新教材人教A版高中数学 选择性必修第一册 常考题型练习 11 双曲线图像性质与离心率

专题11双曲线图像性质与离心率

目录

【题型一】求轨迹.........................................................................................2

【题型二】方程与图像.....................................................................................5

【题型三】求双曲线的方程.................................................................................8

【题型四】双曲线第一定义................................................................................10

【题型五】双曲线焦半径（第二定义）....................................................................12

【题型六】双曲线第三定义................................................................................15

【题型七】双曲线渐近线..................................................................................16

【题型八】焦点三角形....................................................................................19

【题型九】离心率1：焦点直角三角形型...................................................................20

【题型十】离心率2：双三角形余弦定理型.................................................................22

【题型十一】离心率3：共焦点椭圆与双曲线...............................................................25

【题型十二】离心率4：焦点弦定比分点...................................................................27

【题型十三】焦点三角形内心.............................................................................29

【题型十四】计算之小题大做：韦达定理...................................................................32

【题型十五】计算之小题大做：暴力计算...................................................................33

培优第一阶——基础过关练................................................................................35

培优第二阶——能力提升练................................................................................38

培优第三阶——培优拔尖练................................................................................41

综述

1.双曲线定义:动点P满足：IIPFlLlPF2∣∣=2α,|尸F2∣=2C且αVc（其中α,C为常数且a>0,c>0）.

2.双曲线标准方程和几何性质

标准方程点一方=l(α>0,b>0)%一云=l(α>0,b>0)

>

2√

图形

________

范围_____或xW-m__________XWR,yW-〃或______

对称性一________________对称轴：坐标轴对称中心：原点________________

顶点_______A1(—4,0),/h(ɑ,θ)_____________Al(0,—4),A2(O,α)______

ba

渐近线

性质__________________________________ʃ__ɪv_________

离心率e=∖,e∈(l,+8),其中c=y∣a2+b2

实虚轴一实轴AA2|=葡；虚轴IB山2|=丝；•

〃、b、C的关系__________________c2=g2+♦(o∙>0,d>0)__________________

3.性质：

①动点P到同侧焦点Fi的距离最小值为：IPBl城小=也村=c-a；

②焦点到渐近线的距离为：IBMl=仇

4.渐近线求法结论：

可直接令方程捻一*=%α≠0）等号右边的常数为0,化简解得；

可巧设共渐近线双曲线：

与双曲线,一£=1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为摄一:=火屏0）∙

6.5.渐近线的一些二级结论:

（1）焦点到渐近线的距离为b

（2）定点到渐近线的距离为2

a

（3）准线与对称轴的交点到渐近线的距离为?

e

（4）双曲线的焦点在渐近线上的射影对十周两定点的张是直角

（5）双曲线的定点在渐近线上的射影对两准线与对称轴的交点张直角

χ22h2

（6）一直线交双曲线的渐近线于A.B两点。A,B的中点为M,则《MMAB=F.

aba

22

（7）过双曲线0-2=1上任意一点P做切线，分别角两渐近线于M,N两点，O为坐标原点则有如下结论:

矿b

①OM∙ON=a2+b2;②ON∙QΛ∕=a2+b∖③SA（WM=ab

7.离心率：

①定义法，通过已知条件列出方程组，求得。，c得值，根据离心率的定义求解离心率e；

②齐次式法，由已知条件得出关于",C的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解;

③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

8.焦点三角形与正弦定理

f2

2

设双曲线二一T=I（a>O,b>O）的两个焦点为Fl、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在aPF1F2中，记

ab

Sina

ZFPF=a,ZPFF=β,ZFFP^χ,则有

i2t2i2I(sin/-sinβ)∖

9.焦点三角形面积公式

X2y2

双曲线）—=F=I（a>0,b>o）的左右焦点分别为Fι,F2，点P为双曲线上任意一点NHP£=7,则双曲线的焦点

a^b^

角形的面积为SMPK=/cot∙∣.

