2023高考数学复习练6　极化恒等式、投影向量

微专题6极化恒等式、投影向量

3知识拓展

极化恒等式：ab=^[(a+b)2-(a-b)2].

(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对

角线”与“差对角线”平方差的;.

(2)在平行四边形QMQN中，。是对角线交点，贝I]：

①万诟丽=([|苑F—I两2](平行四边形模式)；

②户初•丽=I历F—3两2(三角形模式).

题型聚焦分类突破研题型求突破

类型一投影向量的应用

I核心归纳

由投影与投影所在的向量共线，问题转化为求向量间的投影数量与投影所在向量

方向上单位向量的积.

2Jr

例1已知∣α∣=4,e为单位向量，它们的夹角为卷，则向量。在向量e上的投影向

量是；向量e在向量α上的投影向量是.

答案—2e—

解析由∣α∣=4,e为单位向量，它们的夹角为2空兀，

2

向量。在向量e上的投影数量：∣α∣cosjπ=-2,

21

向量e在向量α上的投影数量：IelCOSmr=-],

故向量”在向量e上的投影向量：一2e,

向量e在向量”上的投影向量：

3

训练1(1)已知向量α与〃的夹角为甲，且同=2,向=3,则α在〃方向上的投影

向量与投影向量的长度分别是()

B手b,~y∣2

(2)已知向量4=(1,2),A(6,4),β(4,3),b为向量港在向量”上的投影向量,

则步I=.

4√5

答案(I)D(z)ɪ

解析(1)设α在6方向上的投影向量为劝(2∈R),

则ab=λbb,

3

a.h同c°s7r

故人一r一国

73,

故”在8方向上的投影向量为一半公

3

“在b方向上的投影向量的长度为同CoSlπ=—啦.

⑵成=(—2,-1),

由投影公式可知g寺Ji】+葭)X2∣=唔

∖a∖∖5ɔ

类型二利用极化恒等式求向量的数量积

I核心归纳

利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤：

(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；

(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；

(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值.

注：对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再

利用极化恒等式.

例2(1)如图，在C中，。是BC的中点，E,F是AD上的两个三等分点.晶•豆

=4,BF&=~\,则砺•走的值为

A

(2)如图，在平行四边形/8C。中，AB=I,AD=I,点£,F,G,"分别是Za

BC,CD,NO边上的中点，则成'•前十宓•庇=

答案(l)ɛ(2)2

解析(1)设BO=OC="?,

AE=EF=FD=n,

则40=3〃.

根据向量的极化恒等式，有懑•祀=Zb2—历2=9〃2一加2=4,FjsFC=FD^-DB-

-n2-m~=-1,

513

联立解得∕=g,W2=^^^∙

————7

因此防∙反?=应)2—历2=4〃2一加2=1

O

即防•丽=(

(2)连接EG,FH交于点0(图略)，

则砺•前=防-亦=1-(，=1,

2

GHHE=Gb2-OH1=∖-{^=1,

3

因此彷•危+GHHE^.

训练2(1)在AZBC中，M是BC的中点，AM=3,SC=IO,则成∙Jb=.

(2)如图，⅛∆J5C中，已知AB=A,AC=6,ZBAC=60°,点D,E分别在边

AB,ACl.,且善=2&),AC=3AE,若产为。E的中点，则赤•瓦的值为.

答案(1)-16(2)4

解析(1)因为M是BC的中点，

由极化恒等式得成∙农

=⅛2-∣∣⅛2=9-∣×100=-16.

⑵取

A

8。的中点N,连接NF,EB,因Z8=4,AE=2,ZBAC=60°,故BEUE,所

以BE=2yβ.

在ADEB中,FN*BE,

所以FN=小,

故脐•命=2或历

类型三利用极化恒等式求数量积的最值(范围)

I核心归纳

(1)利用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三

角形的中线，再写出极化恒等式.(2)难点在于求中线长的最值(范围)，可通过观察

图形或用点到直线的距离等求解.

