全国通用2023年高考数学二轮复习易错题-易错点8 立体几何（含解析）

易错点08立体几何

易错分析

易错点1：平行和垂直的判定

在立体几何中，点、线、面之间的位置关系，特别是线面、面面的平行和垂直关系，是

高中立体几何的理论基础，是高考命题的热点与重点之一，一般考查形式为小题（位置关系

基本定理判定）或解答题（平行、垂直位置关系的证明），难度不大。

立体几何中平行与垂直的易错点

易错点1：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一

谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为"一个平面内的两条相交直线与另一个

平面内的两条相交直线分别平行”而导致证明过程跨步太大。

易错点2：有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视

”。^。，。〃。，。（3〃'三个条件中的某一个。

易错点3：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一

谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为"一个平面内的两条相交直线与另一个平

面内的两条相交直线分别平行”而导致证明过程跨步太大；

易错点2：异面直线所成的角

1.求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线,

进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一找二证三求。

2.求异面直线所成角的步骤：

①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置

斩点。

②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。③因为异面直线所成的角

的范围是0°<9W90°,所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线

所成的角。

3.“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体

来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

4.利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。

易错点3：直线与平面所成的角

1.传统几何方法：

①转化为求斜线与它在平面内的射影所成的角，通过直角三角形求解。

②利用三面角定理（即最小角定理）cose=cos。]-cos当求仇。

2.向量方法：设7为平面a的法向量，直线。与平面a所成的角为则

7t-~-----f_7t

--<a,n>,<a,n>e\0,—

八2I2

e=\

--7T--（71\

<a,n>-----,<a,n>&\

[2<2）

易错点4：二面角

用向量求二面角大小的基本步骤

1.建立坐标系，写出点与所需向量的坐标；

2.求出平面a的法向量平面夕的法向量号

4•n2

3.进行向量运算求出法向量的夹角C°S<勺，〃2>="；

4.通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果：

当二面角为锐角时30sO=COS^",%）,为钝角时cos8=-co«〃],〃2

错题纠正

1.已知/，机是两条不同的直线，a是平面，且加〃a,则（）

A.若/m,贝”〃aB.若/〃a,贝打；机

C.若/_!_，〃，贝i]/_LaD.若/_La,则

【答案】D

【详解】依题意加//a,

A选项，若〃/机，则可能/ua,所以A选项错误.

B选项，若〃/e,则/与机可能相交、异面、平行，所以B选项错误.

C选项，若/，机，则可能/ua,所以C选项错误.

D选项，由于〃〃/a,所以平面a内存在直线”，满足"?〃”，

若/_La,则/，〃，则/_L〃?，所以D选项正确.

故选：D

2.已知直三棱柱A8C-4AG各棱长均相等，点〃£分别是棱AB-CG的中点，则异面

直线4?与缈所成角的余弦值为（）

A.-B.--C.-D.--

5555

【答案】A

【详解】设直三棱柱的棱长为1,则AD=』+g）2=?=BE,

点。，£分别是棱A是,CC,的中点,

AD=AA.+A^D=BBt-^BA,BE=BC+CE=BC+^BBt,

111-211

AD.BE=（BB「eBA）.（BC+QBBJ=BB1•BC+mBB]--BABC--BABB,

xlxlxcos60°=—,

224

2

1

所以cos<AD,BE>=产产=「4L=-

同忸|如苕5-

22

所以异面直线力。与比'所成角的余弦值为1.

