2023-2024学年宁夏吴忠市高二年级上册期末考试数学（文）试题（含解析）

2023-2024学年宁夏吴忠市高二上册期末考试数学（文）

试题

一、单选题

1.已知集合/={-1,0,1,2},8=奴0<》<3},则（）

A.{1,2}B.{0,1}C.{-1,1,2}D.{-1,0,1）

【正确答案】A

【分析】利用集合的交集运算即可.

【详解】由题可知,4n8={1,2},

故选:A.

2.从编号为1〜100的样品中利用系统抽样的方法抽取10件样品进行质量检测，若所抽取的

样本中包含编号为2的样品，则一定不会被抽到的样品的编号是（）

A.28B.42C.52D.82

【正确答案】A

【分析】首先求出抽样间隔，即可判断.

【详解】解：从编号为1~100的样品中利用系统抽样的方法抽取10件样品进行质量检测，

则抽样间隔为100+10=10,因为所抽取的样本中包含编号为2的样品，

则按照系统抽样的方法可知编号尾数为2的样品会入样，

则编号为28的样品一定不会被抽到.

故选：A

3.若a>b,ab*Q,则下列不等式恒成立的是（）

A.a2>b2B.ac>beC.—>—D.a+c>b+c

ab

【正确答案】D

【分析】通过举例的方法判断A、B、C,根据不等式的性质判断D.

【详解】对于A.取4=1力=-2,则故错误；

对于B.取c=0,则ac=bc,故错误；

对于C.取a=2,b=1,则一故错误；

ab

对于D.由不等式的性质“在不等式两边同时加上或减去一个数，不等号方向不变”可知D正

确，

故选：D.

4.甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别

为X甲、X乙，则下列判断正确的是（）

?乙

6715

82868

4033

A.乙，甲比乙成绩稳定B.招〉儿,乙比甲成绩稳定

C.X甲＜X乙，甲比乙成绩稳定D.与＜X乙，乙比甲成绩稳定

【正确答案】D

【分析】计算出甲、乙得分的平均值与方差，可得出结论.

16+17+28+30+3415+28+26+28+33

【详解】由茎叶图可得=25,X乙

55

甲得分的方差为M=(16—25)2+(17-25)2+(28-292乂30-2$乂34-2$:

(15-26)2+(28-26/、2+(26-292433-2$2

乙得分的方差为欧=

5

所以，X甲＜X乙，4＞4.故X甲＜X乙，乙比甲成绩稳定,

故选：D.

5.一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现

存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一.一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石

分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1,3,3,5,5,7,

若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（）.

A.10层B.11层C.12层D.13层

【正确答案】C

【分析】设该数列为｛凡｝,塔群共有〃层，则数列｛/｝为1,3,3,5,5,7,…，该数列

从第5项开始成等差数列，根据题意结合等差数求和公式可得12+〃(〃-4)=108,从而可求

出«的值

【详解】根据题意，设该数列为｛“,,｝，塔群共有〃层，

即数列有〃项，数列｛4｝为1,3,3,5,5,7,

则£=1+3+3+5=12.

该数列从第5项开始成等差数列，且%=5，%=7,则其公差4=2,

则有S”一$4=%+%+L+a“=5x(〃-4)~~—~~-=4

又S,,=108,则有12+小-4)=108,

即““-4)=96,解得〃=12或"=-8(舍去)，则〃=12.

故选：C.

2

6.在48C中，cosC=-,AC=4,BC=3,则sin8=()

3

A.--s/3B.-V3C.~y/5D.3非

9494

【正确答案】C

【分析】先利用余弦定理求出/B,由同角平方关系求sinC,然后结合正弦定理即可求解.

2

【详解】VcosC=y,AC=4,BC=3,由余弦定理得：

2

AB2=AC2+BC2-2AC•BCcosC=16+9-2x4x3x-=9

3

AB—3,

vcosC=1.-.sinC=^,由正弦定理得：

33

些1=必_4x2y4亚

sinBsinCsinB=-----=---

39

故选：C.

7.已知直线y=^+2与圆C：x2+/=2交于4,8两点，且|/⑷=2,则人()

C.4D.+y/3

-3

【正确答案】D

【分析】利用圆的弦长、弦心距、半径之间的关系，以及点到直线的距离公式列方程求解即

可.