例3(1)如图，在同一平面内，点〃位于两平行直线加，〃的同侧，且/到处〃

的距离分别为1,3,点、B,C分别在“，〃上，懑+i⅛=5,则花∙农的最大值

是

A

R

in

C〃

(2)(2022•济南调研)在4∕BC中，点E,尸分别是线段力&ZC的中点，点尸在直

线跖上，若△/BC的面积为2,则而•无十就2的最小值为

答案(l)y(2)2√3

解析(1)法一(极化恒等式法)

连接8C,取8。的中点。，ABAC=AD1-Bb2,

rIflf5

又AD=^∖AB+AC∖=y

故LL力—8►4—。►=125一—►ɔ一25严1-→。∙ɔ2,

又因为BGnin=3—1=2,

21

所以(焉•而max='

法二(坐标法)

以直线〃为X轴，过点Z且垂直于〃的直线为歹轴，建立如图所示的平面直角坐

标系Xay,如图，则/(0,3),C(c,0),B(b,2),

则范=3，-1),AC=(c,-3)

从而(b+c>+(-4)2=52,

即3+C)2=9,

→→(b+c)221

又ZCAB=bc+3≤------------+3=不

当且仅当b=c时，等号成立.

(2)取BC中点O,

PBPC=P∂2-^BC2^PBPC+BC2=Pb2-∖-^BC2^2∖Pb2^BC2

=yβ∖PO∖∖BC∖,

当且仅当PO=冬C时等号成立.

∙.∙PO斗，

、行

.∖φ∖Pb∖∖BC∖^^h∖BC∖=yf3S^lBC=2yβ,

，麻•危+交的最小值为2小.

训练3(1)如图所示，正方体/8C。-48∣Cln的棱长为2,MN是它的内切球的

一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动

点，当弦MN的长度最大时，丽•丽的取值范围是.

(2)如图所示，正方形498的边长为1,A,。分别在X轴，歹轴的正半轴(含原

点)上滑动，则反？油的最大值是.

答案(1)[0,2](2)2

解析(1)由正方体的棱长为2,

得内切球的半径为1,

正方体的体对角线长为2√1

当弦跖V的长度最大时，MN为球的直径.

设内切球的球心为O,

则丽r•丽=P∂2-ON2=∖P∂2∖-1.

由于尸为正方体表面上的动点，

故IOPl∈[1,√3],

所以血•丽£[0,2].

(2)如图，取BC的中点M,4。的中点N,连接朋N,ON,

则衣而=丽2_；=由2_(

13

因为OM^ON+NM=^AD+AB=

当且仅当O,N,M三点共线时取等号.

所以沆•为的最大值为2.

高分训练对接高考重落实迎高考

一、基本技能练

L设向量Q,6满足∣α+Z>∣=d⅞,∖a-b∖=y[β,则“力等于()

A.lB.2

C.3D.4

答案A

解析由极化恒等式得α∙∕>=∣[(α+Z>)2-(«—Δ)2]=∣×(10-6)=1.

2.如图，在平面四边形/8C。中，。为8。的中点，且ON=3,OC=5,若丽・刘)

=-7,则比•虎=()

A.-9B.21

C.-21D.9

答案D

解析场Ib=而FT初2=-7,

.∙,∣∣5Z)∣2=16,

SC-PC=∣c∂∣2-∣∣5b∣2=25-16=9.

3.如图，BC,Z)E是半径为1的圆O的两条直径，BF=IFO,则彷•厚=()

答案B

解析'：BF=IFO,圆。的半径为1,

法二由极化恒等式得

FD-FE=FO2-^DE2=^-1=一§.

4.已知正方形/88的面积为2,点尸在边/8上，则瓦)•无的最大值是()

9

A，2B.2

33

c∙2D4

答案B

解析如图所示，取CO的中点E,

S

B<

连接尸E,由极化恒等式可得防•危=成2—反;2=|两2—今

所以当P与重合时，I或|=寸|最大，从而(防∙无)max=2.

5.已知4,/>是平面内两个互相垂直的单位向量，若C满足(a—c)∙(∕>-c)=0,则ICl

的最大值是()

A.lB.2

C.∖∣2D.坐

答案C

解析由极化恒等式(a—c>(〃一c)

=∣[(a+6-2c)2-(«-Z>)2],

V(a-c)∙(⅛-c)=O,

所以(a+b—2c)2=(a-b)2,

故c2=(a÷ft)∙c,

又因为Ial=例=1,a±b,

Λ∖a-∖-b∖=y∣2,

于是ICFWla+例d=啦∣c∣,

.∙.∣c∣≤√2.

