2023-2024学年江苏省镇江市扬中第二高级中学高三（上）诊断数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省镇江市扬中第二高级中学高三（上）诊断

数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合M={x∣咎≤0},N={x∣(∣)x≤3),则MnN=()

A.[-4,-l]B.[-4z3)C.[-1,3)D.[-1,3]

2,已知集合4=[x∖x2—%—6>0},B=(x∣0<%+α<4},若"x∈4"是"XE8”的必

要不充分条件，则实数Q的取值范围是()

A.(-3,6)B.[―3,6]

C.(一8,-3)U(6,+∞)D.(-8,-3]U[6,+∞)

3.已知随机变量S服从正态分布N(I,d),若P(SV4)=0.9,则P(-2Vf<1)=()

A.0.2B,0.3C.0.4D,0.6

千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位

棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙不

在同一个小组的概率为（）

6.定义：“各位数字之和为7的四位数叫好运数”,比如IOO6,2203,则所有好运数的个

数为()

A.82B.83C.84D.85

7.若函数/(x)=αbιx+一-白(α力0)既有极大值也有极小值，则α6()

A.(0,1)B.(0,3)C.(0,1)U(9,+8)D.(0,3)∪(9,+∞)

8.已知a=(1+，/=(1+Jr,c=32，其中e是自然对数的底数，则a,b,C的大小关系

是()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.下列说法正确的是()

A.若函数人%)的定义域为[0,2],则函数f(2x)的定义域为[0,1]

B.y=G)-X'+I的最大值为:

C.y=震的图象关于(一2,1)成中心对称

2

D.函数/^(x)=log2｛x-4X-5)的减区间是(-8,2)

10.已知等比数列｛an｝的前n项和为S71,公比q>1,n∈∕V+,贝∣J()

A∙｛an｝一定是递增数列B.｛arι｝可能是递增数列也可能是递减数列

C.a3,a7,由1仍成等比D.Vn∈N+,Sn≠O

11.已知2乂=3,y=2log32,则()

A.%<IB.xy-2C.X>yD.^÷ɪ›√-2

12.水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌

田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有IOOO多年的历史，是人类的一项古

老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从

点4(3,-343)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水

斗旋转到P点，设点P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=RSin(cot+0)(t≥0,3>

O,∣W∣<φ,则下列叙述正确的是()

π

Aa"=­

B.当t∈(0,60］时，函数y=/(t)单调递增

C.当t€(0,60］时，∣∕(t)∣的最大值为3门

D.当t=100⅛,∖PA∖=6

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618

就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为α=2s讥18。，若α2+b=4,则

1-2COS227O_

--=---------'

14.在AABC中，。是线段BC上的动点(不包括端点)，满足而=m四+τι而，则'+：的最

小值是.

15.在圆/+y2-2χ-6y=0内，过点E(0,l)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形

ABCD的面积为.

16.设函数/(x)的定义域为R,满足f(x)=g∕(x+1),且当Xe(0,1］时，=x2-x,则

求=J心算)的值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

在AABC中，角4,B,C的对边分别是α,b,c,△ABC的面积为S.

现有以下三个条件：

(Γ)(2c+b)cosA+acosB=0；(2)sin2B+sin2C—sin27l+SinBsinC=0；@a2—b2—c2=

~5∙

请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解.

已知向量沆=(4SinX,4√^^),元=(COSX,SiMx),函数/^(x)=布•元一2，^，在AABC中，a=

∕φ,且一，求2b+c的取值范围.

18.(本小题12.0分)

已知等差数列｛an｝的前n项和为无,即=2,S4=26.正项等比数列｛bn｝中,瓦=2,b2+b3=12.

(1)求｛a7t｝与｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛即%｝的前Tl项和Tn.

19.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCO是矩形，ASAD是等边三角形，平面S4D1平面

ABCD,AB=1,P为棱力。的中点，四棱锥S-ABCD的体积为容.

(1)若E为棱£4的中点，F为棱SB的中点，求证：平面PEF〃平面SCD.

(2)在棱S4上是否存在点M,使得平面PMB与平面SAD所成锐二面角的余弦值为誓？若存在,

指出点M的位置；若不存在，请说明理由.

