2023-2024学年江苏省江阴南闸实验学校九年级上册数学期末调研模拟试题含解析

2023-2024学年江苏省江阴南闸实验学校九上数学期末调研模拟试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题3分，共30分）

12

1.在RtAABC中，ZC=90°,tanA=y,则cosB的值为（）

2.下列说法错误的是（）

A.必然事件的概率为1B.心想事成，万事如意是不可能事件

C.平分弦（非直径）的直径垂直弦D.J语的平方根是±2

3.如图方格纸中每个小正方形的边长均为1,点P、A、C都在小正方形的顶点上.某人从点P出发，沿过A、C、P

三点的圆走一周，则这个人所走的路程是（）

A.2>/2^B.2岳C.2&D.不确定

4.如图，在。O中，点A、B、C在。。上，且NACB=H0。，则Na=（

A.70°B.110°C.120°D.140°

5.一人乘雪橇沿如图所示的斜坡（倾斜角为30。）笔直滑下，滑下的距离为24米，则此人下滑的高度为（）

A.24B.12百C.12D.6

6.如图，P为线段A3上一动点（点P不与点A、3重合），在线段AB的同侧分别作等边AAPC和等边

连结AD、BC,交点为Q.若AB=6,求动点。运动路径的长为（）

7.如图，AB是。的直径，AC,CD是。。的两条弦，CDYAB,连接OD,若NC4B=20。，则N8QD的度

数是（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

8.中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入300美元，预

计2018年人均年收入将达到950美元,设2016年到2018年该地区居民人均年收入平均增长率为x,可列方程为（）

A.300（1+x%）2=950B.300（1+x2）=950C.300（l+2x）=950D.300（1+x）2=950

9.关于x的一元二次方程（m-2）1一21-1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）

A,机.1且加。2B.m>\C.且D.加。2

3

10.对于反比例函数丫=一，下列说法正确的是

x

A.图象经过点（1,-3）B.图象在第二、四象限

C.x>0时，y随x的增大而增大D.xVO时，y随x增大而减小

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.如图，圆弧形拱桥的跨径=12米，拱高8=4米，则拱桥的半径为米.

12.如图，在扇形OAB中，ZAOB=90°,半径OA=1.将扇形OAB沿过点B的直线折叠.点O恰好落在延长线上

点D处，折痕交OA于点C,整个阴影部分的面积

13.计算：唬-(73-n)"+(y)-'=

14.如图，D在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E是边AD一个动点，将AABE沿BE对折成ABEF,则线段DF长的

最小值为.

At___£___________D

BC

4

15.如图，在AABC中，AB=AC,延长8C至点。，使CO:AC=1:2,则tanNC4£>=

16.如图，点A在反比例函数y=4的图象上，A8_Lx轴，垂足为B,且SM.B=3,则4=.

x

17.对一批防PM2.5口罩进行抽检，经统计合格口罩的概率是0.9,若这批口罩共有2000只，则其中合格的大约有一

只.

18.为了提高学校的就餐效率，巫溪中学实践小组对食堂就餐情况进行调研后发现：在单位时间内，每个窗口买走午

餐的人数和因不愿长久等待而到小卖部的人数各是一个固定值，并且发现若开一个窗口，45分钟可使等待的人都能买

到午餐，若同时开2个窗口，则需30分钟.还发现，若能在15分钟内买到午餐，那么在单位时间内，去小卖部就餐的

人就会减少80%.在学校总人数一定且人人都要就餐的情况下，为方便学生就餐，总务处要求食堂在10分钟内卖完午

餐，至少要同时开多少个窗口.

三、解答题（共66分）

19.（10分）如图，已知。是原点，氏C两点的坐标分别为（3,-1）,（2,1）.

（1）以点。为位似中心，在＞轴的左侧将O3C扩大为原来的两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形，并写

出点3,C的对应点的坐标;

（2）如果Q5C内部一点M的坐标为（羽》）,写出点Af的对应点的坐标.

20.（6分）已知：AB为。O的直径.

（1）作OB的垂直平分线CD,交。。于C、D两点；

（2）在（1）的条件下，连接AC、AD,则4ACD为三角形.