热点题型妇纳

【题型一】求轨迹

【典例分析】

已知定点p（机,0）,动点Q在圆。：√+r=I6±,PQ的垂直平分线交直线OQ于例点，若动点M的轨迹是双曲线,

则，”的值可以是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】当P在圆内时，由几何性质可得I网+∣Mq=4>QH=M,此时M的轨迹是以O,尸为焦点的椭圆.当P在圆

上时，线段PQ的中垂线交线段3于圆心。.当尸在圆外时，|网-IMa=4<QH=网,此时M的轨迹是以。,尸为焦点

的双曲线的一支，从而可得答案.

【详解】当户在圆内时，设PQ与圆的另一交点为N,设点//为弦NQ的中点，

则LPa线段PQ的中点E在线段”。内，则线段尸。的中垂线交线段于点例，如图1.

连接MP,则IQMl=I网，所以I网+1Ma=IMa+1Ma=IOa=4

则+1Ma=4>∖θP∖=∖r^

此时M的轨迹是以P为焦点的椭圆.

当尸在圆上时，线段PQ的中垂线交线段侬于圆心0.

当P在圆外时，设PQ与圆的另一交点为N,设点H为弦NQ的中点，

则O"JL尸。，线段PQ的中点E在线段HP内，则线段PQ的中垂线交线段。0的延长线丁点M,如图2.

图2

连接MP.则IQMI=I网，所以I网-IMq=IMa-IMa=IO。=4

贝IJlMHTMa=4<|0尸］=帆

此时M的轨迹是以o,P为焦点的双曲线的一支.

同理当。在圆上运动时，还会得至“MaTMH=4<|0耳=M

所以动点M的轨迹是双曲线，则P在圆外,所以M>r=4

故选：D

【提分秘籍】

基本规律

求轨迹方程的常见方法有:

①直接法，设出动点的坐标(χ,y),根据题意列出关于％y的等式即可;

②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；

%=g(χ)

③参数法，把X，)'分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将<代入/(∙Wo)=O.

%=/?(力

【变式训练】

1.圆ο的半径为定长，A是圆°所在平面上与P不重合的一个定点，P是圆上任意一点，线段PA的垂直平分线/和直

线OP相交于点Q,当点P在圆上运动时，点2的轨迹是

①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤一个点

【答案】①②④⑤

【分析】由题设条件线段的垂直平分线的性质，结合圆锥曲线的定义，分类讨论，即可求解.

【详解】(1)因为A为圆c。内的一定点，P为「。上的一动点，

线段AP的垂直平分线交半径OP丁点M,

可得IMAI=IMPJ,|也可+|如=|函+∣MO∣=|四=厂，

即动点M到两定点O,A的距离之和为定值，

①当。,A不重合时，根据椭圆的定义，可知点用的轨迹是：以O,A为焦点的椭圆；

②当。,A重合时，点用的轨迹是圆；

(2)当A为圆O外的一定点，P为(O上的一动点，

线段AP的垂直平分线交半径OP于点M,

可得IM4∣=IMHjM4∣TMa=IMHTMa=IOH=r,

即动点M到两定点O,A的距离之差为定值，

根据双曲线的定义，可得点M的轨迹是：以O,A为焦点的双曲线；

(3)当A为圆。上的一定点，尸为(。上的一动点，此时点M的轨迹是圆心0.

综上可得：点M的轨迹可能是点、圆、椭圆和双曲线.

故答案为：①②④⑤

2.已知定点百(-2,0),E(2,0),N是圆0：V+y2=ι上任意一点，点可关于点N的对称点为M,线段耳"的中垂线

与直线KM相交于点P,则点尸的轨迹是

A.直线B.圆

C.椭圆D.双曲线

【答案】D

【分析】由N是圆O:Y+y2=i上任意—点，可得CW=1,结合已知，由垂直平分线的性质可得PM=P耳，从而可得

∖PF2-PF∖=∖PF2-PM=ME=2ON=2为定值，由双曲线的定义可得点P的轨迹是以耳,名为焦点的双曲线.

因为N为AM中点，O为4心中点，

所以IaWl=2∣C>M=2,

因为P在线段的中垂线上，所以IP耳=IPWI,

因此IIPKITPKlI=吗MI=2∣0v∣=2,即点P的轨迹是双曲线，故选D.