3.如图，正方体A8CO-A4G。中，尸是4。的中点，则下列说法正确的是（

A.直线户8与直线A。垂直,直线P8〃平面AAC

B.直线尸8与直线RC平行,直线PBJ•平面4G。

C.直线尸8与直线AC异面,直线PB_L平面AOCg

D.直线尸B与直线8Q相交,直线P3u平面A8G

【答案】A

【详解】连接。8,4民。蜴,RC,8C；由正方体的性质可知地=8。，P是的中点，所

以直线R?与直线A。垂直;

由正方体的性质可知DB〃1B「AB〃DC，所以平面5OA//平面4RC，

又P8u平面所以直线阳〃平面ARC,故A正确;

3

D

以。为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1,P8=［；,l,g)RC=(O,1,T)

显然直线尸B与直线RC不平行，故B不正确；

直线PB与直线AC异面正确，ZM=(1,0,0),PBDA=^Q,所以直线PB与平面ADC£不

垂直，故C不正确；

直线P5与直线瓦马异面，不相交，故D不正确；

故选：A.

7T

4.平行六面体48。。一4田62中，/j\AB=ZA.AD=ZBAD=-,AB=AD=AA.,则8。1与

底面A5C。所成的线面角的正弦值是()

A.BB.四C.；D.在

3322

【答案】A

【详解】解：如图所示，连接AC,8。相交于点。，连接A。.

TT

■：平行六面体ABCD-ABCQ］中41A8=ZA.AD=/BAD=1,且AB=A£>=的，

不妨令AB=AD=偿=2

△4AQ,△ABO都是等边三角形.

••・48。是等边三角形.

:.AC±BD,\O±BD,\O\\AC=O,A。，ACu平面A4,GC

.•.8。J•平面A41GC,BDu平面ABC。，

4

.•.平面平面ABC。，

幺AC是AA与底面ABC。所成角.

因为你=2,40=百=AO,所以cos/AAO=2=李.

73J

~2

如图建立空间直角坐标系，则A(G,0,0),B(o,1,0),0(0,-1,0),A(手h，0,竿2%、

其中4的坐标计算如下，过4作A£~L4C交AC于点E，

piAE9巧

因为cos/4AO=-^-,cosZA}AO=-^-，所以AE=AA^cosZA^AO=,

所以OE=O4-4E=G-竽=冬\E=^AA；-AE2==孚，

因为A"=A£>=（一百,-1,0）

显然平面ABCD的法向量为〃=(0,0』),

।囱臼।亍2限飞

设BD｝与底面438所成的角为。，则如Q=

阳.卜「2万一3

5

故选：A

5.已知爪〃是两条不同的直线，。、£是两个不同的平面，则下列结论一定成立的是

()

A.若mVn,ml.a,则n//aB.若m//a,a〃£，贝!]m//B

C.若m_La,aJ_£,则如〃£D.若叫_La,〃_L£,mX.n,则a_L万

【答案】D

【详解】A选项，mLn,mA.a,则可能“ua,故A错误；

B选项，mHa,a〃夕，则可能ZMU/,故B错误；

C选项，mla,a，0,则uj能，"uy?,也可能加〃/7,故C错误；

D选项，因为加_L<z,mln,所以"ua或“〃々，当”ua时，因为”_L尸，所以由面面垂

直的判定定理知当M/a时，存在《//〃'且“'ua,所以〃'"L£,所以可得a,夕，故

D正确.

故选：D.

举一反三/

1.在长方体A8CO-A8CQ中，已知与平面A8CD和平面所成的角均为30。，

则()

A.AB=2ADB.48与平面的伫。所成的角为30。

C.AC=CBtD.耳。与平面B8CC所成的角为45。

【答案】D

【详解】如图所示：

6

不妨设A8=a,AO=4AA=c,依题以及长方体的结构特征可知，BQ与平面A3C£)所成角

ch

为NBQB,耳。与平面/L44B所成角为/£>4A,所以Sin3。=许=五有，即入c,

D}U15

BQ=2c=J”?+Z??+c2»解得〃=y/2c-

对于A,AB=a,AD=b,AB=OAD，A错误；

对于B,过3作BELAA于E,易知B£1平面ABC。，所以A4与平面AB©。所成角为

ZBAE,因为tan/84E=£=立，所以N8AEW30,B错误；

a2

对于C,AC=da?+b2=Gc，CB[=[b?+c?=V5c，“CwC7c错误；

对于I),BQ与平面B8CC所成角为NO8C，sinZDB,C=—,而

B、D2c2

0<ZDB,C<90,所以ZD8C=45.D正确.