6.已知/8为圆f+y2=1的一条直径，点P为直线χ-y+2=0上任意一点，则

苏•屈的最小值为()

A.lB.√2

C.2D.2√2

答案A

解析如图所示，由极化恒等式易知，当Op与直线X—y+2=0垂直时，月•丽有

最小值，

即疥通=历2一彷2=（何一F=]

故选A.

7.已知4?是圆O的直径，4S长为2,C是圆O上异于48的一点，P是圆O

所在平面上任意一点，则（或+而）•反?的最小值为（）

11

A∙^4B^3

C.一2D.一1

答案C

解析∖'R4+PB=2PO,

:.（PA+PB∖PC=2PO-PC,

取OC中点。（图略），由极化恒等式得，POPC=∖PD∖1-∣∣δc∣2=∖PD∖2-^,

又I尸Z）Rin=0,

.∙.（或+两）•元的最小值为一亍

8.已知AZBC是边长为2的等边三角形，P为平面/8C内一点，则可•（而+两

的最小值为（）

C3

A.一2B.一2

4

C.-2D.-1

答案B

解析取BC的中点。，连接Z。，PD,取的中点E,连接PE

]ʌ/ɜ

由AZBC是边长为2的等边三角形，E为中线的中点得ZE=”。=：-,

则苏•(丽+无)

=2PA-PD=2(∖PE^-∖EA^

=2|两2_曾2240-1

3

=一》当且仅当I而∣=o时，取等号，

.∙.再•(麻+元)的最小值为一,

9.已知正方形ABCD的边长为I,点E是46边上的动点，则无•历的值为.

答案1

解析取ZE中点O,设〃E=X(OWXW1),则〃0=5，J.DEDA=∖DO^~^AE^

2

=12+⅛)+=L

10.在4/8C中，AB=6,AC=5,4=120。，动点尸在以C为圆心，2为半径的圆

上，则苏•丽的最小值为.

答案16

解析设/8的中点为M,则苏•丽=闻Z2一同2=]两2-9,

所以要求成∙届的最小值，只需求I两的最小值，

显然当点尸为线段MC与圆的交点时，I两取得最小值，最小值为幽C∣-2.

在4ZΛ∕C中，由余弦定理得∣Λ∕C∣2=32+52—2X3X5XCoS120o=49,

所以IMeI=7,

所以I两的最小值为5,

则可•丽的最小值为16.

IL在RtZ∖∕8C中，CA=CB=2,M,N是斜边48上的两个动点，且MN=巾,

则CM-函的取值范围是.

「

答案悖32^]

解析取MV的中点为P,由极化恒等式得血∙函=宙一:“v∣2=∣两2一/

当P为ZB的中点时，I序I取最小值为啦，

则W访函的最小值为5；

当“与4（或N与5）重合时，I浮I取最大值为手，则应/.的的最大值为2,

-3^

所以昆曲的取值范围是[受，2.

12.已知45为圆O的直径,Al为圆O的弦CD上一动点,/8=8,8=6,则说!•施

的取值范围是.

答案[—9,0]

解析如图，取CO的中点G,连接OG,MO,CO,得OGLC0,

22

MAMB=∖M0^~^l∖BA∣=∖M0∖-16,

V∣∂C∣≥∣⅛≥∣0G∣,

Λ√7≤∣⅛≤4,

.∖MAMB≡[-9,0],

二'创新拓展练

13.若点。和点尸分别为椭圆?+[=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一

点，则必•存的最大值为（）

A.2B.3

C.6D.8

答案C

如图，由已知。取中点连接由极化恒等式得：

解析b=1,JFOE,PE,OPFP

=|两2一占时三I两2一",

Y当尸在椭圆右顶点时，I无F有最大值，

⅛Lx=y,

.∙.5A∙丽的最大值为6.

14.（多选）已知在a∕8C中，PO是边/8上一定点，满足Po8=%8,且对于边/8

上任一点P,恒有越•无2户由・屈7,贝女）

∖.PB-PC=PD2-DB1

B.存在点p,使∣M∣<∣R力I

C.PζCAB=Q

V）,AC=BC

答案AD

解析如图所示，取BC的中点。，连接P。，

根据向量的极化恒等式，

有户及无=玩）2—方方2,pζβpζc=P^D1-DB2