3.已知圆U(x+3f+y2=4及点A(3,0),。为圆周上一点，AQ的垂直平分线交直线C。于点“，则动点M的轨迹方程

为.

【答案】x2-^=l

8

【分析】根据线段的垂直平分线找到几何关系|砌=|随，再利用双曲线的定义可求解.

【详解】由AQ的垂直平分线交直线CQ于点M,得∣M4∣=∣MQ∣,圆的半径为2，

所以WqTM4∣∣=2<∣AC∣=6,故点M的轨迹是以C,A为焦点的双曲线，

所以由题意的2"=2,2C=6,所以a=l,c=3n62=c2-α2=8,

又因为焦点在X轴上，故所求方程为/-上=1.

8

故答案为：x2-^=l

8

【题型二】方程与图像

【典例分析】

(2021•黑龙江•哈尔滨三中高二阶段练习)已知实数X,y满足XW+m1=1,则∣J]χ+y-4∣的取值范围是()

A.[4-√6,2)B.[4-√6,4)C.2-乎,2D.2-乎,4)

【答案】B

【解析】将实数X,y满足Xkl+山=1通过讨论X,y得到其图像是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，借助图像分

析可得∣6χ+y-4∣的取值就是图像上一点到直线岳+y-4=0距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式

算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案.

【详解】解：因为实数X,>满足Xw+率=1,

所以当x≥0,y≥0时，Z+√=1其图像位于焦点在y轴上的椭圆第一象限，

3

当x>0,y<0时，炉-£=1其图像位于焦点在X轴上的双曲线第四象限，

3

2

当x<0,y>0时，匕-V=I其图像位于焦点在y轴上的双曲线第二象限，

3

当x<0,y<0时，-T-χ2=ι其图像不存在，

3

2

所以两+y-4∣=2d

结合图像可得+y-4∣的范围就是图像上一点到直线后+y-4=O距离范围的2倍,

双曲线χ2-$=ι,片-'2=1其中一条渐近线后+y=o与宜线后+y-4=0平行

33

通过图形可得当曲线上一点位于P时，2d取得最小值

当曲线上一点靠近双曲线的渐近线后+y=0时2d取得最大值，不能取等号

设Gx+y+c=0(c<0)与］+炉=1其图像在第一象限相切于点P

^3x+y+c=0

⅛∙/N6X2+2∖[3CX+C2-3=0

-+x2=1

3

因为A=QGC)X—4×6×(c2—=0^>c=-y∕6⅛Kc=>∕6(舍去)

所以直线氐+)，-n=0与直线后+y-4=0的距离为Bly!1

2

此时∣6r+y_4∣=2d=4-n

直线6v+y=0与直线JGX+y-4=0的距离为上上9=2

此时用x+y-4∣=2d=4

所以IGr+y-4∣的取值范围是［4-指,4)

故选：B

【变式训练】

1.已知曲线C：a4+ylyl=i,点尸(九〃)为曲线C上任意一点，若点4-2,1),8(4,-2),则面积的最大

4

值为.

【答案】3√2

【分析】画出曲线C的图形，求出∣A8∣,过AB的直线方程为x+2y=0,判断直线x+2y=0为双曲线

V-==1和1一/=1的渐近线，设过点尸且与直线x+2y=0平行的直线方程为x+2y+f=0,当直线

x+2y+f=0Q<0)与曲线q+V=l(χβg),y0)相切时，联立直线与椭圆方程，求出f,然后求解平行线之间的

距离，即可求解三角形的面积.

【详解】曲线C是由t+y2=l(χN0,y20)∖ɪ--j2=l(x>O,γ<O)