20.(本小题12.0分)

某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏；每个小组由两名队员组成，队员甲

与队员乙组成一个小组.游戏规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每

小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”已知甲乙两名队员投进篮球的概率分别

为Pl，P2-

(1)若Pl=；,P2=|,求他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率；

(2)已知Pi+P2='，则：

①Pl，P2取何值时能使得甲、乙两名队员在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率最大？

并求出此时的最大概率；

②在第①问的前提下，若甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号，则他们平均

要进行多少轮游戏？

21.(本小题12.0分)

已知双曲线C：W-I=I(α>0,b>0)的左、右顶点分别为4(—L0)，8(1,0),离心率为2.

(1)过右焦点F的直线［与双曲线C交于P,Q两点，月.ABPQ的面积是亨，求直线，的方程;

(2)设点M,N在双曲线C的右支上，直线AM、BN在y轴上的截距之比为1：3,证明：直线MN

过定点.

22.(本小题12.0分)

已知函数∕^(x)=gαχ2—Inx.

(1)若。=1,求/(%)的极值；

(H)若方程/(%)=1在区间口,2］上有解，求实数α的取值范围.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：丫M=[-4,3),N=[-l,+∞),

MCN=[-1,3).

故选：C.

先化简，再运算即可得解.

本题考查集合的基本运算，属基础题.

2.【答案】D

【解析】解：集合4={x∣χ2一%—6>0}={x∣x>3或久<—2},B-(x∣0<x+α<4}={x∣-

a<X<4—a],

由于“X64”是“*∈B"的必要不充分条件，

即B星4

所以有4一α≤-2或-α≥3,解得α≥6或α≤-3,

.∙・实数α的取值范围是(一8,—3]U[6,+∞).

故选：D.

直接利用不等式的解法及应用，充分条件和必要条件的应用求出结果.

本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和

数学思维能力，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量〃和的应用，考查曲

(T

线的对称性，属于基础题.

由已知求得PG>4)=P(f<-2)=0.1,再由P(-2<<<1)=∣P(-2<ξ<4)得答案.

【解答】

解：••・随机变量f服从正态分布N(IH2),

•••正态分布曲线的对称轴方程为％=1,

由P&<4)=0.9,得P(f>4)=P(ξ<-2)=0.1,

则P(-2<<<1)=gp(-2<f<4)=ɪ×0.8=0.4.

故选：C.

4.【答案】D

【解析】解：因为函数〃%）的定义域为R，且/■（—χ）=q*=芸;=一］苔=一/（办

所以函数/（x）是奇函数，故可排除4、C；

又/（1）=宰2=-4<0,故可排除B；

14+13

故选：D.

先确定函数的奇偶性，排除AC选项，再特殊函数值，比较排除选项可得答案.

本题主要考查了函数图象的变换，考查了函数奇偶性的判断，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：这5名棋手分别记为：甲，乙，4B,C,分组情况有：

（甲乙4,BC）,（甲乙B,AC）,（甲乙C,AB）,（甲力8,乙C）,（甲4C,乙B）

（甲BC,乙4）,（乙4B,甲C）,（乙AC,甲B）,（乙BC,甲4）,（ABC,甲乙）共10种，

其中甲和乙在同一人组的有4种，分别为：（甲乙4BC）,（甲乙B,AQ,（甲乙C,AB）,{ABC,

甲乙），共4种，

所以甲和乙不在同一个小组的概率为I-A=|.

故选：C.

这5名棋手分别记为：甲，乙，A,B,C,利用列举法写出基本事件，最后利用古典概型的概率公

式即可求解.

本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型.

6.【答案】C

【解析】解：因为各位数字之和为7的四位数叫幸运数，所以按首位数字分别计算,

当首位数字为1,则剩余三位数分别是5,1,0；6,0,0：1,1,4；4,2,0；3,2,1；3,3,

0；2,2,2,共有4g+3+3+力g+Ag+3+1=28个幸运数；

当首位数字为2,则剩余三位数分别是4,1,0；5,0,0；1,1,3；3,2,0；2,2,1,共有

用+3+3+禺+3=21个幸运数;

当首位数字为3,则剩余三位数分别是3,1,0；4,0,0；1,1,2：2,2,0,共有心+3+3+3=15

个幸运数;

当首位数字为4,则剩余三位数分别是2,1,0；3,0,0；1,1,1,共有+3+1=10个幸运

数;

当首位数字为5,则剩余三位数分别是1,1,0；2,0,0,共有3+3=6个幸运数;

当首位数字为6,则剩余三位数分别是1,0,0,共有3个幸运数;

当首位数字为7,则剩余三位数分别是0,0,0,共有1个幸运数;

则共有1+3+6+10+15+21+28=84个幸运数.