21.（6分）如图直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线y=-炉+6%+3交），轴于点A,过A作4?〃x轴，交抛物线

于点B,连结03.点P为抛物线上A8上方的一个点，连结Q4,作PQ_LAB垂足为〃，交08于点Q.

(1)求4B的长；

(2)当NAPQ=N8时，求点尸的坐标；

(3)当V4W面积是四边形AOQ”面积的2倍时，求点P的坐标.

22.(8分)如图，二次函数y=/+区+。的图象与x轴交于点A(—1,O)和点3(3,0),与y轴交于点N,以AB为

边在x轴上方作正方形ABC。，点P是x轴上一动点，连接CP,过点P作CP的垂线与＞轴交于点E.

(1)求该抛物线的函数关系表达式；

(2)当点P在线段OB(点P不与0、B重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；

(3)在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB.请问：AA/BN的面积是否存在最大值？若存在，求出此

时点"的坐标；若不存在，请说明理由.

23.(8分)如图是一种简易台灯的结构图，灯座为△ABC,A、C、D在同一直线上，量得NACB=90。，NA=60。，

AB=16cm,ZADE=135°,灯杆CD长为40cm,灯管DE长为15cm.求台灯的高(即台灯最高点E到底盘AB的距离).(结

果取整，参考数据sinl5°20.26,cos15°^0.97,tanl5°20.27,6*1.73)

24.(8分)如图1,。。是AA5C的外接圆，A3是直径，D是。。外一点且满足NQC4=N3,连接AO.

DD

'B

O

图1图2

（1）求证：CD是。。的切线；

（2）ADLCD,AB=10,AD=S,求AC的长；

（3）如图2,当NZMB=45。时，与。。交于E点，试写出AC、EC、8c之间的数量关系并证明.

25.（10分）为了测量山坡上的电线杆PQ的高度，数学兴趣小组带上测角器和皮尺来到山脚下，他们在A处测得信

号塔顶端P的仰角是45°,信号塔底端点。的仰角为30。，沿水平地面向前走100米到8处，测得信号塔顶端P的仰

角是60。，求信号塔的高度.（结果保留整数）

26.（10分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△4BC的顶点及点。都在格点

上（每个小方格的顶点叫做格点）.

（1）以点O为位似中心，在网格区域内画出△△'B'C,使△△'B'C与△ABC位似（A'、B'、C'分别为

4、B、C的对应点），且位似比为2：1；

（2）△/!'B'C'的面积为个平方单位；

（3）若网格中有一格点O'（异于点C'）,且△△'B'D'的面积等于△△'B'C'的面积，请在图中标出所有符

合条件的点。'.（如果这样的点。'不止一个，请用、。2'、…、Dn'标出）

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1,A

【分析】根据正切的定义有tanA=gg=乜，可设5c=12x,则AC=5x,根据勾股定理可计算出AB=12x,然后根据

AC5

余弦的定义得到cos5=OS,代入可得结论.

AB

【详解】如图,

■:NC=90°,tanA=/

BC12

tanA=-----=—・

AC5

设3C=12x,贝!|AC=5x,

•••"=^BC2+AC2=J(12x)2+(5x)213x,

BC\2x12

..cosB=-----=------=—

AB13%13

故选：A.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值，一个锐角的正

切等于这个角的对边与邻边的比值.也考查了勾股定理.

2、B

【分析】逐一对选项进行分析即可.

【详解】A.必然事件的概率为1,该选项说法正确，不符合题意；

B.心想事成，万事如意是随机事件，该选项说法错误，符合题意；

C.平分弦（非直径）的直径垂直弦，该选项说法正确，不符合题意;

D.J话的平方根是±2,该选项说法正确，不符合题意;

故选：B.

【点睛】

本题主要考查命题的真假，掌握随机事件，垂径定理，平方根的概念是解题的关键.

3、C

【分析】根据题意作AACP的外接圆，根据网格的特点确定圆心与半径，求出其周长即可求解.

【详解】如图，△ACP的外接圆是以点O为圆心，OA为半径的圆，

IAC="2+22=2石，AP=办2+产=可,CP=j32+F=M，

.,.AC2=AP2+CP2

...AACP是等腰直角三角形

二。点是AC的中点，

:.AO=CO=OP=712+22=6

:,这个人所走的路程是2兀r=2x兀X#)=26万

故选C.