44

以及y2-£=l(χ<0,y>0)三部分构成(如图所示)，

4

∣A5∣=7(4+2)2+(-2-D2=√45=3√5,且过AB的直线方程为x+2y=0,

并且直线x+2y=0为双曲线/一£=1和E-V=ι的渐近线，

44

设过点P且与直线x+2y=0平行的直线方程为x+2y+r=0,

由图知，当直线x+2y+f=0Q<0)与曲线j+y2=i(χ≥o,y≥θ)相切时,

4

V2=1

切点到直线χ+2y=0距离最大，联立了+''

x+2γ÷r=0,

消去X得8丁+4)+〃-4=0,△=16/2-4x892-4)=0,

解得好-2夜(正根舍)，

所以x+2y-2√5=0,所以点P到直线x+2)>=0的最大距离即为直线x+2y=0与直线χ+2y-20=O之间的

距离，所以最大距离d=堂=¥，

故答案为：3及

2.方程娄ɪ+*=T的曲线即为函数y=∕(χ)的图像，对于函数y=∕(χ),有如下结论：①/(X)在R上单调递减；

169

②函数尸(X)=4∕(χ)+3χ不存在零点；③函数y=/(X)的值域是K；④，(X)的图像不经过第一象限，其中正确结论的个

数是___________

【答案】4

【分析】先根据题意画出方程型+羽=T的曲线即为函数y=f(X)的图象，如图所示.轨迹是两段双曲线的一部分

169

加上一段的椭圆圆弧组成的图形.从图形中可以看出，关于函数y=f(X)的结论的正确性.

【详解】‘F,''®)hdK…X根据题意画出方程粤+当=T的曲线即为函数y=f(X)的图象,如图所

示.轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形.

从图形中可以看出，关于函数y=∕G)的有下列说法：

①/(χ)R上单调递减：正确.

3Y-3γ

②由于4∕(x)+3x=0即八χ)=-今，从而图形上看，函数/3的图象与直线y=-二没有交点，故函数F(X)=4C

(X)+3x不存在零点；正确.

③函数y=f(X)的值域是R；正确.

④八%)的图象不经过第一象限，正确.

其中正确的个数是4.

故选D.

3.若直线/:、=-；+〃?与曲线C:y=g√∣4-x2∣有且仅有三个交点，则机的取值范围是

A.(l,√2+l)B.(√2-I,l)C.(2,√2+l)D.(1,√2)

【答案】D

【分析】通过化简y=TJ二可分析出其是图象由椭圆的一上部分与双曲线的上部分构成，所以如果直线y=-5+m与

曲线y=g拒二司有且仅有三个交点等价于直线y=-5+wj过点(2，°)且与双曲线的渐近线平行和直线y=-1+zn与椭

圆的上部分相切，从而求出〃?的取值范围

【详解】由题意作图象如下，

y=∖j∣4-χ2∣的图象山椭圆的一上部分与双曲线的上部分构成，因为双曲线的渐近线为y=±]

故直线/：y=-→m与曲线C:y=J产司有且仅有三个交点的临界宜线是过点(2,0)且与双曲线的渐近线平行和

乙乙

V*Y

直线y=-；+m与椭圆的上部分相切，当y=-：+，”过点(2,0)时，即0=-1+〃?，故〃?=1；

1

y=——x+m

当直线y=-]+机与椭圆的上部分相切，,2

4y2+x2=4(y>O)

即X=√5,y=等时，此时WI=&所以m∈(l,√Σ)

故选：D

【题型三】求双曲线的方程

【典例分析】

在矩形WA中，A'A=8,AB=6,把边AB分成〃等份，在的延长线上，以BB的"分之一为单位长度连续取

点.过边AB上各分点和点A作直线，过百B延长线上的对应分点和点4作直线，这两条直线的交点为P，如图建立平面

r

Ξ+

B.^=I(X≥8,y≥0)

D.643£6

Λ

62=I(X≥8,y≥0)

--36

【答案】C64

【分析】设尸(与，九)，结合题意找出不与治的关系式，即可求解.

【详解】设尸(不，九)，则∙⅞≥4,yo≥0,根据题意，易得直线L:y=—¾(x+4),直线/〃：y=f^(χ-4).

由L：y=-⅛(χ+4),令x=4,得y=-⅛,因此边AB上各分点坐标为(4,Es7],

由加：y=-¾(x-4),令y=6,得X=6(」4)+4,因此*B延长线上的对应分点坐标为(如二5+4,61,

%-4%I⅞；

6(x0-4)8%

日一区=I

结合题意，可知KX+4,化简得

i,169

86

X*2J

因此点P满足的方程为：^-ɪ-=l(χ≥4,y>0).