【详解】因为圆+贯=2的圆心C（0,0）,半径厂=&,弦长|/同=2,

所以C到直线）=b+2的距离等）2=],

故选：D.

8.第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林

匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.小林观看了本届冬奥会后，打算从冰壶

、短道速滑、花样滑冰、冬季两项这四个项目中任意选两项进行系统的学习，则小林没有选择

冰壶的概率为（）

冰壶短道速滑花样滑冰冬季两项

A.；B.|C.yD.|

【正确答案】C

【分析】记冰壶、短道速滑、花样滑冰、冬季两项分别为4B,C,D,用列举法写出所有的

基本事件及没有选择冰壶的所有事件，从而求出没有选择冰壶的概率.

【详解】记冰壶、短道速滑、花样滑冰、冬季两项分别为/,B,C,D,

则从这四个项目中任选两项的情况有48,AC,AD,BC,BD,CD,共6种情况，

其中没有选择冰壶的有8C,BD,CD,共3种情况，

31

所以所求概率为==

62

故选：C.

9.哈六中数学兴趣小组的同学们为了计算六中数学组二维码中黑色部分的面积，在如图一

个边长为4的正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估

计黑色部分的面积为

A.11B.10C.9D.8

【正确答案】C

【分析】设黑色部分的面积为S,利用几何概型概率计算公式列出方程能估计黑色部分的面

积.

【详解】设黑色部分的面积为S,

正方形二维码边长为4,

在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，

・♦・△二黑，解得S=9,

4x4400

据此可估计黑色部分的面积为9,故选C.

本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面

积的主要方法就是利用模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解.

10.已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则众数、中位数、平均数是（计算平均值时

同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（）

C.65、64、66D.64、65、64

【正确答案】B

【分析】根据频率分布直方图估计众数、中位数、平均数.

【详解】由图可知：各组的频率依次为03040.15,0.1,0.05,

可得［60,70）的频率最大，故众数的估计值为65,

•；0.3<0.5,0.3+0.4=0.7>0.5,故中位数位于［60,70）内,

设中位数为“，则0.3+0.040x（a-60）=0.5,解得”65,

平均数1=0.3x55+0.4x65+0.15x75+0.1x85+0.05x95=67，

故选：B.

11.已知函数/G）=«'-4+1（。>0且存1）的图象恒过定点4若点力的坐标满足关于x，N

的方程3+，?=4（5>0,〃>0）,则上+上的最小值为（）

mn

A.9B.24C.4D.6

【正确答案】C

【分析1由题意可得2〃?+〃=2,利用基本不等式求最值即可.

【详解】因为函数/（x）=+1（。>（U工1）图象恒过定点（4,2）

又点力的坐标满足关于X，V的方程5x+〃y=4（机>0,n>0）,

所以4m+2/7=4,即2m+n=2

所以，+2=:（26+〃）（工+2）=1（4+—+—）

mn2mn2nm

足（4+2、但正）=4,当且仅当网=4即〃=2加=1时取等号；

2\nmnm

所以，1+士2的最小值为4.

mn

故选：c.

12.已知/8C中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,且sin%,sin5,sinC成等比

数列，则角B的取值范围为（）

A-（畤］B-

c-1f日7171D-兀71

_392

【正确答案】A

【分析】由sin/、sinB>sinC依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用正

弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosB,把得出关系式代入并利用基本不等式求出cosB

的范围，利用余弦函数的性质确定出8的范围即可.

【详解】，•・在48c中，sin%、sinB、sinC依次成等比数列，

sin2B=sinsinC，

利用正弦定理化简得

由余弦定理得cosB=^^一".="2+c2-"c开型二竺=_L（当且仅当a=c时取等号），

lac2ac2ac2

因为0<8〈》，

则5的范围为（0,g,

故选：A.

本题主要考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的

关键.

二、填空题

13.当。=3时，执行程序（如图），输出的结果是.

【正确答案】6

【分析】根据条件分支求值即可.

【详解】：a=3<10,则y=2a=6.