故选：D.

2.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水

库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km，水位为海拔157.5m时，相应水面的

面积为180.0km"将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔

148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(不々2.65)()

A.1.0xl09m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

【答案】C

【详解】依题意可知棱台的高为"N=157.5-148.5=9(m),所以增加的水量即为棱台的体积

V.

棱台上底面积S=140.0km2=i40xl06m2,下底面积S'=180.0km2=180xl()6m2,

76612

：.V=-h[S+S'+VSS)=1X9X(140X10+180X10+V140X180X10)

3、

7

3x(320+60^)xl06«(96+18x2.65)xl07=1.437xl09~1.4xl09(m3).

3.己知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为36和46，其顶点都在同一球面上，

则该球的表面积为()

A.lOOitB.128兀C.1447tD.192兀

【答案】A

【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径小4,所以2/;=色也一,2力=4巨-,即

sin60sin60

4=3乃=4,设球心到上下底面的距离分别为4,4,球的半径为R,所以4=，六一9,

4=1/?2-16,故|4-4|=1或4+4=1,即那_9_依_16卜1或市=1，

解得R2=25符合题意，所以球的表面积为5=4兀配=l(X)7t.

故选：A.

4.如图，已知正三棱柱ABC-44G，AC=AA，笈尸分别是棱BC,4G上的点.记所与

所成的角为a,EF与平面ABC所成的角为耳，二面角厂-BC-A的平面角为7,贝I]

A.a<P<yB.P<a<yC.p<y<aD.a<y</3

【答案】A

8

【详解】如图所示，过点尸作抨，4c于P，过P作于连接PE，

则。=/£：々，O=/FEP,y=FMP,

PEPE八°FPAB—FP、FP介

tana=—=—<1,tanp=—=—>1,tan/=----->—=tanp,

FPABPEPEPMPE

所以,

故选：A.

5.如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱

柱的底面是顶角为120。，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）

A.23B.24C.26D.27

【答案】D

【详解】该几何体由直三棱柱AFD-8/7C及直三棱柱DGC-AE8组成，作“M1.CS于M,

如图，

因为CH=BH=3,NCHB=120,所以CM=BM=在,=3，

22

因为重叠后的底面为正方形，所以=

在直棱柱中，A3,平面则

由A8C8C=8可得_L「平面AIKB,

设重叠后的EG与FH交点为/,

9

E

则匕-皿=936x36］=*%力丽=；X36X'X3G=£

J，4X«L

o127

则该几何体的体积为V=2匕阳_咏-%侬=2xj》=27.

故选：D.

易错题通关

一、单选题

1.已知正三棱锥S-A8C的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为近，则此三棱锥的外接球的表

面积为（）

A.71B.37tC.6兀D.9兀

【答案】C

【详解】由题意，正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为亚，

此三棱锥S-ABC可补形为一个棱长为正的正方体，

三棱锥S-ABC的外接球与补成的棱长为④的正方体的外接球为同一个球，

设正方体的外接球的半径为R,可得2R=，（正丫+（应了+（0）2=瓜,即R=",

所以此三棱锥的外接球的表面积为S=4成2=4兀x［更］=6兀.

10

故选：c.

2.设m,〃是不同的直线，a,4，/是不同的平面，则下面说法正确的是（）

A.若a_L£,al/,则£〃y

B.若mlla,则加，尸

C.若，〃J_a,>n/10,则a_L/?

D.若/n〃〃，”ua,则m〃a

【答案】C

【详解】A：由a，/?,a，九则£〃/或6,7相交，错误；

B：由a，/7,〃〃/a,则////或机或利,£相交，错误；

C：由，"//尸，则存在直线/u尸且/〃机，而机_1_夕则/_Lc,根据面面垂直的判定易知aJL/?,

正确；

D：由小〃〃，〃ua,则加〃a或，wua,错误.