故选：C.

【变式训练】

L若实轴长为2的双曲线C:=l(α>0力>0)上恰有4个不同的点Pi(i=1,2,3,4)满足比用=2出Al,其中A(-l,0),

ab

3(1，。)，则双曲线C的虚轴长的取值范围为()

A.B.(0,孚)C.(^i,+∞)

【答案】C

【分析】设点P(χ,y),由IPBI=2∣M结合两点间的距离公式得出点尸的轨迹方程，将问题转化为双曲线C与点尸的轨

迹有4个公共点，并将双曲线C的方程与动点尸的轨迹方程联立，由Δ>0得出人的取值范围，可得出答案.

【详解】依题意可得α=l,设P(X,y),则由I阳=2∣∕¾∣,

得J(X-I)2+y2=2j(x+iy+/,整理得(χ+gj+y2=g.

fτffl+p^j∙r^+—x+2=0

依题意可知A=竽+解得匕2>々,

则双曲线的虚轴长

C2b>2得半

22

2.在平面直角坐标系XOy中，已知双曲r线4v=1(a>0,⅛>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上，△()AF

a^b^

是边长为2的等边三角形，则双曲线的方程为()

r

2-

X一4

B.

I2£

D.X2

-3=1

【答案】D

【分析】由题意，根据双曲线方程，可得渐近线方程，根据等边三角形的性质，可得渐近线的斜率与C的值，联立方程，

可得答案.

fdb

【详解】由方程二-与=1,则双曲线的渐近线方程为y=±2χ,

a~h-a

不妨设A在直线y=2χ上，

a

山AOAF是边长为2的等边三角形，则可得c=2,直线y=2χ的倾斜角为60,即=6，

aa

联立［τ*2,可得上产，故双曲线方程为f-£=1.

a"+b-c=43

故选：C.

22

3.如图，双曲线C：⅛-4=l(«>0<⅛>0)的左、右焦点为6(-2,0),∕ς(2,0),过％B作圆。：/+y2=02的

a~b~

切线，四条切线围成的四边形月AgB的面积为这，则双曲线的方程为()

3

D2χ22/

=1c1

∙f-f=35

【答案】B

【分析】由四边形片A玛B的面积求出直角三角形AoK面积，利用三角形面积公式计算出|。4|、∣AΛ∣,再由

gαx∣A居I=竽可得。、h,从而得到答案.

【详解】如图，由题意c=√7寿=2,因为四边形耳A6B的面积为达，所以直角三角形4。居面积为亚，即

33

；|0段|。Al=孚，∣0A∣=苧，IAeI=JIo/ʧ+IQAF=半,g4∣A局=苧，a=l,⅛=√3,双曲线的方程为

【题型四】双曲线第一定义

【典例分析】

设6,5是双曲线χ2-y2=4的两个焦点，P是双曲线上任意一点，过耳作NKP6平分线的垂线，垂足为M,则点M到

直线x+y-2√i=0的距离的最大值是（）.

A.4B.5C.6D.3

【答案】A

【分析】根据双曲线的对称性，不妨设点P在双曲线的右支上，延长耳M交P6于M进而得到IwHRV结合双曲

线的定义可知|叫|=4,设材（%,儿），根据题意得到点N的坐标，于是得到点M的轨迹方程，最后求得答案.

【详解】双曲线的方程为：X-亡=1,可得C2=8=C∙=20,则川-2夜,OM（2&,0）,设"（x°,y°）,不妨设点尸

在双曲线的右支上，延长KM交PK于M则N（2x°+2夜,2%）.

由题意，∣PK∣=∣PN∣,由双曲线的定义：IpEI-IPEI=2α=4,则INEl=4,于是,

J(2x0+20-2何+(2%_O)?=4nx：+y；=4,即点M在以原点为圆心，2为半径的圆上，而圆心(0,0)到直线

x+y-2夜=0的距离为：匕消=2,该直线与圆相切，则点M到该直线的距离的最大值为：2+2≈4.

√2

故选：A.