【点睛】

此题主要考查三角形的外接圆，解题的关键是熟知外接圆的作法与网格的特点.

4、D

【分析】作AB所对的圆周角/AO8,如图，利用圆内接四边形的性质得NAO3=70。，然后根据圆周角定理求解.

【详解】解：作A8所对的圆周角如图，

VZACB+ZA£>B=180°,

二ZAZ)B=180°-110°=70°,

NAOB=2NAOB=140。.

故选Q.

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半

5、C

【分析】由题意运用解直角三角形的方法根据特殊三角函数进行分析求解即可.

【详解】解：因为斜坡（倾斜角为30。），滑下的距离即斜坡长度为24米，

所以下滑的高度为24xsin30°=24x'=12米.

2

故选：C.

【点睛】

本题考查解直角三角形相关，结合特殊三角函数进行求解是解题的关键,也可利用含30°的直角三角形,其斜边是30°

角所对直角边的2倍进行分析求解.

6、B

【分析】根据题意分析得出点Q运动的轨迹是以AB为弦的一段圆弧，当点P运动到AB的中点处时PQ取得最大值,

过点P作OP_LAB,取AQ的中点E作OE_LAQ交PQ于点O,连接OA,设半径长为R,则根据勾股定列出方程求

出R的值，再根据弧长计算公式1=2求出1值即可.

【详解】解：依题意可知，点Q运动的轨迹是以AB为弦的一段圆弧，当点P运动到AB的中点处时PQ取得最大值,

如图所示，连接PQ,取AQ的中点E作OEJ_AQ交直线PQ于点O,连接OA,OB.

是AB的中点,

11

・•・PA=PB=-AB=-x6=3.

22

VAAPC和A/力。是等边三角形，

.\AP=PC,PB=PD,ZAPC=ZBPD=60°,

/.AP=PD,ZAPD=120°.

AZPAD=ZADP=30°,

同理可证：ZPBQ=ZBCP=30°,

AZPAD=ZPBQ.

VAP=PB,

JPQ±AB.

.*.tanZPAQ=-=—

PA3

/.PQ=V3.

在RtAAOP中，

OP2+PA:=OA

即（。4_6）'+3°=。42

解得：OA=2月.

,PA36

VsinZAOP==—尸=

OA2V32

:.ZAOP=60°.

:.ZAOB=120°.

.,rY20x.兀又26475

..1=----=---------------------=-------TC.

18。1803

故答案选B.

【点睛】

本题考查了弧长计算公式，等边三角形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数等知识,

综合性较强，明确点Q的运动轨迹是一段弧是解题的关键.

7、D

【分析】连接AD,由AB是。。的直径及CDLAB可得出弧BC=MBD,进而可得出NBAD=NBAC,利用圆周角定

理可得出NBOD的度数.

【详解】连接AD,如图所示:

TAB是。O的直径，CD±AB,

...弧BC=MBD,

:.ZBAD=ZBAC=20°.

.,.ZBOD=2ZBAD=40°,

故选：D.

【点睛】

此题考查了圆周角定理以及垂径定理.此题难度不大，利用圆周角定理求出NBOD的度数是解题的关键.

8、D

【解析】设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为X,那么根据题意得2018年年收入为：

300(1+x)2,列出方程为：300(1+x)2=1.故选D.

9、C

【分析】先根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的根的判别式的意义得到△>(),即4-4x(m-2)x(-1)>0,则m的

取值范围为m>1且加。2.

【详解】•••关于x的一元二次方程(m-2)x2-2x-l=0有两个不相等的实数根，且(m-2)x2-2x-1=0是一元二

次方程.

.•.△>0,即4-4x0-2)x(-1)>0,m丰2.

m>\且/〃w2.

故选择C.

【点睛】

本题考查根的判别式和一元二次方程的定义，解题的关键是掌握根的判别式和一元二次方程的定义.

10、D

【解析】试题分析：根据反比例函数的性质得出函数增减性以及所在象限和经过的点的特点分别分析：

3

A、•.•反比例函数y=一,...当x=l时，y=3R-3,故图象不经过点(1,-3),故此选项错误；

X

B、...图象在第一、三象限，故此选项错误；

C、.•.x>0时，y随x的增大而减小，故此选项错误；

D、：k>0,.,.xVO时，y随x增大而减小，故此选项正确.