故选：C.

根据定义分类讨论首位数字，再应用计数原理计算即可.

本题主要考查分类计数原理的运用，考查运算求解能力，属于中档题.

7.【答案】A

【解析】解：函数的定义域为(0,+8),/⑸=1_.+点=竺宏±1,

依题意，ɑ/-2%+1=0有两个不相等的正根，设为%1，%2，

Δ=4—4a>0

%1+x2=^>0j

{X”2=→θ

解得0<α<L

故选:A.

对函数f(x)求导，根据题意可得α/一2%+1=0有两个不相等的正根，由此可得α的范围.

本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】解：对α,b,C两边取对数得:

Ina—eln(l+1),Inb=τr∕n(l+ɪ),Inc=TIn(I+2),

令/(X)=皿［+X)(%>0),则「(X)=帚_：20+乃，

设g(x)=；JT-In(I+X),则g'(x)=-7⅛<°在(0,+8)上恒成立，

・•・g(x)在(0,+8)上单调递减，

・•・g(χ)<g(o)=0，・,•f'(χ)<。，

・•・/(%)在(0,+8)上单调递减.

又仇Q=/(ɪ),Inb=/(ɪ),Inc=f(2),且,<ɪ<2,

•••〃2)<磴<片)，

：.c<a<b,

故选：D.

先根据α,b,C的特点构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，从而比较出大小.

本题考查利用函数单调性比较大小，构造函数并利用导数研究函数的单调性，化归转化思想，属

中档题.

9.【答案】AC

【解析】解：选项A,函数/(x)的定义域为［0,2］,由0≤2x≤2,解得0≤x≤l,

所以函数/(2x)的定义域为［0,1］,故选项A正确.

选项8,y=(∣)-^2+ι,因为-/+1≤1,所以由指数函数的单调性可得G)T.≥(

所以当x=0时函数取得的最小值为：，故选项B不正确.

选项C,因为y=的对称中心为(0,0),将函数y=-；的图象向左平移2个单位，

再向上平移1个单位得到y=1-击=露，对称中心为(一2,1),故选项C正确.

选项。，y=/-4x-5为开口向上的二次函数，且/一4乂一5>0时,，解得或久>5,

所以当x<—1时，y=/—4%—5单调递减，当X>5时，y=/一4%-5单调递增，

结合对数函数的单调性可知函数/(x)=/。92。2-钛一5)的减区间是(-8,-1),故选项。错误.

故选：AC.

根据抽象函数定义域可判断4根据指数函数的图象和性质判断B,根据函数图象的平移变换判断

C,根据对数函数的图象和性质判断出。即可∙

本题考查了求抽象函数的定义域、复合函数的单调性、值域，属于中档题.

10.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本题考查等比数列前n项和、等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题.

根据题意，结合等比数列的性质依次分析选项是否正确，即可得答案.

【解答】

解：根据题意，依次分析选项：

对于4,当由<0时，若q>l,｛a”｝为递减数列，A错误，

对于B,已知q>l,当％<0时，｛%l｝为递减数列，当%>0时，｛%l｝为递增数列，8正确，

对于C,数列｛an｝为等比数列，贝∣Jg,a7,a1】仍成等比，C正确，

对于D,等比数列｛%l｝中，q>1，则Sn=华沙，必有SnH0,。正确，

故选:BCD.

11.【答案】BCD

【解析】解：因为2'=3,

所以X=IOg23>log2√~δ=：，。出8=A错误；

又y=2log32,

则Xy=2/0032,logz3=2,8正确；

32

由％y=2及％>5可知y<于故x>y,C正确；

因为:+Al⅛+5⅛=bg32+幺og23≥2j]=q,

由于log32#；log23,等号无法取得，力正确.

故选：BCD.

由已知结合指数与对数的转化即对数运算性质，基本不等式检验各选项即可判断.

本题主要考查了指数与对数式的转化，对数的运算性质及基本不等式的应用，属于中档题.