【提分秘籍】

基本规律

双曲线定义：动点P满足：∖∖PFt∖-∖PF2∖∖=2a,四尸2∣=2C且4<c(其中α,C为常数且a>0,c>0)

【变式训练】

1..已知双曲线C：4-⅞-=l(α>0,fc>0),耳迅分别是双曲线C的左、右焦点，P为右支上一点(“≠0),在线段P耳上

arbr

取“aPK玛的周长中点“M,满足IMH+俨段=IM用+憎可，同理可在线段PE上也取“△产/"的周长中点“N.若

-PMN的面积最大值为1,则匕=.

【答案】√2

【分析】根据题目中对周长中点的定义，可以列出图像中各线段之间的关系，将两式相加，相减，得到与双曲线定义，

焦距相关的式子，结合三角形的面积公式，即可求解

设双曲线的焦距为2c,根据题意可得：IMH+1PEl=IM用+14闾,①WH+IwI=W国+16用,②

①一②得：I函一|「用+|「用TNH=IMξ∣τzg∣,即INKITM制=IM用TN局

所以IMKl=W段,所以：IMHTNH=IP耳H"l=24°①+②得：I网+1网+|尸耳|一|峙l+l%H遇1=2忻闻

所以IMH+|八阳=I6周=2c,所以IMH=a+c,WH=c—a,所以当ZMPN=90°时，PMN的面积取最大值，

所以(SPMN)max=；∙∣MP∣∙∣NP∣=g•(/52)=；从=1,所以b=TL故答案为：√L

2..已知双曲线C:产-9=1的左焦点为K，顶点Q(0,2√J),户是双曲线C右支上的动点，则IPEl+户。的最小值等于

【答案】6

【分析】利用双曲线的性质，得到IPKl=IPKl+2,代入所求式子，结合两点距离直线最短原理，计算最小值，即可.

【详解】结合题意，绘制图像：

根据双曲线的性质可知IPHHP闯=2=2,得到IP4I=IP用+2,所以

IP周+1Po=IPKl+∣PQ+22∣Q周+2,而Q(O,2√J),G(2,O),所以

依用=^22+(2√3)2=4,所以最小值为6.

3.已知£,鸟分别为双曲线1的左右焦点，尸为双曲线右支上一点，入关于直线PK的对称点为M,R关于直线

尸鸟的对称点为N,则当IMNl最小时，sinNRPg的值为()

A.ɪ-B.@C.走D.-

2233

【答案】B

【分析】根据对称性得至"N-PM=M-尸乙=2。=4,根据余弦定理得到MV2=16+2P/「PK(1—COS3N6P/Q,得

到答案.

【详解】根据对称性知：PM=PF2,PN=PF,,故PN-PM=PF「PF?=2a=4.

根据余弦定理：MN2=PM2+PN2-IPM-PNCOSNMPN

=(Ps-PE)2+2P4∙Pg(l-cos(2τ-3N片Pg))=I6+2W6(1-COS3N£PK)故当I-CoS3N耳产月=0,即

N耳PVq时,IMyl有最小值,此时SinN耳P居=3.

故选：B.

【题型五】双曲线焦半径(第二定义)

【典例分析】

222

若点P为双曲线u2-w=ιg力>°)上任意一点，则P满足性质：点P到右焦点的距离与它到直线X=B的距离之

"2

比为离心率e,若C的右支上存在点。，使得。到左焦点的距离等于它到直线X=上的距离的6倍，则双曲线的离心

C

率的取值范围是.

【答案】(l,2]u[3,6)

/“十'>6

2

【分析】若。到X=幺的距离为d有6d-ed>0,由题设有a~,结合双曲线离心率的性质，即可求离心率的范

ca---

C

围.

【详解】由题意，ʃ^,即丝三=岂巴£6,整理有e2-5e+6≥0,

a---ac-ae-∖

c

所以e≥3或e≤2,

若。到X=幺的距离为d,则。到左、右焦点的距离分别为64、ed9又。在C的右支上，

c

所以6d-4>0,则ev6,又e>l,

综上，双曲线的离心率的取值范围是(l,2]u[3,6).