故6

x+y>2

14.若实数x,夕满足约束条件，x+2y«4,则z=2x-y的最大值是.

y>0

【正确答案】8

【分析】由题中条件作出平面区域，根据目标函数的几何意义分析运算.

x+y>2

【详解】由r+2y44,作出平面区域，如图所示，

y>0

7

•；z=2x-y,即y=2x-z,表示斜率为2,横截距为万的直线,

二当直线y=2x-z过点4(4,0)时，横截距取到最大值,

故z=2x-y的最大值是2皿=2x4-0=8.

x,则事件“1%》-220”发生的概率为

7

【正确答案】-

【分析】由对数不等式的解法得：x>9,由几何概型中的线段型：尸(4)=鲁="，得

16—115

解.

【详解】解：解不等式1。8/-220得：x>9,设事件/为“log?x-220”,

16-97

由几何概型中的线段型可得：p(/)=S4

16—1?5

7

故答案为不

本题考查了对数不等式的解法及几何概型中的线段型，属基础题.

三、双空题

16.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所

排列的形状把数分成许多类，下图中第一组的1,3,6,10称为三角形数，第二组的1,5,

12,22称为五边形数，则三角形数的第7项为，五边形数的第〃项为.

（丁组）（二组）

【正确答案】283乂丁（小*）

【分析】根据其图形规律得出其通项，即可得出答案.

【详解】三角形数的每一项是从I开始的连续自然数的和，则%=当辿（〃€川）,

则三角形数的第7项为由=28,

五边形数的第一项为1=主工」，第二项为5=3--2,第三项为的=3x3=3,

222

则五边形数的第“项为

故28,妇

四、解答题

17.在18C中，内角A,B,C对应的边分别为。，b,c,已知acos8=^sinN.

⑴求B；

⑵若a=l,c=VJ,求6的值.

【正确答案】（1）8=3

0

⑵6=1

【分析】（1）由已知结合正弦定理进行化简可求tan8,进而可求8；

（2）由已知结合余弦定理即可直接求解.

【详解】（1）QCOS5=JiftsinZ,由正弦定理得sin力cos8=J5sin8sin4

,.♦力是三角形内角，$in/wO,

•*-tanB=—»8是三角形内角，

3

(2)由余弦定理，得〃=/+c2-2accos5=l+3-2百cos工=1,

6

：.b=l.

18.某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y单位：百万元)之间有如下的对

应数据：

X24568

y3040605070

⑴求元，》;

(2)求y关于x的线性回归方程.

(3)如果广告费支出为9百万元，预测销售额大约为多少百万元?

参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公

2町,一麻于55

式.3=与----------,a=y-bx工占%=1380,=145.

Ex,2-n(x)2ii

/=1

【正确答案】(1)5；50

(2)y=6.5x+17.5

(3)76

【分析】(1)利用平均数计算公式，可得答案;

(2)利用题目中提及的计算公式，可得答案;

(3)利用回归直线方程，可得答案.

-2+4+5+6+8_-30+40+60+50+70”

【详解】(1)x=-------------------=5,y=---------------------------=50.

5

1380-5x5x50_

⑵b=145-5x52=65，"50-6.5x5=17.5,

则y关于X的线性回归方程为y=6.5x+17.5・

（3）将％=9代入=6.5x+17.5，解得y=76,

则预测销售额大约为76百万元.

19.已知四棱锥S-/8c。的底面是正方形，弘_1平面/8。。，求证:

(1)8。4平面SAC；

(2)若48=49=1,求点C到平面58。的距离.

【正确答案】(1)证明见解析

【分析】(1)由“_L平面ABCD,可得BD，再由四边形ABCD为正方形，可得BD1AC,

然后由线面垂直的判定定理可证得结论，

(2)以《为坐标原点，/8、力。、45分别为xj、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解

即可

【详解】(1)证明：•平面BOu平面/8C。，

/.SALBD,

又；四边形Z8C。为正方形，

BDLAC,

又QSAIAC=A,

：.BD1平面SAC；

(2)因为“，平面NBC。，/8,/Ou平面"BCD

所以S4_L4B,SZ_LN。，

因为ZB：。，

所以48,/2/S两两垂直，

所以以《为坐标原点，48、/。、/S分别为xj、z轴建立空间直角坐标系

则5(1,0,0),£)(0,1,0),S(0,0,l),C(l,l,0),

所以丽=(-1,1,0),丽=(-1,0,1),SC=(0,1,0)

设平面80S的法向量为G=（X,MZ）,则

n-BD=-x+y=0.c,-

n-BS=-x+Z=0'…1’川―

BCn1百

所以点C到平面SBD的距离d=

1«1=忑=?