故选D.

二、填空题(每小题3分，共24分)

11>6.5

【解析】设圆心为O,半径长为r米，根据垂径定理可得AD=BD=6,则OD=(r-4),然后利用勾股定理在RtZ^AOD

中求解即可.

【详解】解：设圆心为O,半径长为r米，

可知AD=BD=6米，OD=(r-4)米

在RtaAOD中，根据勾股定理得：62+(r-4)2=r2,

解得r=6.5米，即半径长为6.5米.

故答案为6.5

【点睛】

本题考查了垂径定理的应用，要熟练掌握勾股定理的性质,能够运用到实际生活当中.

12、9n-1273.

【详解】解：连接OD交BC于点E,NAOB=90。，

1,

二扇形的面积=-x乃x6一=9万，

4

由翻折的性质可知：OE=DE=3,

在RtAOBE中，根据特殊锐角三角函数值可知NOBC=30。，

在RtACOB中，CO=2y/3，

COB的面积=16,

,阴影部分的面积为=9TT-126.

故答案为9“-12G.

OB

【点睛】

本题考查翻折变换（折叠问题）及扇形面积的计算，掌握图形之间的面积关系是本题的解题关键.

13、1

【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可.

【详解】解：次-（百-7t）。+（；）r

=2-1+2

=1.

故答案为：1.

【点睛】

此题考查的是实数的混合运算，掌握立方根的定义、零指数幕的性质和负指数幕的性质是解决此题的关键.

14、2V13-4

【分析】连接DF、BD,根据DF>BD-BF可知当点F落在BD上时，DF取得最小值，且最小值为BD-BF的长，然

后根据矩形的折叠性质进一步求解即可.

【详解】如图，连接DF、BD,

AIEED

BC

由图可知，DF>BD-BF,

当点F落在BD上时，DF取得最小值，且最小值为BD-BF的长，

•.•四边形ABCD是矩形，

，AB=CD=4、BC=6,

BD=yjBC2+CD2=V62+42=2屈，

由折叠性质知AB=BF=4,

线段DF长度的最小值为BD-BF=2-V13-4，

故答案为：2万-4.

【点睛】

本题主要考查了矩形的折叠的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.

4

15、—

13

【分析】过点A作AFJ_BC于点，过点D作DELAC交AC的延长线于点E,目的得到直角三角形利用三角函数得

AAFC三边的关系，再证明AACFS/^DCE,利用相似三角形性质得出ADCE各边比值，从而得解.

【详解】解:过点A作AF±BC于点，过点D作DEJ_AC交AC的延长线于点E,

VAB=AC,CD:AC^1:2

4Ap

:.ZB=ZACF,sinZACF=sinB=—=,

5AC

设AF=4k,贝!|AC=5k,CD=-k,由勾股定理得：FC=3k,

2

VZACF=ZDCE,ZAFC=ZDEC=90°,

.,.△ACF^ADCE,

AAC:CD=CF：CE=AF：DE,即5k：=3k：CE=4k：DE,

2

3313

解得：CE=-k,DE=2k,即AE=AC+CE=5k+—Z=—k,

222

134

二在RtAAED中，tanZC4£)=DE：AE=2k：一k=—.

213

4

故答案为：—.

13

【点睛】

本题考查三角函数定义、相似三角形的判定与性质，解题关键是构造直角三角形.

16、6

【分析】根据三角形的面积等于国即可求出k的值.

2

【详解】•••由题意得：@=3,

2

解得左=±6,

•.•反比例函数图象的一个分支在第一象限，

；.k=6,

故答案为：6.

【点睛】

此题考查反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握三角形的特点与k的关系是解题的关键.

17、1.

【分析】用这批口罩的只数X合格口罩的概率，列式计算即可得到合格的只数.

【详解】2000X0.9=2000X0.9=1(R).

故答案为:L

【点睛】

本题主要考查了用样本估计总体,生产中遇到的估算产量问题，通常采用样本估计总体的方法.

