求P与平面ATE的距离；

(3)判断AP是否在平面A7E内，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

^67129

⑵一

(3)4/不在平面A7E内，理由见解析

【分析】(1)根据勾股定理的逆定理易证R4LAB,PA±AD,再根据线面垂直的判定

定理即可证出；

(2)解法一：以点A为原点，48所在直线为x轴，在平面ABC。过点A作的垂线

为y轴，A尸所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，由二面角的定义易知/84T为二面

角5-刈-T的平面角，利用平面知识可解得37=1,从而可得点T的坐标，再利用点

面距的向量公式即可求出；解法二：直接利用二面角的向量公式可求出37=1,从而可

得点T的坐标，后面部分同解法一；

(3)根据空间向量基本定理，假设AF在平面are内，则存在实数相，〃满足

AF=mAT+nAE,通过向量相等得到方程组，由方程组无解，可判断出假设错误，从

而得出结论.

(1)

证明：由尸3?二尸发+^^得，PA±AB,同理可得R4_LA£),

又A34。=。,43匚平面488,A£>u平面ABC。，

所以上4_L平面A2CD

(2)

如图，以点A为原点，为x轴，在平面ABC。过点A作A8的垂线为y轴，AP为z

轴建立空间直角坐标系.

解法一：因为R4_LAB,R4_LAT,则NBAT为二面角3-卜4-7的平面角,

由题意可得：sinNBAT=叵,cosNBAT=亚,

1414

考虑BAT,AABT=60°,可得sinZATB=sin(ZBAT+60°)=今*

ABBT一f5V3

利用正弦定理可得：笈T=1,可得点T的坐标为.

sinZATBsinZBAT（22J

33百小7

又点尸(OQ,石),A(0,0,0),c，0J,又PE=2EC,得.

V3

m-AE=0x++=0

设平面ATE的一个法向量为加=（x,y,z）,则有，BDrPt：\3

0

m-AT=5%+Gy=0

令了=若,则有—=（石,-5,12）,

mAP笔尸至™的距离为雪•

因为AP=（0,0,石），则有：d=

\m\

'3、

解法二：设BT=4BCQ>4>0),则73——2,A,0,设平面B4T的法向量为

(22J

3一3|斗+亭4y=0

消:）即

则:2

任=0

・〃27175

令尤=1,得々=L平面以3的法向量为巧=（0,1,0）,由

14

I»1I-I«2I

、

1

得4=进而BT=1,可得点T的坐标为,0（以下同解法一）

3

7

⑶

3迳®

由（2）得AE=1,币,,又PF=FD得尸~~'>''~~~，

4427

若Ab在平面ATE内，则存在实数相，n^^AF=mAT+nAE,

即「，地，且、(

=m,0+n成立,

29~2

4427k3J

35

—=—m+n

42

乎=4加+岛，无解，

42

A/3^3

——=——n

23

所以A尸不在平面ATE内.

13.(2022•辽宁鞍山•统考二模)如图，在梯形ABC。中，AB//CD,ZBCD=—,四边

形ACFE为矩形，且5,平面ABC。，AD=CD=BC=CF=\.

⑴求证：E/U平面BCB；

⑵点M在线段所上运动，当点M在什么位置时，平面与平面尸C8所成锐二面

角最大？并求此时锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵M与尸重合时，平面与平面FCB所成锐二面角最大，余弦值为立

7

［分析］(1)在梯形ABC。中，由分析知，ACLBC,因为CF±平面ABCD,所以AC±CF,

进一步得AC_L平面又因为AC〃EF,因此平面BCE

(2)因为CP,平面ABC。，ACLBC,以点C为坐标原点，CA,CB、CP所在直线分

别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面尸CB的法向量，然后

结合二次函数求最值的方法求解平面小LB和平面FCB所成的锐二面角的最大值.

【详解】(1)证明：在梯形ABCD中，AB〃CO,AD=CD=BC=1,故梯形ABCD为等腰

梯形，

2九"27rIT

因为/BCD=——,则NAT>C=—,所以N5AC=ZACD=—

336

冗JT

又因为ZABC=7i-NBCD=—,贝I］ZACB=万一ZABC-ZBAC=-,

32

：.AC±BC,因为平面ABC。，ACu平面ABC。，

：.AC±CF'：BCCF=C,；.AC_L平面BCF,

因为四边形ACPE为矩形，贝UAC〃所，因此，所_L平面BC尸

(2)因为CP,平面ABCZ),AC±BC,以点C为坐标原点，CA、CB、CB所在直线分

别为无、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

Z八

在25C中，AC=.,.

则4百,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,0)、F(0,0,1)、E(布,0,1),

设点M«,0,1),其中0W/W石

设平面MAB的法向量为相=(%,y,zjAB=(-73,1,0),AM=9-百,0,1)

m-AB=y/3x-y=0

取x=l,可得m—.

m-AM=卜-6)x+z=0

]

易知平面FCB的一个法向量为力=(L0,0)，"®F

m\\n,4+(/-可

所以，当f=0,即M与尸重合时，cos(m,”)取最小值，此时平面与平面尸CB所

成锐二面角最大，此时，平面与平面尸CB所成锐二面角的余弦值为近

7

14.(2022・辽宁大连•统考一模)如图，在四棱锥尸-ABCD中，己4,平面4BCD,

AD//BC,ADYCD,且A£)=l,CD=2,BC=5,24=2.

(1)求证：AB1PC；

(2)在线段尸。上是否存在一点M,使二面角V-AC-O的余弦值为四？若存在，求三

6

棱锥M-A5C体积；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

⑵存在，|

【分析】（1）证明AC_LAB,结合证明平面B4C,根据线面垂直的性

质定理即可证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，设尸/0=彳尸£）,求出平面M4c的一个

法向量，结合平面4C。法向量以及条件可推出2=［即M为中点，即可求得答案.

2

【详解】（1）因为AD_La>,AD=1,CD=2,所以AC=VL

又因为BC=5,且AD〃BC,AB=7（5-l）2+22=2^,

所以AB2+AC?=BC2,所以AC_LAB,

又因为PA_L平面