故选：C

3.足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、

内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”

2

的表面上有四个点P,A8,C,满足P4=1,PAL面AC1BC,若则该“鞠”

的体积的最小值为（）

2599

A.一nB.97C.-nD.一乃

628

【答案】C

11

【详解】取48中点为。，过。作O£>〃P4,且。。=1PA=1，因为PA_L平面/8C所以8,

22

平面A8C.由于AC，BC,故D4=£>8=ZX7,进而可知OA=OB=OC=OP,所以。是球心，

0A为球的半径.

1]?

由匕fBC=-x-ACCBPA=-=>ACCB=4，又AB?=AC2+BC2>2AC-3c=8，当且仅当

AC=8C=2,等号成立,故此时AB=20,所以球半径

R=OA=JOD2+(；AB]>jW+(0)2=|,故Rmin=|，体积最小值为

故选:C

4.在三棱柱中，D,6分别为A3、与G的中点，若AA=AC=2,DE=娓,

则DE与CC,所成角的余弦值为()

A.@B.迈r3^6八2\[b

3483

【答案】c

[详解】如图所示，取点BC的中点F,可得CG〃以"

所以异面直线与CC,所成的角，即为直线DE与E尸所成的角,

在&OE尸中，可得EF=A4,=2,OF=gAC=l,QE=

(由2+22一产3限

由余弦定理可得cos/DEF=

2x>/6x2~8~

故选：C.

12

5.已知在菱形ABC。中，48=2,4=60。，把△ABO沿5。折起到,AB。位置，若二面角

A'-fiD-C大小为120。，则四面体48s的外接球体积是（）

.7028.28⑸n7直

A.-7iB.—冗C.------7iD.----几

332727

【答案】c

【详解】设，A3。的外接圆圆心为。I，△88的外接圆圆心为。2,

过这两点分别作平面，A'B。、平面△BCD的垂线，交于点0,则。就是外接球的球心;

取BD中点E,连接O,E,O2E,OE,OC,

因为O2E±BD.

所以NQEOL120。，

因为A'BO和△58是正一二.角形,

所以。加=0遂=程，

由AABD刍△BCD得NOEO。=60°,

7

所以。。2=1由oc2=oo；+co；=i+即球半径为

所以球体积为=竺亘".

327

13

故选：c.

6.如图，在直三棱柱ABC—AqG中，8c_1面4。。小，CA=CC、=2CB,则直线BQ与直

线A4夹角的余弦值为（)

2近^5n3

i.BR.C.—D.—

5355

【答案】C

【详解】连接CM交8G于。，若E是AC的中点，连接

山ABC-AAG为直棱柱，各侧面四边形为矩形，易知：。是C4的中点,

所以。//AB—故直线BG与直线A片夹角，即为即与B6的夹角N5DE或补角,

若8c=1,则CE=1,BD=CD=—<

2

BCJ■面ACGA，ECU面ACGA，则C8_LCE,

而ECJ.CG，又BCCC|=C,BC,CGu面BCCg,故ECLlinBCC4,

又CDu面BCGM，所以CELCQ.

所以ED=《CD2+CE?=[,BE7cB2+CE2=&，

59c

BD2+ED2-BE2=-4---14------2=7/57

在△BDE中cosZBDE=

2BDED，亚3―I-，

2x——x—

22

故选：C

14

7.四面体P-A8C中，ZAPB=45°,ZAPC=ZBPC=30°,则二面角A-PC—3的平面角的

余弦值为（）

A.72-1B.1C.272-3D.变

43

【答案】C

【详解】过点4作AM■!PC交PC于点、M,过点"作MN工PC交尸8于点A,如图,

则NAAW是二面角A—PC—B的平面角，设AM=x,MN=x,AP=PN=2x,

在，APN和AMN中，由余弦定理，

AN2=AP2+PN2-2APPNCOSZAPN=AM2+MN2-2AM-MN-cosZAMN，

所以cosNAMN=2点-3，

故选：C

8.如图，三棱锥P-ABC中，平面平面46C,AC=BC=\,PA=BA=C，PB=2.三

棱锥P-ABC的四个顶点都在球。的球面上,则球心。到平面力比■的距离为（）

15

A

B

A.正B.—C.V2D.