18、9

【分析】设每个窗口每分钟能卖x人的午餐，每分钟外出就餐有人，学生总数为z人，并设要同时开〃个窗口，根

据并且发现若开1个窗口，45分钟可使等待人都能买到午餐；若同时开2个窗口，则需30分钟.还发现，若在15分钟

内等待的学生都能买到午餐，在单位时间内，外出就餐的人数可减少80%.在学校学生总人数不变且人人都要就餐的情

况下，为了方便学生就餐，调查小组建议学校食堂10分钟内卖完午餐，可列出不等式求解.

【详解】解：设每个窗口每分钟能卖x人的午餐，每分钟外出就餐有)'人，学生总数为z人，并设要同时开“个窗口，

依题意有

45x=z-45y①

«2x30x=z-30y②,

10/LX..2-10(1-80%)X§)

由①、②得丁=%，z=90x,代入③得10nx.90x-2x,

所以n..8.8.

因此，至少要同时开9个窗口.

故答案为：9

【点睛】

考查一元一次不等式组的应用；一些必须的量没有时，应设其为未知数；当题中有多个未知数时，应利用相应的方程

用其中一个未知数表示出其余未知数；得到20分钟n个窗口卖出午餐数的关系式是解决本题的关键.

三、解答题(共66分)

19、(1)如图，△QB'C即为所求，见解析；点3的对应点的坐标为(—6,2),点。的对应点的坐标为(T,一2)；(2)

点的对应点M'的坐标为(-2x,-2y).

【分析】(1)延长BO,CO到B\C,使OB，、OC，的长度是OB、OC的2倍.顺次连接三点即可；

(2)从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以-2的坐标，所以M的坐标为(x,y),

写出M的对应点M，的坐标为（-2x,-2y）.

【详解】（1）如图，△OB'C'即为所求，点B的对应点的坐标为（-6,2）,点C的对应点的坐标为（T,—2）.

（2）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以-2的坐标，所以M的坐标为（x,y）,

写出M的对应点M，的坐标为（-2x,-2y）.

【点睛】

考查了直角坐标系和相似三角形的有关知识，注意做这类题时，性质是关键，看图也是关键.很多信息是需要从图上

看出来的.

20、（1）见解析；（2）等边.

【分析】（D利用基本作图，作CD垂直平分OB；

（2）根据垂直平分线的性质得到OC=CB,DO=DB,则可证明AOCB、ZkOBD都是等边三角形，所以

ZABC=ZABD=60°,利用圆周角定理得到NADC=NACD=60。，则可判断4ACD为等边三角形.

【详解】解：（1）如图，CD为所作；

(2)如图，连接OC、OD、BC,BD,

VCD垂直平分OB,

.•.OC=CB,DO=DB,

/.OC=BC=OB=BD,

...△OCB、AOBD都是等边三角形，

.,.ZABC=ZABD=60°,

.•.ZADC=ZACD=60°,

/.△ACD为等边三角形.

故答案是：等边.

【点睛】

本题考查了基本作图及圆周角定理：证明AOCB、AOBD是等边三角形是解本题的关键.

21、(1)6；(2)P(4,ll);(3)尸(4,11)或P(3,12)

【分析】(1)令x=0求得A的坐标，再根据轴，令产3即可求解；

(2)证明一回8_的，贝|四=色，即可求解；

ABA0

(3)当VAP”的面积是四边形AOQH的面积的2倍时，则2(AO+"Q)=P",2(3+^)=-^2+6/«,即可求解.

【详解】解：(D\•抛物线y=—/+6x+3交》轴于点A，

二A(0,3),

VA8〃x轴，

；.B的纵坐标为3,

设B的横坐标为a,

则3=-/+6。+3，解得6=6,%=°(舍)，

.•.8(6,3),

:.AB=6；

(2)设尸(〃?,->+6m+3)

/P=NB,ZAHP=ZOAB=90°9

:..ABO^>.HPA9

.HPAH

,•=9

ABAO

.-nr+6mm

••---------=--9

63

解得"2=4.

.­.P(4,ll)

(3)当VAP”的面积是四边形AOQ”的面积的2倍时,

则2(AO+HQ)=PH

2(3+——w2+6m,

得：叫=4,咫=3,

.•.P(4,ll)或P(3,12)

【点睛】

本题考查的是二次函数综合，涉及到一次函数、三角形相似、图形的面积计算等，逐一分类讨论.