故答案为：(l,2]u[3,6)

【提分秘籍】

基本规律

第二定义与焦半径(了解)：若点P为双曲线"Zr’上任意一点，则尸满足性质：点

a2

X=—

P到右焦点的距离与它到直线C的距离之比为离心率e,

22

双曲线二—匚=1(a>0,b>o)的焦半径公式：(K(-c,O),K(C,0)

a^b^

当M(AO,%)在右支上时，|叫\=exi)+a,\MF2∖^exa-a.

当M(x0,y0)在左支上时，IMFiI=-ex0+a,∖MF21=-ex0-a

【变式训练】

2222

1.己知双曲线C「一马=l(α>0,6>0)与椭圆上+汇=1的焦点重合，离心率互为倒数，设B、A分别为双曲线C

a2bl1612

的左、右焦点，P为右支上任意一点，则费的最小值为_______.

PF2

【答案】8

【解析】求出椭圆的离心率和焦点，从而得双曲线的离心率，双曲线的实半轴长“，可得P∕^≥I,由双曲线的定义得

PB=PF2+2,这样誓就可表示为P居的函数，于是可利用基本不等式求得最小值

PF2

【详解】设椭圆的长半轴长为α,,短半轴长为历，半焦距为c,

则C=Ja；-b：=J16-12=2,故椭圆的离心率e/=*=；,从而双曲线的离心率e=2=2=2,可得4=1,

Yq2aa

PF；(PF?+2)2-母+4∙E+44

PFPF

根据双曲线的定义有PB-PF2=2α,S∣JPF∣PF2+2,故"=2=尸玛=PF2+2+4,

χ

—∣PP2-

由双曲线的范围可得尸尸2次一q=1,根据基本不等式可得PB+PB+422、P耳+4=8,

当且仅当叨=熹，…2时取f所以舞的最小值为8.故答案为：8,

/V2若附「

2.已知P为双曲线与-七=l(a>0,b>0)左支上一点，F1,心为其左右焦点,的最小值为114,则双曲线的

a~b~

离心率为()

9-√339+用C9+√339

λdD.

2222

【答案】B

【分析】设闸=〃则翳=TI+〃+而4/

记J'5)=竺-+“+4”，求导分析单调性，从而求得最小值，因

n

为最小为IIa故可求得GC关系，即可求得离心率.

【详解】设IP闾=m,归用=〃，则由双曲线的定义得：m-n=2a,

耳(2"〃)、£〃+4〃n∈[c-6t,+∞).

阿nn

i己/(〃)=—^-+〃+4a,n∈[c-tz,+∞),/'(〃)=]——ʃ,令=1——^-=0,得〃=2Q.

nn

(1)当c-4≤勿时，n≡∖c-a,2a),∕,(∏)=l-^-<0,>=/(〃)单调递减;

n

∕t∈(2tz,+oo),r(〃)=i_q>o,y=/(〃)单调递增，

n~

8β

•••"〃LI=F(2)=,不合题意，舍去；

44

(2)当c-a>2α时，∕,(n)=l-----厂>0恒成立，

∙∙∙yS)min"(r)=c+3α+*,

・，.c+34+4"=1lα,∙'∙c2-9rzc÷12^2=0解得c=L或C=-~

'9-√33'9+√33a,离心率e="普

-T~。不满足c-1>2α,应舍去.Jc-2~

故选：B.

3.已知6，鸟为双曲线r：⅞-4=l（«>0,力>0）的左、右焦点，以工为圆心，2〃为半径的圆与「在第一象限的

a^b^

交点为A,直线A5与「交于另一点8.若.484的面积为3/,则『的离心率为（）

3√3

B.√3

【答案】D

【解析】设直线AK与X轴正方向的夹角为凡利用双曲线的第二定义表示出「伍|,怛闾，根据,,ABf；的面积以及

c2=a2+b2即可求解.

【详解】设双曲线的右准线与X轴的交点为D,则怩Z）I=C-9=

设直线A%与X轴正方向的夹角为θ.

由双曲线的第二定义可得1-ecos®

∣∕∖D∣∙eI*II*I2e∙∣居Z)I2ex——

λβ=λ+β7=22

l+ecos(9'''∣∣