42

【答案】B

【详解】解：因为AC=3C=1,PA=BA=C，PB=2,

所以AC2+8C2=A82,即ACJ_8C,PA2+AB2=PB2，即丛上回，

又平面J•平面ABC,平面RABc平面?=R4u平面％B,

所以E4_L平面ABC,

因为ABC为直角三.角形，所以ABC外接圆的圆心在斜边A8的中点，

所以三棱锥P-ABC外接球的即为下图长方体的外接球，

所以三棱锥P-ABC外接球的球心。在尸8的中点，

二、多选题

9.已知a,夕是两个不重合的平面，加，"是两条不重合的直线，则下列命题正确的是(

)

A.若m±a,0,则。_1_力

B.若〃z_La,n!la,则〃2_1_"

C.若a//。，"zua,则m//夕

16

D.若m〃〃，allp,则俄与。所成的角和〃与月所成的角相等

【答案】BCD

【详解】解：对于A.若m_L〃，nll13,则a，6或a与夕平行或，a与£相交不

垂直，故A错误；

对于B："〃a,,■•设过”的平面夕与a交于则〃//a,又〃?_L(z,a,二，

..•B正确；

对于C：a!Ip,\a内的所有直线都与夕平行，且桃ua,，c正确；

对于D：根据线面角的定义，可得若m〃*all/3,则m与a所成的角和〃与夕所成的角相

等，故D正确.

故选:BCD.

10.在正四面体4一以笫中，Afi=3,点。为△ACO的重心，过点0的截面平行于46和切，

分别交比；BD,AD,4c于E,F,G,H,则()

A.四边形研7/的周长为8

B.四边形£7诩的面积为2

C.直线46和平面牙切的距离为0

D.直线4C与平面所成的角为f

【答案】BCD

2

【详解】。为一ABC的垂心，连延长与切交于〃点，则4O=§AM

Z.HG//-CD,；.HG=2,EF=2,HEII-AB,：.HE=GF=\,

=3=3

，周长为6,A错.

ABVCD,则3杆6〃=2乂1=2,B对.

将四面体补成一个长方体，则正方体边长为逑，

2

17

D

P,Q分别为AB,CD中点，PQL平面EFGH,n=PQ=

夜一逑

AH

二4到平面为%〃距离d=1#=—对

网

2

jrTT

力c与尸。夹角为:，则4C与平面的夹角为了，D对

44

故选：BCD

三、解答题

11.如图，三棱柱48C-ABG中，点A1在平面A8C内的射影。在AC上，NACB=90。,

(1)证明：AG，AB；

(2)若A。=2,求二面角AB-C的余弦值.

【答案】

(1)；点4在平面A8C内的射影。在AC上，二平面A8C,又6Cu平面A8C,

AAtDlBC,-：3CLAC,4CcAQ=。，AC,A。u平面/L41GC,二8CL平面A4gC,

AGu平面A41cC，...AC,1BC,'：AC=CCt=2,四边形A41cC为平行四边形，,四

18

边形AAGC为菱形，故AG，AC,又8cAe=c,BC，ACU平面/BC,AC1，平

面ABC,48<=平面48(7,，46，48：

(2)以C为坐标原点，以C4,CB,D4,为x轴，丫轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系,

则A(1,0,现A(2,0,0),B(0,l,0),

AA=(l,0,-e)，AB=(-l,l,-