393

22、(1)y=x2-2x-3；(2)=：时，线段0E有最大值.最大值是一；(3)—时，AMBN的面积有最大

'2162

27(315、

值，最大值是丁，此时M点的坐标为.

【分析】(1)将点A、3的坐标代入二次函数表达式，即可求解；

(2)设OP=x,则93=3-x,由APOE〜ACBP得出比例线段，可表示0E的长，利用二次函数的性质可求出线

段0E的最大值；

(3)过点〃作MH//y轴交BN于点H,由S,NB=S即MH+S^NH=^MHOB即可求解.

【详解】解：⑴),••抛物线丁=炉+/+,经过/(-1,0),3(3,0),

l—b+c=0

把48两点坐标代入上式，八，

(b=-2

解得：\,

c=-3

2

故抛物线函数关系表达式为y=x-2x-3;

(2)VA(-l,0),点3(3,0),

:.AB-OA+OB=1+3=4,

V正方形ABCD中，ZABC=90。,PC工BE,

ZOPE+ZCPB=90°,

/CPB+/PCB=90°,

：./OPE="CB,

又T/EOP=NPBC=90°,

A"OE〜kCBP,

.BCOP

--------,

PBOE

设OP=x,则P3=3-x,

.4_x

•■-9

3-xOE

V0<x<3,

39

...x=2时，线段。E长有最大值，最大值为W.

216

39

即。尸=三时，线段QE有最大值.最大值是三.

216

(3)存在.

如图，过点M作MH//>轴交BN于点〃，

:.x=O,y=-3,

二N点坐标为(0,-3),

设直线BN的解析式为y=kx+b,

口+匕=0

：.<,

[b=-3

k=\

••b=-3'

：.直线BN的解析式为y=x-3,

设加(a.a2—2Q—3),则3),

:.MH=a-3-(c广-2a_3)=—a2+3。,

=-M/7-(9B=-x(-a2+3a'lx3=|+—,

22''2l28

327,315、

，a=一时，AMBN的面积有最大值，最大值是一，此时加点的坐标为匚,一:■.

28（24）

【点睛】

本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质;

会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系.利用数形结合的思想把

代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键.

23、台灯的高约为45cm.

【分析】如图，作DGJ_AB,EFJLAB,交AB延长线于G、F,DH±EF于H,可得四边形DGFH是矩形，可得DG=FH,

根据NA的余弦可求出AC的长，进而可得AD的长，根据NA的正弦即可求出DG的长，由NADE=135。可得

ZEDH=15°,根据NDEH的正弦可得EH的长，根据EF=EH+FH求出EF的长即可得答案.

【详解】如图，作DG_LAB,EFJ_AB,交AB延长线于G、F,DH_LEF于H,

四边形DGFH是矩形，

；.DG=FH,

VZA=60°,AB=16,

1

:.AC=AB*cos60°=16x—=8,

2

,AD=AC+CD=8+40=48,

.\DG=ADsin60°=24V3，

VDH±EF,AF±EF,

ADH//AF,

:.ZADH=180°-ZA=120°,

VZADE=135°,

ZEDH=ZADE-ZADH=15°,

VDE=15,

AEH=DEsinl5°-3.9,

AEF=EH+FH=EH+DG=24退+3.9F5,

E

【点睛】

本题主要考查解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数的关系是解题关键.

24、(1)见解析；(2)AC的长为4石；(3)AC=BC+41EC,理由见解析

【分析】(1)连接OC,由直径所对圆周角是直角可得NACB=90。，由OC=OB得出NOCB=NB,由因为NDCA=NB,从而

可得NDCA=NOCB,即可得出NDCO=90°;

(2)由题意证明△ACOs/VtsC,根据对应边成比例列出等式求出AC即可；

(3)在AC上截取Af使Af=8C,连接ERBE,通过条件证明△根据性质推出△E尸C为等腰直角三角

形，即可证明AC、EC、BC的数量关系.

【详解】(1)证明：连接。C,如图1所示：

•••AB是。。的直径，

：.ZACB=90°,

"：OC=OB,

:.NB=NOCB,

•：ZDCA=ZB,

:.ND