12.【答案】AD

【解析】解：由题意可知，y=∕(x)的最小正周期为7=120,则3=奇=表,

如图，

由题意，原问题转化为P从4出发，沿圆周按逆时针方向匀速运动，

4(3,—3仁)，^AOx∈(0,≡),.∙.tan∆A0x=√3,则4人。X=

且连接则一号

R=6,OP,NxOP=α>t-Sɔ=/OUtɔ

根据三角函数的定义可得，/=SinN久。P=Sin偌t-卞，

即y=Rsin喻t*)=6sm源"9

∙∙∙φ=-故A正确：

当0≤t≤60时，—丝色t-g≤<

••・函数y=/(t)=6s讥篇”今在t∈(0,60］上不单调，故B错误;

当0≤t≤60时,∙∙.⅛t-≡=≡,即t=50时,

函数y=∕(t)=6s讥源t—9取得最大值6,.∙∙∣f(t)∣的最大值为6,故C错误；

当t=100时，y=ðsin(ɪ^∣)=6si∏y=—3∙√-3,此时x=6COS学=-3,

即P(-3,-3C),二∣P4∣=6,故。正确.

故选:AD.

由题意求出函数解析式，再由正弦型函数的性质逐一分析四个选项得答案.

本题考查命题的真假判断与应用，主要考查三角函数的定义、图象与性质，考查运算求解能力,

是中档题.

13.【答案】-T

【解析】解：1*,a=2sinl8o,若α?+b=4,

.∙.b=4—α2=4-4sin2180=4(1—sin2180)=4cos218°>

.1—2COS227O_1-2COS2270_—cos54o_—sin360_1

ay∕~b~2sinl8o√4cos218°-4s讥18°cosl8°-2sin36°-2*

故答案为：—ɪ.

由已知利用同角三角函数基本关系式可求b=4cos218。，然后利用降基公式，诱导公式，二倍角

的正弦函数公式化简得答案.

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降某公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角

函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.

14.【答案】9

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量共线定理及利用基本不等式求解最值，解题的关键是发现m+∏=1且利用1

的代换配凑符合要求的形式.由已知结合向量共线定理可知，τn+n=l且τn,n∈(0,1),从而有

1+-=(m+n)(ɪ+-),展开后利用基本不等式即可求解.

τnnκyκτnτv

【解答】

解：由C是线段BC上的动点且满足而=mAB+nAC

由向量共线定理可知，771+71=1且771,n∈(0,1),

则工+2=(τn+n)(1+S=5+-2-+-≥5+2I-.—=9,

mn'yvτnnymn^mn

当且仅当二=%且Tn+n=1即n=∣,Tn=9时取得最小值9.

mn33

故答案为：9

15.【答案】10√-2

【解析】

解：圆/+y2-2x—6y=O即(X-I)2+(y—3)2=10表示以MQ3)为圆心，以√10为半径的

圆.

由圆的弦的性质可得，最长的弦即圆的直径，ZC的长为2「万.

•・•点E((U),.∙.ME=√1+4=√-5∙

弦长BD最短时，弦BD和ME垂直,且经过点E,此时，8。=2√MB2-ME2=2√10-5=2√^^5∙

故四边形ABCD的面积为"C×BD=IOS；

故答案为10，克.

16.【答案】一日

4

【解析】解：•.・函数/(X)的定义域为R,满足/(χ)=:fQ+1)，

且当％∈(0,1］时，/(x)=%2—%,

∙∙√φ=φ2-^=-^

∕⅛=∕∙⅛+l)=2∕⅛=-i,

∕φ=∕(∣+D=2∕⅛=-l.

n⅜=∕(∣+i)=2"∣)=-2,

n⅜=%+i)=2/G)=-%

∙∙∙∑Lι∕(⅛i)=(-⅛+(-|)+(-1)+(-2)+(-4)=-⅛.

故答案为：~~τ∙

4

根据已知条件分别求出后)，/(I),f(|),用)，相加可得答案.

本题考查函数值的求法，考查函数与方程的综合运用，考查运算求解能力，属中档题.