20.已知数列｛%｝的前”项和S"，且S“=/+3N；

（1）求它的通项4.

（2）若”,=2"-%,求数列也｝的前“项和

【正确答案】（1）。“=2〃+2（2）7；=〃・2田

【分析】（1）由S,="2+3N,利用。”与S”的关系式，即可求得数列的通项公式；

（2）由（1）可得a=2"（”+i）,利用乘公比错位相减法，即可求得数列｛，｝的前”项和.

【详解】（1）由S“=/+3N,

当”=1时，q=S[=4：

22

当”>]时，=S„-S„_I=H+3?-（W-1）-3（M-1）=2n+2,

当”=1也成立，

所以贝U通项《,=2〃+2；

(2)由(1)可得"=2"(〃+1),-

7；=2»2l+3»22+4.23+---+(n+l)»2,',

27；=2・2?+3・23+…+〃・2"+(〃+1)・2"’,

两式相减得-4=4+(22+23+…+2")-(〃+1)2"+1

=4+2]-；-(〃+1)*=-«2^

所以数列也｝的前〃项和为北=n•2),+1.

本题主要考查了数列明和E,的关系、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题

中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后

求和时，弄错等比数列的项数，着重考查了的逻辑思维能力及基本计算能力等.

21.卡塔尔世界杯将于2022年11月到来，这是世界足球的一场盛宴.为了了解全民对足球

的热爱程度，某足球比赛组委会在某场比赛结束后，随机抽取了200名观众进行对足球“喜

爱度”的调查评分，将得到的分数分成6[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100],

绘制了如下图所示的频率分布直方图.

(1)补全频率分布直方图；

(2)将评分在90分及以上的观众确定为“足球发烧友”.

(i)若该场比赛共有3000名观众观看，请你估计这3000名观众中，有多少人不是“足球发

烧友”？

(ii)现从被确定为“足球发烧友”的两组中用分层抽样的方法随机抽取5人，然后再从抽取

的5人中任意选取两人作进一步的访谈，求这两人中至少有1人的评分在区间190,95)的概

率.

【正确答案】(1)频率分布直方图见解析

9

(2)(i)1875；(ii)—

【分析】(1)根据频率分布直方图计算出在［80,85)上的频率比组距，即可补全频率分布直

方图；

(2)(i)根据频率分布直方图得出再90分及以上的观众的概率，即可得出该场比赛中是“足

球发烧友''的人数，即可得出该场比赛中不是“足球发烧友”的人数；

(ii)根据两组比例关系结合分层抽样得出各有多少人，即可根据古典概型的概率求法求出

答案.

【详解】(1)在［80,85)上的频率比组距为：0.2-(0.02+0.025+0.05+0.045+0.03)=0.03,

故频率分布直方图如下:

A频率/组距

50

.045

,0

(2)⑴根据已知，该场比赛中是“足球发烧友”的有(0.045+0.03)x5x3000=1125人,

则该场比赛中不是“足球发烧友”的有3000-1125=1875人；

(ii)两组的比例为0.045:0.03=3:2,

则应在［90,95)内取5x(3=3人，应在［95,100］内取5、：2=2人,

C］ClC29

则这两人中至少有1人的评分在区间［90,95)的概率尸=二#+法=/.

CjC-10

22.在①4=9,②号=20,③生+为=储这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并

进行解答己知等差数列｛叫的前〃项和为S“，.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设b„=-^―,求数列也｝的前〃项和。；

anan+\

⑶若存在〃eN•，使得7；-而田20成立，求实数九的取值范围.

注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.

【正确答案】(1)。"="+1

⑵]=2(〃+2)

⑶T-

【分析】（1）根据题意列式求解卬”,即可求通项公式；

（2）利用裂项相消法求和；

（3）根据题意可得存在“