17.【答案】解：/(%)=m∙n-2y∕~~3=4sinxcosx÷4√r-3sin2x-2√-3=2sin2x—2V~3cos2x=

4sin(2x-()，..・2分

所以Q=∕φ=4sin^=2√^^,…4分

①若(2c+b)cosA+acosB=0,则由正弦定理可得：2sinCcosA÷SinBcosA+SinAcosB=0,

即2sinCcos/+Sin(B+4)=2sinCcosA+SinC=0,

因为C为三角形内角，SinC>0,可得C0S4=-：,因为4e(0,兀)，可得4=手

②若SiMB+siMc—siMa+s讥Bs讥C=0,由正弦定理可得:62+C2—α2+he=0,由余弦定

理可得CoS4="+c2-a2=—L因为力e(0,71),可得A=等.

2bc2ɔ

(ɜ)^a2—b2—C2=~y^5,则垓+»—=S=-^-^XgbCSirh4=—^4，所以

CosA=——7――=---sinA,可得Ca"4=—因为4€(0,ττ),可得力=亭…7分

2bc3ɔ

工一,bca2√-3.

由正弦定理可得痂=嬴=诉=巨=4,

~2~

所以b=4sinBfc=4sinC,

因为B+C*,所以C=/一8,…8分

所以2b+c=8sinB+4sin(^—B)=8sinB+4(—cosB--sinB}=6sinB+2√^3cosB=

"3Sin(B+,...9分

因为O<B<g,所以*<B+*<al<sin(β÷2)<l,

所以2∕3<4qsin(B+?)<4「，即2b+c的取值范围为(2√^,4√^)...12分

【解析】利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可求函数解析式/(x)=4sin(2x-

》由己知可求a的值，若选①由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求CosA=-；，结合范围

A∈(0,π),可得A=尊若选②由正弦定理，余弦定理可得COSa=-5结合范围Ae(O,兀)，可得

A=与.若选③利用余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式可求tanA=-q,

结合范围Ae(O,兀)，可得A=亨，进而根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求2b+c=

4Csin(B+%),由0<B<g,可求范围2<B+%<M进而根据正弦函数的性质可求其取值范

OɔOOZ

围.

本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角

形的面积公式，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中

档题.

18.【答案】解：(1)因为己知等差数列｛%l｝的前般项和为多，α1=2,S4=26,设公差为d,

由已知得，4X2+写d=26,解得d=3,

所以αrt=a1+(n—l)d=2+3(n-1)=3n—1,

即｛ajl｝通项公式为<⅞=3n-1；

因为正项等比数列｛bn｝中,b1=2,b2+b3=12,

设公比为q,所以2(q+q2)=12,所以q2+q—6=0,

解得q=2或q=-3(负值舍去)，

所以H=2%

n

(2)anbn=(3n-l)2,

所以7“=2×21+5×22+8×23+-+(3n-4)2"T+(3n-l)2n,

所以27；=2×22+5×23+8×24+…+(3n-4)2n+(3n-l)2n+1,

相减得，=2X21+3X22+3X23+3X24+.••+3∙2n-(3n-l)2n+1=2x2】+

3x2∖yT)一(3n_1)2n+ι,

n+1

所以TZl=(3n-4)2+8.

【解析】(1)由等差数列的通项公式与求和公式，等比数列的通项公式求解即可；

(2)由错位相减法求解即可.

本题考查了等差数列与等比数列的综合计算以及错位相减求和，属于中档题.

19.【答案】证明：(1)因为E、F分别是S4、SB的中点,

所以EF〃AB,在矩形4BCD中，AB//CD,

所以EF〃CD,COU平面SCD,EFC平面SC0,

:∙EF〃平面SCD,

又因为E、P分别是SA、4。的中点，

所以EP〃SD,SnU平面SCD,EPU平面SCD,

•••EP〃平面SC。，

又EFCEP=E,EF,EPU平面PEF,

所以平面PEF〃平面SCD；

解：(2)假设在棱SA上存在点M满足题意，

在等边三角形$4。中，P为40的中点，所以SPI4。，

又平面SAD_L平面力BCD,平面SADn平面ABCD=AD,SPU平面SAD,

所以SPI平面ABC。，所以SP是四棱锥S-ABCD的高，

设AD=m(τn>0),则SP=?m，S矩形ABCD=rn,

所以“极锥SfBeD=3矩形4BCD-SP=lm×^-m=号,所以m=2,

以点P为原点，PA,丙的方向分别为X,Z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,

则P(0,0,0),4(1,0,0),β(l,l,0),S(0,0,C),

所以超=(1,0,0),丽=(1,1,0)，AS=(-1,0,0)-

设祠=λAS=(-Λ,O,ΛΛ^Λ)(O≤Λ≤1).所以丽=PA+AM=(1-λ,O,√3Λ).

设平面PMB的-个法向量为/=(x,y,z),则但-PM=O-Mx+QZ=°,

(.n1∙PB=X+y=O

所以取E=(√^Λ,-y∏λ,λ-1),

易知平面SAC的一个法向量为芯=(0,1,0),

所以ICOS(3,电)|=iŋɪɪj=77总"1=ɪ,3M+24_1=0,4=g或_1,

因为0≤Λ≤1,所以/1=4所以存在点M,位于AS的靠近点Z的三等分点处满足题意.

【解析】⑴由题可得EP〃S。,EF//CD,即证；

⑵由题可得SPI平面4BCD,结合条件可得4D的长，建立空间直角坐标系，设施=4而，利用

条件列方程，即可解得.

本题考查了面面平行的证明和二面角的计算，属于中档题.

20.【答案】解：⑴每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，

则可能的情况有①甲投中一次，乙投中两次；②甲投中两次，乙投中一次；③甲投中两次，乙投

中两次；

12

∙∙∙Pl=2'P2=3,

・•.他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率为C.0)2X(|)2+φ2XCXlX+φ2X

(V

(2)①由题意得他们在一轮游戏获得“神投小组”称号的概率P=C∙PiX(1-p1)p2+p2χ

Cl×p2(i-P2)+P1×P2

=2P1P2(P1+Pz)-3pf×P2>

P1+P2=I'-P=⅛P1P2-3P1XP2'

又0≤Pi≤1，0≤p2≤1,则看≤pi≤1,

2

令Tn=p1p2=-pl+∣pf=-(Pi-1)+ɪ.则m∈[ɪ,ɪ]<

12212

ʌP=y(m)=-ʒ-m-3m2=-3((m-ʒ)2+芯,

∙∙∙P=⅛m-3加在修意上单调递增,^pmaχ=y(±)=绦

此时Pl=P2=5；

②他们小组在H轮游戏中获得“神投小组”称号的次数f满足6〜),

297

.∙.∏P=297,则n=∕=625,

625

平均要进行625轮游戏.

【解析】(1)可能的情况有①甲投中一次，乙投中两次；②甲投中两次，乙投中一次；③甲投中

两次，乙投中两次，利用已知计算可求概率；

(2)①由题意得他们在一轮游戏获得“神投小组”称号的概率P=2pιPzQι+p2)-3pf×p2,可

求最大概率;

②他们小组在n轮游戏中获得“神投小组”称号的次数f满足f〜Bd,畿），可求Ti的值.

本题考查离散型随机变量的应用，考查转化思想、函数思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力

和运算能力，属中档题.

(Q=I

21.【答案】解：(1)依题意，哙=2,

Ic2=α2+h2

a=1

解得b=∖Γ~^,

c=2

所以双曲线的方程为/一［=1，

设P(%I,ML),Q(%2,y2b直线&X=rny+2,

X=my+2

由2y2消去工得(3∕∏2-l)y2+i2my+9=0,显然/>0,

%=］

ɔ

则%+y2=⅛⅛,%y2=5⅛τ

2,

则SABPQ=IIBFl∙∣yι-y2∣=(yi+y2)-4y1y2=∣J晨E2-(⅛⅛=⅛Xt∣

YXBPQ—

/与空=率，整理得9τ∏4-8τn2-l=0,

∣3mz-1|2

解得病=1或裙__：(舍去)，

，直线［的方程为％±y—2=0；

(2)证明：设AM,BN与y轴分别交于S,T,/(-L0)，B(L0),

设S(Ojo),则T(0,3M))，

:∙k{M=^AS=牛=y°'^BN=^BT=-3y0,

∙∙∙^BN~一3心的

设M(X3，丫3)，

则∕⅛A∙kMB=ɪ∙ɪ=悬=3=3,

人3丁ɪ人3ɪʌɜɪ“•

设直线MN的方程为％=my+t(m≠±yΓ~3),N(x4,y4y

{x=my+t

2

2y，化简可得(3T∏2一l)y2+6znty+3产一3=O,

x-彳=1

6mt3t2—3

...%+%=一藐=，为％=漏=，

..ɪɪ,ɪ==_o

kKkK

•・BMBN-%3-1χ4-l-(my3+t-l)(my4+